§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
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初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
x
x
3
3 2
5 4
2
2
2
小参量，非线性 项的作用弱
方程解在 x 0 x 0的解x0上作微小变化而得
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x 0 x x 3
x x0 x1 x2 x3
2 3
0 a1 a2
2 2 2
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2 3 3
2
3 3 1 3 得 x 1 x1 ( A 1 A) cost A cos 3t 4 4
久期项
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
3 3 A 1 A 0 4
2Βιβλιοθήκη Baidu
3 2 1 A 4
消除久期项
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
( 0 a1 a2 )
2 2 2
d 2 2 2 2 x x x a a x x x2 0 1 2 1 2 0 1 2 dt
x0 x1
3
2
x 0 x x 1 2 2 2 x0 2x1 2 2 x2 a1 x0 2a1x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
例如：弹簧振子在振幅较大时需要考虑弹性力展开 中的三次方项
m x f x 0
k 3 x x x m m
2 0
m x kx x 0
3
0 x x 3 x
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
2
)
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
二级解的完整形式 A2 2 A4 x (1 ) A cost 2 4 32 1024
A2 2 A4 ( ) A cos3t ( ) A cos5t 2 4 32 1024
0 (1
普遍规律: (1) 出现谐频频率.最低频率称为基频, 为基频整数 倍的称为各种谐频.
齐次方程通解加非齐次方程特解
x1 B cost C cos 3t
初始条件x1 (0) 0，x 1 (0) 0
BC 0
x1 Bcost cos 3t
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
x1 Bcost cos 3t 代入方程
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
§4-2 方程
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
FR ( x ) F ( x) F0 sin 1t m x
研究非线性振动的方法有：解析法；几何法(相 图和拓扑学方法）；数值计算方法.
1.非线性振动和线性振动的根本区别
两种振动的根本区别在数学上归结于非线性微 分方程与线性微分方程的根本区别. 线性微分方程 的解满足叠加原理，非线性微分方程的解则不满足 叠加原理. 由于非线性的存在，将使运动之间发生相互作 用，这种相互作用给事物带来质的变化，产生多样 性、复杂性。
x0 A0 cost B0 sin t
0 (0) 0 x
x0 (0) A
x0 Acost 3 2 将x0 A cost代入 (2)式 x 1 x1 x0 a1 x0
1 利用三角公式 cos 3 cos cos 3 4
3
x 1 x1 A cos t 1 A cost
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
x
x
3
3 2
5 4
2
2
2
小参量，非线性 项的作用弱
方程解在 x 0 x 0的解x0上作微小变化而得
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x 0 x x 3
x x0 x1 x2 x3
2 3
0 a1 a2
2 2 2
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2 3 3
2
3 3 1 3 得 x 1 x1 ( A 1 A) cost A cos 3t 4 4
久期项
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
3 3 A 1 A 0 4
2Βιβλιοθήκη Baidu
3 2 1 A 4
消除久期项
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
( 0 a1 a2 )
2 2 2
d 2 2 2 2 x x x a a x x x2 0 1 2 1 2 0 1 2 dt
x0 x1
3
2
x 0 x x 1 2 2 2 x0 2x1 2 2 x2 a1 x0 2a1x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
例如：弹簧振子在振幅较大时需要考虑弹性力展开 中的三次方项
m x f x 0
k 3 x x x m m
2 0
m x kx x 0
3
0 x x 3 x
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
2
)
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
二级解的完整形式 A2 2 A4 x (1 ) A cost 2 4 32 1024
A2 2 A4 ( ) A cos3t ( ) A cos5t 2 4 32 1024
0 (1
普遍规律: (1) 出现谐频频率.最低频率称为基频, 为基频整数 倍的称为各种谐频.
齐次方程通解加非齐次方程特解
x1 B cost C cos 3t
初始条件x1 (0) 0，x 1 (0) 0
BC 0
x1 Bcost cos 3t
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
x1 Bcost cos 3t 代入方程
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
§4-2 方程
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
FR ( x ) F ( x) F0 sin 1t m x
研究非线性振动的方法有：解析法；几何法(相 图和拓扑学方法）；数值计算方法.
1.非线性振动和线性振动的根本区别
两种振动的根本区别在数学上归结于非线性微 分方程与线性微分方程的根本区别. 线性微分方程 的解满足叠加原理，非线性微分方程的解则不满足 叠加原理. 由于非线性的存在，将使运动之间发生相互作 用，这种相互作用给事物带来质的变化，产生多样 性、复杂性。
x0 A0 cost B0 sin t
0 (0) 0 x
x0 (0) A
x0 Acost 3 2 将x0 A cost代入 (2)式 x 1 x1 x0 a1 x0
1 利用三角公式 cos 3 cos cos 3 4
3
x 1 x1 A cos t 1 A cost