《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结
(完整版)《实变函数》期末复习提要

《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。
第一章 集合1.考核要求:⑴了解集合的表示,子集,理解集合的并、交、差、补等概念,特别是一列集合的并与交的概念;⑵掌握集合的运算律,会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限; ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法(互为子集)并会具体应用;⑷了解单射、满射、双射及对等的概念,知道基数相等与大小的定义,会用伯恩斯坦定理;⑸理解可列集的定义及等价条件(可排成无穷序列的形式),了解可列集的运算性质,理解有理点集是可列集;⑹了解常见的连续集和连续集的运算,知道基数无最大者。
2.练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是( ).(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是( ).(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=,则=∞= 1n n A ,=∞= 1n n A . 2.设)1,1(++-=n n n n A n ,则=∞= 1n n A ,=∞= 1n n A . 3.设]11,0(nA n +=,则=∞→n n A lim ,=∞→n n A lim .4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ,则=∞→n n A lim ,=∞→n n A lim . 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数,证明对任意实数a ,有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数,对任意实数a ,证明:∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1.考核要求:⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念,会求简单集合的内核、导集和闭包,理解聚点的定义及其等价条件;⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论;⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质,开集与闭集互为补集,掌握直线上开集的构造;⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论;⑸理解康托集的构造及其性质。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间,12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量,12,,,k ααα是一组数,证明:在X 上存在满足下列两条件:(1)(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为:对任何数12,,,k t t t ,11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足(1)和(2),则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ,有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑,定义上线性泛函:0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑,故0f是有界的,且0f M ≤。
由泛函延拓定理,存在X 上的线性连续泛函f ,使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件(1)和(2)。
证毕。
2.设X 是赋范线性空间,Z 是X 的线性子空间,0x X ∈,又0(,)0d x Z >,证明存在'f X ∈,满足条件: 1)当x Z ∈时,()0f x =; 2)00()(,)f x d x Z = ;3)1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f :000()(,)f x y d x Z λλ+=,则以下三条件成立:1)当y Z ∈时,0()0f y =; 2)00()(,)f x d x Z =;3)0f 在M 上有界,且01Mf =。
其中3)可以这样证明:若0x y M λ+∈,则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+,所以01Mf ≤。
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间,12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量,12,,,k ααα是一组数,证明:在X 上存在满足下列两条件:(1)(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为:对任何数12,,,k t t t ,11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足(1)和(2),则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ,有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑,定义上线性泛函:0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑,故0f是有界的,且0f M ≤。
由泛函延拓定理,存在X 上的线性连续泛函f ,使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件(1)和(2)。
证毕。
2.设X 是赋范线性空间,Z 是X 的线性子空间,0x X ∈,又0(,)0d x Z >,证明存在'f X ∈,满足条件: 1)当x Z ∈时,()0f x =; 2)00()(,)f x d x Z = ;3)1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f :000()(,)f x y d x Z λλ+=,则以下三条件成立:1)当y Z ∈时,0()0f y =; 2)00()(,)f x d x Z =;3)0f 在M 上有界,且01Mf =。
其中3)可以这样证明:若0x y M λ+∈,则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+,所以01Mf ≤。
泛函分析期末复习提要

泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念:定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集:开集与闭集、稠密子集,可分距离空间。
3. 完备距离空间:Cauchy 列,完备性、闭球套定理、纲,纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理:不动点,压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5.拓扑空间的基本概:拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射,同胚、分离公理。
6.紧性和距离空间的紧性:紧性的概念、紧空间的连续映射。
7.距离空间的紧性:列紧集,全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念,掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念:赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p:Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质:赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案

x1
,
x1
=
x1
+
0
,其中
x 1
∈
Y
, 0 ∈Y ⊥ 。因
此
Px1
=
x1
,即
P2
x
=
Px 1
=
Px
,因此
P2
=
P
设 x, y ∈ X , x = x1 + x2 , y = y1 + y2 。 其 中 x1 , y1 ∈Y , x2 , y2 ∈ Y ⊥ 。 这 样
( Px, y) = ( x1, y1 + y2 ) = ( x1, y1 ) = ( x1 + x2 , Py) = ( x, Py ) 。这就证明了 P* = P 。
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系,说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系,若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ,
∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ( ) ( ) ( ) b
b
2
b∞
2
∞b
2
∞
2
dx f x, y dy =
a
a
a
am x dx =
a am x dx =
bnm
n=1
n=1
m ,n=1
泛函分析知识点

泛函分析知识点泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立:(1)非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y;(2)对称性:d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)={x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s 、t 、()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ?∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。
第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ?? 中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。
实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析要点第一章集合基本要求:1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求:1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质,掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开(闭)集,完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点:一、基本结论:1、聚点性质§2中T1聚点原则:P0是E的聚点P0的任一邻域内,至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn},使Pn→P0(n→∞)2、开集、导集、闭集的性质§2中T2、T3··--T2:设AB,则AB,AB,AB。
T3:(A∪B)′=A′∪B′.3、开(闭)集性质(§3中T1、2、3、4、5)――T1:对任何ER,是开集,E′和E都是闭集。
(称为开核,E称为闭包的理由也在于此)T2:(开集与闭集的对偶性)设E是开集,则CE是闭集;设E是闭集,则CE是开集。
T3:任意多个开集之和仍是开集,有限多个开集之交仍是开集。
T4:任意多个闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。
T5:(Heine-Borel有限覆盖定理)设F是一个有界闭集,是一开集族{Ui}iI∪它覆盖了F(即FсiIUi),则中一定存在有限多个开集U1,U2…Um,它们同样覆盖了F(即Fm(iI)∪Ui)4、开(闭)集类、完备集类。
开集类:R,Φ,开区间,邻域、、Pо闭集类:R,Φ,闭区间,有限集,E、E、P完备集类:R,Φ,闭区间、P二、基本方法:1、判断五种点的定义;2、利用性质定理,判断导集、邻域等;3、判断开集、闭集;4、关于开闭集的证明。
泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间和赋范线性空间;二、有界线性算子和连续线性泛函;三、内积空间和希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念,它是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推 广,所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1.度量定义:设X 是一个集合,若对于X 中任意两个元素x ,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ,则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集,也不一定是代数结构。
为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ,而称“度量空间X ” 。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第八章答案

x + - x− , 其 中
x+ = max{x,0}, x− = max{− x,0} 均是 C 0 (−∞,+∞) 中的非负函数,且 x+ ≤ x , x− ≤ x .
同理 y = y + − y , y + 和 y− 是非负函数,且 y+ ≤ y , y − ≤ y 。 若存在 M > 0 ,使任意非负函数 ϕ , F (ϕ ) ≤ M ϕ , 则 F 必有界
x(t i ) = ε i , i = 1,2, Λ n, 且||x||=1.这样|f(x)|=||
n
∑ λ x(t ) |= ∑ | λ
i i i =1 i =1
i
| ,所以. ||f(x)|| ≥ ∑ | λi |
i =1
由此 ,我们证明了||f(x)||=||
∑| λ
i =1
i
| 。证毕。
例题 2 设 F 是 C 0 ( −∞,+∞) 上的线性泛函, ( C 0 ( −∞,+∞) 的定义参见七章例题讲例 5) 。若 F 满足条件:若 ϕ ∈ C 0 ( −∞,+∞) 且任意 t ∈ ( −∞,+∞), ϕ (t ) ≥ 0, 则称 F 是正的线性泛 函,求证: C 0 ( −∞,+∞) 上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数 f ∈ C 0 ( −∞,+∞) , 都可以写成 f = x + iy,其中 x,y 是 C 0 ( −∞,+∞) 中 的 实 值 函 数 , ||x|| ≤ f 且 ||y|| ≤|| f || . 而 实 值 函 数 又 可 以 x=
2 2 2
λ,
0 ≥ F ( x − iy ) = F ( x ) − λ F ( xy ) − λ F ( xy ) + λ F ( y )
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第十一章答案汇编

)
x
≠
0
,
而
(
A
−
λ i
+1
I
)(
A
−
λ i
I
)L
(
A
−
λ 1
I
)
x
=
0
,
则 λ 是 A 的特征值。证毕。 i +1
6.
设
A
为
Banach
空间
X
上的有界线性算子,
λ0
∈
ρ
(
A)
,又设{A } n
为
X
上一列有界线
性算子,且 lim
n→∞
A n
−
A
=
0
,证明当
n
充分大后,
A n
也以
λ 0
为正则点。
证明
第十一章 线性算子的谱
1. 设 X = C[0,1], ( Ax)(t) = tx(t), x ∈ X 。证明σ ( A) = [0,1],且其中没有特征值。
证明 当 λ ∈[0,1]时,常值函数 1 不在 λI − A 的值域中,因此 λI − A 不是满射,这样
λ ∈σ ( A) 。
反之若 λ
∈
=I。
因此σ (T ) ⊂ F 。
若
λ
∈
F
− {α
}
n
,且
x
=
(
x 1
,
x 2
,L
x ,L n
)
∈
l
2
,使
Tx
=
λ
x
。则对任意
n,λ
x n
=
α
n
x n
泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结1.Baire定理定理(Baire纲定理)完备的距离空间是第⼆类型集。
解释:完备的距离空间(X,d),∀x∈X都是内点,因为X在X中是开集。
⼀个⽆处稠密(nowhere dense)的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X,即X不是第⼀类型集,所以只能是第⼆类型集。
注:完备的距离空间是第⼆类型集,那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。
这个经常被⽤来证明。
例如,开映射定理、闭图像定理等。
2. 闭包和导集的区别根据定义,集合的闭包是集合的导集和集合的并。
导集是集合所有聚点组成的集合,不包含孤⽴点。
所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。
3.闭集在度量空间中,如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点,那么这个集合是闭集。
4.不动点定理压缩映射:设(X,d)是距离空间,T是X到X的映射,如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1),对于所有的x,y∈X,满⾜下述不等式:d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。
不动点定理:设X是完备的距离空间,T是X到X的压缩映射,则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。
5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。
e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注:本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量,就正交化了。
然后再除以对应范数,进⾏单位化。
6.Hilbert空间的同构n为的实(复)Hilbert空间与R n(C n)同构。
(保距离,保线性,保范数,保内积)⽆限维可分Hilbert空间与l2空间(L2[0,1])等距同构。
7.算⼦的连续性和有界性连续性:对于X中的任何收敛于x0的点列{x n},恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性:存在正常数M,使得对⼀切x∈X,有||Tx||≤M||x||⼀点连续,则处处连续:设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间,T:X→Y是⼀个线性算⼦。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结

泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子,算子范数等1、设 [,]x X C a b ∈=,定义X 上的线性算子T :若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证:T 有界,并求||||T 。
2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f :若0,()()x X f x x t ∈=。
求证:f 有界,并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈(全体复数集),定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑,f 有界,并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系,常见的内积空间四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论,P247引理1,P251引理1五、投影定理,投影算子及其性质,六、Hilbert 空间的连续线性泛函,共轭算子,自伴算子,正常算子,酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛,弱收敛,弱星收敛,一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ölder 不等式,Minkowski 不等式,Schwarz 不等式十五、稠密,可分,完备,柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间,赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。
泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册

25.P1,P2均为可换投影算子,则P=P1+P2-P1P2也是投影算子,且P>=P1,P>=P2,当任意投影算子Q,Q>=P1,Q>=P2时必有Q>=P
证:
P1,P2,P1P2均为投影算子,故(PX,Y)=…=(X,PY),即P自伴
又P2=…=P,故P为投影算子
知: 闭集F E,ST,mF>0&& |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0在F一致成立
mF>0 点s0 F,ST, U(s0),m(U(s0)∩F)>0又s0 F E
|K(s0,t)|dt>α-ε, U(s0),N,ST, s U(s0)∩F,有:
|K(s,t)-K(s0,t)|dt≤ |K(s,t)-KN(s,t)|+|KN(s,t)-KN(s0,t)|+
ε,令E={s [a,b]: |K(s,t)|dt>α-ε},mE>0
|K(s,t)|dt关于s本性有界 |K(s,t)|dtdt<∞
连续函数Kn(s,t),ST, |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0(n→∞)
由里斯定理, 子列nk,ST,上式对n=nk几乎处处收敛于0
不妨设 |Kn(s,t)-K(s,t)|dt 0(n→∞),则由叶果洛夫定理
{ Ln(t)}张成的空间在L2[0,∞)稠密
P232
4.K(s,t)是a≤t≤b,a≤s≤b的可测函数, |K(s,t)|dt对[a,b]几乎所有s存在,且作为s的函数本性有界,令y=Tx:y(t)= K(s,t)x(s)ds,则T是L[a,b]到L[a,b]的有界线性算子,且||T||=vraisup |K(s,t)|dt.
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泛函知识点期末总结
一、关于有界线性算子,算子范数等
1、设 [,]x X C a b ∈=,定义X 上的线性算子
T :若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证:T 有界,并求||||T 。
2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f :若0,()()x X f x x t ∈=。
求证:f 有界,并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,
,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈(全体复数集),定义X 上
的线性泛函f : 若1
,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑,f 有界,并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解
三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系,常见的内积空间
四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论,P247引理1,P251引理1
五、投影定理,投影算子及其性质,
六、Hilbert 空间的连续线性泛函,共轭算子,自伴算子,正常算子,酉算子
七、完全规范正交基及其判定定理
八、Banach 空间的基本定理及其应用
九、Banach 共轭算子的定义及其求法
十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明
十一、强收敛,弱收敛,弱星收敛,一致收敛及其关系
十二、完备度量空间的定义及其应用
十三、压缩映射原理及其应用
十四、h ölder 不等式,Minkowski 不等式,Schwarz 不等式
十五、稠密,可分,完备,柯西序列
十六、度量空间定义及其常见度量空间,赋范线性空间的定义及其常见赋范线性
空间。