牛顿插值法的应用_王春霖

或者虽 然全区间不等 距而子区间是 等距的 。 式
(1)适用于等距和不等距节点的计算 。 当节点等
距分布时 , 用差分代替差商从而可避免多次除法
方便于计算 。因而导出了牛顿前插公式和后插公
式 。 在实际运作时 , 究竟要采用那一个公式 , 视插
值点在插值区间的位置而定 。
设给定的节点是由小到大排序 , 即 x0 < x 1 < … < x n , 并有等距步长 h = x i -xi -1(i =1 , 2 , …n)。如果靠近 x 0 处插值(前插), 按照前述使 余项为最小的思想 , 则应挑选邻近 x 0 的节点 x1 , x 2 , … 作为插值点 。为方便计算 , 作变换 x = x 0 +
该转炉第 6 炉次的出钢前 , 由上述部位所测 得的 5 个温度读数 , 并取炉衬工作层表面 x =0 处 的温度为 1600 ℃(等于钢液温度)作为补充读数 可得 6 个数据 , 按前述稳定性的思路 , 拟分成二段 各建立其牛顿插值函数 :
x/ m
0 0 .01 5 0 .07 5 0 .07 5 0 .13 2 0 .17 2 0 .60
第 37 卷第 1999 年 5
3期 月
W I S C武O
钢技术
T ECH NOLOG
Y
VMoaly.3.7 N19o9.93
牛顿插值法的应用
王春霖
(职工大学)
摘 要 阐述了应用牛顿插值法求函数表所列 数据以 外的数 据 , 建 立插值 曲线方 程和逆 插值 ——— 求解 方程近似根等问题 , 文中所举 4 个实例都是冶金工程技术中的一些较为典型的问题 。 关键词 差分 差商 牛顿插值法
据此 , 一般而言 , 当实验数据较少或没有适宜 的函数曲线可以拟合(如本文例 3)时 , 采用插值 曲线比较妥当 。
例 2 为研究转炉炉衬在高温下被侵蚀的情 况 , 需查明转炉炉衬工作层在作业时的温度沿其 厚度的分布 。 在一 150t 转炉上约位于钢水面下 30mm 沿炉衬工作层 15 , 75 , 132 , 172 和 600m m 处埋设 5 支热电偶测温 。 对本问题而言 , 所关心 的是 :由测知高温范围而推断耐火材料软化带的 厚度 。由于工作层仅为 600mm 厚 , 以及测温条件 的恶劣 , 故没有必要也不可能埋设更多的热电偶 以获得较多点的温度 。 然而 , 既已获得 5 个试验 数据 , 除满足本问题需要外 , 不妨用它们开发另一 个功用 , 即由此建立表述炉衬工作层的温度分布 的插值曲线方程 , 进而推算转炉炉衬工作层的热 积蓄量(即焓值), 以用于转炉热平衡 。
N n(x)= f (x 0)+f [ x 0 , x 1] (x -x 0) +f [ x0 , x 1 , x 2] (x - x0)(x -x 1) +… + f [ x 0 , x 1 , …x n] ·(x -x 0)(x -x 1)…(x -xn -1) (1)
N n(x )与原函数 f (x)之间的关系是
———函 数 在 点
x0 、x1 和 x2 处的二阶差商 ;而 Δy1 和 Δy0 分别为
点 x0 和 x1 处的一阶差分 。 Rn(x)称为余项 。 造成余项的原因是用差商
代替了微商 。 通过余项的计算得 原函数 f(x)与
逼近函数 Nn(x)之间的误差 。 但是实际计算余项 颇为困难 , 尤其是只给出函数表的情况下 。然而 ,
1 前 言
工程技术 和科学研究中常 利用函数 图表计 算 。所利用的函数图表或是由实验整理出来的 , 或是从理论推导出来的解析式 , 但该解析式由于 太复杂而不便于直观理解或每次代入它而作具体 运算 , 从而给出若干函数值的表 。 实际上 , 即使是 一大型函数表 , 但其列出的数据总是有限 , 因而往 往是 , 需要求出已列数据以外的数据 , 为此就得做 一些补充计算 , 即插值计算 。
并令 x
=x 0 +ht , 则 t
=x
h
x0
(t
<0), 则由式
(1)得出牛顿后插公式如下
N n(x)= y 0 +1t !Δy0 +t (t2+! 1)Δ2 y 0 + …
+t (t
+1)…(t n!
+n
-1)Δny0
(3)
在计算各阶差分(或差商)时列成如例 1(或 例 2)示的表格甚为清晰方便 。
APPLICATION OF NEWTON INTERPOLATION
Wang Chunlin (Staff and Worker' s University)
Abstract This paper describes how to seek data exclusive of t he dat a listed in t he f unction t able and establish the interpolation curve equation and ant i -interpolating data i n order to solve t he approximate root of the equation .T he four ex amples shown in the paper are all representative problems in the metallurgical engineering technology . Keywords difference difference quotient New ton interpolation
=0 .0984
若按三次插值 , 则应挑选 4 个节点 , 即再添一
个 φ=3/ 8 的节点 , 此时可在表上添一行一列(用
虚线框在最后的行与列), 其
Δ3 6
ζt(t
-1)(t
-2)=0
.24 6
×1 .2
×(1 .2 -1)(1 .2 -2)=-7 .68 ×10-2
这样 , 由三次插值所得的 ζ值为
t/ ℃
16 00 13 56 11 82 11 82 77 7 76 3 60 0
一阶差商 二阶差商 三阶差商
16266 .67 -2900 178222 .27
-7105 .28 -35 0
-380 .84
69 64 1 .86 -6 5 .90
-132776 .69
解 :
将上表中上斜线行 上的值代入式(1), 经整
理 , 得到该炉衬二段各自的温度分布 t =t(x)为
t 1 = N 2(x) = 1600 -18940x +178222 .
3 x2
(0 ≤ x ≤0 .075)
t 2 = N 2(x)=2630 .1 -27562 .5 x
+ 119964 .2 x2 - 132776 . 7 x3
(0 .075 ≤ x ≤0 .6)
2/ 8
0 .26
3/ 8
0 .81
Δζ
0 .07 0 .19 0 .59
Δ2ζ
Δ3ζ
0 .12 0 .26
0 .24
t
=
φ-φ0 h
=1
.2/8 -0 1/ 8
=1 .2
ζ= N 2(0 .15)= ζ0 +[ Δζ0 + Δ22ζ0(t -1)] t
=0 .00 +[ 0 .07 +0 .212(1 .2 -1)] ×1 .2
通过对余项的分析表明 , 余项的大小与插值节点
的取法有关 , 所得的结论是 :取与(欲插入的)X 距 离最近的几个节点作为插值区间会使余项最小 。
此外 , 由差分误差传播的分析 —稳定性问题的分
析表明 , 对实际问题盲目追求高阶差分(或差商)
并不可取 。
大多数给出的函数表 , 或是全区间是等距的 ,
这样 , 工作层在出钢前单位体积的焓值 Q 为
∫ ∫ 0.075
0 .6
Q =ρ
0
c1 t 1 dx + 0 .075 c2 t 2 dx
, kJ · m -3
式中 ρ———工作层耐火材料的密度/ kg·m -3
c1 和 c2 ———作层耐火材料的(所在温度范围 内)平均比热/ kJ·kg -1·℃-1
ht , 参量
t
为t
=x
h
x
0(t
> 0), 这样 , 由式(1)
便得牛顿前插公式为
N n(x)= y 0 +1t !Δy0 +t (t2-! 1)Δ2 y 0 + …
+t (t
-1)…(t n!
-n
+1)Δny0
(2)
如果计算插值区间终点附近的函数值 , 可将
插值点次序由大到小排列 , 即 x 0 , x 1 = x 0 -h …,
包括牛顿插值法的诸多插值方法 , 在一般数
值方法教本中有详细的论证 。 本文避开数学上的 逻辑推理论证过程 , 就几个冶金工程技术上较典 型的实际问题综合地提出牛顿插值法的应用 。
2 牛顿插值多项式
已知函数 y =f(x), 如果它是给出的函数表 , 其 n +1 个节点 x0 , x1 …xn 处的函数值是 y0 , y1 … y n ;如果给出的是 y =f(x)的解析式 , 则在上述节 点处取值 y0 , y1 …yn , 要求建立一个次数不超过 n 的多项式 N n(x), 使 N n(xi)=yi (i =0 , 1 …n)。 为 此 , 只要在 n +1 个已知节点 xi 以外再给一个节 点 x , 此时将点 x 也看作一个节点 , 推出逼近原函 数 f(x)的牛顿插值多项式 N n(x)为[ 2]
插值计算方法的基本思想是 :构造某个简单 函数用以逼近原函数 , 通过计算逼近的关系式从 而得到研究对象的近似值 。逼近函数的类型有多 种选法 , 但其基本上是代数多项式 , 这是因为数学 中业已阐明 , 有相当广泛的函数可以用代数多项 式逼近[ 1] 。
建立代数多项式也有多种方法 , 其中牛顿插值 的方法具有递推性 , 其组成很有规律 , 方便于实际 计算 , 并能应用较少的已知数据达到应有的精度 。
ζ= N 3(0 .15)=0 .0984 -7 .68 ×10-2 = 0 .0982
由此可以看出 , 如需要再取较高次的插值时 ,
只需再添一项对应的节点及其计算 , 而前面的计
王春霖 :牛顿插值法的应用
· 13 ·
算仍保持有效 。 这是牛顿插值法的优点 。 3 .2 插值曲线方程
出于直观分析问题或对现象预测的需要 , 有 时需将实验数据描绘成函数曲线图 , 从数学的观 点看 , 这是把离散点连续化 。 在工程技术中 , 通常 用最小平方和的方法拟合曲线 。 如前述 , 插值法 是构造逼近函数 , 故可以将所有的已知函数点联 结起 来而 构成“ 插值 曲线” 用以 表述 物理 量间 的定 量关系 。插值曲线和拟合曲线的功效相同 , 但是 所建立的方法却不一样 , 即后者所构造的曲线不 要求通过所有的已知点 , 只要求它与已知点的偏 差平方和最小 , 故拟合曲线是交替靠近已知点 。
3 牛顿插值法的若干典型应用
3 .1 求函数表中未列的数据
例 1 闸阀的局部阻力系数 ζ和闸阀的关闭
度 φ=(d -Байду номын сангаас)/d 有关(d 为管内径 , h 为 开启高 度), 其 ζ=f(φ)的函数表如下[ 3]
φ 0 1/ 8 2/ 8 3/ 8 4/ 8 5/ 8 6/ 8 7/ 8
ζ 0.00 0 .07 0.20 0 .81 2.06 5 .52 17 .60 97 .80
3 .3 牛顿 —爱尔米特插值
例 3 物体的导温系数 a , 是表述物体在加热
(或冷却)时温度在物体内扩散的性能 , 故 a 亦称 为热扩散率 , 它是温度的函数 。 文献[ 3] 载有中碳
钢 a =f(t)的实验曲线 , 示于图 1 。
图 1 中碳钢的热扩散率 a 随温度 t 的变化
王春霖 , 男 , 副教授
· 1 2 · 武钢技术 1999 年第 3 期
f (x)= N n(x )+Rn(x)
式中 f[ …] ———函数 f(x)的各阶差商 , 例如
f [ x 0 , x 1 , x 2]
=
Δy 1 - Δy 0 x2 -x0
如果将闸阀控制在 φ=0 .15(=1 .2/ 8)时 , 求 其局部阻力系数 ζ的值
解: 该函数表是等距节点排序 , 故应用牛顿前插 公式(2), 挑选出 φ=0 .15 附近的三个节点进行二 次插值 , 列于下表 , 并将其一阶和二阶差分经算出 列于该表的右侧各列
φ
ζ
0
0 .00
1/ 8
0 .07