《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结

泛函知识点期末总结

一、关于有界线性算子，算子范数等

1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子

T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。

求证：T 有界，并求||||T 。

2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。求证：f 有界，并求||||f 。

3、设 12123[,],,,,[,],,,

,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上

的线性泛函f : 若1

,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。

二、关于共轭空间的定义及其求解

三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间

四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性质，

六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全规范正交基及其判定定理

八、Banach 空间的基本定理及其应用

九、Banach 共轭算子的定义及其求法

十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明

十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系

十二、完备度量空间的定义及其应用

十三、压缩映射原理及其应用

十四、h ölder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式

十五、稠密，可分，完备，柯西序列

十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性

空间