带有非线性传染率的传染病模型动力学分析

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具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析传染病动力学模型是用来描述和解释传染病的传播过程以及评估控制措施的工具。

在传染病的传播过程中，发生率通常被假设为线性增长。

然而，在一些情况下，传染病的发生率可能会随着传播的增加而减少，或者呈现其他非线性的模式。

此外，由于传染病存在潜伏期和传播的时间延迟，时滞也需要纳入模型中。

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型可以更准确地描述和预测传染病的传播过程。

这种模型通常使用微分方程来描述人群中不同类别的人数变化，并基于传染病的特性和人群行为来确定各个参数的值。

下面我们将介绍两种常见的非线性传染病动力学模型，并讨论时滞对传播过程的影响。

一种常见的非线性传染病动力学模型是SIR模型。

SIR模型划分人群为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个互斥的类别。

传染病的传播过程可以通过以下三个微分方程来描述：dS/dt = -βSI + γRdI/dt = βSI - αIdR/d t = αI - γR其中β是传染率，描述一个感染者每单位时间传染给易感者的数量；γ是康复率，描述一个感染者每单位时间康复的数量；α是移动速率，描述一个感染者每单位时间从感染状态转移到康复状态的数量。

在非线性发生率的情况下，传染率β可能会随着感染者数量的增加呈现非线性增长或者递减的趋势。

例如，当人群中的易感者数量减少时，传染率β可能会递减，因为感染者接触到易感者的机会减少。

相反，当人群中的感染者数量增加时，传染率β可能会递增，因为感染者接触到易感者的机会增加。

这种非线性的发生率可以更准确地描述传染病的传播情况。

时滞是指感染者从感染到传染的时间延迟。

在传染病的传播过程中，感染者通常需要一定的时间来发展症状并开始传播给其他人。

时滞可以通过引入滞后项来纳入模型中，例如：dI(t)/dt = βS(t-τ)I(t-τ) - αI(t)其中τ是时滞的时间。

时滞的存在会导致传染病传播的速度变慢，因为感染者需要一定的时间来传播给其他人。

具非线性发生率的时滞传染病模型的动力学分析的开题报告

具非线性发生率的时滞传染病模型的动力学分析的开题报告1. 研究背景及意义传染病是人类和动植物生命的重要威胁，世界卫生组织估计每年约有1700万人因传染病而死亡。

因此，对传染病的研究和控制具有重要的理论和实践意义。

随着人类社会的发展，传染病传播的时滞因素变得越来越重要。

例如，对于一些病毒感染，潜伏期可以延长一段时间，这就会导致感染者在感染后很长时间内仍然是潜在的传染源。

这种延迟效应被称为时滞，在疫情的传播和控制中需要引起重视。

传染病的传播机理是非线性的，因此针对这类问题的建模和分析需要运用非线性微分方程来描述。

此外，时滞因素的考虑也会带来非线性和时变的特性，进一步加重了问题的复杂性。

因此，研究具有时滞和非线性特性的传染病模型，对于深入理解传染病的动态行为和探究其控制策略具有重要的意义。

2. 研究主要内容和方法本文旨在构建一种具有非线性发生率的时滞传染病模型，并对其动力学行为进行分析。

具体研究内容包括：（1）提出具有时滞和非线性发生率的传染病模型，包括感染者传播和潜伏者转化为感染者的进程。

（2）利用 Lyapunov 法和分支分析等方法分析模型的稳定性和分支特征，尤其是时滞因素对模型动力学行为的影响。

（3）针对模型动力学行为的特点，进一步探究控制策略，如疫苗接种、隔离和医疗治疗等的效果，以期提供科学的控制建议。

本文主要的研究方法包括数学建模、定性分析、数值计算和仿真等。

3. 研究预期目标本文的研究预期目标如下：（1）建立一种具有时滞和非线性特性的传染病模型，探究时滞因素对传染病传播的影响，以及不同控制策略的效果。

（2）分析模型动力学行为的稳定性及其分支特征，对疫情传播和控制策略提供合理的科学依据。

（3）为控制传染病的发生和流行提供理论参考和实践指导。

4. 研究计划本文的研究计划如下：（1）阅读相关文献，总结已有的传染病模型及其分析方法。

（2）建立具有时滞和非线性特性的传染病模型，分析其基本特性和动力学行为。

具有非线性传染率的病毒动力学模型的稳定性分析

第５期
王佳颖等：有非线性传染率的病毒动力学模型的稳定性分析具
・１７・３
有免疫反应的，强＿宋６人研究了带有免疫反应但传染率是等
广Ｌ — ．
（＞００＜＜１ｚ，）的情形，ａｇＧｎ
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免疫反应的病毒动力学模型的全局渐近稳定性，且得到了无病平衡点、并无免疫平衡点以及正
平衡点存在的阈值条件和全局稳定性．关键词：局渐近稳定性；ｙｐｎｖ函数；非线性传染率；基本再生数全Ｌａｕｏ
反应系统的全局稳定性．然对抗体免疫反应的系统有了不少的研究，大多数学者研究的模型其感染率虽但
是双线性的即，实际中它的感染率并非全是双线性的嘲．但人们研究非线性感染率的模型大多是不带
＊
收稿Ｅ期：０１０—０ｌ２１－６３作者简介：颖（９７）女，西省成阳市人，读硕士生，究方向：微分方程与数学建模王佳１８一，陕在研常
Ｎ５ｏ．
・
陕西科技大学学报
ＪＯＵＲＮＡＩＯＦＳＨＡＡＮＸＩＵＮＩＶＥＲＳＴＹＣＩＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹＩＯＦＳＥ
Ｏｃ．２１ｔ０１Ｖｏ１９．２
１６・３
文章编号：００５１（０１０ — １６０１０ —８１２１）５０３—４

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析

具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模分析具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型分析摘要：本文研究了一种具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型。

我们引入了一个SIR（易感者-感染者-康复者）模型，并考虑了不同人群之间的传染机制和治疗流程。

我们分析了该模型的稳定性，研究了传染病在不同参数条件下的传播特性，并提出了一些控制措施来减缓疫情的蔓延。

研究结果表明，在非线性发生率和时滞的影响下，传染病的传播速度和程度受到了很大的影响。

1. 引言传染病是一种从一个人传播到另一个人的疾病，其传播速度和程度会受到多种因素的影响。

在传染病动力学模型中，传播率和发生率是两个重要的参数，它们描述了传染病的传播速度和传播程度。

而传播速度和程度的变化往往是非线性的，受到时滞等因素的影响。

因此，研究具有非线性发生率和时滞的传染病动力学模型将有助于我们更好地理解传染病的传播规律和控制方法，从而有效地遏制疫情的蔓延。

2. 模型建立我们考虑了一个具有非线性发生率和时滞的SIR模型。

假设总人口为N，易感者人数为S，感染者人数为I，康复者人数为R。

其中，感染者之间的传播速率受到发生率β和感染者人数的函数f(I)的影响。

康复者人数的增加率与感染者人数的函数g(I)成正比。

此外，我们还引入了一个时间延迟因子τ来反映感染和康复的时间间隔。

具体模型描述如下：\[\frac{dS}{dt} = - \frac{β S(t-τ) I(t-τ)}{N}\tag{1}\]\[\frac{dI}{dt} = \frac{β S(t-τ) I(t-τ)}{N} - γI(t)\tag{2}\]\[\frac{dR}{dt} = γ I(t)\tag{3}\]3. 稳定性分析我们首先研究了该模型稳定性的条件。

通过求解模型的零解点，我们得到了一个平衡点E0=(N,0,0)。

通过线性稳定性理论，我们可以得到该平衡点的局部稳定性条件。

具体而言，如果模型的特征值都具有负的实部，则平衡点为局部稳定。

一类具有非线性传染率SEIS传染病模型动力学分析

一类具有非线性传染率SEIS传染病模型动力学分析
张永成;雒志学
【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2013(032)003
【摘要】文章考虑一类具有非线性传染率且人口有输入输出的传染病模型,得到疾病控制的阀值:基本再生数R0.当R0 ＜1时,无病平衡点是全局渐进稳定的,且疾病最终灭绝；当R0 ＞1时,无病平衡点不稳定,而唯一的地方病平衡点是局部渐进稳定的.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】张永成;雒志学
【作者单位】兰州交通大学数理学院数学系,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院数学系,甘肃兰州730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具有脉冲接种和非线性传染率的 SEIR传染病模型的分析 [J], 王寿斌;王丽敏;张娣
2.一类具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析 [J], 郭金生;祝进业;唐玉玲
3.一类具有非线性传染率的SEIS传染病模型的分析 [J], 芦雪娟
4.一类具有非线性发生率的SEIS传染病模型的全局稳定性 [J], 王海彬;徐瑞;王兆
威
5.一类具有非线性传染率的SEIS传染病模型的稳定性分析 [J], 邢伟;颜七笙;杨志辉;高晋芳
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一类具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型研究

一类具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型研究SEIRS模型是一种描述疾病传播过程的数学模型，其包括易感者(S)，患病者(E)，感染者(I)，康复者(R)和再次成为易感者(S)的人群。

在传统的SEIRS模型中，发生率和治愈率都是线性的，即假设每个人都有相同的感染和康复速率。

然而，现实中很多疾病的传播过程是非线性的，因此需要对SEIRS模型进行改进，考虑非线性的发生率和治愈率。

非线性发生率可以更好地反映疾病传播过程中的复杂性。

例如，一些传染病的传播速率可能随着感染人数的增加而增加，即感染速率随着感染者的数量呈指数增长。

这样的非线性发生率可以通过引入感染率的函数来描述，例如β(I)。

其中，β是感染率的基本值，I是感染者的人数。

通过这种方式，我们可以更准确地模拟疾病在人群中的传播情况，并能够更好地预测疫情的发展趋势。

另一方面，非线性治愈率也是一个重要的因素。

通常情况下，人群中患病者的康复速率并不是一个固定的值，而是受到各种因素的影响。

例如，随着卫生条件的改善和医疗技术的进步，疾病的治愈速率可能会有所提高。

因此，我们可以将治愈率表示为一个关于时间的函数，即γ(t)，其中γ是治愈率的基本值，t是时间。

通过引入非线性治愈率，我们可以更好地考虑人群中患病者康复的动态过程，从而更准确地评估疾病的传播和控制策略。

基于以上考虑，我们可以建立具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型：$\frac{dS}{dt}=-\beta(I)SI$$\frac{dE}{dt}=\beta(I)SI-\sigma E$$\frac{dI}{dt}=\sigma E-\gamma(t)I$$\frac{dR}{dt}=\gamma(t)I$在这个模型中，β(I)和γ(t)分别表示感染率和治愈率的非线性函数。

通过对这个模型进行数值模拟和分析，我们可以研究疾病在人群中的传播动态，预测疫情的发展趋势，并评估不同的防控策略的有效性。

总之，具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型在研究疾病传播过程中具有重要的意义，可以更准确地描述疾病的传播动态，为制定有效的防控策略提供重要的参考。

具有非线性传染率和连续接种疫苗的SIRS模型分析

传染病学数学模型广泛应用于流行病学研究的各个领域。近年来，根据疾病发生规律建立了一些更切合实际的非线性发生率并得到了较好的结果。马知恩等［］究了一些基本的传染病模型及介绍了总人口变化的研－２
几类传染病模型。ＲＥＴ等『究了一类具有隔离项的传染病模型，ＨＥＢＲ３］研在常数输入的情形下，出了发生率是给
量明显减少，明接种疫苗对传染病防制有很大作用。说关键词：ＩＳ模型；ＳＲ基本再生数：局稳定性全中图分类号：７．０１５１文献标识码：Ａ文章编号：００１０（０００ — ６８０１０ — ７０２１）５０３ — ３
ＬＵ，ＬＩＨａ— ｈｎＩＢｏｉｃｕ
（ｏｌｇｆＳｉｃ，ｈｎａｇＡｃｌｒｌＵｉｅｓｙＳｅｙｎ８６ＣｉａＣｌｅｏｃｅｅＳｅｙｎｕｔａｎｖｒｉ，ｈｎａｇ１０６，ｈｎ）ｅｎｕｔ１
ＡｂｔａｔＩｔｉａｅ，ａＩｅｉｅｃｓｒｃ：ｎｈｓｐｐｒＳＲＳｐｄｍｉｍｏｅｗｉｎｎｉｅｒｎｉｅｃｒｔａｄｏｔｕｕｖｃｉａｉｎｄｌｔｈｏｌａｉｃｄｎｅａｅｎｃｎｉｏｓａｃｎｔｗａｄｓｕｓｄｎｎｏｓｉｃｓｅ．Ａｄｆｒｎｉｌｄｎｍｉａｄｌｏｈｄｓａｅｗａｏｓｒｃｅｎｎｌｓｄｂｓｎｉｅｅｔｌｄｎｍｉｙｔｍｎｌｅｒｈｏｙｉｅｅｔｙａｃｍｏｅｆｔｅｉｅｓｓｃｎｔｕｔｄａｄａａｙｅｙｕｉｇｄｆｒｎｉｙａｃｓｓａｌｆａｅａｄａｇｂａｔｅｒ．Ｔｅａｉｒｐｏｕｔｎｕｅｓｏｒｓｏｄｎｔｔｅｈｂｓｃｅｒｄｃｉｎｍｂｒｃｒｅｐｎｉｇｏｈｍｏｅｗａｆｕｄｕ．ｔｅｘｓｎｅｎｓａｉｔｏｔｅｉｅｓｆｅｏｄｌｓ０ｎｏｔｈｅｉｔｃａｄｔｂｌｙｆｈｄｓａｅ－ｒｅｉｅ

具有非线性传染率的SEIS模型的定量分析

具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析周鑫指导老师：郭金生(河西学院数学与应用数学专业2014届2班56号, 甘肃张掖 734000)摘要本文对传染率为,1SEaI ISq ηβ++)1,0(∈q 的SEIS 传染病模型做了定性分析.当基本再生数10<R时,无病平衡点是全局稳定的,并疾病最终灭绝.基本再生数10>R 时,平衡点是存在的,并且是局部渐近稳定的,且最终发展为地方病.关键词传染病模型;非线性传染率;基本再生数;平衡点;稳定性中图分类号 O 175A Qualitative Analysis of an SEIS Epidemic ModelWith Nonlinear Incidence Rate(No.56,Class2 of 2014,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract : Discusses the prevalence of infection ofSEaI ISq ηβ++1 SEIS epidemic qualitative analysis of themodel.When the basic reproductive number 10<R , disease-free equilibrium is globally asymptotically stable , and the disease eventually become extinct.When the basic reproductive number 10>R , there is equilibrium point ,and is locally asymptotic stable and cut development for endemic disease.Keywords : Infectious disease model; Nonlinear infectious rate; The basic reproductive number; Equilibrium point ; stability1引言近年来,人们提出了不同的传染率,但在研究了1973年意大利东部港市巴里流行的霍乱之后,Capasso 和Serio 在传染病模型中引入了饱和传染率,这对之后人们研究传染病具有广泛的影响.文献]2,1[就引入了形如q p S I β的传染率,文献]432[，，又引入了形如qP aI SI +1β的传染率,文献]5[又讨论了IS IS++1β为传染率的SEIS 模型,而文献]6[讨论了更为一般的非线性传染率kIS ISp +β.本文将采用,1SEaI ISq ηβ++)1,0(∈q 为传染率的非线性传染率模型,此模型的非线性表达了当染病者,潜伏者与易感人群之比增加时,易感者在行为上不但抑制了染病者对传染病的传播,而且控制了与类似传染病症状人群(潜伏者)的交往,加强了对传染病的预防工作,从而多方面抑制传染病的传播.2 模型建立与分析本文所考虑的SEIS 传染病模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-Φ=+-Φ-=，，，I d E dt dIE d S E I IS dt dE I dS S E I IS A dt dS)()(),,(),,(εθααβθβ (1) 其中S 为易感染者的数量,E 为潜伏者的数量,I 为染病者的数量,A 为人口对系统的输入量,d 为死亡率(假定S ,E ,I 的死亡率相同),α为由潜伏者转化为染病者的转化率,θ为由染病者转化为易感染着的转化率,ε为患病者因病而增加的死亡率,其中SEaI S E I q η++=Φ1),,(.对模型(1)中的式子累加可以得到I I E S d A dtdI dt dE dt dS ε-++-=++)(. (2) 可以观察可得看出,如果假设总人口数为N ,则I E S N ++=,且)(I E S d A dt dIdt dE dt dS dt dN ++-≤++=, 根据对(2)式的分析可以知道}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈. 现假设)()(0αβεθα+++=d Ad d R 为系统(1)的基本再生数,它是一个染病者在有效传染期内被混入到易感人群中所产生的二代染病病历数.通过观察系统(1)可以发现,系统(1)必定存在一个无病平衡点)0,0,/(0d A N . 引理 ]7[1 对于一个在),0[+∞上有界的实值函数f ,定义)(sup lim ),(inf lim t f f t f f t t ∞→∞∞→∞==，设R f →∞),0[:有界且二次可导的函数,当∞→k 时,∞→k t 且∞→f t f k )(或者∞→f t f k )(,则0)('lim =∞→k k t f .定理1 当10<R 时,系统(1)在无病平衡点)0,0,/(0d A N 处是全局稳定的. 证明对于系统(1)在)0,0,/(0d A N 处 ,其特征函数为0A/d]))()[((=-++++++βλεθλαθλd d .可以得到0<-=θλ为一个特征根,其他特征根由0A/d ))((=-+++++βλεθλαd d来确定,为了使得所有的特征根为负根,则当且仅当02]/))([(4)2()2(2<-+++-+++++++-d A d d d d βαεθαεθαεθ. (3)化简(3)式可以得到当且仅当0/))((>-+++d A d d βαεθ时,所有的特征根为负根,即10<R 时,)0,0,/(0d A N 是局部渐近稳定的.根据引理1,可以选择序列∞→k t ,使得∞→E t E k )(,0)(→kk dt t dE 和序列∞→k τ,使得∞→I I k )(τ,0)(→kk d dI ττ. 又因为1)(≥k t I ,所以d A t S t E k k /)()(≤+. (4)当(4)中d A t S k /)(=时,则必有0)(=k t E ,则不妨在下面的放缩中,取d A t S k /)(=,0)(=k t E ,则从系统(1)的第二个方程有)()](),(),([)()(lim αβαβ+≤Φ+=∞∞→∞d I t S t E t I t I t S d E k k k k k k , (5) 对于系统(1)的第三个方程,可以得到∞∞→∞++≤++=E d t E d I k k )()(lim )(εθαεθα, (6)则由(5)、(6)式可以得到∞∞∞∞=+++≤++≤E R E d Ad d d I d A E 02)()()(4)1/(αβεθααβ, (7)∞∞∞∞=+++≤+≤I R I d Ad d E d I 0)()()(αβεθαθα, (8)其中(7)意味着当10<R 时,0≤∞E ；接着由10<R 且0≤∞E ，再根据(8)可以得到0≤∞I .然而,因为0,0≥≥∞∞I E ,所以由夹逼定理的推广可以得到0,0====∞∞∞∞I I E E .再根据)0,0,/(0d A N 的局部稳定性知道:当10<R 时,平衡点)0,0,/(0d A N 是全局渐近稳定的.根据以上分析,当10<R 时,无论初始潜伏者人数与感染者人数为多少,传染病最终都将消失.定理2 当10>R 时,),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα,**)(I d E αθ+=,*I 是AS E I d d d I d d =Φ++++-+++αβεθαθεθα),,())((]))([(****在区间)/,0(d A 的唯一根.证明系统(1)的地方病平衡点),,(****I E S N 的坐标是方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-+Φ=+-Φ-=，，，***************)(0)(),,(0),,(0I d E E d S E I S I I dS S E I S I A εθααβθβ (9) 在}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈内的正解.由方程组(9)的第三个方程可得**)(I d E αεθ++=,由于不考虑0=I 的情况,再由第二个方程可以得到),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα.将**)(I d E αεθ++=与),,())((****S E I d d S Φ+++=βαεθα代入第一个方程可以得到 0),,())((]))(([)(=-Φ++++-+++=A S E I d d d I d d I F αβεθαθαεθα.注意到,0))((>-+++θαεθαd d又由于 0),,(>ΦS E I 所以)(I F 为增函数,则取A d d d F I -+++=+→βαεθα))(()0(lim 0,当且仅当0))(()0(lim 0<-+++=+→A d d d F I βαεθα 时,0)(=I F 在)/,0(d A 有唯一的实根.将)()(0αβεθα+++=d Ad d R 代入上式,计算得到00<-A R A，即10>R 时,0)(=I F 在)/,0(d A 有唯一的实根.所以,当10>R 时,),,(****I E S N 是存在的.定理3 当10>R 时,系统(1)在地方病病平衡点),,(****I E S N 处是局部渐近稳定的.证明现假设),,(1I E S P SEaI ISq =++ηβ. 现在对),,(I E S P 分别求偏导得E 2q q E/S)+aI +I/S/(1+nE/S)+aI +I/(1ηηββ⨯⨯=∂∂S P, ηηβ2q E/S)+aI +I/(1-⨯=∂∂E P, q IPq 2q q aI E/S)+aI +S/(1-E/S)+aI +S/(1ηβηβ⨯⨯=∂∂,现在将),,(****I E S N 代入系统(1),即可得jacobian 矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂---∂∂--∂∂∂∂+∂∂-∂∂--∂∂-=********0)(I P d I Pd EPS P IP E Pd S P N J θααθ，得到)(*N J 的特征方程为0a 32213=+++λλλa a ,其中3d +-+++***1E PS P I P a ∂∂∂∂∂∂=αθ,S PIP S P E P S P I P a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2d++d 2+2d -+2d *****2αα **2**-3d +2d +-++IPE P E P S P ∂∂∂∂∂∂∂∂θθαθ,*******3+-(+3d +-+++I P S P E P S P E P S P I P a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=θθαθ*****+)d +-+IPS P E P I P S P ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ααθα,因为0,0,0***>∂∂<∂∂>∂∂I PE P S P , 所以可以得到321,,a a a 均大于0.现在列出劳斯表：3λ 12a2λ 1a 3a 1λ1321a a a a - 0λ运用Matlab 可以得到0321>-a a a (见附录1),且又因为01>a ,所以根据Routh hurwitz 定理即可得地方病平衡点*N 是局部渐近稳定的.根据以上分析,当10>R 时,传染病平衡点是存在且局部渐近稳定的.3 结论本文对SEIS 传染病模型的动力学系统近行了分析研究,此模型含有常数输入率,又含有自然死亡率和因病死亡率,因此模型所考虑的总种群数量随时间变化而改变.同时传染率是一种符合实际的非线性传染率.对于系统(1),基本再生数))((0εθαβα+++=d d d AR 完全决定了系统(1)在可行域}/0|),,({d A I E S I E S N N ≤++≤∈内的动力学行为.如果10<R ,无病平衡点就在}/0|),,({d A I E S I E S N ≤++≤内全局渐近稳定,且疾病最终会灭绝.如果10>R ,则存在唯一的地方病平衡点且局部渐近稳定,且疾病最终发展为地方性传染病.致谢感谢郭金生老师在我论文过程中的悉心指导.参考文献[1]Liu W M .流行病学模型的动力学行为与非线性发病率[J].数学生物学杂志.1987,25:359-380.[2]Liu W M,Levin S A.非线性发病率的影响在众位的行为流行病学模型[J].数学生物学杂志,1986,23(1):187-204.[3]Ruan S,Wang W.传染病模型的动力学行为与非线性发病率[J].微分方程.2003,188:135-163.[4]王拉娣,李建全.一类具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析[J].应用数学和力学,27,591-596.[5]郭金生,唐玉玲等.具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的定性分析[J].河西学院学报.2012,05:41-46. [6]芦雪娟等.具有非线性传染率的SEIS 传染病模型的研究[J].西北师范大学学报,2010,46:6-9. [7]Wang W, Ma Z.全球流行病动力学模型与延迟[J].非线性分析:现实世界的应用.2002,3: 809-834.附录1Matlab 编码:syms I S E p a q n d o z y;A=[-S-d,-E,-I+o;S E-d-a I;0 a -d-o-I]; A=y*eye(3)-A; ki=det(A); R=collect(ki,y) R =y^3+(o+I-E+3*d+a+S)*y^2+(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o +3*d^2)*y+S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o +S*d^2a1=(o+I-E+3*d+a+S);a2=(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o+3*d^2);a3=S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o+S*d^2; b=a1*a2-a3;R1=collect(expand(b),d) R =-2*S*E*I-2*S*E*o-a*E*I+3*S*a*o+S*I*a+S^2*o+8*d^3-2*o*E*I+2*o*S*I+I*a*o-E*S*a-E*o^2+S*o^2+a*o^2-E*I^2+S*I^2+E^2*I+E^2*o+S*a^2+a^2*o+S^2*a+S^2*I-2*E*a*o+(8*a+8*I+8*S-8*E+8*o)*d^2+(6*S*a+6*S*o-6*E*I+6*a*o-6*E*o+6*S*I+4*o*I+2*I^2+2*S^2+4*I*a-4*E*a-4*E*S+2*o^2+2*a^2+2*E^2)*d对应符号：I S E p a d o y I P ∂∂ S P ∂∂ EP∂∂ β α d θ λ编号 2010212012毕业论文(2014 届本科)题目：具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：周鑫指导老师：郭金生职称：讲师完成日期： 2014 年 5 月 22 日二○一四年五月。

具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型分析

′(０) ＋β２g
′(０) ÷
１－R０),
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ε
ε
又
æ
ö
æ æ ＋γ ö÷ ２ æçμ ＋γ ö÷
ö æA
ö
＋γ æçμ ＋γ ö÷
( ) ＝２
( ) ÷ － çβ１ çμ
( ) ÷ ç －k１I÷ ,
G″I
k１ çβ１ μ
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I ＋β２g
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shed．
Theba
病学特性,提出了发病率形式为β１f (E )S ＋β２g (I)S 的 SEIRS 非线性传播动力学模型,并运用微分动力系

一类具有非线性传染率SEIS传染病模型动力学分析

经典的传染病模型已有大量的研究结果 … ，
其中大多数采取双线性和标准型的传染率．近几
２模型分析
年，文献［２］和［３］分别引人了依赖种群密度的
传染率．厂（ Ⅳ）５，饱和型传染率 —— 文献［４］和［５］引入形如
２０１３年５月
重庆文理学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ
Ｍａｙ，２０１３
第３２卷
敛于或者，则ｌｉＨ（ｔ）＝０．
定理２的证明：
糸统（２）在尢痫半衡点Ｋｏ处的Ｊａｅｃｏｂｌ矩阵
８Ｅ一（＋＋ｙ＋８）ｉ＝０．
在集合』２内的止斛．由万程（２）的弟３个万程得
第３期
Ｖｏｌ＿３２Ｎｏ．３
一
类具有非线性传染率ＳＥＩＳ传染病模型动力学分析
张永成，雒志学
（兰州交通大学数理学院数学系，甘肃兰州７３００７０）
［摘
要］文章考虑一类具有非线性传染率且人口有输入输出的传染病模型，得到疾病控制的
０ｆＰＣ
将系统（１）的３个方程相加，有：
— ＝一
，
ｂ＋ｂＮ＋，／２ｂＮ

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS传染病模型的研究

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 传染病模型的研究1杨允海1，李自珍2，黄磊1，刘红涛11．兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）2．兰州大学干旱与草地教育部重点实验室，兰州（730000）E-mail ：yunhailanzhou@摘要：本文对一类具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 模型进行了分析，讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件，得到模型的平衡点的局部渐近稳定性. 关键词：阶段结构；非线性传染率；局部渐近稳定性引言近年来，以Kermack 和Mckendrick 为代表的流行病动力学有了相当的发展，它们在预防治疗疾病方面起到了不同程度的指导作用，而现在随着环境的污染，生态的破坏以及国际交流的的频繁，许多已经得到控制的的疾病又死灰复燃，给人们的生活造成严重的影响，因此应用数学模型来研究传染病一直是一个重要的课题，许多作者对各种流行病模型进行了大量的研究并得到了很多重要的结果[1 3 4 5 6 7 9 10 11 12].大多数文献中总是假定各年龄阶段的种群个体对某种传染病均有相同的传染率，事实上对于某些疾病，并非如此，如麻疹，水痘等，多发于幼儿时期，而伤寒，白喉，流行性脑脊髓炎等传染病多在成人之间流行，因此考虑阶段结构的传染病模型是很有实际意义的.[1]对一类具有阶段结构的SI 传染病模型进行了研究，得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值;[2]对具有阶段结构的SIRS 传染病模型进行了分析，得到了模型的渐近性质和其平衡点的局部渐近稳定性.本文在[2]的基础上，进一步研究了具有非线性接触率的情况，我们讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件和模型平衡点的局部渐近稳定性,并且得到了与[2]不同的结论.1. 模型的建立)()()()()()()()(1)()()()(1)()()()()(24231122111t Y b t Y ae dtdY t R c t R b t I c dtdR t I c t I b t I t I t S u dt dI t R c t I t I t S u t Y ae t S b t aY dt dS b b −−=−−=−−+=++−−−−=−−ττττ （1）其中)(),(),(t R t I t S 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的数量，)(t Y 表示t 时刻成年个体的数量，a 表示出生率，u 为传染系数，321,,b b b 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的死亡率，4b 为成年个体的死亡率，1c 为染病者的康复系数，2c 为染病者再次成为易感者的比例，τ表示从幼年到成年的间隔，τ1b e−表示τ−t 时刻出生的幼年个体活到t 时刻的概率. 1本课题得到国家社科重点基金项目（No. 04AJL007）和国家自然科学基金（No. 30470298）的资助。

一类具有非线性传染率和有效治疗的HIV动力学模型的分析

率，口是靶细胞的最大增殖率，
是当增殖结束时Ｔ细胞的数量密度，卢是感染率，Ｐ是治疗变化率，６是感
染细胞的死亡率，Ｐ是感染细胞的再生率，ｃ代表自由病毒的清除率．传染率为非线性的
一
，其中ｑ＞Ｏ为
ｌｆｑ（Ｔ＊）ｑ一１Ｖ
０
一８－ｐ一入ＪｌＢ（
Ｐ — ｃ一
０
（２）
对于平衡点Ｅ（Ｏ，０），（２）式可化简为：
（＋、／ｄ）＋芒）［Ｘ２＋（８＋ｐ＋ｃ）
中图分类号：０４１４．１
文献标识码 — ５３４８（２Ｏ１５）１Ｏ一０００１－０４
数学模型为引起人类免疫力缺乏的ＨＩＶ一１型病毒和引起肝炎的ＨＣＶ病毒的研究提供了重要信息．然而几乎所有的数学模型感染率都是线性的，而线性只是反映了Ｔ细胞与病毒分子之间的简单作用．本文研究具有非线性传染率的数学模型．
１模型
本文研究的模型为：
７１＿ｓ — ｄＴ－ａＴ（１一Ｔ／Ｔ）－３／￣ —
嘶
Ｖ＝ｐＩ－ｃＶ．
（１）
其中，Ｔ是靶细胞数量，Ｊ是感染细胞数量，是病毒取载量，ｓ是新的Ｔ细胞的严生翠，ｄ是Ｔ细胞的死亡

基于非线性动力学模型的疾病传播机制分析及预测

基于非线性动力学模型的疾病传播机制分析及预测疾病传播是一个复杂且持续存在的问题，为了更好地理解和预测疾病传播机制，研究者们提出了各种模型。

其中，基于非线性动力学模型的疾病传播机制分析及预测方法能够更准确地描述和预测疾病的传播过程。

非线性动力学模型是一种用来描述非线性系统行为的数学模型。

在疾病传播中，人群的行为和相互作用通常是非线性的，因此非线性动力学模型在研究疾病传播机制时具有较高的适应性。

疾病传播的基本单位是个体，非线性动力学模型中通常将人群分为多个互相作用的个体单元，并建立它们之间的关系模型。

最常用的非线性动力学模型之一是SIR模型，它将人群分为易感者(Susceptible)、感染者(Infected)和康复者(Recovered)三个状态，并通过一组微分方程描述它们之间的转移过程。

SIR模型包括了两个主要的参数：传染率(beta)和康复率(gamma)。

传染率表示单位时间内一个感染者能够传染给多少易感者，康复率表示单位时间内一个感染者能够康复的概率。

通过调整这两个参数，我们可以模拟和预测不同疾病在不同人群中的传播情况。

然而，传统的SIR模型假设传染率和康复率是恒定不变的，这在实际情况中并不准确。

很多疾病的传播过程会受到多种因素的影响，比如人群密度、行为习惯等。

因此，基于非线性动力学模型的疾病传播机制分析及预测方法还需要考虑这些因素，并将它们加入模型中。

为了更准确地描述疾病传播过程，研究者们提出了一系列的改进模型。

比如，可以引入时间延迟因素，考虑感染者的潜伏期，即感染者在被感染后到出现症状之间的时间。

这种延迟可以更真实地模拟很多疾病的传播过程，比如新冠病毒。

另外，还可以考虑人群的异质性因素。

在传统的SIR模型中，人群是均匀的，每个个体之间的行为和相互作用是相同的。

但实际情况中，人群往往具有不同的特点，比如年龄、性别、地理位置等。

将这些因素考虑进来，可以更准确地模拟和预测不同人群之间的疾病传播情况。

具非线性接触率传染病模型的分析与研究

具非线性接触率传染病模型的分析与研究传染病的存在历来就是一种非常普遍的现象,利用动力学的方法建立传染病的数学模型,并通过数学模型对传染病进行定性与定量的分析和研究已取得了一些成果,主要集中在判定、预测疾病的发展趋势上。

与以往的具有非线性接触率的传染病模型相比,本文引入了种群动力学因素,因此这类模型更精确的描述传染病传播的规律。

本文讨论了模型的正不变集,运用微分方程稳定性理论分析了模型平衡点的存在性及稳定性,得出了无病平衡点和地方病平衡点全局稳定的充分条件。

通过隔离染病者和对易感者进行预防接种的方式对所研究的模型施加控制,达到控制传染病的目的。

主要内容如下：第一章介绍了本文所研究问题的产生背景、发展现状、所做的工作及预备知识。

第二章研究了具有常数输入和非线性传染率的SIRS传染病模型。

在免疫丧失的情况下,分别对模型施加常数控制、线性状态反馈控制,得到了当控制参数满足一定的条件时,地方病可以被消除的结论,并得到了平衡点全局渐近稳定的条件,仿真验证了结果的正确性。

第三章研究了具有密度制约和非线性接触率的SIRS传染病模型的解的性态,分析了平衡点的存在性及正平衡点的局部稳定性问题,仿真验证了定理的正确性。

第四章研究了具有非线性接触率和易感者中具有Smth增长的SIRS传染病模型,分析了该模型的正不变集和平衡位置的存在性以及各类平衡位置的稳定性问题。

第五章研究了具有非线性接触率的SIS传染病模型和SIQS传染病模型,分别得到了两个模型的基本再生数,讨论了当基本再生数满足一定条件时两模型平衡点的稳定性问题,并对结果进行了仿真。

第六章讨论了具有连续预防接种和脉冲预防接种的双线性发生率SIRS传染病模型,分别给出了SIRS传染病模型基本再生数。

利用Lyapunov函数方法和LaSalle不变原理证明了连续预防接种下无病平衡点和正平衡点的全局稳定性；利用脉冲微分方程的Floquet乘子理论,比较定理和非线性分析的方法,系统研究了脉冲预防接种下该模型的动力学性质。

具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析

Ｐ：。
ｒ￡一］ＪＩ［：０一／
因此
）的特征方程为
十口十ａ￣＋ａ＝０１２３
其中
ｑ＝＋０ａ＝ｔｎ＋ｄ— ￡ａ＝ｎｌ）ｍ＋ｄ＞，２ｍｌｄｍｐ，（ｉ＋３一
口一３（一￡（ｎｅ２ｎ＋＋＋）＞２口＝卢）＋）＋ｒｄｍｄｎａ（＋０
利用动力学方法建立传染病模型是应用数学的一个重要分支，为流行病传播数学模型的研究做出了很大贡献．近年来对传染病的预防和控制做了重要的作用．在传染病模型中出现了些新的
传染率，使得传染病模型具有更符合现实的动力学形态，客观地解释了一部分疾病的传染规律．文献［］１提出了一般的传染率ｇＩＳ＝ｋＰ（＋ａ（）ＩＳ／１Ｉ），被很多人应用，可见文献［— ］２５，最近文献
亡率，根据生物学意义；，，，，，均为Ａｐｄ８正常数．统（）行域为，３正交集，亲１的可是Ｒ的记
ＮＳＥＩ＝＋＋，把系统（）１的三个方程相加得到、
＿ Ⅳ 『：一 Ⅳ一 ≤ 一 Ⅳ
因此ｌｉｍＮ（Ａ于是系统（）ｔ）１的可行域为
可得Ｓ，Ｅ同时可计算。．
ｏ＜．＋Ｅ＋Ｌ：一
ｌｆＩ
＜，
所以点（。。．．，，）ｓＥ，在集合的内部．
４平衡点的稳定性分析
为讨的便记＝＋＋Ⅳ南了论方，＝＋
证
定理４１当Ｒ５１，无病平衡点Ｐ（００在上是局部渐近稳定的．．。时ｏＡ，，）Ｒ冬１，即＜ｒ时，系统（）０时ａｔ１在无病平衡点Ｐ（Ｏ０的Ｊｃｂ矩阵为ｏＡ，，）ａｏｉ

具预防接种和非线性传染率的传染病模型研究

具预防接种和非线性传染率的传染病模型研究据卫生部统计,近几十年来,在全世界范围内,至少出现了 30多种新型的传染性疾病,如埃博拉病毒、西尼罗河病毒、HIV、禽流感、SARS等,每年有近2000万人死于各种传染性疾病,几乎每年都会新出现一种传染病病毒,所以预防和控制传染病仍是人类亟待解决的问题.目前,运用动力学知识建立传染病的相关数学模型,并对模型从动力学性态和数值模拟这两方面进行动力学的分析与研究,以此来揭示传染病的流行规律(为突发性未知传染病的前期预防做好理论依据),在这方面研究的丰硕成果已大量存在.本文主要研究具有非线性传染率,并且进行脉冲接种和隔离措施的传染病模型分析其动力学行为,为传染病的研究作了进一步补充.本文主要由以下几个部分构成:首先,通过建立一类具有连续预防接种和非线性传染率,且潜伏期、染病期和恢复期内的染病者均具有传染力的SEIR 传染病模型.运用微分方程理论对模型进行了定性分析,通过构造Liapunov函数以及Jacobian矩阵,得到平衡点局部渐近稳定的相应条件,同时,根据半动力系统的概念和一致持续性的定理,给出了模型持续性的证明.其次,考虑了一类具有脉冲预防接种和非线性传染率的SEIR传染病模型,利用Floque乘子理论和脉冲微分系统比较定理,给出了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性的条件,证明了模型的持久性,最后就基本再生数对连续接种和脉冲预防接种进行比较.最后在具有脉冲预防接种和非线性传染率的SEIR传染病模型的基础上引入隔离项,建立了具有脉冲预防接种和非线性传染率的SEIQR传染病模型.对该模型主要研究了无病周期解的存在性、全局渐近稳定性的充分条件和系统的一致持续性.同时对隔离率、脉冲接种率就基本再生数进行结论性分析.。

一类具有非线性传染率的SEIRV传染病模型分析

收稿日期：２０１２ — ０８ — ３１
用于分析各种各样的传染病问题．近年来，由于传染病模型中出现了一些形式更为一般的传染率，这就使得传染病模型有更复杂的动力学性态．文［１，
２］分别引入形如ｐＳ和ｌ＿的非线性传染率，
文［３］讨论具有传染率的ＳＥＩＳ模型，得到疾
６］分别讨论形如和与：的的传染率的Ｓ的ＥＩＱＲ
模型．本文在文［４～６］的模型基础上，引入形如
的非线性传染率，同时考虑接种疫苗仓室，建立一类具有非线性传染率的ＳＥＩＲＶ的传染病模型，运用微分动力系统中诸多方法，得到其动力学性态的完整分析．
方病平衡点全局渐近稳定．
关键词：Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数；Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ判据；全局稳定性
中图分类号：Ｏ１７５．１２文献标识码：Ａ
ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＳＥＩＲＶｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｐｉｄｅｍｉｃｒａｔｅ
ＬＶＬｏｎｇ．ＹＡ０Ｘｉａｏ－ｊｕａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｉｎｒｇ，ＬａｍｈｏｕＵｎｉｖ．ｏｆＴｅｃｈ．，Ｌａｍｈｏｕ７３００５０，ＣｈｊＴｌａ）
ｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＢｅｎｄｉｘｓｏｎｅｒｉｔｅｒｉｏｍＴｈｅｄｉｓｅａｓｅ－ｆｒｅｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｗｏｕｌｄｂｅｇｌｏｂａｌｌｙａｓｙｍｐｔｏｔｉｅａｌｉｆ

具有非线性传染率的病毒动力学模型的稳定性分析

具有非线性传染率的病毒动力学模型的稳定性分析王佳颖;窦霁虹;童姗姗【期刊名称】《陕西科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(29)5【摘要】运用Lyapunov第二方法,通过构造Lyapunov函数讨论了具有非线性传染率βxυ/ 1+υ及免疫反应的病毒动力学模型的全局渐近稳定性,并且得到了无病平衡点、无免疫平衡点以及正平衡点存在的阈值条件和全局稳定性.%Explicit Lyapunov functions for our dynamics model with immune response with nonlinear incidence of the form βxv/1+v are introduced in this paper, and global asymptoticallystable of the mode are there by established. We are obtained that the threshold of immune-free equilibrium and endemic equilibrium.【总页数】5页(P136-139,144)【作者】王佳颖;窦霁虹;童姗姗【作者单位】西北大学数学系,陕西西安 710127;西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类具有B-D非线性传染率的传染病模型的全局稳定性分析 [J], 马方强;冯孝周;马晓丽2.一类具有垂直传染的非线性发生率的SIS传染病模型的稳定性分析 [J], 郭金生;张生成3.具有连续预防接种和非线性传染率的SEIR传染病模型的稳定性分析 [J], 王寿斌;雒志学;王丽敏4.一类具有非线性传染率的SIRS传染病模型的稳定性分析 [J], 雷学红;许云霞5.一类具有非线性传染率的SEIS传染病模型的稳定性分析 [J], 邢伟;颜七笙;杨志辉;高晋芳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。