《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结
(完整版)《实变函数》期末复习提要
《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。
第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。
2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
泛函分析期末复习提要
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案
x1
，
x1
=
x1
+
0
，其中
x 1
∈
Y
， 0 ∈Y ⊥ 。因
此
Px1
=
x1
，即
P2
x
=
Px 1
=
Px
，因此
P2
=
P
设 x, y ∈ X ， x = x1 + x2 ， y = y1 + y2 。 其 中 x1 , y1 ∈Y ， x2 , y2 ∈ Y ⊥ 。 这 样
( Px, y) = ( x1, y1 + y2 ) = ( x1, y1 ) = ( x1 + x2 , Py) = ( x, Py ) 。这就证明了 P* = P 。
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系，说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系，若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ，
∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ( ) ( ) ( ) b
b
2
b∞
2
∞b
2
∞
2
dx f x, y dy =
a
a
a
am x dx =
a am x dx =
bnm
n=1
n=1
m ,n=1
泛函分析知识点
泛函分析知识点泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s 、t 、()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ?∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。
第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ?? 中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析要点第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2中T1聚点原则：P0是E的聚点P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0（n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2中T2、T3··－－T2：设AB，则AB，ＡＢ，ＡＢ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）――T1：对任何ER，是开集，E′和Ｅ都是闭集。
（称为开核，Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，是一开集族{Ui}iI∪它覆盖了F（即FсｉＩUi），则中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即Fｍ（iI）∪Ui）4、开（闭）集类、完备集类。
开集类：R，Φ，开区间，邻域、、Pо闭集类：R，Φ，闭区间，有限集，E、E、P完备集类：R，Φ，闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第八章答案
x + - x− ， 其 中
x+ = max{x,0}, x− = max{− x,0} 均是 C 0 (−∞,+∞) 中的非负函数，且 x+ ≤ x , x− ≤ x .
同理 y = y + − y , y + 和 y− 是非负函数，且 y+ ≤ y , y − ≤ y 。 若存在 M > 0 ，使任意非负函数 ϕ ， F (ϕ ) ≤ M ϕ , 则 F 必有界
x(t i ) = ε i , i = 1,2, Λ n, 且||x||=1.这样|f(x)|=||
n
∑ λ x(t ) |= ∑ | λ
i i i =1 i =1
i
| ，所以. ||f(x)|| ≥ ∑ | λi |
i =1
由此 ，我们证明了||f(x)||=||
∑| λ
i =1
i
| 。证毕。
例题 2 设 F 是 C 0 ( −∞,+∞) 上的线性泛函， （ C 0 ( −∞,+∞) 的定义参见七章例题讲例 5） 。若 F 满足条件：若 ϕ ∈ C 0 ( −∞,+∞) 且任意 t ∈ ( −∞,+∞), ϕ (t ) ≥ 0, 则称 F 是正的线性泛 函，求证： C 0 ( −∞,+∞) 上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数 f ∈ C 0 ( −∞,+∞) ， 都可以写成 f = x + iy,其中 x,y 是 C 0 ( −∞,+∞) 中 的 实 值 函 数 ， ||x|| ≤ f 且 ||y|| ≤|| f || . 而 实 值 函 数 又 可 以 x=
2 2 2
λ，
0 ≥ F ( x − iy ) = F ( x ) − λ F ( xy ) − λ F ( xy ) + λ F ( y )
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第十一章答案汇编
)
x
≠
0
，
而
(
A
−
λ i
+1
I
)(
A
−
λ i
I
)L
(
A
−
λ 1
I
)
x
=
0
，
则 λ 是 A 的特征值。证毕。 i +1
6．
设
A
为
Banach
空间
X
上的有界线性算子，
λ0
∈
ρ
(
A)
，又设{A } n
为
X
上一列有界线
性算子，且 lim
n→∞
A n
−
A
=
0
，证明当
n
充分大后，
A n
也以
λ 0
为正则点。
证明
第十一章 线性算子的谱
1． 设 X = C[0,1], ( Ax)(t) = tx(t), x ∈ X 。证明σ ( A) = [0,1]，且其中没有特征值。
证明 当 λ ∈[0,1]时，常值函数 1 不在 λI − A 的值域中，因此 λI − A 不是满射，这样
λ ∈σ ( A) 。
反之若 λ
∈
=I。
因此σ (T ) ⊂ F 。
若
λ
∈
F
− {α
}
n
，且
x
=
(
x 1
,
x 2
,L
x ,L n
)
∈
l
2
，使
Tx
=
λ
x
。则对任意
n，λ
x n
=
α
n
x n
泛函分析知识点总结
泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。
解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。
⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。
注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。
这个经常被⽤来证明。
例如，开映射定理、闭图像定理等。
2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。
导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。
所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。
3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。
4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。
不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。
5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。
e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。
然后再除以对应范数，进⾏单位化。
6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。
（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。
7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结
泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子，算子范数等1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证：T 有界，并求||||T 。
2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。
求证：f 有界，并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ölder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式十五、稠密，可分，完备，柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。
泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册
25.P1,P2均为可换投影算子，则P=P1+P2-P1P2也是投影算子，且P>=P1,P>=P2,当任意投影算子Q，Q>=P1,Q>=P2时必有Q>=P
证：
P1,P2,P1P2均为投影算子，故（PX,Y）=…=(X,PY)，即P自伴
又P2=…=P，故P为投影算子
知： 闭集F E,ST,mF>0&& |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0在F一致成立
mF>0 点s0 F,ST, U(s0),m(U(s0)∩F)>0又s0 F E
|K(s0,t)|dt>α-ε, U(s0),N,ST, s U(s0)∩F,有：
|K(s,t)-K(s0,t)|dt≤ |K(s,t)-KN(s,t)|+|KN(s,t)-KN(s0,t)|+
ε,令E={s [a,b]: |K(s,t)|dt>α-ε}，mE>0
|K(s,t)|dt关于s本性有界 |K(s,t)|dtdt<∞
连续函数Kn(s,t),ST, |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0(n→∞)
由里斯定理， 子列nk,ST,上式对n=nk几乎处处收敛于0
不妨设 |Kn(s,t)-K(s,t)|dt 0(n→∞),则由叶果洛夫定理
｛ Ln(t)｝张成的空间在L2[0,∞)稠密
P232
4.K(s,t)是a≤t≤b,a≤s≤b的可测函数， |K(s,t)|dt对[a,b]几乎所有s存在，且作为s的函数本性有界，令y=Tx:y(t)= K(s,t)x(s)ds,则T是L[a,b]到L[a,b]的有界线性算子，且||T||=vraisup |K(s,t)|dt.
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泛函知识点期末总结
一、关于有界线性算子，算子范数等
1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子
T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证：T 有界，并求||||T 。
2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。
求证：f 有界，并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,
,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上
的线性泛函f : 若1
,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解
三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间
四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1
五、投影定理，投影算子及其性质，
六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子
七、完全规范正交基及其判定定理
八、Banach 空间的基本定理及其应用
九、Banach 共轭算子的定义及其求法
十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明
十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系
十二、完备度量空间的定义及其应用
十三、压缩映射原理及其应用
十四、h ölder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式
十五、稠密，可分，完备，柯西序列
十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性
空间。