因式分解-完全平方式
因式分解—完全平方公式
因式分解—完全平方公式因式分解是将一个代数式分解为若干个乘积的形式，其中每个乘数都是不可再分解的因子。
因式分解在数学中有着广泛的应用，在解方程、化简表达式、证明定理等方面都是必不可少的工具。
"完全平方公式"是因式分解中一个重要的概念，它可以用来将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式。
下面我将详细介绍因式分解的基本概念和完全平方公式的应用。
首先，我们来看一元二次三项式的一般形式：$ax^2+bx+c$。
其中，$a, b, c$都是常数，并且$a \neq 0$。
我们的目标是将这个三项式分解成两个完全平方的乘积形式。
要想将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式，我们需要根据一元二次三项式的常数项$c$来判断因式分解的形式。
如果$c$为正数，我们可以将三项式分解为两个完全平方的乘积形式。
否则，当$c$为负数时，我们需要进行配方操作，然后再进一步分解。
首先，我们来看$c$为正数的情况。
在这种情况下，我们可以根据常数项$c$来构造两个因式，使得它们的平方和等于$c$，然后将这两个因式乘到$x$上。
例如，当$c=4$时，我们可以构造两个因式$x+2$和$x-2$，使得$(x+2)(x-2)=x^2-4$。
这样，我们就将$x^2-4$分解为两个完全平方的乘积$(x+2)(x-2)$。
更一般地，当$c$为正数时，我们可以根据常数项$c$的平方根$\sqrt{c}$来构造分解因式。
具体地，我们可以将分解因式设为$(x+\sqrt{c})$和$(x-\sqrt{c})$，然后将它们相乘。
这样，我们就可以将$x^2-c$分解为两个完全平方的乘积$(x+\sqrt{c})(x-\sqrt{c})$。
接下来，我们来看$c$为负数的情况。
在这种情况下，我们首先需要将一元二次三项式进行配方操作。
具体地，我们可以通过将常数项$b$的一半加到$x$的系数上，然后将其整体平方来得到完全平方的形式。
例如，对于三项式$x^2-6x+9$，我们可以将常数项$9$的一半$4.5$加到$x$的系数$-6$上得到$-6+4.5=-1.5$，然后将$-1.5$的平方得到$2.25$。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
因式分解--完全平方公式 - 基础版
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2) –x2+4xy–4y2.
12
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2x)2，9=32，24x=2·4x·3,
（来自《教材》）
14
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
2.下列各式中,可以利用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.2x2+4x+1 B.4x2-12xy+9y2 C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy 3.(易错题)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是( ) A.4 B.-4 C.±8 D.±4 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.-a2-4ab+4b2 B .a2+6ab-9b2 C.a2+2ab+4b2 D.4(a-b)2+4(a-b)+1
所以16x2+24x+9是一个完全平方式。
解：16x2+24x+9= (4x)2+ 2 ·4x ·3 + 32
a2 + 2 ·a ·b + b2
=(4x+3)2.
（来自《教材》）
13
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
1.分解因式：① x2+12x+36 ③ a2+2a+1
② -2xy-x2-y2 ④ 4x2-4x+1
典例讲评
因式分解-完全平方公式
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题1：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
巩固练习：把下列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2、有两个“项”的平方，且这 两项的符号相同。 3、有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
请同学们根据完全平 方式的特点再写出几
个完全平方式
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
(4)、a2-2ab+b2
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
2 a2 6a 9
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
例2 因式分解 -x2-4xy-4y2 解：-x2-4xy-4y2 =-( x2+4xy+4y2) =-[x2+2·x·2y+(2y)2] =-(x+2y)2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
因式分解-完全平方公式
因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地 理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
完全平方公式的实例
例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。
例子2
另一个例子是二次方程：$$4x^2 - 12x + 9$$，使用完全平方公式进行因式分解，得到：$$(2x - 3)^2$$。
练习题目和答案
二次方程 $$x^2 + 10x + 25$$ $$9x^2 - 12x + 4$$ $$4x^2 + 12x + 9$$
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例， 让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方 项的乘积，并且是唯一的。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
公式法因式分解
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
1. 因式分解 (1)9-a2-4ab-4b2 (2) 1+a2b2-a2-b2 (3) x2-4xy+4y2-5x+10y
（3）-3a+6a2-3a3 （4）4(a-b)3-9(a-b)
2.计算 （1）13×9.98+5.6×99.8+310×0.998
（2）9992-9982 （3）172+26×17+132
2.计算：542 462 2 54 46
3.已知 x y 2, xy ，2 求
x2 y2 6xy 的值。
(2)25m2 80m 64
(3)a2 1 a
(4) 24xy x2 y2
(5)(a b)2 18(a b) 81
[例3]分解因式： (1)(x+4)2+2x(x+4)+x2
(2)a4-2a2b2+b4
(3)（x2+3x）2-（x-1）2 （4）-2an+1+2an- 1 an-1
2
练习. 2.分解因式：
(1)x2 y 4 y
(2) 3x3 12x2 y 12xy2 (3)3ax2 6axy 3ay2 (4)a4 8a2 16
(5)x3 4x2 4x
3、计算：8002-1600×798+7982
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能发现 因式分解的一般步骤吗？
14.3 因式分解--完全平方公式
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来 分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a
332公式法因式分解---完全平方式
2
2 2 首 2首尾 尾
“首” 平方, “尾” 平方, “首尾”两倍放 中间.
练一练：请补上一项，使下列多项式 成为完全平方式
①
x 6x 9
2
2
2 9b ） ② 4a 12ab （
③ ④
a 12ab （36b2）
2
m 4n
2 2
（ 4mn ）
1、下列各式是不是完全平方式?
25 4
1 2 ( 4 ) m - 3mn + 9n 2 ( 5 )( x + 1)( x + 2)+ 1 4 4
你是怎么运用完全平方公式来因式分解的？
1、先找出多项式中能够写成平方形式的两项， 并写成两数或两式的平方和的形式；然后检 验另一项是否可以写成两数或两式积的2倍 的形式。 2、找出公式中的a,b在具体问题中分别代表什 么数或式子； 3、将公式右边( a + b)2或(a - b) 2中的a,b用 具体问题中对应的数或式子代进去，从而将 多项式因式分解。
中考 试题
把下列多项式因式分解
3 2 2 x 2 x y + xy （1）因式分解 =
.
x( x - y)
2 2 x -8 = (2)分解因式：
2
.
1 2 3 2 a + a b ab = (3)分解因式： 4
2(x+2)(x-2)
.
1 -a a - b 2
2
因式分解中首先应 该考虑提取公因式 法.
把完全平方公式从右到左地使用， 就得出 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2× x × 2 +(2)2
因式分解—完全平方公式
因式分解—完全平方公式因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。
因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问题中起着重要的作用。
其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。
在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。
完全平方公式指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。
具体地说，如果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。
而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。
运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下：1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。
2.提取二次项和线性项的系数。
3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。
4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。
下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。
例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²+2ax+a²。
然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来，我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。
因此，多项式x²+6x+9可以分解为(x+3)²。
例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。
解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²-2ax+a²。
我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们带入完全平方公式中，得到(x-5)²。
因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。
通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。
因式分解-完全平方公式
9、把 ( a + b ) + 4 ( a + b ) + 4 分解因式得 C （ ） 2 2 A、 ( a + b + 1) B、 a + b − 1) ( 2 2 C 、( a + b + 2 ) D、 a + b − 2 ) (
2
10、 10、计算 100 − 2 ×100 × 99 + 99 A 结果是（ 结果是（ ） B、 A、 1 B 、- 1 D、 C、 2 D 、- 2
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 叫做完全平方式 两个“ 两个“项”的平方和加 或减去）这两“ 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
(1)x + 2xy + y 是 2 2 是 (2)A − 2AB + B 2 2是 (3)甲 + 2×甲×乙+乙 2 2 是 (4)∆ − 2×∆×Θ+ Θ
1 2 ab ( 4 ) a + _______ + b 4 4 2 2 4 y ( 5 ) x + 2 x y + ______
2
a +2ab+b = ( a +b ) 2 2 a −2ab+b = ( a −b )
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把 完全平方式” “完全平方式”分解因式 我们称之为： 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式 下列各式中， 分解的是（ 分解的是（ D ） +2xyA、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
因式分解完全平方公式课件
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
因式分解(完全平方公式)
因式分解——完全平方式翠英中学蔡妙璇教学目标：1．知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．教学重、难点与关键：1．教学重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．教学难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．教学关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法：采用自主探究教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程：一、回顾交流，巩固知识．（设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生进一步了解因式分解和乘法公式的关系．）1、什么是分解因式（把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的式子变形）2、你能回答已学过的因式分解法吗（提公因式法和平方差公式法）3、计算下列各式：2a+=)(b2)a-=(b2x+=(y4)2x-=2(y3)二、创设情境，引入新课．（设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中认识因式分解的本质属性——将完全平方式化为乘积的式子变形．）问题：灰太狼总没抓到羊，为了表示惩罚，红太狼要求它站在门外口算出992 +198+ 1的值才可进家门，可怜的灰太狼在门口冻了半天，你能帮助它吗此处运用了什么公式 2222)(b ab a b a +±=±这个公式反过来222)(2b a b ab a ±=+±就像平方差公式一样，逆用完全平方公式可以把一些多项式因式分解，从而应用它可以进行一些简便计算等．三、分析讨论，探究新知．（设计意图：通过教学，引导学生掌握找完全平方式的方法，提出“口诀”．） 我们可以利用完全平方公式来分解因式，这种方法称为“完全平方公式法”．1．公式 222)(2b a b ab a ±=+±2．文字 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫做完全平方式．3.特点：（教师引导学生说出它的特点）（1）必须是三项式（或可以看成三项式的）（2）有两个是同号的平方项（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.4.师生辨认：下列多项式是不是完全平方式（1）962++x x ；（2）2244y x x ++；（3）229124y xy x +-随堂练习1：找出完全平方式（1）222y xy x +-；（2）ab b a 222++；（3）2244y xy x ++；（4）226b ab a +-；（5） ；（6）222y x xy --. 四、范例点击，应用所学（设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的例题与练习，提高学生对因式分解的完全平方公式法的认识，积累经验．）例1 分解因式：92416)1(2++xy x ；2244)2(y xy x -+-．思路：（1）直接用公式；（2）添括号后直接用公式.强调：因式分解过程就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.随堂练习2:分解因式：12)1(2++a a ；3612)2(2++x x ；144)3(2+-x x ；222)4(y x xy ---．例2 分解因式：22363)1(ay axy ax ++ ；36)(12))(2(2++-+b a b a（1）步骤：一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）；（2）教学思想方法：整体代入思想.随堂练习3:分解因式：242)1(2++x x ；3222)2(a x a ax ++；412++x x22363)3(y xy x -+-；9)(6))(4(2++++y x y x五、课堂延伸，拓展提高（设计意图：进一步让学生巩固运用完全平方公式进行因式分解，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的教学价值．）随堂练习4：选择题（1）如果224y kxy x ++可以分解为2)2(y x -，则k 的值是（ ）A 、4B 、－4C 、2D 、－2（2）如果92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、6B 、6±C 、3D 、3±（3）多项式25)(10)(2++-+b a b a 分解因式的结果是（ ）A 、2)10(++b aB 、2)25(-+b aC 、2)5(++b aD 、2)5(-+b a随堂练习5：现在你能快速口答出119989992++的值吗六、课堂总结，发展潜能．（设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容．）1、到目前为止我们学习了几种因式分解的方法（1）提公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）.2、什么是完全平方式（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；（2）有两个同号的平方项；（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍.简记口诀：“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.3、因式分解基本步骤一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）.七、布置作业，专题突破．（设计意图：考查学生运用完全平方公式进行因式分解的应用情况.）暗线本作业：课本P119习题14．3复习巩固第3题．《南方新课堂》P77-78八、教学反思，不断提高．（略）。
因式分解-完全平方式
2
简化表达式
完全平方差公式可以帮助我们简化一些复杂的数学表达式，使其更易于计算。
3
证明等式Βιβλιοθήκη 在数学证明中，我们常常需要使用完全平方差公式来推导出等式的正确形式。
练习题
练习1 练习2
将以下多项式进行因式分解： $x^ 2 + 6x + 9$
计算以下表达式的值： $(3+ 2)^ 2 - (3-2)^ 2$
完全平方公式的应用
解二次方程
通过将二次方程转化为完全平 方的形式，我们可以更轻松地 找到它的根。
几何形状
对于一些常见的几何形状，我 们可以利用完全平方公式来计 算其面积和边长。
物理实验
在一些物理实验中，我们可以 使用完全平方公式来推导出一 些重要的关系。
完全平方差公式的应用
1
因式分解
通过应用完全平方差公式，我们可以将复杂的多项式因式分解为简单的乘积。
因式分解-完全平方式
因式分解是解开一个多项式的秘密的一种方法。了解完全平方数的定义和公 式，以及应用完全平方公式和完全平方差公式进行因式分解。
完全平方数的定义
完全平方数是一个整数的平方，例如4、9、16。它们可以用来方便地进行因式分解，并且在数学中经 常出现。
完全平方公式
完全平方公式
$(a+ b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2$
推导公式
我们可以通过展开$(a+ b)^ 2$来得到完全平方 公式，它在因式分解中起到重要的作用。
完全平方差公式
1
完全平方差公式
$a^ 2 - b^ 2 = (a+ b)(a-b)$
2
使用方法
通过将一个多项式表示为两个平方差的乘积，我们可以更容易地进行因式分解和 简化。
8.4因式分解——完全平方公式 教案
8.4运用公式法――完全平方公式教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x4=(5x)2，1=1 ，10x2=2·5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2.(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.例1 把25x4+10x2+1分解因式.分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.例2 把1－12m+116m2分解因式.问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“116m2”是m4的平方，第二项“－12m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.解法1 1－12m+116m2=1－2·1·m4+（m4）2=（1－m4）2.解法2 先提出，则1－12m+116m2=116(16－8m+m2)=116(42－2·4·m+m2)=116(4－m)2.三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x2－10x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2；(3)1－（）+m2/9=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.3.把下列各式分解因式：(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.答案：1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.答案：1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.课堂教学设计说明1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.。
3.3因式分解---完全平方公式
2 2 a b a 2ab b
回忆完全平方公式
2
2
2 2
现在我们把这个公式反过来
a 2 ab b a b
2 2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2
2
思考:用完全平方公式分解因式：
a2 + 2 · a · b + b2 = （a + b）2
1、多项式是三项式；
2、有两项符号相同，且能写成 两数或两式平方和的形式； 3、另一项是这两数或两式积的 2倍。
怎么运用完全平方公式来因式分解的？
1、先找出多项式中能够写成平方形式的两项，并写成两数或 两式的平方和的形式；然后检验另一项是否可以写成两数 或两式积的2倍的形式。 2、找出公式中的a,b在具体问题中分别代表什么数或式子； 3、将公式右边( a + b)2或(a - b) 2中的a,b用具体问题中对 应的数或式子代进去，从而将多项式因式分解。
2 2
则m的值是
2
12
2 2
分析; 4 x 2 x .9 y 3 y ,
2 2
由于多项式4x +mxy+9y 是完全平方式
则mxy必须是2x与3y的积的2倍或是积的2倍的相反数。即
2
mxy=2 2 x 3 y或mxy=-2 2x 3 y
所以m 12或m 12
课堂小结
1、通过这堂课的学习，你有什么收获？ 2、因式分解的步骤: 提公因式 ⑴ 若多项式中含有公因式,第一步______________; ⑵ 再进一步运用 ______________. 公式法
作业本 教材第67页“习题3.3”A组第2题 全效学习（选做） 第54页例2，例3, 第55页第13题。
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式因式分解是数学中一种常用的运算方法，它将一个多项式表达式转化为它的因数之积的形式。
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式，它可以将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式及其运用。
完全平方公式是指将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积的公式。
它的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中a和b可以是任意实数。
我们可以通过完全平方公式来分解一个二次多项式，使得它的因式之积具有更简洁的形式。
完全平方公式的运用可以提高我们解决数学问题的效率，并且能够帮助我们更好地理解和掌握二次多项式的结构。
完全平方公式的运用可以分为两个方向：一是将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，二是通过完全平方公式来求解一个二次方程。
首先，我们来介绍如何将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
假设我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们要将其分解为两个完全平方的乘积。
首先，我们观察到x^2+6x+9的首项和尾项都是平方。
这提示我们可以将x^2+6x+9写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，我们可以知道a=x，b=3、将这些值代入完全平方公式中，我们可以得到：(x+3)^2=x^2+2(x)(3)+3^2=x^2+6x+9所以，x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。
这样，我们就成功地将这个二次多项式分解为两个完全平方的乘积了。
接下来，我们介绍如何通过完全平方公式来求解一个二次方程。
二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为实数，且a不等于0。
对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过完全平方公式来求解。
首先，我们需要将二次方程转化为完全平方的形式。
假设我们有一个二次方程x^2+6x+9=0，我们要求解它。
首先，我们观察到x^2+6x+9可以写成一个完全平方的形式，即(x+3)^2、根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=0那么，根据完全平方的定义，我们可以知道x+3=0，即x=-3所以，这个二次方程的解为x=-3通过这个例子，我们可以看出完全平方公式在求解二次方程时的作用。
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。
主要是利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。
它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。
二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。
它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。
它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。
完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。
示例：
令x²-4x+4=0。
步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。
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1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
2
例:分解因式：
(1)16x2＋24x＋9
练习：P119 1（1---4）
（2）－x2－4y2 + 4xy. 例:分解因式：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2 (2)
因式分解--------完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分解因式 即：
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
例如：
2 2 4a b)
回忆完全平方公式
ab a 2ab b ab a 2ab b
2
2 2
2
2
2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
(4) (a＋b)2－8(a＋b)＋16
(6) -3x2 + 6xy - 3y2
(5) ax2 + 2a2x + a3
1.（眉山·中考）把代数式 mx 2 6mx 9m 分解因式，
下列结果中正确的是（ D ）
A．
m( x 3)
m( x 4)
2
B．
m( x 3)( x 3)
C．
2
D．
m( x 3)
2
2.（常德·中考）分解因式：
x 6 x 9 ___________ x 3 . .
2
2
3.（杭州·中考）
因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____．
【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4） 2 2 = (3x) ( y 2) (3x y 2)(3x y 2).
2 2
现在我们把这个公式反过来
2
2
很显然，我们可以运用以上这个公式来 分解因式了，我们把它称为“完全平方 公式”
a 2ab b
2
2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个“项”的平 方 3、有这两“项”的2倍或-2 倍
2 2 首 2首尾 尾
判别下列各式是不是
4.（黄冈·中考）分解因式：2a2–4a+2.
【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a
+1）=2（a–1）2
小结：
完全平方式具有： 1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行 因式分解
请同学们再自己写出一个完全平方式, 然后分解因式
2 2 2 2
(2y)2
1 1 5 x x ( 2) 是 4 2 2 6 a 2 ab 4 b 否
2
2
(2b)2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
2 (a＋b) －12(a＋b)＋36 练习：P119 1（5---6）
练习1:下列多项式是不是完全平方公式？ (1)a2-4a＋4 (3) 4b2＋4b-1
(2) 1＋4a2
(4) a2＋ab+b2
练习2:分解因式
(1)x2 + 12x＋36 (3) a2＋2a＋1 (2) －2xy - x2－y2
完全平方式
1x 2 xy y 是 2 2 2A 2 AB B 是 2 2 是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 4 2 是
2 2
2 2 1 a b 2ab 2
下列各式能不能用完全平方公式分解因式. 是
2
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否