最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现
最小二乘多项式拟合
最小二乘多项式拟合最小二乘多项式拟合，是一种常用的数据拟合方法，在各个学科领域都有广泛的应用。
它通过寻找最佳拟合曲线来近似描述一组离散数据点的趋势和规律。
在工程、统计学、经济学等领域，这种方法被广泛用于数据分析、曲线预测和模型建立。
首先，我们来看一下最小二乘拟合的基本原理。
在数据拟合过程中，我们通常假设数据是由一个未知函数生成的，而我们的目标是找到一个多项式函数，使得该多项式函数与数据之间的拟合误差最小。
为了达到这个目标，最小二乘拟合采用了最小化残差平方和的策略。
残差即为观测值与拟合值之间的差值，通过求解残差平方和的最小值，我们可以得到最佳拟合曲线的参数。
在最小二乘多项式拟合中，我们通常假设待拟合的数据点（x，y）满足下述形式的多项式方程：y=a0+a1*x+a2*x^2+...+ an*x^n，其中a0,a1,a2,...,an为待求的参数。
我们可以通过求解该多项式方程的系数，得到最佳拟合曲线。
在实际应用中，为了选择最佳的多项式次数，我们需要考虑过拟合和欠拟合的问题。
过拟合指的是模型过于复杂，过度适应了训练数据，但对新数据的预测效果较差；欠拟合则代表模型过于简单，无法很好地拟合数据的真实规律。
为此，我们可以引入交叉验证等方法，来选择合适的多项式次数，以平衡模型的复杂度和拟合能力。
此外，最小二乘多项式拟合还可以应用于数据的预测和模型建立。
对于已知的数据点，我们可以通过最小二乘方法拟合得到多项式函数，进而预测未知数据点的值。
这在实际中有很多应用，比如股票市场预测、天气预测等。
同时，最小二乘拟合还可以作为其他模型的基础，用于构建更复杂的模型，如神经网络、支持向量机等。
最后，最小二乘多项式拟合方法还有一些应注意的问题。
由于数据的分布情况和噪声的存在，最小二乘拟合可能对异常值比较敏感，因此需要在拟合过程中进行数据清洗和异常值处理。
此外，最小二乘拟合假设了数据之间是无相关的，因此在某些情况下，如时间序列数据的拟合中，可能并不适用。
最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。
x 必须是单调的。
矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
最小二乘法多项式拟合实验报告.docx
连续系统仿真实验报告实验数据拟合建模姓名：专业：学号：时间：2013年5月1日实验单元二实验数据拟合建模一、实验目的1、 用C 语言实现最小二乘的多项式拟合和LU 分解法；2、 熟练掌握最小二乘拟合和LU 分解法的基本原理。
3、 体会用计算机编程解决计算问题的方法。
二、需求说明（一） 、需求阐述本次实验是要求根据己知的自变量和函数值，通过多项式拟合來分别计 算2、3、4阶拟合多项式，并根据拟合结果分別计算出待求点的函数值。
其中解 拟合系数方程组时采用LU 分解的方法计算拟合多项式的系数。
（二） 、实验公式m 次拟合函数公式为：（p （x ）=ao 七1対~・・・可点"计算系数4的方程组为:Sg a 0 +S] a 】 +...4-s ni a ni =t 0 < S]a ()+s?a]+...+s mF ]a m =t]k Sm a 0 +S mH a i +• •丹加^冃 其中 》= 士疋E ，i-0所以，在编程计算时，先计算出方程组①，再用LU 分解法计算求出耳的 值，即可得到拟合多项式。
LU 分解法的公式为：其中L 矩阵和U 矩阵的计算公式如下: 第一步，当k 二1,有：「1 0 0・・・01〔21 1 0-0^31 彳32 1 ••::::0 厶L ……1-i=0n-l最后求 u nn : U nn =a nn -^l m u m r=l三、设计说明（一） 、数据结构程序采用一维数组的形式来读取文件中给出的己知点处的值和要计算的未 知点处的H 变量值，最终的拟合计算结果也是采用一维数组的形式输出到文件中。
拟合多项式的系数a 和拟合系数方程组的参数t 都是采用一维数组來存储的，而 拟合系数方程组中的参数s 和L 、U 矩阵都是用二维数组來表示的。
由于要分别 计算2、3、4阶拟合结果，所以数组的规模取为5,矩阵的规模取为5*5.（二） 、算法设计及效率分析在进行LU 分解函数中，在计算L 矩阵和U 矩阵时，因为当k=2,3.-,n-l 时， 计算丈M 和土皿的循环条件不允许k=l 时进入,而正好k=l 时，计算1“和i 町不 x-1 r-1k-1 k ・l需要工1丿匕和工1以崎，因而对k=l 和k=2,3,-,n-l,就可以和在一起计算，这样就减少了 r=lr=l程序的长度。
最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
最小二乘法多项式拟合原理
最小二乘法多项式拟合原理最小二乘法多项式拟合原理最小二乘法是一种数学方法，用于寻找一个函数，使得该函数与已知数据点的残差平方和最小化。
尤其在数据分析和统计学中广泛应用，其中特别重要的应用是曲线拟合。
本文将介绍最小二乘法在多项式拟合中的原理。
多项式拟合多项式拟合是一种常见的曲线拟合方法，它将数据点逼近为一个固定次数的多项式。
假设有N个数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)，希望找到一个关于x的M次多项式函数y=a0+a1x+a2x^2+...+aMx^M，最小化拟合曲线与数据点之间的残差平方和，即S(a0,a1,…,aM)=∑i=1N(yi−P(x))2其中P(x)=a0+a1x+a2x^2+...+aMx^M。
最小二乘法最小二乘法是一种优化方法，通过最小化残差平方和，寻找最优的拟合函数参数。
在多项式拟合中，残差平方和的最小值可以通过相应的求导数为零来计算拟合函数参数。
设残差平方和S的导数为零得到的方程组为∑xi0,…,xiMaM=∑yi⋅xi0,…,xiM，其中M+1个未知量为a0,a1,…,aM，共有M+1个方程，可以使用线性代数解决。
拟合错误与选择问题使用较高次数的多项式进行拟合，可能会导致过度拟合，使得拟合函数更接近每个数据点，因此更难以预测它们之间的关系。
另一方面，使用过低次数的多项式无法反映出数据点之间的较细节的关系。
因此，在实践中，我们需要权衡多项式次数和误差，以找到一个最合适的拟合结果。
总结最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，在多项式拟合中广泛应用。
通过最小化残差平方和，可以找到最优的拟合函数参数，权衡多项式次数和误差，可以得出最合适的拟合结果。
最小二乘法与曲线拟合(共24张PPT)
j 1
n
aNj
xj
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT b )
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
〔*〕
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
或写为
其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n〔A的秩为n〕的矛盾方程组〔N>n〕，我 们寻求其最小二乘意义下的解。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表 达式y= (x)，要求近似表达式能够反映数据的根本趋势 而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函 数的近似表达式y= (x)称为拟合曲线。本章介绍用最小 二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
〔1〕判断方程组的秩是否满足rankA=n？
〔2〕写出正那么方程组；
〔3〕求解正那么方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现
最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2[]∑==-mi iiy x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘拟合多项式
最小二乘拟合多项式最小二乘拟合多项式导言在数学和统计学中，最小二乘法是一种常见的数学优化和统计估计技术。
它被广泛应用于曲线拟合、参数估计和回归分析等领域。
其中，最小二乘拟合多项式是最常见和基础的应用之一。
本文将深入探讨最小二乘拟合多项式的原理、应用以及其在实际问题中的意义。
一、最小二乘法简介1.1 原理最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定模型参数的方法。
在最小二乘法中，通过寻找最佳的参数估计使得模型预测值与观测值之间的差异最小化。
这样，我们可以得到一个最优的拟合曲线或函数，以便能够更好地描述观测到的数据。
1.2 应用最小二乘法在各个领域中都有广泛的应用。
在物理学中，最小二乘法常被用于拟合实验数据以确定物理定律的参数。
在工程学中，最小二乘法可用于估计信号的隐含参数，如音频信号处理中的频率分量估计。
在金融学、经济学和生物学等领域，最小二乘法也被用于回归分析、模式识别和图像处理等问题中。
二、最小二乘拟合多项式原理2.1 多项式拟合多项式拟合是最小二乘法的一种应用，用于构建一个多项式函数来拟合观测数据。
通过选择最适合的多项式次数，我们可以更好地逼近数据，并获得最优的拟合结果。
2.2 最小二乘拟合多项式最小二乘拟合多项式的目标是选择最佳的多项式来拟合给定的数据。
具体而言，它通过最小化残差平方和来确定最优的多项式系数，使得拟合曲线与观测数据之间的误差最小化。
这样，我们可以得到一个最优的拟合多项式，以便更好地描述数据的分布和趋势。
三、最小二乘拟合多项式的应用3.1 数据拟合最小二乘拟合多项式在数据拟合问题中有着广泛的应用。
通过拟合数据点，我们可以通过最小二乘法来估计数据的分布规律以及趋势。
这对于数据分析和预测具有重要意义，能够帮助我们更好地理解和利用数据。
3.2 预测与模型验证除了数据拟合，最小二乘拟合多项式还可以用于预测和模型验证。
通过构建拟合多项式，我们可以预测未来的数值或事件，并验证模型的准确性和可靠性。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合1. 建立模型：首先需要确定要拟合的模型形式，可以选择线性模型或多项式模型等适应数据的形式。
多项式拟合是其中一种常见的形式。
多项式模型是一种多项式方程，表示为：y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中y是因变量，x是自变量，a0, a1, ..., an是要估计的参数。
2.确定误差：通过计算观测值与模型预测值之间的差异，来度量拟合程度。
误差可以通过残差来表示，即实际观测值与预测值之间的差异。
对于多项式拟合，可以使用观测点的纵坐标与拟合曲线的纵坐标之间的距离来描述误差。
3. 构建目标函数：通过最小化误差的平方和来确定最佳拟合曲线。
这可以通过构建一个目标函数来实现，该函数是误差平方和的函数。
目标函数是一个关于参数a0, a1, ..., an的函数，通过选择合适的参数值，可以使得目标函数达到最小值。
4.最小化目标函数：通过计算目标函数对参数的偏导数，设置偏导数为零，得到关于参数的一系列线性方程。
通过求解这个线性方程组，可以得到最佳参数的估计值。
5.进行拟合：将得到的最佳参数估计值带入模型中，得到最佳拟合曲线。
这条曲线将是观测值与预测值之间的最佳拟合线。
多项式拟合是一种常见的最小二乘法应用。
它的基本原理是通过拟合多项式函数来逼近数据点。
多项式拟合可以通过设置多项式的阶数来调整拟合的灵活性。
较低阶数的多项式可能无法很好地拟合数据，而较高阶数的多项式则可能会产生过拟合问题。
多项式拟合具体的步骤包括：1.选择多项式阶数：首先需要选择合适的多项式阶数。
低阶的多项式通常比较简单，但可能无法很好地拟合数据。
高阶的多项式可以更好地适应数据，但可能会存在过拟合问题。
选择合适的多项式阶数需要在简单性和拟合度之间进行权衡。
2. 构建多项式模型：根据选择的多项式阶数，构建多项式模型。
多项式模型是一个多项式方程，表示为：y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n。
最小二乘拟合多项式
则法方程系数矩阵为： T 常数项为：
T a y
T
n y i i 1 n x y i i y i 1 n xm y i i i 1
其他类型的拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任何具体给出的 函数形式。特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通 过适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。
因此，我们需要一种新的逼近原函数的办法
解决方案：
1. 2. 不要求过所有数据点（可以消除误差影响）； 尽可能地刻画数据点的趋势，靠近这些数据点。
插值与拟合的关系： 问题：给定一组数据点，构造一个函数作为近似（或逼近）。 解决方案：
1. 若要求所求曲线通过给定的所有数据点，就是插值问题； 2. 若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映数据点的整体变化趋势， 这就是数据拟合，又称曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。
a0 sn a1sn 1 an s2 n un
称为正规方程组（或法方程组）。
可以证明：当 x0 , x1, 是最小值问题的解。
法方程组 可写成以 下形式:
m m xk k 1 m n xk k 1
xn , 互异时，该方程组有唯一解，并
k
x
k 1 m k 1
m
2 x k
令
x
k 1
m
n 1 k
n x y i k 1 a0 i 1 m n xy n 1 x a k 1 i 1 i i k 1 an n m 2n xin yi xk k 1 i 1
vc多项式最小二乘法曲面拟合
vc多项式最小二乘法曲面拟合多项式最小二乘法曲面拟合是一种数据拟合方法，用于找到一个多项式函数来最好地拟合一组给定的数据点，从而能够得到一个具有最小均方误差的曲面模型。
在本文中，我们将讨论多项式最小二乘法曲面拟合的原理和应用。
首先，让我们来了解一下多项式最小二乘法的原理。
在数学上，最小二乘法是一种数学优化技术，其目标是通过最小化误差的平方和来找到一组参数，使得一个给定的数学模型能够最好地拟合一组数据点。
而在多项式最小二乘法中，我们使用多项式函数来对数据点进行拟合，通过最小化误差的平方和来找到最佳的多项式系数。
一般来说，一个n次多项式可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n其中，a0, a1, a2, ..., an为多项式的系数，x为自变量，f(x)为因变量。
对于给定的一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们可以建立一个包含n+1个未知数的方程组，通过最小二乘法来求解这些未知数，从而得到最佳的多项式系数。
接下来，让我们来看一下多项式最小二乘法曲面拟合的应用。
在实际应用中，多项式最小二乘法曲面拟合常常用于对实验数据进行分析和拟合，从而得到一个能够描述数据特征的多项式模型。
例如，在科学研究中，实验数据通常会包含一些误差和噪音。
通过多项式最小二乘法曲面拟合，我们可以将这些数据点平滑地连接起来，得到一个最佳的曲面模型，从而能够更清晰地展现数据的变化趋势。
而在工程领域中，多项式最小二乘法曲面拟合也可用于对物理现象进行建模和预测，从而帮助工程师更好地了解和分析实际问题。
除此之外，多项式最小二乘法曲面拟合还具有广泛的应用场景。
例如在金融领域，我们可以通过多项式最小二乘法曲面拟合来对股票价格进行预测和分析；在医学领域，我们可以利用多项式最小二乘法曲面拟合来研究生物医学数据的变化规律。
总的来说，多项式最小二乘法曲面拟合是一种非常有效的数据拟合方法，它能够对一组给定的数据点进行最佳的拟合，从而得到一个能够描述数据特征的多项式模型。
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三 函数逼近一、实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。
2. 会求函数的插值三角多项式。
二、实验问题（1）由实验得到下列数据jx 0.00.10.20.30.50.81.0jy 1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合。
（2）求函数在区间上的插值三角多项式。
()2cos f x x x =[,]ππ-三、实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。
2. 求函数在区间上的16次插值三角多项式，并画出插值多项()2cos f x x x =[,]ππ-式的图形，与的图形比较。
()f x 3.对函数，在区间上的取若干点，将函数值作为数据进行适()2cos f x x x =[,]ππ-当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。
《数值分析》实验报告【实验课题】利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线【实验目标】（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解（2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】在函数的最佳平方逼近中,如果只在一组离散点集()[,]f x C a b ∈()f x 上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{,0,1,,}i x i m =⋅⋅⋅的曲线拟合，这里，要求一个函数{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅与所给数据拟合，若记误差*()y S x ={(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅,,设是上*()(0,1,,)ii i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅()01,,,Tm δδδδ=⋅⋅⋅01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅[,]C a b 的线性无关函数族，在中找一个函数，使误差平01{(),(),,()}n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅*()S x 方和|2222*2()0|||[()][()]min mmmii i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑这里0011|()()()()()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=++⋅⋅⋅+<这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘拟合多项式
最小二乘拟合多项式
最小二乘拟合多项式是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测值与拟合函数预测值之间的误差平方和来确定最佳拟合多项式的系数。
以下是最小二乘拟合多项式的一般步骤：
1. 确定拟合的多项式阶数：根据数据的特征和拟合的目标，确定拟合多项式的阶数。
拟合多项式的阶数决定了拟合的灵活性和复杂程度。
2. 设定多项式模型：最常用的多项式模型形式是线性多项式，其形式为y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中y 是目标变量，x 是自变量，ai 是多项式系数。
3. 建立误差函数：将实际观测值与拟合函数的预测值进行比较，计算误差的平方和作为优化的目标函数。
一般使用平方误差作为误差函数，也可以根据实际情况选择其他形式的误差函数。
4. 最小化误差函数：利用数值优化算法（如最小二乘法），对误差函数进行最小化求解，以找到最佳的拟合多项式系数。
这可以通过解线性方程组或应用迭代优化算法来实现。
5. 模型评估：评估拟合质量，可以考虑拟合优度、残差分析等指标来判断拟合效果的好坏。
需要注意的是，拟合多项式的阶数不是越高越好，过高的阶数可能导致过拟合问题，从而在新数据上的预测性能下降。
适当的选择合适的阶数是非常重要的。
在实际应用中，有许多数学库和软件工具可以帮助进行最小二乘拟合多项式，如Python中的NumPy、SciPy库等。
它们提供了方便的函数和工具以进行多项式拟合，并提供了结果可视化和评估的功能。
最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现
最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现一、引言最小二乘法多项式曲线拟合是一种常用的数据拟合方法，它可以通过一组离散的数据点来拟合出一个多项式函数，从而达到对数据进行预测和分析的目的。
本文将详细介绍最小二乘法多项式曲线拟合的原理与实现。
二、最小二乘法最小二乘法是一种数学优化方法，它可以通过最小化误差平方和来求解未知参数。
在多项式曲线拟合中，我们需要求解多项式函数中各个系数的值，使得该函数与给定数据点之间的误差平方和最小。
三、多项式曲线拟合多项式曲线拟合是指通过一组离散的数据点来拟合出一个多项式函数，该函数能够较好地描述这些数据点之间的关系。
在实际应用中，我们通常使用低阶的多项式函数来进行拟合，例如一次、二次或三次多项式函数。
四、最小二乘法多项式曲线拟合原理假设我们有n个离散的数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中xi表示自变量，yi表示因变量。
我们希望通过这些数据点来拟合出一个m次多项式函数y=f(x)，其中m为多项式的阶数。
我们可以将多项式函数表示为如下形式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+amxm其中a0,a1,...,am为待求解的系数。
我们需要通过最小二乘法来求解这些系数的值。
首先，我们需要定义误差平方和E(a0,a1,...,am)：E(a0,a1,...,am)=∑i=1n(yi−f(xi))^2然后，我们需要求解使得误差平方和最小的系数值。
为了方便计算，我们可以将误差平方和展开：E(a0,a1,...,am)=∑i=1n(yi−a0−a1xi−a2xi^2−...−amxm)^2接下来，我们需要对误差平方和进行求导，并令导数等于零，从而得到使得误差平方和最小的系数值。
具体来说，我们需要分别对每个系数进行求导：∂E/∂a0=−2∑i=1n(yi−a0−a1xi−a2xi^2−...−amxm)∂E/∂a1=−2∑i=1n(xi(yi−a0−a1xi−a2xi^2−...−amxm))...∂E/∂am=−2∑i=1n(xmi(yi−a0−a1xi−a2xi^2−...−amxm))然后，我们将每个导数等于零，得到一个线性方程组：∑j=0maijaj=∑i=1nyi×xi^j其中aij表示第j个系数的第i次幂。
最小二乘法多项式拟合
最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即∑==+++=nk k k x a x a x a a x f 02210)(为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差|)(|||i i i y x f -=δ都较小。
为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即min ])([)(2121=-=∑∑==iiNi iN i y x f δ称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即min ])([)(),,,(212110=-==∑∑==i i Ni i N i n y x f a a a S δ为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂Ni i N i i i i N i i i N i y x f y x f y x f a S11110)(0])([0])([2 ∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i i N i i i i i N i i i i N i i y x x f x y x f x y x f x a S11111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i k i N i i ki i i N i k i i i N i k i k y x x f x y x f x y x f kx a S 1111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i n i N i i ni i i N i n i i i N i n i n y x x f x y x f x y x f nx a S 1111)(0])([0])([2 将上面各等式写成方程组的形式可有∑∑∑∑∑∑=======++++⇒=Ni i N i n in N i iN i i Ni iN i iy x a x a x a N a yx f 1112211011)(∑∑∑∑∑∑==+=====++++⇒=Ni i i Ni n in Ni iNi ii Ni iiNi iiy x xa x a x a x a yx x f x 111132121011)(∑∑∑∑∑∑==+=+=+===++++⇒=Ni i k i Ni k n in Ni k iNi k ik iNi i k i Ni i k iy x xa xa xa x a y x x f x11122111011)(∑∑∑∑∑∑===+=+===++++⇒=Ni i n i Ni n in Ni n iNi n in iNi i n i Ni i n iy x xa xa xa x a y x x f x112122111011)(写成矩阵形式有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======+=+==+==+===+=====N i i n i Ni ik i N i i i N i i n k N i ni Ni k n iNi n iNi ni N i k n i N i ki N i k i N i kiN i n i Ni k iNi i N i i Ni niNi k iNi iy x y x y x y a a a a x xxx x x x x x xxx x x x N 111110121111112111111121111上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。
最小二乘法拟合多项式程序实现
最小二乘法拟合多项式程序实现下面是一个实现最小二乘法拟合多项式的程序：```pythonimport numpy as np#定义最小二乘法函数def least_squares(x, y, degree):# 创建Vandermonde矩阵A = np.vander(x, degree+1)#求解线性方程组coefficients = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0] return coefficients#生成一些随机数据x = np.linspace(0, 10, 100)y = 2*x**2 - 3*x + 1 + np.random.randn(100)#定义多项式的阶数degree = 2#调用最小二乘法函数进行拟合coefficients = least_squares(x, y, degree)#输出拟合多项式的系数print("拟合多项式的系数：", coefficients)#构建拟合多项式函数def polynomial_func(x, coefficients):poly = np.poly1d(coefficients[::-1])return poly(x)#计算拟合多项式预测值y_pred = polynomial_func(x, coefficients)#计算拟合误差平方和mse = np.mean((y - y_pred)**2)print("拟合误差平方和：", mse)#可视化拟合结果import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(x, y, label="数据点")plt.plot(x, y_pred, color='r', label="拟合多项式")plt.legendplt.show```以上代码使用`numpy`库实现了最小二乘法拟合多项式的功能。
曲线拟合的最小二乘法原理及实现
曲线拟合的最小二乘法原理及实现任务名称简介在数据处理和统计分析中，曲线拟合是一种常见的技术，旨在通过数学函数找到最佳拟合曲线，以尽可能准确地描述给定数据集的变化趋势。
在曲线拟合的过程中，最小二乘法是一种常用的数学方法，用于选择最佳拟合曲线。
本文将详细介绍最小二乘法的原理和实现方法。
最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
其基本原理是将数据集中的每个数据点与拟合曲线上对应点的差值进行平方，然后将所有差值的平方相加，得到误差平方和。
最小二乘法的目标是通过调整拟合曲线的参数，使得误差平方和达到最小值。
假设我们有一个包含n个数据点的数据集，每个数据点的横坐标为x，纵坐标为y。
我们希望找到一个拟合曲线，可以通过曲线上的点与数据点的差值来评估拟合效果。
拟合曲线的一般形式可以表示为：y = f(x, β)其中，β为拟合曲线的参数，f为拟合曲线的函数。
最小二乘法的基本思想是选择适当的参数β，使得误差平方和最小化。
误差平方和可以表示为：S(β) = Σ(y - f(x, β))^2其中，Σ表示求和操作，拟合曲线上的点的横坐标为x，纵坐标为f(x, β)。
为了找到误差平方和的最小值，我们需要对参数β进行求解。
最常用的方法是对参数β求导数，令导数为0，从而得到参数的估计值。
求解得到的参数估计值就是使得误差平方和最小化的参数。
最小二乘法实现步骤最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤：1.确定拟合曲线的函数形式。
根据数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合曲线函数，例如线性函数、多项式函数等。
2.建立误差函数。
根据选择的拟合曲线函数，建立误差函数，即每个数据点与拟合曲线上对应点的差值的平方。
3.求解参数估计值。
对误差函数求导数，并令导数为0，求解得到参数的估计值。
4.进行拟合曲线的评估。
通过计算误差平方和等指标来评估拟合曲线的质量，可以使用残差平方和、R方值等指标。
5.优化拟合结果（可选）。
根据评估的结果，如有必要可以调整拟合曲线的参数或选择其他拟合曲线函数，以得到更好的拟合效果。
最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。
x 必须是单调的。
矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三 函数逼近一、 实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。
2. 会求函数的插值三角多项式。
二、实验问题（2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。
三、 实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。
2. 求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。
3. 对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。
《数值分析》实验报告【实验课题】 利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线 【实验目标】（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈ ,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =⋅⋅⋅上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅的曲线拟合，这里(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,i i x y i m =⋅⋅⋅拟合，若记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅,()01,,,Tm δδδδ=⋅⋅⋅,设01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅中找一个函数*()S x ，使误差平方和|2222*2()0|||[()][()]min mmmii i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑这里0011|()()()()()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=++⋅⋅⋅+<这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
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令系数矩阵为C ， 变量列向量为X ， 常数项列 向量 为 B ， 则方程组(5)可简写为
CX=B
(6)
方程组(6)是 含 有 n 个 未 知 数 、 n 个方程的方 程组， 称 为 正 规 方 程 组 。该 方 程 组 是 否 有 唯 一 解 呢？ 根据正规方程组有唯一解的条件可知， 对方程 组 (6)来 说 ， 必须有| C |3 ° ， 才能保证有唯一解[1]。 下面来证明|C | 3 ° 。 现用反证法予以证明。假 设 IC |= ° ， 根据给定 的实测数据， 则齐次线性方程组
总 第 330期 2017年 第 4 期
Computer / Digital Engineering
计算机与数字工程
Vol.45 No.4
637
最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现$
张永涛贾延明
(商丘工学院商丘
476000)
从而描述几个变量之间的关系。论文介绍了求解最小二乘法中代数多项式曲线拟合的数学关系， 并 给 出 了 通 用 的 C 语言 程序被调用函数。
中图分类号 关 键 词 最小二乘法； 代数多项式；曲线拟合； 程序
摘
要
最小二乘法是广泛使用的数据分析方法 , 它通过一组实验数据， 按残差平方和最小准 则 ， 寻求一个解析函数 #
TP301
C DO# 10. 3969/j. issn 1672-9722. 2017. 04. 009
Analysis and Program Implementation of Least Squares Polynomial Curve Fitting
Abstract The method of leatt square is a widely used data analysis methods ? it is through a set of experimental data ，
1
引言
在工程技术和科学实验中， 由于影响因素的复
表 1
生成物的浓度与时间的关系
杂性及各种各样的原因， 量与量之间往往找不到完 全确定的函数关系（ ]。而最小二乘法是广泛使用 的数据分析方法， 它通过一组实验数据， 按残差平 方和最小准则， 寻找一 个 解 析 函 数 ， 以此来描述几 个变量之间的关系， 从而揭示大量实测数据之间的 客观规律。 例如， 某化 学 反 应 中 ， 生成物的浓度与时间的 关系， 如 表 1， 求 浓 度 y 与 t 之间的函数关系。 又如 ， 合成纤维抽丝工段， 第一导丝盘的速度 ^与 电 源频率工的关系， 对丝的质量影响很大。由 生产记录得到的数据为表2,试 求 速 度 r 与电源频 率 ^之 间 的 函 数 关 系 。
第一导丝盘速度 电源频率
49.2 50 49.3 49 49.5
V
16. 7 17 16. 8 16. 6 16. 8
+
49 49. 8 49. 9 50. 2 50. 2
16. 7 $6.9 $7 17. 1
V
" 收稿日期： 2016 年 1 0 月 2 1 日 修 回 日 期 ： 2016 年 1 1 月
m m mx1 十 % (x 2 $ --- $ % ( ~ 1x n = ° ，=1 ，=1 m m m % (x1 十 % fix 2 $----$ % ( xn = ° , i= 1 i= 1 i= 1
2 代数多项式曲线拟合数学原理
设 有 n —1 次多项式:
yn(^) = x $ $ x 2 ----Vxn tn ~ 1% % x# ； =i
ZHANG Yongtao JIA Yanming (Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu 476000) according to the rule of minimum residual sum of squares， seeking an analytic function， which describes the relationship of several variables. Were introduced in this paper to solve the least squares polynomial curve fitting mathematical relation ships ， and gives the general C programming language of the called function. Key Words least squares ，polynomial， curve fitting， C program Class Number TP301
— 1 ( n〈
m)
!1) 求拟合已知数据。 令
R ， = yn ((i ) — yl
m
m
m
=
1 2
பைடு நூலகம்
时 间 W分 ） 浓 度 yX 10 - 8
3 4 5 7
8 6
4 6.4
时 间 W分 ） 浓 度 yX10 - 8
9
8 8. 8
9. 22 9. 5 9. 7 9. 86
表 2
10 11 12
$0.2
10
13 14 15 16
$0.58 10 . 6
第一导丝盘速度
速度与电源频率的关系
+
电源频率
，
28日
作 者 简 介 : 张永涛， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。贾 延 明 ， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。
638
张永涛等:最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现
第 45卷
诸如此类的问题中， 量与量之间既存在相互依 赖关系， 但又不能由一个(或几个)变量的值， 通过 精确的解析表达式求出另一个变量的值5 % 人们 只能通过实验， 使用仪器获得大量的实测数据。通 过进一步的研究表明， 这些大量的偶然现象， 其内 部隐藏着客观规律[6]。 假设通过某种实验观测手段得到了 m 组数据 (,， ： >〇， — 1， 2,3， "， 饥， 现在的任务是如何寻求一 近似 函 数 / ( z )去 逼 近 y 。依 据 最 小 二 乘 法 原 理 ， 采用代数多项式曲线拟合的方法， 可以寻求到近似 函 数 /〇r )[ 1 °]。