最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现
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Abstract The method of leatt square is a widely used data analysis methods ? it is through a set of experimental data ，
1
引言
在工程技术和科学实验中， 由于影响因素的复
表 1
生成物的浓度与时间的关系
杂性及各种各样的原因， 量与量之间往往找不到完 全确定的函数关系（ ]。而最小二乘法是广泛使用 的数据分析方法， 它通过一组实验数据， 按残差平 方和最小准则， 寻找一 个 解 析 函 数 ， 以此来描述几 个变量之间的关系， 从而揭示大量实测数据之间的 客观规律。 例如， 某化 学 反 应 中 ， 生成物的浓度与时间的 关系， 如 表 1， 求 浓 度 y 与 t 之间的函数关系。 又如 ， 合成纤维抽丝工段， 第一导丝盘的速度 ^与 电 源频率工的关系， 对丝的质量影响很大。由 生产记录得到的数据为表2,试 求 速 度 r 与电源频 率 ^之 间 的 函 数 关 系 。
中图分类号 关 键 词 最小二乘法； 代数多项式；曲线拟合； 程序
摘
要
最小二乘法是广泛使用的数据分析方法 , 它通过一组实验数据， 按残差平方和最小准 则 ， 寻求一个解析函数 #
Βιβλιοθήκη BaiduTP301
C DO# 10. 3969/j. issn 1672-9722. 2017. 04. 009
Analysis and Program Implementation of Least Squares Polynomial Curve Fitting
— 1 ( n〈
m)
!1) 求拟合已知数据。 令
R ， = yn ((i ) — yl
m
m
m
=
，
28日
作 者 简 介 : 张永涛， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。贾 延 明 ， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。
638
张永涛等:最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现
第 45卷
诸如此类的问题中， 量与量之间既存在相互依 赖关系， 但又不能由一个(或几个)变量的值， 通过 精确的解析表达式求出另一个变量的值5 % 人们 只能通过实验， 使用仪器获得大量的实测数据。通 过进一步的研究表明， 这些大量的偶然现象， 其内 部隐藏着客观规律[6]。 假设通过某种实验观测手段得到了 m 组数据 (,， ： >〇， — 1， 2,3， "， 饥， 现在的任务是如何寻求一 近似 函 数 / ( z )去 逼 近 y 。依 据 最 小 二 乘 法 原 理 ， 采用代数多项式曲线拟合的方法， 可以寻求到近似 函 数 /〇r )[ 1 °]。
m m mx1 十 % (x 2 $ --- $ % ( ~ 1x n = ° ，=1 ，=1 m m m % (x1 十 % fix 2 $----$ % ( xn = ° , i= 1 i= 1 i= 1
2 代数多项式曲线拟合数学原理
设 有 n —1 次多项式:
yn(^) = x $ $ x 2 ----Vxn tn ~ 1% % x# ； =i
1 2
时 间 W分 ） 浓 度 yX 10 - 8
3 4 5 7
8 6
4 6.4
时 间 W分 ） 浓 度 yX10 - 8
9
8 8. 8
9. 22 9. 5 9. 7 9. 86
表 2
10 11 12
$0.2
10
13 14 15 16
$0.58 10 . 6
第一导丝盘速度
速度与电源频率的关系
+
电源频率
总 第 330期 2017年 第 4 期
Computer / Digital Engineering
计算机与数字工程
Vol.45 No.4
637
最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现$
张永涛贾延明
(商丘工学院商丘
476000)
从而描述几个变量之间的关系。论文介绍了求解最小二乘法中代数多项式曲线拟合的数学关系， 并 给 出 了 通 用 的 C 语言 程序被调用函数。
ZHANG Yongtao JIA Yanming (Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu 476000) according to the rule of minimum residual sum of squares， seeking an analytic function， which describes the relationship of several variables. Were introduced in this paper to solve the least squares polynomial curve fitting mathematical relation ships ， and gives the general C programming language of the called function. Key Words least squares ，polynomial， curve fitting， C program Class Number TP301
第一导丝盘速度 电源频率
49.2 50 49.3 49 49.5
V
16. 7 17 16. 8 16. 6 16. 8
+
49 49. 8 49. 9 50. 2 50. 2
16. 7 $6.9 $7 17. 1
V
" 收稿日期： 2016 年 1 0 月 2 1 日 修 回 日 期 ： 2016 年 1 1 月
令系数矩阵为C ， 变量列向量为X ， 常数项列 向量 为 B ， 则方程组(5)可简写为
CX=B
(6)
方程组(6)是 含 有 n 个 未 知 数 、 n 个方程的方 程组， 称 为 正 规 方 程 组 。该 方 程 组 是 否 有 唯 一 解 呢？ 根据正规方程组有唯一解的条件可知， 对方程 组 (6)来 说 ， 必须有| C |3 ° ， 才能保证有唯一解[1]。 下面来证明|C | 3 ° 。 现用反证法予以证明。假 设 IC |= ° ， 根据给定 的实测数据， 则齐次线性方程组
1
引言
在工程技术和科学实验中， 由于影响因素的复
表 1
生成物的浓度与时间的关系
杂性及各种各样的原因， 量与量之间往往找不到完 全确定的函数关系（ ]。而最小二乘法是广泛使用 的数据分析方法， 它通过一组实验数据， 按残差平 方和最小准则， 寻找一 个 解 析 函 数 ， 以此来描述几 个变量之间的关系， 从而揭示大量实测数据之间的 客观规律。 例如， 某化 学 反 应 中 ， 生成物的浓度与时间的 关系， 如 表 1， 求 浓 度 y 与 t 之间的函数关系。 又如 ， 合成纤维抽丝工段， 第一导丝盘的速度 ^与 电 源频率工的关系， 对丝的质量影响很大。由 生产记录得到的数据为表2,试 求 速 度 r 与电源频 率 ^之 间 的 函 数 关 系 。
中图分类号 关 键 词 最小二乘法； 代数多项式；曲线拟合； 程序
摘
要
最小二乘法是广泛使用的数据分析方法 , 它通过一组实验数据， 按残差平方和最小准 则 ， 寻求一个解析函数 #
Βιβλιοθήκη BaiduTP301
C DO# 10. 3969/j. issn 1672-9722. 2017. 04. 009
Analysis and Program Implementation of Least Squares Polynomial Curve Fitting
— 1 ( n〈
m)
!1) 求拟合已知数据。 令
R ， = yn ((i ) — yl
m
m
m
=
，
28日
作 者 简 介 : 张永涛， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。贾 延 明 ， 男， 硕士， 讲师， 研 究 方 向 :算法与分析。
638
张永涛等:最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现
第 45卷
诸如此类的问题中， 量与量之间既存在相互依 赖关系， 但又不能由一个(或几个)变量的值， 通过 精确的解析表达式求出另一个变量的值5 % 人们 只能通过实验， 使用仪器获得大量的实测数据。通 过进一步的研究表明， 这些大量的偶然现象， 其内 部隐藏着客观规律[6]。 假设通过某种实验观测手段得到了 m 组数据 (,， ： >〇， — 1， 2,3， "， 饥， 现在的任务是如何寻求一 近似 函 数 / ( z )去 逼 近 y 。依 据 最 小 二 乘 法 原 理 ， 采用代数多项式曲线拟合的方法， 可以寻求到近似 函 数 /〇r )[ 1 °]。
m m mx1 十 % (x 2 $ --- $ % ( ~ 1x n = ° ，=1 ，=1 m m m % (x1 十 % fix 2 $----$ % ( xn = ° , i= 1 i= 1 i= 1
2 代数多项式曲线拟合数学原理
设 有 n —1 次多项式:
yn(^) = x $ $ x 2 ----Vxn tn ~ 1% % x# ； =i
1 2
时 间 W分 ） 浓 度 yX 10 - 8
3 4 5 7
8 6
4 6.4
时 间 W分 ） 浓 度 yX10 - 8
9
8 8. 8
9. 22 9. 5 9. 7 9. 86
表 2
10 11 12
$0.2
10
13 14 15 16
$0.58 10 . 6
第一导丝盘速度
速度与电源频率的关系
+
电源频率
总 第 330期 2017年 第 4 期
Computer / Digital Engineering
计算机与数字工程
Vol.45 No.4
637
最小二乘法中代数多项式曲线拟合的分析及实现$
张永涛贾延明
(商丘工学院商丘
476000)
从而描述几个变量之间的关系。论文介绍了求解最小二乘法中代数多项式曲线拟合的数学关系， 并 给 出 了 通 用 的 C 语言 程序被调用函数。
ZHANG Yongtao JIA Yanming (Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu 476000) according to the rule of minimum residual sum of squares， seeking an analytic function， which describes the relationship of several variables. Were introduced in this paper to solve the least squares polynomial curve fitting mathematical relation ships ， and gives the general C programming language of the called function. Key Words least squares ，polynomial， curve fitting， C program Class Number TP301
第一导丝盘速度 电源频率
49.2 50 49.3 49 49.5
V
16. 7 17 16. 8 16. 6 16. 8
+
49 49. 8 49. 9 50. 2 50. 2
16. 7 $6.9 $7 17. 1
V
" 收稿日期： 2016 年 1 0 月 2 1 日 修 回 日 期 ： 2016 年 1 1 月
令系数矩阵为C ， 变量列向量为X ， 常数项列 向量 为 B ， 则方程组(5)可简写为
CX=B
(6)
方程组(6)是 含 有 n 个 未 知 数 、 n 个方程的方 程组， 称 为 正 规 方 程 组 。该 方 程 组 是 否 有 唯 一 解 呢？ 根据正规方程组有唯一解的条件可知， 对方程 组 (6)来 说 ， 必须有| C |3 ° ， 才能保证有唯一解[1]。 下面来证明|C | 3 ° 。 现用反证法予以证明。假 设 IC |= ° ， 根据给定 的实测数据， 则齐次线性方程组