材料力学能量法第3节 卡式定理

1 2
dFi

dyi

U

dFi

yi
(3)
yi

U (F1, F2 ,Fn ) Fi
i 1,2,3,...
结 论 梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于
在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
dFi
(2)
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序
(1)先施加 位移为
ddFyii，：梁在的施变加形dF能i 时为，12其dF作i 用dy点i ；沿
dFi
方向的
(2)再施加 F1，F2 ，，Fn 时，尽管梁上已有了dFi，但是
F1，F2，，Fn的效应并不因此而改变，n 个力所做的
功仍为式(1) 。不过，在施加 F1，F2，，Fn 过程中，
在 dFi 的方向（即Fi 的方向）上又发生了位移 yi，常
力 dFi 做功 dFi yi 。故在施加F1 ，F2 ，，Fn 时，总共
做功为 U dFi yi ；
(3)这种加载方式下梁的变形能为
1 2
dFi

dyi
U

dFi

yi
(3)
比较(2)(3)式
U

U Fi
dFi
(2)
同理，在 B 截面处添加
一 共同个作力用偶下M梁e，的在弯M矩e和方程q
M
(
x)


q 2
(l

x)2

M
e
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M
(x)


q 2
(l

x)2

M
e
M M e

1
BqMe


M (x) EI

M (x) M e
dx

1 EI
l
0 [
例11-7 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI， 试用莫尔定理计算自由端 B 截面的挠度 yB和转角B。 解：(1)计算 B 截面挠度 yB
首先在 B 截面处添加一
个力 F，在载荷F和 q 共
同作用下梁的弯矩方程
M
(x)

F
(l

x)

q 2
(l

x)
M F

(l

x)
yBqF

广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 F1，F2 ，，Fn ，其相应位移分别为 y1，y2 ，，yn 。
在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形
能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f (F1, F2 ,, Fn )
(1)
若 Fi
Fi dFi ，则 U
U

U Fi
q 2
(l

x)2

Me ] (1)dx

l EI

ql 3 6

Me

令 Me 0
B

ql3 6EI
顺时针转向 顺时针转向

Fi

FN2 (x)dx 2EA


FN (x) FN (x) dx EA Fi
（b）扭转
i

U Fi

Fi
T 2 (x)dx
2GI p


T (x) GI p

T (x) Fi
dx
（c）弯曲
yi

U Fi

Fi

M 2 (x)dx 2EI


M (x) M (x) dx EI Fi
yi

U (F1, F2 , Fn ) Fi
i 1,2,3,...
说明
• 卡氏第二定理只适用于线性弹性体；
• 1Fi 为广义力，yi 为其相应的广义位移。
一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移
卡式பைடு நூலகம்理的应用
（a）轴向拉伸与压缩
δi

U Fi
M (x) EI

M (x) F
dx

1 EI
[F (l

x)

q 2
(l

x)][(l

x)]dx
（1）计算 B 截面挠度 yB
yBqF


M (x) EI

M (x) Fi
dx

l3 EI

F 3

ql 8

向下
令 F 0
yB

ql 4 8EI
向下
（2）计算 B 截面转角 B