您的位置：360文档中心› 2019上海初三数学一模综合题25题教学教材

2019上海初三数学一模综合题25题教学教材

合集下载

上海市长宁区金山区2019届中考一模数学试题含答案

上海市长宁区金山区2019届中考一模数学试题含答案

2019上海长宁区初三数学一模试题(与金山统考)（满分150分，考试时间100分钟） 2019.1.6考生注意：1、本试卷含有三个大题，共25小题；2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本题共6个小题，每题4分，共24分）1. 如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）.A. 1:2B. 1:4C. 1D. 2:12. 如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）.A. AD :AB =2:3B. AE:AC =2:5C. AD:DB =2:3D. CE:AE =3:23.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，AC =1，则sin B 的值是（ ）.A. B. C. 12 D. 2 4. 在△ABC 中，若cos A =22，tan B =3，则这个三角形一定是（ ）. A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形5. 已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A. 相交B. 内含C. 内切D. 外切 6. 二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7. 已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是 .8. 已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x =1，则实数b 的值为 .9. 已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是 .10. 已知二次函数2(3)y x =-图像上的两点()3,A a 和(),B x b ，则a 和b 的大小关系是a b .11. 圆是轴对称图形，它的对称轴是 .12. 已知⊙O 的弦AB =8cm ，弦心距OC =3cm ，那么该圆的半径是 cm.13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC =1，BC =22,那么sin ∠ACD 的值是 .14. 王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处 m .15. 已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设AD m =，那么用m 表示AG = .16. 如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，那么AB = .17. 的矩形称作黄金矩形。

上海市青浦区2019届九年级中考一模数学试题(解析版)

上海市青浦区2019届九年级中考一模数学试题(解析版)
【答案】2．
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】∵抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，
∴﹣ ，
∴m＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴为直线x＝﹣ 是解题的关键．
12.抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质并灵活运用.
8.计算：3（ -2 ）﹣2（ -3 ）＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
实数的运算法则同样适用于该题．
【详解】3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）
＝3 ﹣3 ﹣2 +3
＝（3﹣2） +（﹣3+3）
＝ ．
D、由AD•AB=AE•AC得 ，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据已知条件得到BC＝AC•tan∠CAB＝2，根据勾股定理得到AB＝ ，根据旋转的性质得到AD＝AB＝ ，∠D＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】如图，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，tan∠CAB＝2，

2019-2020学年上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)

2019-2020学年上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)

崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各组图形一定相似的是（▲）(A)两个菱形；(B)两个矩形；(C)两个直角梯形；(D)两个正方形． 2．在Rt △ABC 中，∠C90，如果AC8，BC6，那么∠B 的余切值为（▲）3 (A) 43．抛物线；(B)4；(C)3 352 y3(x1)2的顶点坐标是（▲）；(D)4 5． (A)(1,2)；(B)(1,2)；(C)(1,2)；(D)(1,2)．4．已知c 为非零向量，a3c ，b2c ，那么下列结论中错．误．的是（▲）(A)a ∥b ；(B)3 ab ；(C)a 与b 方向相同；(D)a 与b 方向相反．25．如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（▲）(A)点P ；(B)点Q ；(C)点R ；(D)点M ． AB··AP·Q ··R·CDE NM·B C M(第6题图)(第5题图)6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且DE ∥BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（▲）(A)A DAN ANAE；(B)D NBM NECM；(C)D NAE BMEC；(D)D NNE MCBM．九年级数学共6页第1页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知xy23，那么x yx▲．8．已知线段A B8cm，点C在线段A B上，且2ACBCAB，那么线段A C的长▲cm．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为▲度．10．小杰沿坡比为1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了▲米．11．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，那么这栋楼的高度为▲米．12．如果将抛物线221yxx先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为▲．13．如果二次函数2yaxbxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是▲．x⋯1012⋯y⋯0343⋯14．一个正五边形的中心角的度数为▲度．15．两圆的半径之比为3︰1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为▲．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是▲．17．如图，在△ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，联结EF．如果四边形DCFE和△BDE的面积都为3，那么△ABC 的面积为▲．18．如图，在Rt△ABC中，∠C90，AB10，AC8，点D是AC的中点，点E在边AB 上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A处，当AEAB时，那么AA的长为▲．BAEFB DC C·DA (第17题图)(第18题图)九年级数学共6页第2页三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2cot602tan302tan60sin452sin30．20．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC2AD，对角线AC、BD相交于点O，设A D a，ABb．（1）试用a、b的式子表示向量AO；A D（2）在图中作出向量DO在a、b方向上的分向量，O 并写出结论．BC(第20题图)21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于点E，联结BC，过点O作OFBC于点F，BD8，AE2．（1）求O的半径；（2）求OF的长度．(第21题图)九年级数学共6页第3页22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD150时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？D· D·CC···B·BEA l·Al(图2)(图3)(图1)(第22题图)23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，△ABC中，ADBC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DFBE，垂足为F，且AEDFEFCD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF∠DCF；（2）AFBDACDF．AEFOBCD(第23题图)九年级数学共6页第4页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x轴相交于点A(3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．(第24题图)（备用图）九年级数学共6页第5页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在△ABC中，ABAC10，BC16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F．（1）求证：ABCEBDCD；A（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；F（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．EBCD(第25题图)AB DCBC(备用图)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、4549、7010、5011、5412、(1,1)13、(3,0)14、7215、216、617、1018、285 2 或452三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=33223322(3)()1222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3312⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分523 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分20、（1）∵AD∥BC，BC2ADAOAD ∴OCBC 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AO AC ∴13即1AOAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分3∵ADa，BC与AD同向∴BC2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵ACABBCb2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分12∴AOba⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分33（2）略，画图正确得4分，结论正确得1分21、（1）解：∵AC是O的直径，弦BDAO，BD8∴1BEDEBD4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2联结O B，设O的半径为x，则O AOBx∵AE2∴OEx2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵在Rt△OEB中，222OEBEOB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222∴(x2)4x解得x5∴O的半径为5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）∵在Rt△CEB中，222 CEBEBC又∵CE538，BE4∴BC45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵OBOC，OFBC∴1BFCFBC25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2∵在Rt△OFB中，222 OFBFOB∴OF25205⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22、（1）解：过点B作BHDE，垂足为H由题意可得：ABHE5cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBCCD40cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∠ABH∠DHB90，∠DBH1509060⋯⋯1分∴在Rt△DHB中，sin∠DBH D HDH3 DB402∴DH203cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴DE2035(cm)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点C作CGBH，CKDE，垂足分别为G、K由题意可得：BCCD20cm，CGKH九年级数学共6页第8页∴在Rt△CGB中，C GCG3sin∠CBH∴CG103cm BC202∴KH103cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BCG906030∴∠DCK150903030⋯⋯1分∴在Rt△DCK中，sinDCK∠D KDK1 DC202∴DK10cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴现在的高度为15103厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴(2035)(15103)10310比原来降低了10310厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分23、（1）证明：∵ADBC，DFBE∴∠ADB∠DFE90⋯⋯⋯1分∴∠DBE∠BED90，∠DBE∠BDF90∴∠BED∠BDF∴∠AEF∠CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵AEDFCDEFAEEF∴CDDF∴△AEF∽△CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠EAF∠DCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）证明：∵△AEF∽△CDF∴∠EFA∠DFC∴∠AFO∠EFD90∵∠DFB90∴∠BFD∠AFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠EAF∠DCF，∠AOF∠COD∴△AOF∽△COD∴AOOFOCOD九年级数学共6页第9页AOOC∴OFOD又∵∠AOC∠FOD∴△AOC∽△FOD∴∠ACF∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠DBE∠BED∠FDE∠BED90∴∠DBE∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠ACF∠DBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∠BFD∠AFO∴△BFD∽△CFA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AFAC∴DFBD∴AFBDACDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca∵抛物线2yaxbxc过点A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)9a3bc0∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分abc0c3a1b2解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c3223 ∴这条抛物线的解析式为y xx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分顶点坐标为(1,4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点B作BHAC，垂足为H∵∠AOC90，OAOC3∴∠OAC∠OCA45，AC32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BHA90∴∠HAB∠HBA90∴∠HAB∠HBA45∵在Rt△AHB中，222 AHBHAB，AB4∴AHBH22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分九年级数学共6页第10页∴CH32222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BH22∵∠BHC90∴tanACB2∠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分CH2 （3）解：过点D作DKx轴，垂足为K2设(,23)Dxxx，则K(x,0)，并由题意可得点D在第二象限223∴DKxx，OKx∵∠BAC是公共角∴当△AOE与△ABC相似时存在以下两种可能1°∠AOD∠ABC∴tan∠AODtan∠ABC3∴223xxx3113113解得x1，x2（舍去）⋯⋯⋯1分221133133∴D(,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222°∠AOD∠ACB∴tan∠AODtan∠ACB2∴223xxx2 解得x13，x23（舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴D(3,23)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分综上所述：当△AOE与△ABC相似时，1133133点D的坐标为(,)22或(3,23)．25、（1）证明：∵ABAC∴∠B∠C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADC∠B∠BAD即∠ADE∠CDE∠B∠BAD九年级数学共6页第11页∵∠ADE∠B∴∠BAD∠CDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴△BDA∽△CED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分ABBD∴CDCE∴ABCEBDCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）∵OF平分∠ADC∴∠ADE∠CDE∵∠CDE∠BAD∴∠ADE∠BADAEBDACBC∴DF∥AB∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADE∠B∠C∴∠BAD∠C又∵∠B是公共角∴△BDA∽△BAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBA ∴BABCBD10∴101625∴BD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分4254AE ∴1016125∴AE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分32（3）过点A作AHBC，垂足为H1 ∵ABAC，AHBC∴BHCHBC28由勾股定理得出AH6∴3tanB4∵∠ADE∠B，AFAD∴tanADF∠A FAD34ADAB设A F3k，则A D4k，DF5k∵△BDA∽△CED∴DECD ①点F在线段D E的延长线上，当△AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°FAFE3k，则D E2k104k∴CD2k∴CD5∴BD16511⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2°EAEF则D E2.5k九年级数学共6页第12页104k ∴CD2.5k252539∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯2分44473°AEAF3k则D Ek5104k∴75 CDk7725∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分222②点F在线段D E上，当△AEF是等腰三角形时，∵∠AFE90∠ADF∴∠AFE是一个钝角∴只存在FAFE3k这种可能，则D E8k104k∴CD8k∴CD20＞16，不合题意，舍去综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长11或394或252．（做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段D E上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）九年级数学共6页第13页。

上海市徐汇区2019年中考一模(即期末)数学试题及答案(word版)

上海市徐汇区2019年中考一模(即期末)数学试题及答案(word版)

2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科 2019.1(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1. 本试卷含3个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 在比例尺为1:2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为( ) (A) 10m ；(B) 25m ；(C) 100m ；(D) 10000m.2. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A)513 (B) 1213 (C) 512(D)1353. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是( )(A) ()2,3 (B) ()2,3-(C) ()2,3-(D) ()2,3--4. 已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且a <0，下列选项中可能是它大致图像的是( )5. 下列命题中是假命题的是( )(A) 若,a b b c ==，则a c =.(B) ()222a b a b -=-第9题EDABC第10题FDCABEP CD BA DCBA (C) 若12a b =-，则a b ∥.(D) 若a b =，则a b =6. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) (A) 1.5；(B) 2；(C) 2.5；(D) 3.二、 填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知34a b =，则2aa b+的值为__________. 8. 计算：()()23m n m n ++-=___________.9. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，若AC =10，AE =4，则BC =________.10. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEFABFSS=_________.11. 如图，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点B 的坐标为___________.12. 如果抛物线()231y x =++经过点()11,A y 和点()23,B y ，那么1y 与2y 的大小关系是1y ___2y (填写“>”或“<”或“=”).13. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若CD =1，BC =3，那么∠A 的正切值为________.14. 在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为，那么娄底到这个十字路口的水平距离是____________米(用含的代数式表示).F CBA DE15. △ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG =_______(用a b 、表示). 16. △ABC 中，AB=AC =5，BC =8，那么sin B =__________.17. 将二次函数23y x =的图像向左平移2个单位再向下平移4个单位，所得函数表达式是()2324y x =+-，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点P 经过平移后得到点P ’，且点P ’的坐标为(),x y ，那么P ’点反之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点()2,4P x y ++，由于点P 是二次函数23y x =的图像上的点，于是把点P (x +2,y +4)的坐标代入23y x =再进行整理就得到()2324y x =+-.类似的，我们对函数()11y x x =+的图像进行平移：先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数表达式为_____.18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP =BR ，则QRBQ=____________. 三、 解答题：(本大题共7分，满分78分) 19. (本题满分10分)计算：2222sin 30+tan60tan30+sin 60cos 45+cot60cos30︒︒⋅︒︒︒︒⋅︒20. (本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点.(1) 设BF a =，AC b =，试用xa yb +的形式表示AB 、ED ；(x 、y 为实数)(2) 作出BF 在BA 、BC 上的分向量.第13题第18题FEACDB (保留作图痕迹，不写作法，写出结论)21. (本题满分10分)某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角30°的坡面改为坡度为1:2.4的坡面。

精品2019届上海中考数学各区一模汇编-03提升题(18、23、24、25题)

精品2019届上海中考数学各区一模汇编-03提升题(18、23、24、25题)

2019届一模提升题汇编目录2019届一模提升题汇编目录 (1)Ⅰ第18题（填空小压轴） (3)【2019届一模徐汇】 (3)【2019届一模浦东】 (3)【2019届一模杨浦】 (3)【2019届一模普陀】 (4)【2019届一模奉贤】 (4)【2019届一模松江】 (4)【2019届一模嘉定】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模静安】 (6)【2019届一模宝山】 (6)【2019届一模长宁】 (6)【2019届一模金山】 (7)【2019届一模闵行】 (7)【2019届一模虹口】 (7)Ⅱ第23题（几何证明题） (9)【2019届一模徐汇】 (9)【2019届一模浦东】 (9)【2019届一模杨浦】 (10)【2019届一模普陀】 (10)【2019届一模奉贤】 (11)【2019届一模松江】 (11)【2019届一模嘉定】 (12)【2019届一模青浦】 (12)【2019届一模静安】 (13)【2019届一模宝山】 (13)【2019届一模长宁】 (14)【2019届一模金山】 (14)【2019届一模闵行】 (15)【2019届一模虹口】 (15)Ⅲ第24题（二次函数综合） (16)【2019届一模徐汇】 (16)【2019届一模浦东】 (17)【2019届一模普陀】 (19)【2019届一模奉贤】 (20)【2019届一模松江】 (21)【2019届一模嘉定】 (22)【2019届一模青浦】 (23)【2019届一模静安】 (24)【2019届一模宝山】 (25)【2019届一模长宁】 (26)【2019届一模金山】 (27)【2019届一模闵行】 (28)【2019届一模虹口】 (29)Ⅳ第25题（压轴题） (30)【2019届一模徐汇】 (30)【2019届一模浦东】 (31)【2019届一模杨浦】 (32)【2019届一模普陀】 (33)【2019届一模奉贤】 (34)【2019届一模松江】 (35)【2019届一模嘉定】 (36)【2019届一模青浦】 (37)【2019届一模静安】 (38)【2019届一模宝山】 (39)【2019届一模长宁】 (40)【2019届一模金山】 (41)【2019届一模闵行】 (42)【2019届一模虹口】 (43)Ⅰ第18题（填空小压轴）【2019届一模徐汇】18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】18. 将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果∠AED 的余弦值为35，那么ABBC =__________.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】 【2019届一模杨浦】18．Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ▲ .【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GEABC DF （第18题图）ACB（第18题图）18．如图5，△ABC 中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模奉贤】18．如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，3sin =5C ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ,点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ．如果AE //BC ，那么BF 的长是 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图5ABCD图5 ABC（第18题图）xyC BOA18．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，︒=∠45CDE (如图3)，△DCE 沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的 点S 称为“亮点”． 如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是 “亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】 EDCBAS 2S 1（第18题图）18．如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BD AE的值是 ▲ ． 【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】18．如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =5，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C落在C ’处，连接AC ’，若AC ’∥BC ，则CP 的长为 ▲ ． 【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模长宁】18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AC（图4）B图6F BA CD EBACD第18题图18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是 ▲ ．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模闵行】18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE = ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点B 旋转至△BD 1E 1，如果点D 、E 、D 1在同一直线上，那么EE 1的长为 ▲ ．ABC第18题OABC （第18题图）C第18题图A BDE O【】答案请加QQ群712018203见Word教师版Ⅱ第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EFGM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GD EF BCA （第23题图）（图8）DCM BAF GE【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）求证：DF CEDE CB=．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第23题图）EABCDF图9ABCDE23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ， 交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2． （1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF图9 （第23题图）EDCBAF（第23题图）EDCBA23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅． （1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠， 求证：ACAFBC AD =．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图6BCDAE FABCDEF（第23题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽FDC ∆； （2）求证：2AE BE EF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】23．（本题满分12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图8所示，电梯AB 的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B 处的仰角为14°，求电梯AB 的坡度与长度． 参考数据：24.014sin ≈︒，25.014tan ≈︒，97.014cos ≈︒.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】Q 9.9米B出口顶部1.5米（图8）AP6米2.4米︒14图9 AC BDEF23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交 于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅． （1）求证：C FEB ∠=∠；（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模金山】23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第23题图CEDABF A BCD HF M第23题23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AD = AB ，AE ⊥BC ，垂足为点E ．过点D 作DF // AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC =⋅．（1）求证：△EDF ∽△EFC ；（2）如果14EDF ADC S S =V V ，求证：AB = BD ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ． （1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：=AF BC AD BE ⋅⋅．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF（第23题图）D 第23题图AECBⅢ第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第24题图）【2019届一模浦东】24.（本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线12y x b=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 抛物线244y ax ax=-+经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D.（1）求抛物线的表达式;（2）求证: △BOD∽△AOB;（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP=∠DBO，求点P的坐标.【答案请加QQ群712018203见Word教师版】（图9）x BOAy【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2）， 它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB =45°.求P 点的坐标.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】O xy 1 2 3 4 1 2 3 45-1-2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=，求点F 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10C BAOyx24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)． （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式； （2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32， 求点C 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10ABxyo24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】(第24题图)y xOBA24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ， 与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图7 O 11 xy--24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =2，求∠CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】CB A xyOCB A xyO（第24题图）（备用图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3． （1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】BD O图10xy﹒﹒24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为23． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,设平移后抛物线顶点为P ’,若，求m 的值．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C O yx（图9）24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NCMN 的值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题图xO A By备用图xO A By24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）． （1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题yxO24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y a x b x=+经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO =∠BAO，求点P的坐标．【答案请加QQ群712018203见Word教师版】x yO（第24题图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】OAy 第24题图xBF EA CB DF E A CB DⅣ第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长； （2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第25题图1） （第25题图）25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】G（图10-1）（图10-2）E DCABDCBAE25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长； （2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BC D EF （图1） （第25题图） A B C D E F （图2）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BCPOABCPO图11①图11②25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图11ABC D F E G 备用图ABC D25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD ，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A备用图BD CA 图8B M E DC N A 备用图 BD C ME N A 图9 B D C25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】NHG FEDC AB （第25题图）图11ABCPQM25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若13AP ，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】备用图A BCD PEABCDF（图10）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C D EF G O HM第25题图第25题备用图 ABCD E FO25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEFS y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题备用图 AB C 第25题图 E A B C F D G。

相似三角形与线段比、面积比问题(含2019年上海中考真题25题)-冲刺中考数学满分应对方法与策略

相似三角形与线段比、面积比问题(含2019年上海中考真题25题)-冲刺中考数学满分应对方法与策略

第15讲相似三角形与线段比、面积比问题【考点梳理】这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题．【典型例题】1．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．2．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点M是射线BA上的一动点，BP⊥CM，垂足为P，PD⊥PN，与射线BC交于点N，联结DN．（1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）．①求证：；②联结DN，设BM＝x，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）若S△DPN＝3S△CPN，求出BM的长．3．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4．（1）求线段PD的长；（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值．4．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cos B＝，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y．（1）如图1，当x＝4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AC⊥AE，求AF的长．5．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．（1）当x＝3时，求tan∠BCE的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．6．（2021秋•黄浦区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB ＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．8．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC 延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．9．（2022秋•黄浦区校级月考）已知△ABC，AD是一条角平分线．（1）【探究发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．小红的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，（角平分线的性质）＝，∵，∴（2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：；（3）【拓展应用】如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若，直接写出的值是2﹣．10．（2022秋•虹口区校级月考）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点F．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABF为等边三角形；②若△AFB与△PEQ相似，求∠MON的大小和的值．11．（2022春•长宁区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．（1）求证：△ACF∽△BCE；（2）如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；（3）在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．。

上海市宝山区2019届九年级上学期期末教学质量监测(一模)数学试题(解析版)

上海市宝山区2019届九年级上学期期末教学质量监测(一模)数学试题(解析版)

2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：CD＝1：22．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE ＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP 翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF •CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE ＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y ＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP，求m的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB ＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2019年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：CD＝1：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE ＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R ﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP 翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D＝AC ＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF •CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE ＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH＝AE ﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y ＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP，求m的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP ＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x ＝0时，y ＝﹣3，当y ＝0时， x ﹣3＝0，解得x ＝6，∴点B （6，0），C （0，﹣3），∵tan ∠OCA ＝＝，∴OA ＝2，即A （2，0），将A （2，0）代入y ＝x 2+bx ，得4+2b ＝0，解得b ＝﹣2，∴y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ，顶点P 的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P ′坐标为（1，﹣1﹣m ），设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，与BC 交于点M ，则M （1，﹣），S △ABP ′＝AB •P ′H ＝×4（m +1）＝2（m +1）， S △BCP ′＝S △P ′MC +S △P ′MB ＝P ′M •OB ＝|﹣1﹣m +|×6＝3|﹣m |，∴2（m +1）＝3|﹣m |，解得m ＝或m ＝．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DAB ＝45°，AB ∥DC ，DC ＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。

2019上海初三数学一模综合题24题

2019上海初三数学一模综合题24题

2019上海初三数学一模二次函数综合题24题24.（普陀） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-（0a ≠）与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D .（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标.24. （奉贤）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -. （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标.24. （金山）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:l y kx =(0)k ≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）.（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式；（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由；（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当△MHF 与△OAB 相似时，求点F 、H 的坐标. （直接写出结果）24. （宝山）如图，已知，二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23. （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标； （2）将二次函数图像向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若ABP BCP SS ''=，求m 的值.24. （闵行）已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(5,0)A 、(3,4)B -，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ，求BDO ∠的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （青浦）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点(1,0)A -、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =CAD ∠的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标.24. （浦东）已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线244y ax ax =-+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD ∽△AOB ；（3）如果点P 在线段AB 上，且BCP DBO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （静安）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点(4,0)B 、(5,3)D ，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且△ABD 的面积是3.（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当△APE 与△ABD 相似时，求点P 的坐标.24. (杨浦）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与y 轴交于点(0,2)C ， 它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =，若点 A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒， 求点P 的坐标.24. （徐汇）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =+（0a <）经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒.（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F ，（点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式.24. （虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果45BAD ∠=︒，求点D 的坐标.24.（松江） 如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(2,0)A -，点(0,4)B .（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果PBO BAO ∠=∠，求点P 的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果2EO OF =，求m 的值.24. （黄浦）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴交于(1,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，对称轴为直线1x =，交x 轴于点E ，1tan 2BDE ∠=. （1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是对称轴上一点，且DCP BDE ∠=∠， 求点P 的坐标.24. （崇明）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26y ax bx =++（a 、b 都是常数，且0a <）的图像与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C .（1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标.24. （嘉定）在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C .（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标.24. （长宁）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、(1,3)B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM ∥OB ，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内.（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若△ANC 的面积等于△PMN 的面积的2倍，求MNNC 的值.。

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．专题二动点函数背景下的面积问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE 的长．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．专题三动点函数背景下的等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD＝10，CD＝4，AD＝6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE＝DQ＝BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）当BP＞BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；（3）当BP＝m（0＜m＜5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．专题四动点函数背景下的线段问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF（3）如果AG＝8，求DE的长．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．专题四动点函数背景下四边形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．4．(2019秋•普陀区期末)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD AB ＝5，tan A ＝2，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE ＝m ．（1）当点E 在边AD 上时，①求△CEF 的面积；（用含m 的代数式表示）②当S △DCE ＝4S △BFG 时，求AE ：ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求m 的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF ∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE ＝4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF ∽△CGF 时，得出∠AFE ＝∠CFG ，进而得出BG ＝12BC ＝52，FG ＝BG tan ∠CBFBF ＝52，进而得出AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，最后判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF ∽△CGF 时，先判断出∠AFC ＝90°，进而得出CF ＝2BF ，再根据勾股定理得，求出BF ＝1，得出AF ＝AB +BF ＝6，同理：BG ＝，再判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，在Rt △AEF 中，tan A ＝2，AE ＝m ，∴EF ＝AE tan A ＝2m ，根据勾股定理得，AF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD AD ∥BC ，∴∠G ＝∠AEF ＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE AFBG BF =，∴m BG =，∴BG m ，∴CG ＝BC +BG ＝m ＝m ，∴S △CEF ＝12EF •CG ＝12•2m •（m ）＝m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ，∴BF FG AF EF =，∴FG ＝BFAF •EF •2m ＝2m ），∴EG ＝EF +FG ＝2m +2﹣m ）＝∴S △CDE ＝12DE •EG ＝12（m ）•5，S △BFG ＝12BG •FG ＝12m ）•2m ﹣m ）2，S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5＝4m ）2，∴m m ＝354，∴DE ＝AD ﹣AE ﹣4＝4，∴AE ：ED ＝354：54＝3，即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1，∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG ＝12BC ＝52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF根据勾股定理得，BF 52，∴AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴BG BFAE AF=，∴，∴m ＝35 2；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG ＝5 5，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴AE AFBG BF=6155=，∴m ＝655．即：如果△AEF与△CFG相似，m 的值为35 2或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt △PCH 中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明△POQ ∽△BOC ，推出∠OPQ ＝∠OBC ＝30°＝∠PCQ ，推出PQ ＝CQ ＝y ，推出PC ，在Rt △PHB 中，BH ＝12x ，PH ＝2x ，根据PC 2＝PH 2+CH 2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝4，AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC ＝180°，∵∠A ＝120°，∴∠PBH ＝60°，∵PB ＝3，∠PHB ＝90°，∴BH ＝PB •cos60°＝32，PH ＝PB •sin60°＝332，∴CH ＝BC ﹣BH ＝4﹣32＝52，∴PC =．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠PCQ ＝30°，∴∠PBO ＝∠QCO ，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴PO BOQO CO=，∴PO QOBO CO=，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC y，在Rt△PHB中，BH＝12x，PH＝32x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（2x）2+（4﹣12x）2，∴y＝3（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝PCF＝45°，∴PF＝CF＝，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE 与△BCP 相似，∴∠CQE ＝∠CBP ＝120°，∴∠QCE ＝∠PCB ＝15°，作CF ⊥AB 于F ．∵∠FCB ＝30°，∴∠FCP ＝45°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝PF ＝23∴PB ＝3﹣2．综上所述，满足条件的PB 的值为3或232．【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．专题二动点函数背景下的面积问题【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE的长．【考点】三角形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ．AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．根据BG ＝EG 构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF ∽△BEC ，可得22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD ＜120°时，当120°＜∠CAD ＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AD ＝AC ，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD ＝180°，∠CAD ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠EBC ＝45°．过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G．设AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．在Rt △CGE 中，∠ACB ＝60°，∴3sin ACB=)2EG EC x =- ∠，1cos ACB=12CG EC x =- ∠，∴BG ＝2﹣CG ＝1+12x ，在Rt △BGE 中，∠EBC ＝45°，∴131)22x x +=-，解得4x =-．所以线段AE的长是4-．（2）①设∠ABD ＝α，则∠BDA ＝α，∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝120°﹣2α．∵AD ＝AC ，AH ⊥CD ，∴1CAF=DAC=60-2α ∠∠，又∵∠AEF ＝60°+α，∴∠AFE ＝60°，∴∠AFE ＝∠ACB ，又∵∠AEF ＝∠BEC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由（1）得在Rt △CGE 中，BG ＝1+12x，EG )2x =-，∴BE 2＝BG 2+EG 2＝x 2﹣2x +4，∴2224x x y x-+=（0＜x ＜2）．②当∠CAD ＜120°时，y ＝7，则有7＝2224x x x-+，整理得3x 2+x ﹣2＝0，解得x ＝23或﹣1（舍弃），2AE=3．当120°＜∠CAD ＜180°时，同法可得22+24x x y x +=当y＝7时，7＝22+24x xx，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣23（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．【考点】相似形综合题．【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．【分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG＝∠MON，在Rt△AOE中，设OE＝a，可求得OA，OG，OF的长，则EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝5，推出CO＝CG＝5，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，m＝2；当△FDA∽△CDF 时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，∵∠BCG+∠CGB＝90°，∠MON+∠CGB＝90°，∴∠BCG＝∠MON，则tan∠BCG＝tan∠MON＝2，∴BG＝2BC＝4，CG＝，在Rt△AOE中，设OE＝a，由tan∠MON＝2，可得OA a，则OG+6，OF＝OG＝a+，∴EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝∵CD平分∠FCO，∴∠FCD＝∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD＝∠CGO，∠DCO＝∠COG，∴∠CGO＝∠COG，∴CO＝CG＝在Rt△COB中，由BC2+BO2＝OC2，得22++2）2＝（2，解得a1＝﹣655（舍去），a2＝255，∴OF＝a+5＝5，cos∠COF＝45 OFOC=，∴sin∠COF＝3 5；（3）当D在∠MON内部时，①如图3﹣1，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，∴m＝2；②当△FDA∽△CDF时，如图3﹣2，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，则∠FDC＝∠FDA＝135°，∴∠FDP＝45°，∵PC＝FP•tan∠PFC＝FP•tan∠MON＝2FP＝2DP＝CD+DP，∴FP＝PD＝CD＝m，∴FD m，∵△FDA∽△CDF，∴FD CD DA FD=，∴FD==，∴m＝1；当D在∠MON外部时，∠ADF＞90°，∠DFC＞90°，∴∠ADF ＝∠DFC ，∴∠DFI ＝∠FDI ，ID ＝IF ，①如图3﹣3，△FDA ∽△DFC 时，此时△FDA ≌△DFC ，∴CF ＝AD ＝2，∵∠DAF ＝∠FCD ＝∠FHD ，∴A 、O 重合，延长BC 交ON 于R ，∴FR ＝2CF ＝4，CR ＝BR ＝，∴m ＝CD ＝AB ＝12BR ＝；②如图3﹣4，△FDA ∽△CFD 时，设CF ＝（t ＞0），延长BC 交ON 于R ，过F 作FS ⊥CD 于S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH ＝FC ，∴ID ＝IF ＝12CF ，∴IS ＝t ，FS ＝2t ，CS ＝4t ，DS ）t ，DH ＝FC ＝，∵△FDA ∽△CFD ，∴AD DF DF FC=，∴DF 2＝AD •FC ＝2DH ＝t ，∵DF 2＝DS 2+FS 2，∴＝4t 2+）2t 2，解得t 1＝512-，t 2＝0（舍去），∴DH ＝t ＝52＝AD ，矛盾，综上所述：m ＝1或m ＝2，或m ＝【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．专题三动点函数背景下的等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得AD ACAC AB=，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出AC ADDH EH=，由此构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴AD ACAC AB=，∴334AD=，∴94AD=．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=5，∵BE＝y，∴EH＝35y，BH＝45y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴AC AD=DH EH，∴3x=434-x-55y y，∴220594x xyx-=+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC ＝AB ′＝3，AE ⊥CB ′，∴CE ＝'EB ='12CB ＝52，∴AE 22225113()22AC CE -=-，由△ACE ∽△KCA ，可得AK ＝3115，CK ＝185，∴BK ＝AB ﹣AK ＝4﹣3115，∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM ＝DN ，∴181185215252CDK CDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆===== ，∴BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043151143）＝7242151143．②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝7242﹣151143．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝BD ＝10，CD ＝4，AD＝6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE ＝DQ ＝BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP ＞BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP ＝m （0＜m ＜5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ ∽△BCD ，得出∠DQE ＝∠BDC ，即可得出结论；（2）先用△DEQ ∽△BCD ，得出比例式表示出EQ ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）先判得出△PHQ ∽△BGD ，得出PH PQ HQ BG BD GD ==，进而表示出HQ ＝1025m -，PH ＝26(102)5m -，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠EDQ ＝∠DBC ，∵DE ＝DQ ，BD ＝BC ，∴1DE DQ =，BD BC ＝1，∴DE BD DQ BC=，∴△DEQ ∽△BCD ，∴∠DQE ＝∠BDC ，∴EQ ∥CD ；（2）设BP ＝x ，则DQ ＝x ，QP ＝2x ﹣10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQ QDDC BC=，∴410EQ x=，∴EQ＝25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ＝EP时，∴∠EQP＝∠EPQ，∵DE＝DQ，∴∠EQP＝∠QED，∴∠EPQ＝∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴，∴EQ2＝DE•QP，∴（25x）2＝（2x﹣10）•x，解得，x＝0（舍）或x＝12523＜6，即：BP＝12523，Ⅱ、当QE＝QP时，25x＝2x﹣10，解得，x＝254＞6，此种情况不存在，即：BP＝125 23；（3）如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD＝BC，BG⊥DC，∴DG＝2，BG＝，∵BP＝DQ＝m，∴PQ＝10﹣2m，∵EQ∥DC，∴∠PQH＝∠BDG，∵∠PHQ＝∠BGD＝90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PH PQ HQBG BD GD==102102m HQ-==，∴HQ＝1025m-，PH＝2)5m-，∴EH＝102255m m-+＝2，∴tan∠PEQ＝PHEH＝2)5m-12⨯＝﹣5m．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE ∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝12CD=1；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴AD DEBH EH=，∴2x DEEH=，∴22x DE EH DHEH EH++==，∴4-2xEH=x+2，∴2424(02)22x xy CE CH HE x xx x-+==+=+=<≤++；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH ＝AD ，那么AD ＝CH ＝12CD =1；当CG ＝CD 时，如图2﹣2，即CG ＝2，点G 为△ABC 的重心，∴332CF CG ==，∴AB ＝2CF ＝6，∴22AC AB ==，∴AD ==；综上所述，AD ＝1【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF ∥AB ，根据平行线的性质得到AE BD AC BC =，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD CD CE=，即AB •CE ＝BD •CD ；（2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴DF ∥AB ，∴AE BD AC BC=，∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA ∽△BAC ，∴BD BA BA BC =，即101016BD =解得，254BD =，∴2541016AE =，解得，AE ＝12532；（3）解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝HC ＝12BC ＝8，由勾股定理得，AH 22221086AB BH -=-=，∴tan B ＝AH BH ＝34，∴tan ∠ADF ＝AF AD ＝34，设AF ＝3x ，则AD ＝4x ，由勾股定理得，DF 22AD AF +＝5x ，∵△BAD ∽△CDE ，∴AD AB DE CD =，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴1042xCD x=，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴1042.5xCD x=，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝39 4；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10475xCD x=，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝252；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴1048x CD x=，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【考点】几何变换综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ODE ∽△OCA ，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解；（2）通过证明△OEM ∽△BAC ，可得∠EOM ＝∠ABC ＝36°，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴S △OAC ＝13，∵DE ∥AC ，∴△ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD ＝k ⋅OC ，∴S △ODE ＝13k 2，（2）∵△ODE ∽△OCA ，∴OE OD DE k OA OC AC ===，∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴AB ＝2AO ，EM ＝12DE ，∴2OE k EM AB AC==，且∠OEM ＝∠OAC ，∴△OEM ∽△BAC ，∴∠EOM ＝∠ABC ＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON ＝∠B +∠ONB ，∴∠AOE +∠EOM ＝∠B +∠ONB ∴y ＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON ＝∠EOM ﹣∠BOE ＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB ＝α﹣144°，∵∠BNO ＝∠ABC ﹣∠NOB ＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝180362-＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键．专题四动点函数背景下的线段问题【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝23 DCAC=；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得AF CFAG BC=，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝12AF CD，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE ＝AD ﹣AE 可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝35，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝23DC AC =；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ，∴AF CF AG BC =，AG AF BC CF =，∴34x CF CF-=，∴124CF x =+．∴12334AF CF x =-=-+＝34x x+．∵∠EAF ＝∠CBF ，∴CD CF AC BC =，∴94CD x =+，∴S △DAF ＝12AF CD ＝2193272442(4)x x x x x ⨯⨯=+++；（3）①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，∵AG ＝8，BC ＝4，AG ∥BD ，∴21AG AF BC CF ==，∴AF ＝2CF ，∵AC ＝3，∴AF ＝2，CF ＝1，∴CF 1tan AGE=tan CBF==BC 4∠∠，∴AE 1=GE 4，设AE ＝x ，GE ＝4x ，∴x 2+16x 2＝82，解得x ＝，即AE ．同理tan ∠DAC ＝tan ∠CBF ，∴DC 1=AC 4，∴DC ＝34，∴AD∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴8241AG AFBC CF===．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴654AE=，∴245AE=，同理AC BCAD AB=，∴345AD=，∴154AD=．∴DE＝AE﹣AD＝241521 5420-=．综合以上可得DE的长为191768或2120．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADE ，理由如下：∵AB 2＝BE •DC ，∴BE AB AB DC=，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，BE AC AB DC =，∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED ＝∠DAC ．∵∠AED ＝∠C +∠EAC ，∠DAC ＝∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE ＝∠C ．∴△ADE ∽△CDA ；（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴DG DE AD DF AD CD==，设CE ＝a ，则DE ＝3CE ＝3a ，CD ＝4a ，∴34a AD AD a=，解得：AD ＝23a ，∴23342DG AD a DF CD a ===；（3）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠DAE ＝∠C ＝45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG ＝∠ADF ＝45°，∴AG ＝DG ＝22AD ＝22×236a ，∴EG 2222(3)(6)3DE DG a a -=-a ，∴AE ＝AG +EG ＝（63）a ，∵∠AED ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△DFA ，∴AD AE DF AD=，∴22AD AE ==a ，∴24DG DF +==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．专题四动点函数背景下四边形【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP ＝x ，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）当四边形PQMN 是矩形时，PQ ∥AB ．根据tan ∠PQM ＝PM PQ求解即可．（2）如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y ＝PM •MK 求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．根据EG ＝12PC 构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．根据PC ＝GH 构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ=3955253PACQ=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝35x，AM＝45x，KQ＝45BQ＝2445x-，BK＝35BQ＝1835x-，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝296325x x-（0＜x＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝35NQ＝35PM＝925x，PC＝8﹣x，∴925x＝12•（8﹣x），解得x＝20043．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝12•925x，解得x＝40059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分三种情形：AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC分别求解即可解决问题．【解答】证明：（1）∵∠ABP +∠BAP +∠APB ＝180°，∠APB +∠BAC ＝180°，∴∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAC ，即∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAP +∠CAP ，∴∠ABP ＝∠CAP ，又∵∠APB ＝∠APC ，∴△PAB ∽△PCA ．（2）如图1中，∵∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴，又∵△PAB ∽△PCA ，∴12PB PA AB PA PC AC ===，∴14PB PB PA PC PA PC == ，即4PC PB =．（3）∵∠BAC ＝45°，∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝∠APC ，∴∠APB ＝∠APC ＝135°．∴∠BPC ＝360°﹣∠APB ﹣∠APC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA ∽△PAB ，∴PA PC AC PB PA AB==，∴163．①如图2中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC 时，2tan PBC=()=1PC AC PB AB =∠．②如图3中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC 时，∠ACB ＝∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，易得2AC AB ，∴2tan PBC=()=2PC AC PB AB=∠．③如图10﹣4，当△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC 时，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠ACB ＝90°，易得2=2AC AB ，∴21tan PBC=()=2PC AC PB AB =∠．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，∠CDE ＝∠A ，∠GBE ＝∠ABC ，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当∠A ＝2∠ACD 时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，AD ：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD ：BE 的值；如果变化，请说明理由．【考点】三角形综合题．。

上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析

上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 3．已知一个坡的坡比为i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（） A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.501/ 182.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.503.60 ？A．3.60 和2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ． 8．化简：= ． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则 AP﹣BP= ． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1） f（5）（填＞或＜） 11．求值：sin60tan30= ． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若AC=BC=2，则线段 CG 的长为． 13．两个相似三角形的相似比为 2： 3，则它们的面积之比为． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是米． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则cosA= ．三.解答题（本大题共7 题，共---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量． 21．如图，在△ABC 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和 BD，过点 D 作地面MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：DE=DF． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在3/ 18点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向． 25．如图，△ABC 边 AB 上点D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设 AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域． 2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．【解答】解：抛物线 y=x2 ﹣2x+4 的对称轴为 x=1； A、y=4x2 +2x+1 的对称轴为 x=﹣，不符合题意； B、y=2x2 ﹣4x+1 的对称轴为 x=1，符合题意； C、y=2x2 ﹣x+4 的对称轴为 x=，不符合题意； D、y=x2 ﹣4x+2 的对称轴为 x=2，不符合题意，故选 B．【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】解：∵ADCE=AEBD，，DE∥BC，故选 C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 的关键． 3．已知一个坡的坡比为 i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比的定义：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据此即可判断．【解答】解：i=tan．故选 C．【点评】本题考查了坡比的定义，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，是关键． 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 【考点】*平面向量．【专题】推理填空题．【分析】根据向量和都是单位向量，可知| |=| |=1，由此即可判断．【解答】解：∵已知向量和都是单位向量， | |=| |=1， | |﹣| |=0，故选 D．【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键． 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（）A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据上加下减、左加右减的原则进行解答即可．【解答】解：由左加右减的原则可知，二次函数 y=x2 的图象向左平移个单位得到 y=（x+2） 2 ，由上加下减的原则可知，将二次函数 y=（x+2）2 的图象向上平移 3 个单位可得到函数 y=（x+2） 2 +3，故选：5/ 18A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知上加下减、左加右减的原则是解答此题的关键． 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？A．3.60 和 2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理可求 AB，即图⑤绝对宽度，再根据三角形面积公式可求图⑤绝对高度．【解答】解：图④，过 A 点作 ADBC 于 D， BD=3.602=1.80，在Rt△ABD 中，AB= =3，图⑤绝对宽度为 3；图⑤绝对高度为：2.403.60223 =4.3223 =2.88．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的绝对高度和绝对宽度的定义．二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义可得 b2 =ac，从而易求 c．【解答】解：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∵线段 a 是线段 b、c 的比例中项， a2 =bc，即 32 =2c，c= ．故答案是：．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 8．化简：= ﹣﹣7 ．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：=2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣﹣7 ．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若 AB=2，则 AP﹣BP= 2 ﹣4 ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞BP， AP= AB= ﹣1，则BP=2﹣AP=3﹣， AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2 ﹣4，故答案为： 2 ﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1）＞ f（5）（填＞或＜）【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【解答】解：∵二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，当 x7/ 18的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， f（1）＞f（5），故答案为：＞．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性，难度不大． 11．求值：sin60tan30= ．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式= = ．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若 AC=BC=2，则线段 CG 的长为．【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍解答即可．【解答】解：∵G 是等腰直角△ABC 的重心，AC=BC=2， CG= ，故答案为：【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键． 13．两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的面积之比为 4：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 9．故答案为：4：9 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为 S= C2 ．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】直接利用等边三角形的性质得出 AD 的长，再利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：过点 A 作ADBC 于点D，∵等边三角形的周长为C，AB=BC=AC= ， DC=BD= ， AD= = C， S= C = C2 ．故答案为： S= C = C2 ．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG∥BC 得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：作 AHBC 于 H，交 DG 于 P，如图所示：∵△ABC 的面积= BCAH=9，BC=6， AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x．由正方形 DEFG 得，DG∥EF，即DG∥B C，∵AHBC， APDG．由DG∥BC 得△ADG∽△ABC ．∵PHBC，DEBC PH=ED，AP=AH﹣PH，9/ 18即，由 BC=6，AH=3，DE=DG=x，得，解得 x=2．故正方形 DEFG 的面积=22 =4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是 27 米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作 PEAB 于点 E，在直角△AEP 中，利用三角函数求得 AE 的长，根据 AB=2AE 即可求解．【解答】解：作PEAB 于点E，在直角△AEP 中，APE=，则AE=PEtanAPE=300.45=13.5（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段 AP 的长为 4 或．【考点】相似三角形的判定．【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再分△ADP∽△ABC 与△ADP∽△ACB 两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6， AB= =10．∵D 是边 AB 的中点， AD=5．当△ADP∽△ABC 时， = ，即 = ，解得 AP=4；当---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ △ADP∽△ACB 时， = ，即 = ，解得 AP= ．故答案为：4 或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则 cosA= ．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD的角平分线，设BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，因为四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，所以S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出 OB2 =OAON=5k 2 ，推出 OB=k，AB=AD= = k，由 ADBH= BDAO，推出BH= = ，再利用勾股定理求出 AH 即可解决问题．【解答】解：如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．∵ABBN，ADDN，ABN=ADN=90，在Rt△ANB 和Rt△AN D 中，，△ABN≌△ADN，BAN=DAN， AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD 的角平分线，设 BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设 S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，∵四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，∵△ABO∽△BNO， OB2 =OAON=5k 2 ， OB= k，AB=AD= = k，∵ ADBH= BDAO， BH= = ，11/ 18AH= = = k， cosA= = = ．故答案为【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：y= x2 ﹣4x+5=（x﹣4）2 ﹣3，抛物线开口向上，对称轴 x=4，顶点（4，﹣3）．【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量．【考点】*平面向量；梯形．【专题】计算题．【分析】（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，将问题转化到△ABM 中，利用相似三角形的判定与性质求 EN，由 EF=EN+NF=EN+AD 进行求解；（2）由 = 、 = 得 BC= AD，EB= AB，根据 = 可得答案．【解答】解：（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，又AD∥BC，EF∥AD，---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 四边形 BCFN 与 MNFD 均为平行四边形． BC=NF=MD=2， AM=AD﹣MD=1．又 =2， = ，∵EF∥AD，△BEN∽△BAM，，即， EN= ，则 EF=EN+NF= ；（2）∵ = ， = ， BC= AD，EB= AB， = = ，= = ，则 = = + ．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出对应边的长度之比和向量的基本运算是解题的关键． 21．如图，在△AB C 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据A 的正切用 BC 表示出 AC，再利用勾股定理列方程求出 BC，再求出 AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）设 CE=x，表示出 AE，再根据翻折变换的性质可得 BE=AE，然后列方程求出 x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵ACB=90，tanA= ， = ， AC=2BC，在Rt△ABC 中，BC2 +AC 2 =AB 2 ，即 BC2 +4BC 2 =25，解得 BC= ，所以，AC=2 ，△ABC 的面积= ACBC= 2 =5；（2）设 CE=x，则 AE=AC﹣CE=2 ﹣x，∵△ABC 沿直线 l 翻折点 A 与点 B 重合， BE=AE=2 ﹣x，在Rt△BCE 中，BC2 +CE 2 =BE 2 ，即2 +x 2 =（2﹣x）2 ，解得 x= ，所以，CE= ， BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，所以，sinCBE= = = ．【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，13/ 18利用勾股定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面 C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和BD，过点 D 作地面 MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，根据三角函数，利用 x 表示出 AE 和 BE 的长，则在直角△BED 中，利用勾股定理表示出 BD 的长，在直角△ABC 中利用勾股定理表示出BC，根据 BC=BD 即可列方程求解．【解答】解：作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，BAE=90﹣DAH=90﹣30=60，则 AE=ABcosBAE=xcos60= x（米）， BE=ABsinBAE=xsin60= x（米）．则 DE=AD﹣AE=12﹣ x，在直角△BED 中，BD2 =BE 2 +DE 2 =（x）2 +（12﹣x）2 =144+x 2 ﹣12x，在直角△ABC 中，BC2 =AC 2 +AB 2 =7 2 +x 2 =49+x 2 ．∵BC=BD， 144+x2 ﹣12x=49+x 2 ．解得 x= 7.9 答：电线杆 AB 的高度约是 7.9 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，利用 AB 的长表示抽BD 和 BC 是关键． 23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ DE=DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出 AD= ，BD= ，得出 BD=CD，由等腰三角形的性质得出DBC=ACB，证出ABD=BDC，再证明点 B、E、D、F 四点共圆，由圆周角定理得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB 是AD 与AC 的比例中项．，又∵A=A，△ABD∽△ACB， ACB=ABD；（2）证明：∵△ABD∽△ACB，，即，解得：AD= ，BD= ， CD=AC﹣AD=6﹣ = ， BD=CD， DBC=ACB，∵ACB=ABD，ABD=BDC，∵EDF=A+C，A+C=180﹣ABC， EDF+ABC=180，点 B、E、D、F 四点共圆，， DE=DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的关键． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出 D，E 坐标，根据平移，用 k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标15/ 18轴上点的特点得出m+n=16，mn=63﹣，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出 k 【解答】解：（1）∵抛物线过点 A（1，0）、B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），∵C（4，6）， 6=a（4﹣1）（4﹣3）， a=2，抛物线的解析式为 y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2 ﹣8x+6；（2）如图，设点 D（m，0），E（n，0），∵A（1，0）， AD=m﹣1，AE=n﹣1 由（1）知，抛物线的解析式为 y=2x2 ﹣8x+6=2（x﹣2） 2 ﹣2；将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，得到抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2；再沿 y 轴方向平移 k 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2﹣k；令 y=0，则 2（x﹣8）2 ﹣2﹣k=0，2x2 ﹣32x+126﹣k=0，根据根与系数的关系得， m+n=16，mn=63﹣，∵A（1，0），C（4，6）， AC2 =（4﹣1）2+6 2 =45，∵△ACD∽△AEC，，AC2 =ADAE， 45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， 45=63﹣﹣16+1，k=6，即：k=6，向下平移 6 个单位．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点 D，E 的坐标，借助韦达定理直接求出 k． 25．如图，△ABC 边 AB 上点 D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【考点】三角形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 性质；解直角三角形．【专题】压轴题；面积法．【分析】（1）先根据ACB=90，AC=3，BC=4，求得 AB=5，sinA= ，tanB= ，再根据△ACD 为直角三角形，求得 AD，在Rt△CDE 中，求得 DE，最后根据 BE=AB ﹣AD﹣DE 进行计算即可；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，进而得出CED=CDE，再根据B=DCE，CDE=BDC，得到BCD=CED=CDE=BDC，最后求得 AD 的长；（3）先作 CHAB 于 H，Rt△ACH 中，求得 CH 和 AH 的长，在Rt△CDH 中，根据勾股定理得出：CD2 =x 2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出 CD2 =DEDB，即 x 2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【解答】（1）在△ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4， AB=5，sinA= ，tanB= ，如图，当 CDAB 时，△ACD 为直角三角形，CD=ACsinA= ，AD= = ，又∵DCE=ABC，在Rt△CDE 中，DE=CDtanDCE= = ， BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣ = ；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，唯有CED=CDE，又∵B=DCE，CDE=BDC， BCD=CED=CDE=BDC， BD=BC=4， AD=5﹣4=1；（3）如图所示，作 CHAB 于 H，∵ BCAC= ABCH， CH= ，Rt△ACH 中，AH= = ，在Rt△CDH 中，CD2 =CH 2 +DH 2 =（）2 +（﹣x）2 =x 2 ﹣x+9，又∵CDE=BDC，DCE=B，△BDC∽△CDE， CD2 =DEDB，即 x2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），解得．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性17/ 18质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．。

2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．（4分）正八边形的中心角为度．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（4分）正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF ＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2019学年杨浦初三数学一模试卷含答案

2019学年杨浦初三数学一模试卷含答案

杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）； C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot α，那么锐角α= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP FH第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ． （填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4 （本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ． 在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分） 在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5. 设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC∠=得BC =x . ················· （2分） 又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分） ∴x=20. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分） （3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH =，................................. （2分） 在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-===，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH =，.∴在Rt PCH∆中，142CH x PC=-==，........... （1分）设PC与对角线BD交于点G. ∵AB//CD，∴BP PG BG xCD===.∴BG CG=···················································（1分）∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.∴PB BGCQ CG=，∴xy···················································（1分）∴y=08x≤<）. ······················································（2分）（3）i）当点P在射线BA上，点E在边BC的延长线时.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠PBQ=∠QBC=1302ABC∠=︒.∵△PBG∽△QCG，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.∴∠QPG=∠QBC30=︒，又∠PBQ=∠PCQ30=︒，∴60CQE QPC QCP∠=∠+∠=︒.∴60CQE PBC∠=∠=︒. ····································································（1分）∵PCB E∠>∠，∴PCB QCE∠=∠.又180PCB QCE PCQ∠+∠+∠=︒，∠PCQ30=︒，∴75PCB QCE∠=∠=︒.过C作CN BP⊥，垂足为点N，∴在Rt CBN∆中，2BN CN==，∴在Rt PCN∆中，PN CN==∴2BP=. ................................................................................................................. （2分）ii）当点P在边AB的延长线上，点E在边BC上时，同理可得2BP=. ...... （3分）。

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是( )A ．1:2000B ．1:200C ．200:1D ．2000:12．将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-3．若斜坡的坡比为( ) A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒4．如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =5．若2a e =，向量b 和向量a 方向相反，且||2||b a =，则下列结论中不正确的是( ) A ．||2a =B ．||4b =C ．4b e =D ．12a b =-6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线1x =-；③m 的值为0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是( ) A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知23a b =，则aa b+的值是 ． 8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，4AB =，那么AP = ． 9．计算：3(2)42a b b --= ．10．已知1(2,)A y -、2(3,)B y -是抛物线2(1)y x c =-+上两点，则1y 2y ．（填“>”、“ =”或“<”）11．如图，在ABCD 中，3AB =，5AD =，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且1CF =，则CE 的长为 ．12．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，则sin A = ．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为 厘米．14．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，//AH CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =，BC b =，则用a 、b 表示EG = ．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，2sin 3ACG ∠=，则BC 长为 ．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60︒，测得2号楼顶部F 的俯角为45︒．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 米（结果保留根号）．17．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD CD =，CE AB ⊥于点E ，5cos 13B =，则BED ABCS S ∆∆= ．18．在梯形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作//EF AD 交边AB 于点F ．将BEF ∆沿直线EF 翻折得到GEF ∆，当EG 过点D 时，BE 的长为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 1920．如图，已知ABC ∆，点D 在边AC 上，且2AD CD =，//AB EC ，设BA a =，BC b =． （1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD ．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D 的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值．22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒．（参考数据：sin 710.95︒≈，cos710.33︒≈，tan 71 2.88)︒≈ （1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1)cm ；（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B E ''为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1)cm23．如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =．（1）求证：DE EF ⊥； （2）求证：22BC DF BF =．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S ∆；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果MBF ∆与AOM ∆相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．25．已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是( )A ．1:2000B ．1:200C ．200:1D ．2000:1【解答】解：因为2毫米0.2=厘米， 则0.2厘米：40厘米1:200=； 所以这幅设计图的比例尺是1:200． 故选：B ．2．将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-【解答】解：将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2+个单位长度所得的抛物线解析式为2(1)2y x =-+． 故选：A ．3．若斜坡的坡比为( ) A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：斜坡的坡比为α，tan α∴==60α∴=︒．故选：D ．4．如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =【解答】解：A 、由ADC ACB ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； B 、由AB ACBC CD=不能判定ACD ABC ∆∆∽，此选项符合题意； C 、由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意；D 、由2AC AD AB =，即AC ABAD AC=，且A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； 故选：B ．5．若2a e =，向量b 和向量a 方向相反，且||2||b a =，则下列结论中不正确的是( ) A ．||2a =B ．||4b =C ．4b e =D ．12a b =-【解答】解：A 、由2a e =推知||2a =，故本选项不符合题意． B 、由4b e =-推知||4b =，故本选项不符合题意． C 、依题意得：4b e =-，故本选项符合题意．D 、依题意得：12a b =-，故本选项不符合题意．故选：C ．6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线1x =-；③m 的值为0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是( ) A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线1312x -+==，故②错误，抛物线的顶点坐标是(1,1)-，有最小值，故抛物线2y ax bx c =++的开口向上，故①错误， 当0y =时，0x =或2x =，故m 的值为0，故③正确，当0y …时，x 的取值范围是02x 剟，故④正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分） 7．已知23a b =，则a ab +的值是 5． 【解答】解：23a b = ∴设2a k =，则3b k =． ∴22235a k ab k k ==++．8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，4AB =，那么AP = 2- ． 【解答】解：由于P 为线段4AB =的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则42AP AB ===-．故答案为2．9．计算：3(2)42a b b -- 72b - ．【解答】解：：3333(2)42472222a b b a b b a b --=-⨯-=-．故答案是：372a b -．10．已知1(2,)A y -、2(3,)B y -是抛物线2(1)y x c =-+上两点，则1y < 2y ．（填“>”、“ =”或“<” )【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =， 而1x <时，y 随y 的增大而减小， 所以12y y <． 故答案为<．11．如图，在ABCD 中，3AB =，5AD =，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且1CF =，则CE 的长为4．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形 //AB CD ∴，5AD BC ==， ABE FCE ∴∆∆∽ ∴331AB BE CF CE === 3BE CE ∴= 5BC BE CE =+=54CE ∴=故答案为：5412．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，则sin A =5．【解答】解：90C ∠=︒，5AB =，3BC =， 3sin 5BC A AB ∴==， 故答案为：35．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为3厘米．【解答】解：设三角形ABC 的高AH 为x 厘米． 由正方形DEFG 得，//DG EF ，即//DG BC ，AH BC ⊥，AP DG ∴⊥．由//DG BC 得ADG ABC ∆∆∽ ∴AP DG AH BC=． PH BC ⊥，DE BC ⊥，PH ED ∴=，AP AH PH =-， BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米， ∴252540x x -=， 解得2003x =． 即AH 为2003厘米． 故答案为：2003． 14．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，//AH CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =，BC b =，则用a 、b 表示EG = 2．【解答】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，则//AD HC ，//AH CD ，∴四边形AHCD 是平行四边形．AD HC ∴=．又EF 是梯形ABCD 的中位线，2AD BC EF +∴=，且GF AD =． 22AD BC BC AD EG EF GF AD +-∴=-=-=． AD a =，BC b =， ∴2b a EG -=． 故答案是：2b a -．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，2sin 3ACG ∠=，则BC 长为 4 ．【解答】解：延长CG 交AB 于D ，作DE BC ⊥于E ，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，3CD ∴=，点D 为AB 的中点，DC DB ∴=，又DE BC ⊥，12CE BE BC ∴==， 90ACG DCE DCE CDE ∠+∠=∠+∠=︒，ACG CDE ∴∠=∠，2sin sin 3ACG CDE ∠=∠=， 2CE ∴=，4BC ∴= 故答案为：4．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60︒，测得2号楼顶部F 的俯角为45︒．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 (50- 米（结果保留根号）．【解答】解：过点E作EG AB⊥于G，过点F作FH AB⊥于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，20EC GB∴==，HB FD=，B为CD的中点，EG CB BD HF∴===，由已知得：906030EAG∠=︒-︒=︒，45AFH∠=︒．在Rt AEG∆中，502030AG AB GB=-=-=米，tan3030EG AG∴=︒==米，在Rt AHP∆中，tan45AH HF=︒=50FD HB AB AH∴==-=-)．答：2号楼的高度为(50-米．故答案为：(50-．17．如图，在ABC∆中，AB AC=，BD CD=，CE AB⊥于点E，5cos13B=，则BEDABCSS∆∆=169．【解答】解：AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒， 5cos 13BD B AB ==， 设5BD x =，13AB x =，12AD x ∴==，210BC BD x ∴==，CE AB ⊥，90BEC ∴∠=︒，B B ∠=∠，ABD CBE ∴∆∆∽， ∴BC BE CE AB BD AD ==， ∴1013512x BE CE x x x==， 5013BE x ∴=，12013CE x =， ∴11501201252213132116910122BCE BEDABC ABC x x S S S S x x ∆∆∆∆⨯⨯⨯===⨯⨯， 故答案为：25169． 18．在梯形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作//EF AD 交边AB 于点F ．将BEF ∆沿直线EF 翻折得到GEF ∆，当EG 过点D 时，BE 的长为 12．【解答】解：如图，//EF AD ，A EFB ∴∠=∠，GFE AMF ∠=∠，GFE ∆与BFE ∆关于EF 对称，GFE BFE ∴∆≅∆，GFE BFE ∴∠=∠，A AMF ∴∠=∠，AMF ∴∆是等腰三角形，AF FM ∴=，作DQ AB ⊥于点Q ，90AQD DQB ∴∠=∠=︒．//AB DC ，90CDQ ∴∠=︒．90B ∠=︒，∴四边形CDQB 是矩形，2CD QB ∴==，6QD CB ==，1028AQ ∴=-=，在Rt ADQ ∆中，由勾股定理得10AD ==，3tan 4A =， 3tan 4BE EFB BF ∴∠==， 设3EB x =，4FB x ∴=，63CE x =-，104AF MF x ∴==-，810GM x ∴=-，90G B DQA ∠=∠=∠=︒，GMD A ∠=∠，DGM DQA ∴∆∆∽， ∴DG GM DQ AQ=， 1562GD x ∴=-， 1532DE x ∴=-， 在Rt CED ∆中，由勾股定理得2215(3)(63)42x x ---=， 解得：65312x =， ∴当EG 过点D 时6512BE =． 故答案为：6512．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19【解答】解：原式===2=+．20．如图，已知ABC ∆，点D 在边AC 上，且2AD CD =，//AB EC ，设BA a =，BC b =．（1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD ．【解答】解：（1）BA a =，BC b =，∴CA CB BA b a =+=-+，2AD CD =， 13CD CA ∴=， CD 与CA 同向， ∴1111()3333CD CA b a a b ==-+=-；（2）如图BD 在BA 、BC 上的分向量分别为BM ，BN ．11123333BD BC CD b a b a b =+=+-=+．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D 的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值．【解答】解：（1）抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)， ∴22(3)(3)032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，2224282(1)3333y x x x ∴=--+=-++， ∴抛物线顶点D 的坐标为8(1,)3-， 即该抛物线的解析式为224233y x x =--+，顶点D 的坐标为8(1,)3-； （2）228(1)33y x =-++， ∴该抛物线的对称轴为直线1x =-，点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点(0,2)C ，∴点E 的坐标为(2,2)-，当0y =时，2280(1)33x =-++，得13x =-，21x =， ∴点B 的坐标为(1,0)，设直线BE 的函数解析式为y kx n =+，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BE 的函数解析式为2233y x =-+， 当0x =时，23y =， 设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为2(0,)3， 23OF ∴=， 点(0,2)C ，点(2,2)E -，2OC ∴=，2CE =，24233CF ∴=-=， 423tan 23CE CEF CF ∴∠===， 即tan CEB ∠的值是23．22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒．（参考数据：sin 710.95︒≈，cos710.33︒≈，tan 71 2.88)︒≈（1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1)cm ；（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B E ''为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1)cm【解答】解：（1）设AC 于BE 交于H ，AD l ⊥，CF l ⊥，HE l ⊥，////AD CF HE ∴，30AD cm =，30CF cm =，AD CF ∴=，∴四边形ADFC 是平行四边形，90ADF ∠=︒，∴四边形ADFC 是矩形，30HE AD cm ∴==， BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒，sin 7151.3BH BC cm ∴=︒=，51.33081BE BH EH BH AD cm ∴=+=+=+≈； 答：车座B 到地面的高度是81cm ；（2）如图所示，96.8B E cm ''=，设B E ''与AC 交于点H '，则有//B H BH ''， ∴△B H C BHC ''∆∽，得B H B C BH BC'''=． 即90305154B C -'=， 63B C cm '∴=．故63549()BB B C BC cm ''=-=-=．∴车架中立管BC 拉长的长度BB '应是9cm ．23．如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =．（1）求证：DE EF ⊥；（2）求证：22BC DF BF =．【解答】（1）证明：AF BC ⊥于点F ，90AFB ∴∠=︒， 点E 是AB 的中点，AE FE ∴=，EAF AFE ∴∠=∠，2AE EG ED =， ∴AE DE EG AE=， AEG DEA ∠=∠，AEG DEA ∴∆∆∽，EAG ADG ∴∠=∠，AGD FGE ∠=∠，DAG FEG ∴∠=∠，四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，90DAG AFB ∴∠=∠=︒，90FEG ∴∠=︒，DE EF ∴⊥；（2）解：AE EF =，2AE EG ED =，2FE EG ED ∴=， ∴EF EG DE EF=， FEG DEF ∠=∠，FEG DEF ∴∆∆∽，EFG EDF ∴∠=∠，BAF EDF ∴∠=∠，90DEF AFB ∠=∠=︒，ABF DFE ∴∆∆∽， ∴AB BF DF EF=， 四边形ACBD 是菱形，AB BC ∴=，90AFB ∠=︒，点E 是AB 的中点，1122FE AB BC ∴==，∴12BC BF DF BC =， 22BC DF BF ∴=．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ∆；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果MBF ∆与AOM ∆相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【解答】解：（1）抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒，∴点(2,0)B，点(1,A -，∴22022(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨=⨯-+⨯-⎪⎩，得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的解析式为2y x =+； （2）连接MO ，AM ，AM 与y 轴交于点D ，2231)yx =-+=-+，∴点M 的坐标为， 设过点(1,A -，M 的直线解析式为y mx n =+，m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM的函数解析式为y =-， 当0x =时，y =， ∴点D的坐标为(0,，OD ∴AOM AOD MODS S S ∆∆∆∴=+=+=； （3）当AOM FBM ∆∆∽时，OM OA BM BF=， 2OA =，点(0,0)O，点M ，点(2,0)B ，OM ∴=，BM =，∴2BF=， 解得，2BF =，∴点F 的坐标为(4,0)，设抛物线2C的函数解析式为：21)y x c =-+， 点(4,0)F 在抛物线2C 上，201)c ∴=-+，得c = ∴抛物线2C的函数解析式为：21)y x =-+ 当AOM MBF ∆∆∽时，OM OA BF BM=， 2OA =，点(0,0)O，点M ，点(2,0)B ，OM ∴=，BM =，∴=， 解得，23BF =， ∴点F 的坐标为8(3，0)，设抛物线2C 的函数解析式为：21)y x d =-+， 点8(3F ，0)在抛物线2C 上，280(1)3d ∴=-+，得d =∴抛物线2C 的函数解析式为：21)y x =-+．25．已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．【解答】解：（1）设：ACB EDC CAD α∠=∠=∠=∠， 4cos 5α=，3sin 5α∴=， 过点A 作AH BC ⊥交于点H ，sin 6AH AC DF α===，2BH =，如图1，设：4FC a =，4cos 5ACB ∴∠=，则3EF a =，5EC a =， EDC CAD α∠=∠=∠，ACD ACD ∠=∠， ADC DCE ∴∆∆∽，22223616105AC CE CD DF FC a a ∴==+=+=，解得：2a =或98（舍去2)a =， 710242AD HF a ==--=； （2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-， 即：2236(8)CD x =+-，由（1）得：2AC CE CD =， 即：21810(016105y x x x =-+<<且10)x ≠⋯①， （3）①当DF DC =时，ECF FDC α∠=∠=，DFC DFC ∠=∠， DFC CFE ∴∆∆∽，DF DC =， FC EC y ∴==，10x y ∴+=， 即：2181010105x x x =-++， 解得：6x =；②当FC DC =，则DFC FDC α∠=∠=，则：EF EC y ==，10DE AE y ==-，在等腰ADE ∆中，11422cos cos 105AD x DAE AE y α∠====-， 即：5880x y +=，将上式代入①式并解得：394x =； ③当FC FD =，则FCD FDC α∠=∠=，而ECF FCD α∠=≠∠，不成立， 故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394．。

上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版含答案)

上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版含答案)

BB2019届一模提升题汇编第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【25．解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分）（第25题图1）（第25题图）∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD ∽CDE ………………………………………（1分）∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分）∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分） ∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.（图10-1）（图10-2）DCABBAE【2019届一模杨浦】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 解：（1）∵AD //BC ，∴DEAE ADEF EB BF.∵E 为AB 中点，∴AE =BE . ∴AD = BF ，DE = EF . ∵AD =3，AB =6，∴BF =3，BE =3. ∴BF =BE .∵AB ⊥BC ，∴∠F =45°且EF =32. ··················· （1分） ∴DF =2EF =62. ···························· （1分） ∵DF ⊥DC ，∠F =45°，∴CF =12. ···················· （1分） ∴BC = 1239CFBF . ······················（1分） A BCD E F（图1）（第25题图）A BCDEF （图2）（2）∠DCE的大小确定，1tan2DCE. ·················（1分）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD+∠HDC=90°.∵DF⊥DC，∴∠ADE+∠HDC=90°. ∴∠HCD=∠ADE.又∵AB⊥AD，∴∠A=∠CHD. ∴△AED∽△HDC. ·············（2分）∴DE ADDC CH. ·····························（1分）∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH=AB=6.∵AD=3，CH=6，∴12DEDC.即1tan2DCE. ··············（1分）（3）当点E在边AB上，设AE=x，∵AD//BC，∴AD AEBF EB，即36xBF x.∴183xBFx.∵△AEF的面积为3，∴11833 2xxx.∴4x. ·······························（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=5. ∵12DEDC，∴DC=10.∵DF⊥DC，∴1510252DCES. ··················（1分）当点E在边AB延长线上，设AE=y，∵AD//BC，∴AD AEBF EB，即36yBF y.∴318yBFy.∵△AEF的面积为3，∴131832yyy.∴8y. ·············（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=73.联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得12DEDC. ·····（1分）AB CDEF∴DC =273∵DF ⊥DC ，∴173273732DCES.················（1分） 综上，当△AEF 的面积为3时，△DCE 的面积为25或73.】【2019届一模普陀】25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 25．解：ABCPO ABCPO图11①图11②（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ·················· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=．在Rt △COH 中，60COB ∠=，2OC =．∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=，∴90ACH HCB ∠+∠=． ∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ······················· （1分）∴2CH AH BH =⋅．（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=，OC m =．在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．（3）延长QA 、CO 交于点E ．∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠． ∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ················ （1分）【2019届一模奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【25．解：（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ····················· （1分） ∴EF =DC ． ······························ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ．∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE ．··········· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中， 90CMB，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC =PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC=． 图11ABCDFEG备用图ABCD（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF ，90FDA ，∴90DFA． ············（1分） ∵90FADADF，90FDC ADF，∴FAD FDC ．∵AB ∥EF ，∴BCEF ．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ．∴BFDC FAD ． ·······················（1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ，3BM AB CD =-=，5BC =，【2019届一模松江】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPCDE∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD =DA ，∴FD =DC ，BF =AC …………………（1分） ∵CE =2，ED =3，则CD =5，∴EF =8 ∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP =k ，则P A =3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A =PB =3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD =∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD =∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A =∠DCA ，∴∠DPE =∠DCP ，∵∠PDE =∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE =3,DC =5，∴15=PD …………………………………………………（1分）】【2019届一模嘉定】25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）（备用图2）ABC DPE PE （备用图1）AB C DF在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【25.（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAE AE AM = ……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分A备用图 BDCA备用图BDCA 图8B MEDCNA 备用图BDCM EN A 图9BDCA图8 BM EDC N（2）解：∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan ∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE ∴27298=-=AE ……………………1分 由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM =∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分 （3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠ 又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠由（2）得：29=DE ……………………2分2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠M EN A 图9 BDCA 图10B MEDCNH设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE……………………2分 【2019届一模青浦】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【25．解：（1）∵AD //BC ，∵DB =DC =15，DE =DF =5，∴BG ＝CH ． ························· （1分）NHG FED C AB（第25题图）（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．··········（1分）∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC =∠FGH，∴BD∥FG，·························（1分）（ii）当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND =∠FGH，∴△ADN∽△FCG．·····················（1分）图11ABCPQM【2019届一模静安】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC∆中，6AB =，9AC =，tan ABC ∠=B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 25．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ···············（1分）∴279BC BH HC =+=+=, ··················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠ ∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+ （1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················· （1分） ∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ= ∴24369x x x y-+=, 即29(0)436x y x x x =>-+ ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=22229536436436436x x x x x x x x x ++-++=-+-+由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 254436CQ x x =-+ ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠，故只有两种可能：……（1分）①90PCQ ∠=，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 222536543436436x x x x x x ++=⨯-+-+，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 第25题ABCPQMGH222536543436436x x x x x x ++⨯=-+-+，该方程无解； （1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．】【2019届一模宝山】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第（3）小题满分4分） 解：(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°13AP =备用图A BCD PEABCDF（图10）∵AB //CD ，AM =CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM =AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE =AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP =EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE =AP =x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE =PC =√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE =AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP =EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分化简得(3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB //CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分0292032=+-x x∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F =∠DAE =15°∴AE =AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG =CE =……………… ………1分 ∴EG =∵△ADE ∽△FGE ∴∴FG =………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．】【2019届一模长宁】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．3232-56225-FGADEG DE =133-133-如图2BF EC ND AMB FC E N ADM如图1备用图BC NAM【25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∵25=BC ∴15=AC （1分）∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC∴16=EF （1分）（2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF （1分） ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA∆ ∴EF FC AF ⋅=2第25题图∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322（1分）∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322 （1分）∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆ ∴ACBEFC BD =（1分） ∴1525740025x xx y--=- ∴157400x y -=（2250≤<x ） （1分+1分） （3）596或 1172000（2分+2分）】 【2019届一模金山】25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．AB CDEFGOHM第25题图第25题备用图ABCD EFO【25.（1）证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴BCA BAC ∠=∠，∵180=∠+∠+∠ABC BCA BAC ，∴ 30=∠BAC ，得90=∠CAF ， （1分）同理 90=∠ACD ，90=∠AFD ，（1分） ∴四边形ACDF 是矩形． （1分）∴OCD ∆为等边三角形，∴r OC CD ==，60=∠OCD ， 作CD ON ⊥垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，作AC OP ⊥垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，当CH 经过点E 时，可知30=∠ECD , ∵四边形ACDF 是矩形，∴CD AF //，∴30=∠=∠ECD AHC ，∵CH MH ⊥，∵⊙M 与⊙O 外切，（3）作CM HQ ⊥垂足为Q ，由α=∠HCD ，CH MH ⊥可得α=∠QHM , ∵CD AF //,CD AC ⊥①当600<<α时，点H 在边AF 的延长线上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，②当60=α时，点H 与点F 重合，此时点C 、M 、H 、F 构成三角形，非四边形，所以舍去. （1分）③当9060<<α时，点H 在边AF 上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，∴()()2tan 3322r HQ CM FH S ⋅+=⋅+=α. （1分）综上所述，当()900<<=∠ααHCD 时，点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积为()23tan 3cot 62r S ⋅-+=αα或()2tan 332r S ⋅+=α.（备注：若求出ααcos sin 3⋅=r CM ，可得当600<<α2cos sin 2323cot 23r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα， 当9060<<α时2cos sin 23cot 2323r S ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=ααα.】【2019届一模闵行】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．F【25．解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．∵AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，∴AB = 13．……………………………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．∴△ADF∽△BCE．ADFSS =9BECS =过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5． ∴ 945BECS S ==．12BECS=∴ 6EH =．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ．（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADFABCD ABEF S S SS ++=四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =． ∴ 9225BECS S ==．12BECS=∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．】【2019届一模虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图ABC第25题图EABCFDG【25．（1）根据题意得△ABE≌△GBE∴BG=AB=6由△ABE≌△GBE得∠AEB=∠BEG∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF∴∠BEF=∠EBF∴FE=FB=9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD∥BC∴∠ADB=∠GBF又∵∠A=∠BGF=90°∴△ABD∽△GFB∵AD∥BC∠A=90°∴∠ABF=90°∴∠ABG+∠GBF=90°又∵∠GBF+∠EFB =90°∴∠ABG =∠EFB根据题意得AB=BG又∵FE=FB∴△ABG∽△EFB…………………………………………………………………（1分）（3）①点F在BC上∵∠GFC=∠AEG>90°∵△FCG是等腰三角形∴FG=FC设FG=FC=a，则BF=10-atan∠GBF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB=②点F在BC的延长线上∵∠GCF>∠DCF >90°∵△FCG是等腰三角形∴CG=CF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB= tan∠GBF31。

(完整word)上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版包含答案),推荐文档

(完整word)上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版包含答案),推荐文档

BB2019届一模提升题汇编第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【25．解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分）（第25题图1）（第25题图）∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD V ∽CDE V ………………………………………（1分）∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分）∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分） ∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.（图10-1）（图10-2）DCABBAE【2019届一模杨浦】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 解：（1）∵AD //BC ，∴DE AE ADEF EB BF==.∵E 为AB 中点，∴AE =BE . ∴AD = BF ，DE = EF . ∵AD =3，AB =6，∴BF =3，BE =3. ∴BF =BE .∵AB ⊥BC ，∴∠F =45°且EF =32. ··················· （1分） ∴DF =2EF =62. ···························· （1分） ∵DF ⊥DC ，∠F =45°，∴CF =12. ···················· （1分） ∴BC = 1239CF BF -=-=. ······················ （1分）A BCD E F（图1）（第25题图）A BCDEF （图2）（2）∠DCE的大小确定，1tan2DCE?. ·················（1分）作CH ⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD+∠HDC=90°.∵DF⊥DC，∴∠ADE+∠HDC=90°. ∴∠HCD=∠ADE.又∵AB⊥AD，∴∠A=∠CHD. ∴△AED∽△HDC. ·············（2分）∴DE ADDC CH=. ·····························（1分）∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH=AB=6.∵AD=3，CH=6，∴12DEDC=.即1tan2DCE?. ··············（1分）（3）当点E在边AB上，设AE=x，∵AD//BC，∴AD AEBF EB=，即36xBF x=-.∴183xBFx-=.∵△AEF的面积为3，∴11833 2xxx-鬃=.∴4x=. ·······························（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=5. ∵12DEDC=，∴DC=10.∵DF⊥DC，∴1510252DCES=创=V. ··················（1分）当点E在边AB延长线上，设AE=y，∵AD//BC，∴AD AEBF EB=，即36yBF y=-.∴318yBFy-=.∵△AEF的面积为3，∴131832yyy-鬃=.∴8y=. ·············（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=73.联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得12DEDC=. ·····（1分）AB CDF∴DC =273∵DF ⊥DC ，∴173273732DCE S =创=V .················（1分） 综上，当△AEF 的面积为3时，△DCE 的面积为25或73.】【2019届一模普陀】25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 25．解：ABCPO ABCPO图11①图11②（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ·················· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=o ．在Rt △COH 中，60COB ∠=o ，2OC =．∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=o ，∴90ACH HCB ∠+∠=o ． ∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=o ． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ······················· （1分）∴2CH AH BH =⋅．（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=o ，OC m =．在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．（3）延长QA 、CO 交于点E ．∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠． ∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ················ （1分）【2019届一模奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【25．解：（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ····················· （1分） ∴EF =DC ． ······························ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ．∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE =．··········· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中， 90CMB??，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC =PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC=． 图11ABCDFEG备用图ABCD（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF 泄?，90FDA 泄?，∴90DFA??． ············（1分） ∵90FADADF???，90FDC ADF???，∴FAD FDC ??．∵AB ∥EF ，∴BCEF ??．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ??．∴BFDC FAD ???． ·······················（1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ??，3BM AB CD =-=，5BC =，【2019届一模松江】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPCDE∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD =DA ，∴FD =DC ，BF =AC …………………（1分） ∵CE =2，ED =3，则CD =5，∴EF =8 ∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP =k ，则P A =3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A =PB =3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD =∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD =∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A =∠DCA ，∴∠DPE =∠DCP ，∵∠PDE =∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE =3,DC =5，∴15=PD …………………………………………………（1分）】【2019届一模嘉定】25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）（备用图2）ABC DPE PE （备用图1）AB C DF在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【25.（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAE AE AM = ……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分A备用图 BDCA备用图BDCA 图8B MEDCNA 备用图BDCM ENA 图9BDCA图8 BM ED C N（2）解：∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan ∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE ∴27298=-=AE ……………………1分 由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM =∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分 （3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠ 又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠由（2）得：29=DE ……………………2分2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠M EN A 图9 BDCA 图10B MEDCNH设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE……………………2分 【2019届一模青浦】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【25．解：（1）∵AD //BC ，∵DB =DC =15，DE =DF =5，∴BG ＝CH ． ························· （1分）NHG FED C AB（第25题图）（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．··········（1分）∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC =∠FGH，∴BD∥FG，·························（1分）（ii）当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND =∠FGH，∴△ADN∽△FCG．·····················（1分）图11ABCPQM【2019届一模静安】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan ABC ∠=B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 25．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ··············· （1分）∴279BC BH HC =+=+=, ··················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠ ∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+ （1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················· （1分） ∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ= ∴24369x x x y-+=, 即29(0)436x y x x x =>-+ ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=22229536436436436x x x x x x x x x ++-++=-+-+由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 254436CQ x x =-+ ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠o ，故只有两种可能：……（1分）①90PCQ ∠=o ，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 222536543436436x x x x x x ++=⨯-+-+，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=o ，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 第25题ABPQMG222536543436436x x x x x x ++⨯=-+-+，该方程无解； （1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．】【2019届一模宝山】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第（3）小题满分4分） 解：(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°13AP =备用图A BCD PEABCDF（图10）∵AB //CD ，AM =CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM =AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE =AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP =EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE =AP =x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE =PC =√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE =AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP =EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分化简得(3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB //CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分0292032=+-x x∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F =∠DAE =15°∴AE =AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG =CE =……………… ………1分 ∴EG =∵△ADE ∽△FGE ∴∴FG =………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．】【2019届一模长宁】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．3232-56225-FGADEG DE =133-133-如图2BF EC ND AMB FC E N ADM如图1备用图BC NAM【25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∵25=BC ∴15=AC （1分）∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC∴16=EF （1分）（2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF （1分） ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA∆ ∴EF FC AF ⋅=2第25题图∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322（1分）∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322 （1分）∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆ ∴ACBEFC BD =（1分） ∴1525740025x xx y--=- ∴157400x y -=（2250≤<x ） （1分+1分） （3）596或 1172000（2分+2分）】 【2019届一模金山】25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()ο900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．AB CDEFG OHM第25题备用图 ABCD EFO【25.（1）证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴BCA BAC ∠=∠，∵ο180=∠+∠+∠ABC BCA BAC ，∴ο30=∠BAC ，得ο90=∠CAF ， （1分）同理ο90=∠ACD ，ο90=∠AFD ，（1分） ∴四边形ACDF 是矩形． （1分）∴OCD ∆为等边三角形，∴r OC CD ==，ο60=∠OCD ， 作CD ON ⊥垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，作AC OP ⊥垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，当CH 经过点E 时，可知ο30=∠ECD , ∵四边形ACDF 是矩形，∴CD AF //，∴ο30=∠=∠ECD AHC ，∵CH MH ⊥，∵⊙M 与⊙O 外切，（3）作CM HQ ⊥垂足为Q ，由α=∠HCD ，CH MH ⊥可得α=∠QHM , ∵CD AF //,CD AC ⊥①当ο600<<α时，点H 在边AF 的延长线上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，②当ο60=α时，点H 与点F 重合，此时点C 、M 、H 、F 构成三角形，非四边形，所以舍去. （1分）③当οο9060<<α时，点H 在边AF 上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，∴()()2tan 3322r HQ CM FH S ⋅+=⋅+=α. （1分）综上所述，当()ο900<<=∠ααHCD 时，点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积为()23tan 3cot 62r S ⋅-+=αα或()2tan 332r S ⋅+=α.（备注：若求出ααcos sin 3⋅=r CM ，可得当ο600<<α2cos sin 2323cot 23r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα， 当οο9060<<α时2cos sin 23cot 2323r S ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=ααα.】【2019届一模闵行】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．F【25．解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．∵AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，∴AB = 13．……………………………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．∴△ADF∽△BCE．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5．∴945BEC S S ==V ． ∴ 6EH =．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ．（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADF ABCD ABEF S S S S ++=V 四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =． ∴9225BEC S S ==V ．∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．】【2019届一模虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图ABC第25题图EABCFDG【25．（1）根据题意得△ABE≌△GBE∴BG=AB=6由△ABE≌△GBE得∠AEB=∠BEG∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF∴∠BEF=∠EBF∴FE=FB=9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD∥BC∴∠ADB=∠GBF又∵∠A=∠BGF=90°∴△ABD∽△GFB∵AD∥BC∠A=90°∴∠ABF=90°∴∠ABG+∠GBF=90°又∵∠GBF+∠EFB =90°∴∠ABG =∠EFB根据题意得AB=BG又∵FE=FB∴△ABG∽△EFB…………………………………………………………………（1分）上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题（压轴题）（word 版包含答案） 31 / 31（3）①点F 在BC 上∵∠GFC =∠AEG >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴FG =FC设FG =FC =a ，则BF =10-a∵∠ADB =∠GBF ∴tan ∠ADB =tan ∠GBF②点F 在BC 的延长线上∵∠GCF >∠DCF >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴CG =CF∵∠ADB =∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF。

2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)

2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)

上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。

上海市2019届初三数学一模简易解答题汇编——几何小综合及他(21题)(word版含答案)

上海市2019届初三数学一模简易解答题汇编——几何小综合及他(21题)(word版含答案)

2019届一模简易解答题汇编——几何小综合（21题）【2019届一模浦东】21. （本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图6，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，M 为腰AB 上一动点，联结MC 、MD ，AD =10，BC =15，5cot 12B =. （1）求线段CD 的长；（2）设线段BM 的长为x ，△CDM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域.【2019届一模杨浦】21．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，AD 是△ABC 的中线，1tan =5B，cos C AC求：（1）BC的长； （2）∠ADC 的正弦值．图6【21．解：（1）作AH ⊥BC 于H ．∴AH =1. ·························· （1分）∴BH =5. ··························· （1分） ∴BC =BH +CH =6． ······················· （1分） （2）∵BD =CD ，BC =6，∴CD =3. ·················· （1分）【2019届一模奉贤】20．（本题满分10分，每小题满分5分）如图6，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设=，BC b =uu u r r ，用向量a r 、b r表示BG uuu r ；（2）如果AB =3，AC=2，∠GAC=∠GCA ，求BG的长．20．【（第21题图）ABCD G 图6（2）延长BG 交边AC 于点H ． ····················· （1分） ∵∠GAC =∠GCA ，∴GA =GC ． ····················· （1分）∴BH ⊥AC ．【2019届一模松江】21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ， 点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于 点G 、H ，如果BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3．求FGHADES S ∆∆的值．【21．解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B …………………………………………（1分） ∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分） ∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）（第21题图）HG FEDCA∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）【2019届一模松江】20．（本题满分10分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =5，cosA =53．求底边BC 的长．【20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）∴BD =4……………………………………………………………………………（2分）∵AC =5，∴DC =2…………………………………………………………………（1分）【2019届一模青浦】21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，2=⋅AE AD AB ，∠ABE ＝∠ACB ．（1）求证：DE ∥BC ；ED A（2）如果ADES ∶DBCES =四边形1∶8，求ADES∶BDES的值．又∵∠EAD =∠BAE ， ∴△AED ∽△ABE ， ··········· （1分） ∴∠AED =∠ABE ． ····················· （1分） ∵∠ABE =∠ACB ， ∴∠AED =∠ACB ． ············· （1分） ∴DE ∥BC ． ························ （1分） （2）∵DE ∥BC ，=ADE ABCS S四边形ADEDBCES=ADEABCS S=ADE BDES S【2019届一模宝山】22．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图7，已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 上一点，AC=AE =3，BC =4，过点（第21题图）A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【22.（本题满分10分,每小题满分各５分）解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB= 90°∠BAC+∠B= 90°∠ACF=∠ABC= 90°………1分∵AB的垂线交射线EC于点D∴∠DAB=90°即∠CAF+∠BAC=90°∴∠CAF=∠B∴△AFC∽△BAC……………………2分（2）过点E作EH⊥BC，垂足是点H………………………1分所以∠EHB=∠ACB=90°∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°在Rt△ADE中，∠DAE=90°∴∠AEC+∠D=90°∴∠BCE=∠D…………………………………………1分在Rt△ABC中∵AC=AE=3，BC=4，AB=5，EB=2【2019届一模宝山】20．（本题满分10分）如图5，已知：在△ABC中，,点E、F在边BC上，.求证：.【20.（本题满分10分）证明：∵AB=AC\ÐB=ÐC……………2分∵ÐAEC=ÐB+ÐBAEÐEAF=ÐB\ÐAEC=ÐFAB……………………3分\D ABF∽D ECA……………………3分即BF×CE=AB2……………………2分】AB CE F（图5）【2019届一模闵行】21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．点D 是AB 边上一点，过点D 作DE // BC ，交边AC 于E ．过点C 作CF // AB ，交DE 的延长线于点F ． （1）如果13AD AB =，求线段EF 的长； （2）求∠CFE 的正弦值．又∵ BC = 6，∴ DE = 2．…………………………………………（1分） ∵ DF // BC ，CF // AB ，∴ 四边形BCFD 是平行四边形．……（1分） ∴ DF = BC = 6．∴ EF = DF – DE = 4．…………………………（2分）（2）∵ 四边形BCFD 是平行四边形， ∴ ∠B =∠F ．………………（1分）在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC= 8，ABCDEF（第21题Ⅶ其他【2019届一模静安】20．（本题满分10分）先化简，再求值：22169(2)11x x xx x+++÷---，其中2x=．【把2x=代入。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019上海初三数学一模综合题25题
2019上海初三数学一模综合题25题
25.（普陀）如图，点O在线段AB上，22
∠=︒，点C是
BOP
==，60
AO OB a
射线OP上的一个动点.
（1）如图①，当90
OC=，求a的值；
ACB
∠=︒，2
（2）如图②，当AC AB
=时，求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使QOC B
∠=∠，求
AQ OQ的值.
:
25.（奉贤）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，90
∠=︒，4
DAB
AD=，==，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于AB CD
26
点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G.
（1）当点G与点C重合，求:
CE BE的值；
（2）当点G在边CD上，设CE m
=，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）
（3）当△AFD∽△ADG时，求DAG
∠的余弦值.
25. （金山）已知多边形ABCDEF 是O e 的内接正六边形，连接AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，连接CH ，直线CH 交射线DF 于点G ，作MH ⊥CH 交CD 的延长线于点M ，设O e 的半径为r (0)r >.
（1）求证：四边形ACDF 是矩形；
（2）当CH 经过点E 时，M e 与O e 外切，求M e 的半径；（用r 的代数式表示）
（3）设HCD α∠=(090)α︒︒<<，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积. （用r 及含α的三角比的式子表示）
25.（宝山）如图，已知，梯形ABCD中，90
∠=︒，AB∥
A
∠=︒，45
ABC
DC=，5
AB=，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC，3
DC于点E，射线EP与射线CB交于点F.
（1）若AP=DE的长；
（2）联结CP，若CP EP
=，求AP的长；
（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似，若相似，求FG的值，若不相似，请说明理由.
25. （闵行）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD
=，5
AD=，
15 BC=，
5
cos
13
ABC
∠=，E为射线CD上任意一点（点E与点C不重合），过
点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F，联结BF，与直线AD相交于点G
（点C与点A、D都不重合），设CE x
=，AG
y DG
=.
（1）求AB的长；
（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果
2
3
ABEF
ABCD
S
S
=
四边形
四边形
，求线段CE的长
.
25. （青浦）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，18BC =，15DB DC ==，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，5DE DF ==，AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N ，其延长线交BC 的延长线于点H .
（1）求证：BG CH =；
（2）设AD x =，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长.
25. （浦东）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G，已知
∠=∠=︒，12
A CDE
30
AB=.
（1）求小三角尺的直角边CD的长；
（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求BAE
∠的正弦值.
25. （静安）已知，如图，在△ABC中，6
∠=
AB=，9
AC=，tan ABC
过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结PA并延长到点Q，使AQC ABP
∠=∠.
（1）求△ABC的面积；
（2）设BP x
=，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
=，AQ y
（3）联结PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长.
25. （杨浦）已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AB BC
⊥，3
AB=，
AD=，6⊥分别交射线AB、射线CB于点E、F.
DF DC
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：DCE
∠的大小是否确定？若确定，
请求出DCE
∠的正切值为y，请求∠的正切值，若不确定，则设AE x
=，DCE
出y关于x
的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积.
25. （徐汇）已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，10AC BC ==，
4cos 5
ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x .
（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；
（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长.
25. （虹口）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F .
（1）如果2cos 3
DBC ∠=，求EF 的长； （2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD x =，
ABG BEF S y S =V V ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长
.
25. （松江）如图，已知△ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E .
（1）如果6BC =，8AC =，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；
（2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且2CE =，3ED =，求cos A 的值；
（3）联结PD ，如果222BP CD =，且2CE =，3ED =，求线段PD 的长.
25. （黄浦）在△ABC中，90
ACB︒
∠=，3
BC=，4
AC=，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H.
（1）求证：DE NE DB OB
=；
（2）设CD x
=，NE y
=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长.
25.（崇明）如图，在△ABC中，5
⊥，垂足为
BC=，AD BC
AB AC
==，6
D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作
=.
PG AB
⊥交AD于点E，交线段CD于点G，设BP x
（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形，如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.
25. （嘉定）在矩形ABCD中，6
AD=，点E是边AD上一点，
AB=，8
⊥交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项. EM EC
（1）如图1，求证：ANE DCE
∠=∠；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）联结AC，如果△AEC与以点E、M、N的顶点所组成的三角形相似，求DE的长.
25. （长宁）已知锐角MBN ∠的余弦值为35
，点C 在射线BN 上，25BC =，点A 在MBN ∠的内部，且90BAC ∠=︒，BCA MBN ∠=∠，过点A 的直线DE 分别交射线BM ，射线BN 于点D 、E ，点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且EAF MBN ∠=∠.
（1）如图1，当AF BN ⊥时，求EF 的长；
（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设BF x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式并
写出函数定义域；
（3）联结DF ，当△ADF 与△ACE 相似时，请直接写出BD 的长.。

相关文档
最新文档