初升高衔接数学讲义

第1章 代数式与恒等变形

1.1

四个公式 知识衔接

在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似

实数的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展

1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2

222+++++=++

2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+

3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-

4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±

注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；

（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；

（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；

（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一 计算和化简

例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-

变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+

二 利用乘法公式求值；

例2 已知0132=+-x x ，求331x x +

的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求2

22c b a ++的值。

三 利用乘法公式证明

例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a

变式训练：已知2

222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a

习题精练

1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+

2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a

3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；

4 已知21201,19201,20201+=+=+=

x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；

5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==

6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为

菱形。

1.2

因式分解

知识延展

一 运用公式法

立方和（差）公式：

);)((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二 分组分解法

1 分组后能直接提公因式

如：))(()()()()(22c a b a b a c b a a bc ac ab a bc ac ab a +-=-+-=-+-=-+-

2 分组后直接应用公式

如：

)2)(2()2()44(4422222222a y x a y x a y x a y xy x a y xy x --+-=--=-+-=-+-

三 十字相乘法

1 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 如：)1)(6(652

-+=-+x x x x 2 ))((22112

c x a c x a c bx ax ++=++其中b c a c a c c c a a a =+==12212121,,

如：)53)(12(5762-+=--x x x x

注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验”

四 其它方法简介

1 添项拆项法

如：（1）)122)(122(4)12(414414222222244+-++=-+=-++=+x x x x x x x x x x

（2） )133)(1()1()1)(1(3)1()1(31331432223-+-=---+=---=+--=+-x x x x x x x x x x x x x x x

2 配方法

如：)623)(623(24)3(159********-+++=-+=--++=-+x x x x x x x

3 运用求根公式法

)0,0)()((212

≥∆≠--=++a x x x x a c bx ax

题型归类

一 分解因式

例1 把下列各式分解因式：

（1）22865y xy x -+ （2）12224+--+b ab a a （3）6222-+-+-y x y xy x （4）23739234--+-x x x x

二 利用分解因式解方程

例2 解方程：2410542=--x x x

变式训练：若关于x 的方程0))(())(())((=++++++++a x c x c x b x b x a x （其中c b a ,,均为正数）有两个相等实根，证明以c b a ,,为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。

三 利用分解因式化简分式

例3 已知0,1)3()3(692222≠=+-+-+-x xy ay x a y xy x a 求x

y 的值；

变式训练：当x 等于x 的倒数时，求分式6

33622-++÷---x x x x x x 的值

四 利用分解因式化简根式

例4 化简：2)42()41()44122(

-+--÷+--+-+a a a

a a a a a a