§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
(振动理论课件)非线性振动概述
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
非线性振动-近似求解
这样，方程(10-1)可以写成以下形式：
2 2 2 & &0 + ω 2 && && x 0 x 0 + ε( x1 + ω 0 x1 ) + ε ( x 2 + ω 0 x 2 ) + L &0 ) &0 ) &0 ) &0 ) ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x0 , x & 0 ) + ε x1 &0 &2 +x = ε f ( x0 , x +x + ε 2 x2 & & ∂x ∂x ∂x ∂x 2 2 2 &0 ) & 0 ) 1 1 ∂ f ( x0 , x & 0 ) ∂ f ( x0 , x ∂ f ( x0 , x 1 & & + x12 + x x x 1 1 2 + L & &2 ∂x∂x 2! 2! ∂x 2 ∂x
2 & & + ω0 &) x x = ε 是 x 和 x & ) 是一个小量，以致于可以被看作是 & 的非线性解析函数，ε为小参数，ε f ( x, x 式中的 f ( x, x 一个摄动。当ε = 0，方程(10-1)变为
2 & & + ω0 x x=0
(10-2)
& &0 + ε& &1 + ε 2 & &2 + x 0 + εx1 + ε 2 x 2 + L x x x & 0 + εx &1 + ε 2 x & 2 + L) = ε[1 − ( x0 + εx1 + ε 2 x 2 + L) 2 ]( x
一维弦振动方程的求解
一维弦振动方程的求解
一维弦的振动方程可以表示为以下形式：
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
$$
其中，$y(x,t)$ 表示弦的位移，$v$ 表示弦上的波速。
为了求解这个方程，我们可以采用分离变量的方法。
假设 $y(x,t)$ 可以拆分为两个独立变量的乘积形式，即 $y(x,t) = X(x)T(t)$。
将这个表达式代入原方程中，得到：
$$
\frac{T''(t)}{v^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda
$$
其中，$\lambda$ 是一个常数。
对于时间部分 $T(t)$，我们可以得到一个简单的二阶常微分方程：
$$
T''(t) = -v^2 \lambda T(t)
$$
该方程的解可以写为：
$$
T(t) = A \sin(\omega t + \phi)
$$
其中，$A$、$\omega$、$\phi$ 分别是积分常数，$\omega = v\sqrt{\lambda}$ 是角频率。
这表示弦上的振动是以角频率 $\omega$ 进行简谐振动的。
对于空间部分 $X(x)$，我们可以得到一个简单的二阶常微分方程：
$$
X''(x) = -\lambda X(x)
$$
这是一个具有边界条件的常微分方程，边界条件将根据具体问题给定。
一维弦振动方程的求解可通过以上方法进行，具体的求解过程需要根据边界条件来确定。
§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。
这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。
本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。
证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。
下面证明y(t)>0。
假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。
特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。
证毕。
3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。
若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。
在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性振动渐近解法-2012.3.26
非线性振动渐近解法概述李鹤hli@非线性振动不像线性振动那样有统一的求解方法。
一般来说，要对非线性系统求精确解几乎是不可能的。
迄今为止，仅有少数的非线性振动问题可以得到精确的解析解。
为了尽可能深入了解系统的非线性性质，发展了各种渐近的解析方法。
本课程主要讨论如下形式的典型振动方程：()t x x f xp x ,,20 ε=+方程右端的函数f 可以是位移x 、速度x 的非线性项，由于ε是小参数，因此这种非线性项相比线性项要小，这种系统称为拟线性系统，也称弱非线性系统。
当f 不显含时间t ，()x x f x p x ,20ε=+称为自治系统。
反之，称为非自治系统。
当0=ε时，系统运动是频率为0p 的周期性运动：()ϕ+=t p a x 0cos当0≠ε时，可以理解为对系统周期运动()ϕ+=t p a x 0cos 的一种扰动，把解按小参数的幂次展开，寻求满足一定误差要求的渐近解，这类方法统称为摄动法，也称为小参数法。
这类方法最早由法国数学家庞加莱(Poincare)研究行星运动时提出来的。
泊松(Poisson)也用来研究单摆的大摆动问题。
本课程主要介绍如下方法：1. 传统小参数法，正规摄动、奇异摄动2. 常数变易法和平均法3. 渐近法4. 多尺度法5. 等效线性化法6. 谐波平衡法本课程依次介绍以上方法，先讨论自治系统，并结合非线性振动中一些著名的方法，如杜芬方程，范德波方程进行求解。
然后，将以上方法推广到非自治系统中去。
传统小参数法——正规摄动李鹤hli@对于如下典型的自治系统振动方程：()x x f xp x ,20ε=+其中ε是小参数。
当0=ε时，变成无阻尼单自由度自由振动问题，系统的固有频率是0p 。
当0≠ε时，方程的解可以写成()t x x ,ε=将其在0=ε附近展开成泰勒级数，()()()()"+′′+′+==2,0!21,0,0,εεεt x t x t x t x x设()()()",,0!21,,0,,0210x t x x t x x t x =′′=′=则()()()"+++=t x t x t x x 2210εε这样就得到了自治系统振动方程的级数形式的解。
一维振动方程ppt课件
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
(振动理论课件)非线性振动概述
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。
非线性振动1
通解为:
式中 x , x 2 0是初扰动,由此得:
1 2 n
严格的稳定性概念由 A .M 李雅普诺夫给出: 定义1 如果任取 0 ( H , 无论如何小),对于任意给定的初时 刻 t 0 0 ,存在 ( t , ) 0 ,( 由 t 0 和 确定),任取初扰动 x 0,只要满 足 x ,对于一切 t t 0 有 X ( t ) 那么系统(1)的平衡就是稳定的.
故单摆运动在其平衡位置是稳定的. 另外，根据，定理2，不是渐近稳定的 定理3 (巴尓巴欣---克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数 ,它由(1)构成 的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合 ,除原点外,不包含(1)的整 条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的. 例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的. 证明:扰动运动的微分方程是:
T 1 2
1 2 k 2 A 1 2
1
2
1 2
求得 a 1 1
1 2
k
2
0
,
A
1 4
(k )
2 2
根据定理1,只要 A
0 ,即 k
时,函数 V ( x1 , x 2 )是正定的.
n
对于扰动运动微分方程 x X ( x ) x R , (1) 以下假设函数V ( x ) 是单值连续的.V (0 ) 0 ,对x具有连续偏导数 (i=1,2…n)
线性振动近似计算方法 振动力学课件
1
i 1
i 1
以外，第二阶以上的固有频率 2 ,
远,小n 于 可近似1 地
1 12
忽略，导出基频近似公式。
导出基频近似公式
1
12
n
1
2
=
n
i1 i i1
fii mi
此公式算出的基频必小于实际基频，成为实际基频的下限。
例题1： 用邓克利法估计系统的基频下限。
解：
1 0 0
M m 0 1 0
a j
aT Ka
2
aT a j
Ka ,
a j
aT Ma
2
aT a j
Ma
其中
aT a j
Ka
eTj
j为1r,阶,n单 位阵地第阶，得到的r个方程综合为
K 2M a 0 又归结为本征值问题。
注意：
与原系统的本征值问题比较，矩阵的阶数r小于原系统的 阶数n。所以说，里茨法实质上起着使坐标缩并的作用。 缩并后的本征值问题计算与原系统类似，可导出r个固有频 率和r个模态，此缩并后的模态同样具有正交性。由于满足 瑞利商 的驻值条件，用里茨法计算模态比瑞利法更为合理， 但毕竟不是真实的模态，所得出的固有频率仍高于真实值。
必须满足i 方程。
Di ii
其中 i为第 阶i 固有频率平方的倒数。
任意选定系统的一个假设模态 ，它一般不是真实模
态，但总能表示为真实模态的线性组合式
n
ai i
i 1
左乘D矩
阵D
n i 1
ai D i
n
iai i
i 1
1
a1
1
n i2
ai
i 1
i
再左乘一次D矩阵，
振动理论与应用第4章振动系统的运动微分方程PPT课件
Theory of Vibration with Applications
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
例4-2无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、半径 R为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连，如 图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如 图中所示。 x取任意值时，系统的动能为
1 2
mR 2
x 2 R2
T 1 3 mx 2 22
设初始条件为 t 0
x x0
在有限路程中主动力的功为
x x0
Wx0x
mg ( x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)
1k 2
2x0
s 2
(2x s )2
Theory of Vibration with Applications
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4.1 牛顿定律和普遍定理
t2 t1
n i 1
Qi
d dt
T qi
T qi
qi
D qi
δqi dt
0
d dt
T qi
T qi
qi
D qi
Qi
(i 1, 2, , n)
这就是具有瑞莱散逸函数的非保守系统的拉格朗日运动 方程的标准形式。
Theory of Vibration with Applications
(k1a12 k2a22 k3a32 k4a42 ) 0
图4-6刚体微幅运动
Theory of Vibration with Applications
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
非线性振动.ppt
t 0 x 2 V (t, x1, x2, x3) 2 x 2
这里，a( x ) x 2 ,b( x ) 2 x 2 。
注意： 设 V(t, x) 是具有无穷小上界的正定函数，
即 a( x ) V (t, x) b( x )
则 V(t, x) 的变化范围如图（手绘图）。
e t x1
取正定函数
V
x12
e
t
x
2 2
[注：V x12 x22 x，2 V (t,0) 0]
求得：V. et x22 (2a(t) 1)
。 根据定理（1），如果对一切 t
t0
，有a(t)
1 2
，则无扰运动是稳定的
定义4 如果存在K类函数b(r) ，使得函数V (t, x)在区域 t 0, x h, (h H)内， 满足：V (t, x) b( x )，则函数 V (t, x)具有无穷小上界。
(1) V (t, x) a( x ), V (t,0) 0 （正定的）
(2)
.
V (t, x)
0,
(常负的)
则非驻定系统（1）的无扰运动是稳定的。
例
求单自由度系统，q..
a(t)
.
q
e
t
q
0
无扰运动 q 0的稳定条件
解：化成标准形式
.
x1
x2
.
x2
a(t ) x 2
解析方法： 摄动法（小参数法） 渐进法（KBM法） 谐波法 多重尺度法
（3）数值解法
摄动法（小参数法）
L-P方法的基本概念由天文学家A. Lindstedt于1883年提出，
非线性振动与线性振动对比
1
x
F F0 cos t
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Phase modulation
x
stiffness increase
x
1 0.8 0.6
F F0 cos t
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
非线性振动的近似解析方法
4
c1 2 t X e c2
m1 0 0 m 2
c1 2 t k1 k2 k2 c1 t c e k c e 0 k2 2 2 2
k2 c1 c 0 k2 2
K s /( K s 1 '2 ) ( K s e '2 ) /( K s 1 '2 )
em 2
2
m
2
m
2
m
em
2
Phase modulation/ stiffness increase x
2 k1 k2 m12 c22 c21 k2
k2 c21 c 0 k2 22
6
振型：
1 c11 C c11 2 c12 (k1 k2 m11 ) / k2
1
第一阶振型
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2
振动微分方程
2
yk ln iTr 2i yk i
2i
8.4单自由度体系的受迫振动
一、运动微分方程
体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为 受迫（或强迫）振动。
P(t )
m
y(t)
S (t )
R(t )
P(t )
m
I (t )
（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得 运动方程是代数方程而不是微分方程 （3）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同
例： 求图示梁频率
m1
EI=∞
m2
B
0 I2
A
a
k
a
A1
A
A2
B
2ak
2a
I10
此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为
周期
T
2
频率
k 1 g g m mf mgf y jw
1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率； 2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比； 3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。
振幅
表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ 为：
初相位
v A y2 y tg 1 v
2
y
y y
v
y A t
0 -y
t
0
v
0
t -A T
非线性方程解法
运动,
+ g θ = g θ 3 θ l 6l
2 取 x = θ , ω 0 = g l , ε = g 6l 即 可 , 所以 本 节 的 结果
完全 适 用 于大幅 角 单 摆 运 动 , 可 用 来研究其 周 期 与幅角的近似关系.
由于 ε 是小量, 上式右端各项为不同量级的项, 分别称零级项、 一级项、 二级项，……后一级比 前 一级小很 多 , 这 样 我们可 以逐 级求近似 , 求解 可 精 确 到任 一级 , 这种求解方法 称 为微 扰 法 ( 或 摄动法). 微扰法是非线性物理中常用的近似方法, 它适用于弱非线性情况. 其次, 假设振动频率也需要在固有频率 ω 基础 上逐级修正 (表为小量 ε 的级数形式)
( x1 + x 2 ) 2 = x1 ⋅ x1 + 2 x1 ⋅ x 2 + x 2 ⋅ x 2
等号右 端第 二项不可 能由 原来的 运 动 叠加得 出 , 它表征由两个解相互作用产生的新的现象. 二、用小参数展开方法求解非线性自由振动问题 非线性 自由 振动是指 质点 不 受 阻尼力和驱动 力的 作用 , 仅受 非线性恢复力 作用 产生 的振动 , 例 如 , 弹簧 振 子 在振动幅 度 较大时 需要 考虑弹 性 力展开中三次方项, 此时振动方程为
εA 2 ε 2 A4 x = (1 + − ) A cos ω t 32 ω 2 1024 ω 4
εA 2 ε 2 A4 −( ) A cos 3ω t + ( ) A cos 5ω t 2 4 32 ω 1024 ω
ω ≈ ω 0 (1 − ε
3A2 8ω 0
2
+ε
2
3A4 256ω 0
4
振动微分方程
振动微分方程
振动微分方程是描述振动现象的数学模型。
在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用。
振动微分方程的求解可以帮助我们更好地理解物体的振动规律，从而在实际工程中提高其效率和安全性。
振动微分方程的一般形式为mx''+cx'+kx=F(t)，其中m,c,k分别为物体的质量、阻尼系数、弹性系数，x为物体的位移，F(t)为外力。
这个方程描述了物体在振动过程中所受到的各种因素的影响，从而决定了物体的振动规律。
解振动微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
这些方法能够将微分方程转换为代数方程，从而更容易求解。
此外，还可以使用数值模拟的方法来求解振动微分方程，这些方法可以通过计算机模拟物体的振动规律，从而得到数值解。
振动微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，它被用于描述各种物体的振动规律，如弹簧振子、简谐振子等。
在工程学中，它被用于设计各种振动系统，如桥梁、建筑物、飞机等。
在数学中，它被用于探索微积分的应用，如变分法、最优化等。
除此之外，振动微分方程还有一些重要的应用。
例如，它被用于描述电路中的振荡器、天文学中的行星振动、地震学中的地壳振动等。
这些应用展示了振动微分方程的重要性和广泛性。
振动微分方程是描述振动现象的重要数学模型。
通过解振动微分方程，我们可以更好地理解物体的振动规律，并在实际工程中提高其效率和安全性。
振动微分方程的应用也非常广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
因此，学习和掌握振动微分方程的求解方法对于我们的学习和研究都有着很重要的意义。
一维非齐次弦振动方程cauchw问题的解法
科技视界Science &TechnologyVisionScience &Technology Vision 科技视界0引言弦振动方程又叫一维波动方程,其分为齐次波动方程与非齐次波动方程两类[1]。
对于非齐次波动方程的cauchy 问题,在本文中我们首先由线性叠加原理,将问题转化为两个定解问题的求解,其中一个为求解齐次波动方程的cauchy 问题,另一个问题的求解我们除了用特征线法和算子法[2]外还可以运用green 积分法以及齐次化原理。
特征线法是将方程作特征变换,再沿特征线积分。
算子法如上转化为求关于一阶线性偏微分方程的特解问题。
green 积分法是运用green 公式对特征线与X 轴围成的三角区域进行积分。
green 积分法则是对公式的扩展运用。
对于非齐次波动方程的cauchy 问题,将方程化为对于齐次波动方程的问题是常见的思想,而齐次化原理[3]正好就解决了这个难题。
1非齐次弦振动方程的cauchy 问题下面是非齐次弦振动方程的cauchy 问题的一般形式:u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )u (x ,0)=g (x ),u t (x ,0)=h (x ){(1)由线性叠加原理,我们知道,问题(1)的求解可以转化为如下两个问题的求解,即若函数u 1(x ,t ),u 2(x ,t )分别为定解问题:u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )u t=0=0,u t t=0=0{(2)与u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=0u t=0=g (x ),u t t=0=h (x ){(3)则函数u =u 1+u 2为定解问题(1)的解。
而由D ′Alembert 公式可求得(3)的解,则求(1)的解即可转化为求(2)的解,我们一共有4种方法求(2)的解,下面将一一作详细的介绍:1.1齐次化原理:设函数ω(x ,t ,s )∈c 2是cauchy 问题ωtt -a 2ωxx =o ,t >sωt =s =0,ωt t=s =f (x ,s ){(1.1)的解,其中τ为参数,则函数u (x ,t )=t 0∫ω(x ,t ,s )ds (1.2)为定解问题Ⅳ的解,即将(2)的解转化为求齐次弦振动cauchy 问题。
一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法
一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解
法
一维非齐次弦振动方程cauchy问题指的是一个求解一维
非齐次弦振动的问题。
在这个问题中，非齐次弦振动方程是由一组常数和函数组成的，就像可以用常数来描述定常运动，也可以用方程来描述非定常运动一样，这种方程也可以用来描述一维非定常运动。
一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法主要分为两步：首先，对一维非齐次弦振动方程进行分析，找出它的解析解。
这一步需要在定义域上用解析函数和一阶导数的积分方法来求解该方程，从而得到它的解析解。
其次，将解析解代入到Cauchy问题的条件中，求解Cauchy问题的解。
Cauchy问题的解可以用积分的方法求解，
也可以用特殊函数求解，如伯努利函数等。
以上就是一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法。
一
维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法主要分为两步，第一
步是求解方程的解析解，第二步是将解析解代入到Cauchy问
题的条件中，求解Cauchy问题的解。
一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法可以用积分的方法求解，也可以用特殊函
数求解，如伯努利函数等。
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3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2
2
小参量，非线性 项的作用弱
方程解在 x 0 x 0的解x0上作微小变化而得
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x 0 x x 3
x x0 x1 x2 x3
2 3
0 a1 a2
2 2 2
初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
例如：弹簧振子在振幅较大时需要考虑弹性力展开 中的三次方项
m x f x 0
k 3 x x x m m
2 0
m x kx x 0
3
0 x x 3 x
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
齐次方程通解加非齐次方程特解
x1 B cost C cos 3t
初始条件x1 (0) 0，x 1 (0) 0
BC 0
x1 Bcost cos 3t
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
x1 Bcost cos 3t 代入方程
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
2 3 3
2
3 3 1 3 得 x 1 x1 ( A 1 A) cost A cos 3t 4 4
久期项
3 3 A 1 A 0 4
2
3 2 1 A 4
消除久期项
1 3 1 x1 A cos 3t x 4
x0 A0 cost B0 sin t
0 (0) 0 x
x0 (0) A
x0 Acost 3 2 将x0 A cost代入 (2)式 x 1 x1 x0 a1 x0
1 利用三角公式 cos 3 cos cos 3 4
3
x 1 x1 A cos t 1 A cost
§4-2 方程
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
FR ( x ) F ( x) F0 sin 1t m x
研究非线性振动的方法有：解析法；几何法(相 图和拓扑学方法）；数值计算方法.
1.非线性振动和线性振动的根本区别
两种振动的根本区别在数学上归结于非线性微 分方程与线性微分方程的根本区别. 线性微分方程 的解满足叠加原理，非线性微分方程的解则不满足 叠加原理. 由于非线性的存在，将使运动之间发生相互作 用，这种相互作用给事物带来质的变化，产生多样 性、复杂性。
x
x
3
3 2
5 4
2
( 0 a1 a2 )
2 2 2
d 2 2 2 2 x x x a a x x x2 0 1 2 1 2 0 1 2 dt
x0 x1
3
2
x 0 x x 1 2 2 2 x0 2x1 2 2 x2 a1 x0 2a1x1
2
)
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
二级解的完整形式 A2 2 A4 x (1 ) A cost 2 4 32 1024
A2 2 A4 ( ) A cos3t ( ) A cos5t 2 4 32 1024
0 (1
普遍规律: (1) 出现谐频频率.最低频率称为基频, 为基频整数 倍的称为各种谐频.
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0