循环卷积_DFT求线性卷积
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2。
1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ）=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t )，y 2(t ）有无失真？为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。
解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1(t ）无失真；因为x 2（t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。
2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解.错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○，2采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2）由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果.第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3。
DFT计算卷积
将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列
x1[k ]
x 2 [k ]
x3 [ k ]
k
L
2L
3L
定义
x[ k nL ] xn [ k ] 0
0 k L -1 其他
xn[k - nL] x[k ] DFT 计算卷积
n0
长序列和短序列的线性卷积
1. 重叠相加法（overlap add） 计算: yn [k ] xn [k ] h[k ]
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分
依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最 终的线性卷积结果。
DFT计算卷积
重叠相加法分段卷积举例
h[k ] 1
M=4
0 1 2 M-1
x[k ] 1
k
L=7
0 1 2
L-1
k
重叠相加法分段卷积举例(L=7,M=4)
y 0 [k ]
4 2 3 6 9
1
0 1 2 3
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
问题提出： DFT{x1[k] 实际需要：
N
x2[k]}=X1[m]X2[m]
LTI系统响应
y[k]=x [k]h[k]
可否利用DFT计算线性卷积？
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
设 x [k] 的非零范围是 g[k] 的非零范围是 y[k]=x [k]h[k]非零范围 序列y[k]的长度为 0 k N-1 0 k M-1 0 k N+M- 2 L=N+M-1
4点滑动平均系统去噪结果
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
10
5离散傅立叶变换(DFT)的性质_数字信号处理
N−1 = ∑x1(m)x2 ((n − m))N RN (n) = x1(n)N x2(n) m=0
N−1 = ∑x2 (m)x1 ((n − m))N RN (n) = x2 (n)N x1(n) m=0
ɶ ɶ ɶ 证：由周期卷积和，若Y (k) = X1(k) ⋅ X2 (k)， ɶ ɶ 则 y(n) = IDFS[Y (k)]
共轭对称
共轭反对称
共轭对称与共轭反对称序列示意图
x(n) = xep (n) + xop (n)
1 * xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x( n) − x* ( N − n)] 2
N −1
循环卷积过程： 循环卷积过程：
m=0
补零(当两序列不等长时) 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓 3）翻褶 4）取主值序列 5）循环移位 6）相乘相加
以N=8 x2 (m) x2 ((m))N → 延拓
x2 ((− m)) N →
取主值 → x2 ((−m)) N i RN (n)
结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 圆周移位导致频谱线性相移， 结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。 对频谱幅度无影响。
4. 频域循环移位定理
如果X (k) = DFT[x(n)],0 ≤ k ≤ N −1
Y(k) = X ((k + l))N iRN (k)
x1 ( n) = R5 ( n)
x1(n)
x 2 ( n ) = n + 1 ( 0 ≤ n ≤ 2)
1 0 1 2 3 4 5 x2(n) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n n
DFT应用
X a ( j Ω)
FT
Ω
x(n)
n
DTFT
X(w)
n
x(n)R N (n)
X(w) * D(w) 1
w
x((n)) N
N-1
n
DFS
X((k)) N
w
x((n)) N R N (n)
N-1
n
DFT
k
X((k)) N R N (n)
k
N-1
n
• 由傅立叶变换可知：
– 时域有限则频域无限； – 频域有限则时域无限； – 时域频域均有限的信号是不存在的；
+ N+M-1 y2(n) + N+M-1 y3(n)
重叠保留法Overlap-save
补零 x(n) x0(n) M-1 N-M+1 N x1(n) x2(n) N N x3(n) x4(n) N
h(n) y(n) 舍弃
M
M-1
N-M+1 y0(n) M-1 舍弃 舍弃 N-M+1 y1(n) M-1 N-M+1 y2(n) M-1 舍弃 N-M+1 y3(n)
y(n) = h(n) * x(n) = h(n) * ∑ x m (n − mN)
m =0
∞
= ∑ h(n) * x m (n − mN)
m =0 ∞
∞
= ∑ y m (n − mN)
m =0
重叠相加法
x(n) N N N N
h(n) y(n)
M
N+M-1 y0(n) + N+M-1 y1(n)
• 实时系统中如何进行卷积？？？ • 长短序列卷积的意义？？
数字信号处理主要知识点整理复习总结
求出对应
的各种可能的序列的表达式。
解： 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。
时，
（1）当收敛域
令
，因为c内无极点，x(n)=0；
，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
数字信号处理课程 知识点概要
第1章 数字信号处理概念知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量） 2、数字信号的产生； 3、典型数字信号处理系统的主要构成。
量化、编码 ——————
采样 ————
模拟信号
离散时间信号
数字信号
5、部分分式法进行逆Z变换 求极点 将X(z)分解成部分分式形式 通过查表，对每个分式分别进行逆Z变换 注：左边序列、右边序列对应不同收敛域 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列 6、Z变换的性质 移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换（可直接使用）
7、DTFT与Z变换的关系
（a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。
（b) 边界条件 时，是线性移不变的。
令
….
所以：
….
所以：
可见 是移一位的关系， 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。
代入差分方程，得：
……..
所以：
因此为线性系统。
3. 判断系统是否是因果稳定系统。
Causal and Noncausal System（因果系统） causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n<0 （线性、时不变系统） Stable System （稳定系统） (1) 有界输入导致有界输出 (2) （线性、时不变系统） (3) H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）
数字信号处理期末试卷(含答案)
________ 次复乘法，运算效率为__
_。
６、FFT利用 来减少运算量。
７、数字信号处理的三种基本运算是： 。
８、FIR滤波器的单位取样响应
是圆周偶对称的，N=6，
，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特 性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为
。
4、 已知
，
的反变换
。 ３、
，变换区间
，则
。 ４、
，
，
是
和
的8点循环卷积，则
。
５、用来计算N＝16点DFT直接计算需要_
2FFT算法，需要
次复乘法
６、基2DIF-FFT 算法的特点是
７、有限脉冲响应系统的基本网络结构有
８、线性相位FIR滤波器的零点分布特点是
９、IIR系统的系统函数为
次复加法，采用基
转换为
时应使s平面的左半平面映射到z平面的
。
A.单位圆内 B.单位圆外 C.单位圆上 D.单位圆与实轴的交
点
6、 分析问答题（每题5分，共2题）
3、 某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为
（长度为N），则该系统的频率特性、复频域特性、离散频率特性分 别怎样表示，三者之间是什么关系？ 4、 用
对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的 矛盾？
十一、（7分）信号 包含一个原始信号 和两个回波信号： 求一个能从 恢复 的可实现的滤波器．
附录：
矩形窗(rectangular window) 汉宁窗(Hann window) 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window)
表1 一些常用的窗函数
表2 一些常用窗函数的特性
DFT性质
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质
利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
j 2 N m
N 1 k 0
x[ k ] z
k z e
j
2π N
m
N 1 k 0
x[ k ]e
-j
2π N
X [m]
km
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
Im(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
符号(k)N ： 表示对k进行模运算
k k1 k 2 N , k1 0,1,, N 1, k 2 Z
(k ) N k1
例：N=3，k= 3, 2,
x[(k) N ]
1,
0,
1,
2,
3,
4
x[0] x[1] x[2] x[0] x[1]
DFT性质
卷积定理
时域卷积定理:
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积
频域卷积定理:
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N
3.2 DFT的基本性质
例：
3、循环卷积定理:
N1，N2，则取 N ≥ max [ N1 , N 2 ] ，对序列补零使其达到N点。 设
DFT [ x1 (n) ] = X 1 (k ) DFT [ x2 (n) ] = X 2 (k )
设 x1 (n)、x2 (n) 都是点数为N的有限长序列,若点数不等，分别为
若Y (k ) = X 1 (k ) X 2 (k )
4、复共额序列x*(n)的DFT :
若：x(n) ↔ X (k ) 则：x∗ (n) ↔ X ∗ ( N − k ), 0 ≤ k ≤ N −1
证明： X (k ) = ∑ x(n)WNkn ∵
n =0 ( ∴ X ( N − k ) = ∑ x(n)WN N − k ) n n =0 ( X * ( N − k ) = [∑ x(n)WN N − k ) n ]* n=0 N −1 N −1
0 ≤ n ≤ N −1 X (k ) = X ep (k ) + X op (k ),
0 ≤ k ≤ N −1
1 xep (n) = [ x(n) + x* ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x(n) − x* ( N − n)] 2
1 X ep (k ) = [ X (k ) + X * ( N − k )] 2 1 X op (k ) = [ X (k ) − X * ( N − k )] 2
= xep (n) − xop (n)
1 * ①+②: xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 ①-②: xop (n) = [ x(n) − x* ( N − n)] 2
②
频域中的共轭对称与共轭反对称序列： 时域
数字信号处理期末试卷(含答案)
一、 填空题（每题2分，共10题）1、 1、 对模拟信号（一维信号,是时间的函数）进行采样后,就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =,用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列为 。
３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。
４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时,二者的循环卷积等于线性卷积。
５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ .６、FFT 利用 来减少运算量. ７、数字信号处理的三种基本运算是： . ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的,N=6， 3)3()2(2)4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。
９、数字滤波网络系统函数为∑=--=N K kk z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。
１０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ,若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）.二、 选择题（每题3分，共6题）1、 1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。
A 。
非周期序列B.周期6π=NC.周期π6=N D 。
周期π2=N2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ,则)(Z X 的收敛域为 。
A 。
a Z < B 。
a Z ≤ C 。
a Z > D.a Z ≥3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ,19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ,n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
2 / 18
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
对上式进行 DFT 变换有：
即：
，得证。
5．考虑如图 3-1 所示的线性非移（时）变 LSI 系统的互联
图 3-1
（1）试用
和
表示整个系统的频率响应；
12．已知有限长序列{g[n]}、{h[n]}，其中{g[n]}＝{3，2，4}，{h[n]}
＝{2，－4，0，1}。试求：
（1）线性卷积
；
（2）循环卷积
；
（3）基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解：（1）根据已知 g[n]＝{3，2，4}，h[n]＝{2，－4，0，1}，其线性卷积为：
若
，其中
、
分别是 x（n）和 h（n）的 5 点 DFT，
对 Y（k）作 IDFT，得到序列 y（n），求 y（n）。[华东理工大学 2005 研]
（2）根据频率和周期的关系得：
， 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时：
所以采样数据为：
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7．计算有限长时间序列：
4 / 18
圣才电子书
均 N 点 DFT 的值
，
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
。[北京理工大学 2006 研]
即： 帕塞瓦尔（Parseval）定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2．设 DFT[x（n）]＝X（k），求证： DFT[X（k）]～Nx（N－n）。 [华南理工大学 2007 研]
证明：由已知对 DFT[x（n）]求反变换得 x（n）为：
实验五 线性卷积与循环卷积的计算
实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力；3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。
二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。
图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n x L. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。
上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
数字信号处理期末试卷(含答案)
数字信号处理期末试卷(含答案)填空题(每题2分,共１0题)1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、 2、)()]([ωj e X n x FT =,用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列为 。
3、序列)(n x 的N 点ＤFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。
４、)()(5241n R x n R x ==,只有当循环卷积长度L 时,二者的循环卷积等于线性卷积。
5、用来计算N ＝16点DF Ｔ,直接计算需要____＿＿_＿＿ 次复乘法,采用基２FFT 算法,需要_______＿ 次复乘法，运算效率为_＿ ＿ 。
６、ＦF Ｔ利用 来减少运算量。
7、数字信号处理的三种基本运算是： 。
8、FI Ｒ滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2)4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性? ,相位有何特性? 。
９、数字滤波网络系统函数为∑=--=NK kk z a z H 111)(,该网络中共有 条反馈支路。
10、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ,则系统)(Z H 稳定的条件是 (取s T 1.0=)。
一、选择题（每题3分,共6题）1、 1、 )63()(π-=n j en x ,该序列是 。
A.非周期序列ﻩﻩＢ.周期6π=N ﻩ C ．周期π6=N ﻩD. 周期π2=N2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n,则)(Z X 的收敛域为 。
A ．a Z <ﻩ Ｂ.a Z ≤ﻩﻩＣ.a Z >D.a Z ≥3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作２0点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ,19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
Ch2_4 DFT 计算线性卷积
0 k L -1 其他
k
x[k] xn[k - nL] n0
重叠相加法
y[k] x[k] h[k] xn[k - nL] h[k] yn[k]
n0
n0
yn[k] xn[k] h[k]
h[k]的长度为M
y0[k]的非零范围 0 k L M - 2
y1[k-L]的非零范围 L k 2L M - 2 序列 y0[k], y1[k]的重叠部分 L k L M - 2
x = [1 2 3 4]; h = [5 6 7];
L = length(x)+length(h)-1; % Determine the length for zero padding
XE = fft(x, L); HE = fft(h, L);
% Compute the DFTs by zero-padding
M=3
x1[k]={2, 3, 4, 5, 6} x2[k]={7, 8, 9 ,10, 11} x3[k]={12, 13, 14, 0, 0}
y1[k] ={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6}= x1[k]*h[k] y2[k]= {7, 22, 32, 36, 40, 32, 11}=x2[k]*h[k] y3[k]= {12, 37, 52, 41, 14, 0, 0}=x3[k]*h[k]
y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}=x[k]*h[k]
重叠保留法
方法： (1) 将x[k]长序列分段，每段长度为L。 (2) 各段序列xn[k]与 M点短序列h[k]做L点循环卷积。 (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。
离散信号与系统的频谱分析实验报告
实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换（DFT ）及快速傅里叶变换（FFT ）的计算机实现方法。
2.检验序列DFT 的性质。
3.掌握利用DFT （FFT ）计算序列线性卷积的方法。
4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT 。
5.了解采样频率对谱分析的影响。
6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。
二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。
三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析；DFT 共轭对称性质的应用（通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT ）。
2.线性卷积及循环卷积的关系，以及利用DFT （FFT ）进行线性卷积的方法。
3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。
4.利用FFT 实现带噪信号检测。
5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。
6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系，频谱的内插恢复，对语音信号进行简单分析。
四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义：10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质：（1）DFT 的共轭对称性。
若)()()(n x n x n x op ep +=，[])()(n x DFT k X =，则：)()]([k X n x DFT R ep =， )()]([k jX n x DFT I op =。
（2）实序列DFT 的性质。
若)(n x 为实序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称，即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。
（3）实偶序列DFT 的性质。
若)(n x 为实偶序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称，即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。
DFT的共轭对称性
1.用DFT计算循环卷积
L 1
如果 y (n ) x 1 (n ) x 2 (n ) x 1 (m )x 2 ((n m ))L R L (n ) m 0
X1(k) DFT[x1(n)] X2(k) DFT[x2(n)]
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
m x(m)[N 1N k01WN (mn)k]
x(n rN)
r
N 1N k 0 1W N (mn)k 1 0
mnrN 其 它 m
r为 任 意 整 数
编辑课件
20
由频域抽样序列 X ( k ) 还原得到的周期序列 是原非周期序列 x ( n ) 的周期延拓序列，其 周期为频域抽样点数N。
X (k )
X e p (k ) X o p (k )
x e p (n ) x o p (n )
R e [X (k )] jIm [X (k )]
编辑课件
12
共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性
序列
DFT
R e [ x ( n ) ] jI m [ x ( n ) ] 0
x e p (n ) x o p (n )
k 0
k(ej)k(z)z ej(
2k) N
内插函数：
()
1
sin
N
2
e
j
N21
N
sin
2
编辑课件
26
编辑课件
27
内插恢复过程描述：
X(ej)N1X(k)(2k)
k0
N
(2N k)10
2N kk 2N ii ik
编辑课件
28
3.4 DFT的应用举例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我 们 已 经 知 道 ， 可 以 用 DFT 来 求 循环卷积， 即 x(n) h(n) IDFT[ X (k ) H (k )] ，因此只要找到循 环卷积与线性卷积之间的关系，就可以解决用DFT求线性
卷积的问题。
设x(n) 长度为N1，h(n) 长度为N2，则线性卷积
y(n) x(n) h(n)
解：设R(k)=X(k)Y(k)，于是 r (n)
x(n) y(n) ，
并且r(n)之长度为20。又设g(n)=x(n)*y(n)，则线性卷积 g(n)之长度为8+20-1=27。循环卷积r(n)是周期卷积 ~ r ( n) 的主值序列，而 ~ r (n)又是线性卷积g(n)的周期延拓，延拓 的周期就是周期卷积的周期20。
注意矩阵的对角线为 h(0) 然后每列往下依次是1、2、3...循环移位
h矩阵这个N阶方阵中的元素都是 n由0到N-1区间的h(n) ，
这是通过求模(n-m)N 而得到的。在实际运用时只需要按照
h矩阵中元素排列的规律直接写出这个矩阵。
例 设 x1(n) = {1,2,3,4,5}，x2(n)={6,7,8,9}，计算 5 点循环 卷积
之长为N = N1+N2-1。为了便于用矩阵表示，我们在序列 x(n) 的后面添N2-1个0，使x(n) 的长度变为N，这样，线性 卷积为：
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m),
m 0
N 1
0 n N 1
用矩阵表示为：
y(0) h(0) y(1) h(1) h(0) h( N 1) h( N 2) 2 y( N 2 1) 2 y( N2 ) 0 h( N 2 1) y( N 1) 0 2 0 y ( N 2 ) 0 0 0 y( N 1) 0
用DFT求线性卷积
如果循环卷积的长度N满足N≥N1 + N2 -1（N1、N2分别 是x1(n) 与x2(n) 的长度），则此循环卷积就等于x1(n)与x2(n) 的线性卷积，于是，我们用DFT求得的循环卷积就是线性 卷积。
N≥N1+N2--1
图
用 DFT 求线性卷积
与循环卷积的矩阵表示相比较，可以看出，即使进行线性 卷积的两个序列长度也都是 N，其结果也与循环卷积不同：
两个表示式中 h 矩阵不但元素的排列不同，而且矩阵的大
小也不同。事实上，如果x(n)和h(n)的长度都为N，则它们
的循环卷积yN(n) 之长度为N，而它们的线性卷积y(n) 之长
度为2N-1。
结果与线性卷积相同。
在x(n) 后面补充N2-1个0，使x(n)长度变为 N，x(n)：x(0)、
x(1)、…、x(N1-1)、0、0、…、0。
在h(n) 后面补充N1-1个0，使h(n)长度变为 N，h(n)：h(0)、 h(1)、…、h(N2-1)、0、0、…、0。
~ 再将h(n) 进行周期延拓，周期为N：h (n )
r
h(n rN )
为了计算x(n)与h(n)的循环卷积yN(n)，我们先计
算
~ ~ ~ y N (n) ： 的周期卷积 x ( n )与 h (n)
N 1 ~ ~ ~ ~ y N ( n ) x ( m ) h ( n m) x ( m) h ( n m) m 0 m 0 N 1
h( N 2) h( N 1) h(0)
h( N 4) h( N 3)
h(1) x(0) x(1) h(2) h(3) x(2) h( N 1) x( N 2) h(0) x( N 1)
~
而循环卷积又是周期卷积的主值序列，因此，此时循环卷 积yN(n)与线性卷积y(n)完全相同，即：
y N (n) x(n) h(n) ~ y N (n) RN (n) y(n) x(m)h(n m)
m 0 N 1
0 n N 1
例 设两个有限长度序列：x(n), 0≤n≤7；y(n), 0≤n≤19。令 X(k)和Y(k)分别表示它们的20点DFT，而序列 r(n)=IDFT[X(k)Y(k)]。试指出r(n)中的哪些点相当于线性卷 积g(n)=x(n)*y(n)中的点。
有限长序列的循环卷积（又称圆周卷积）
(1) 定义
设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为 L、M的有限长序列，它们的 N点循环卷积x3(n) 定义为： N 1 ~ x3 (n) x1 (n) x2 (n) x1 (m) ~ x2 (n m) RN (n) m 0
注意：其中N>=Max{L,M}
注意：如果其中一个序列 ( 或者两个序列）的长度没有所
求N点循环卷积的长度长，那在该序列后面补零，直到长 度达到N
(c) 用解析式计算
N 1 y N (n) x(n) h(n) x(m)h((n m) N ) RN (n) m 0
x(m) h(n m rN )
m 0 r
N 1
r m 0
[ x(m)h(n rN m)]
N 1
r
y(n rN )
此式说明，周期卷积 ~ y N (n) 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) 的周期延拓。由于 ~ x ( n ) 与 h (n) 的周期都为N，因此它们 的周期卷积 ~ y N (n) 的周期也为N，正好等于y(n)的长度， 即上式中以N为周期的周期延拓没有发生混叠，线性卷积 y(n)正好是周期卷积 ~ y N (n) 的一个周期。
0 6 7 8 9
9 0 6 7 8
8 9 0 6 7
7 1 100 8 2 95 9 3 85 0 4 70 6 5 100
用DFT求线性卷积
DFT不仅可以用来对信号进行频谱分析，而且还可以用来 计算序列的线性卷积。 循环卷积与线性卷积的关系
x(0) x(1) h(0) x( N1 1) 0 h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(0) 0 0 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(1) h(0)
x3 (n) x1 (n) x2 (。 n)
解： x2(n) 为 4 点序列，在其尾部填零使其成为 5 点序列， 再进行循环卷积运算。
x 3 ( 0) 6 x (1) 7 3 x3 (2) 8 x3 (3) 9 x ( 4) 3 0
专题： 循环卷积、用DFT求线性卷积
首先，我们要理解周期卷积仅仅针对离散傅里叶级数，循环 卷积（又称圆周卷积）仅仅针对离散傅里叶变换。这里的 “循环”是针对周期序列而言，我们要始终记住，离散傅里 ~ x ( n) 叶变换的序列x(n)是周期序列 的主值序列。 而线性卷积是针对有限长序列，要用DFT求线性卷积，必然 要求周期序列在一个周期内求卷积能和有限长序列求线性卷 积等值。因此我们求N点长度的循环卷积必然要和线性卷积 长度一致。起码N要不少于线性卷积的长度。
此式可用矩阵表示为：
h( N 1) y N (0) h(0) y (1) h(1) h(0) N y N (2) h(2) h(1) y N ( N 2) h( N 2) h( N 3) h( N 1) h( N 2) y N ( N 1)
但是，在一定的条件下，可以使循环卷积与线性
卷积的结果相同。考虑两个有限长序列的线性卷 积：设x(n)的非零区间为0≤n≤N1-1, h(n)的非零
区间为0 ≤n≤N2-1，则线性卷积y(n)=x(n)*h(n)
的长度为N=N1+N2-1，非零区间是0≤n≤N-1。
的循环卷积，使其
由于20<27，即延拓的周期小于线性卷积的长度，故延拓
时必然发生线性卷积的混叠，即
~ r ( n)
的每一个周期的
前27-20=7个值都是g(n)的前一个周期的后7个值与后一个
周期的前7个值的混叠，也就是说，循环卷积r(n) 的20个 值中，后13个值才与g(n)中间部分的13个值相同。因此， 对于循环卷积r(n)，（0≤n≤19），只有7≤n≤19这13个 点相当于线性卷积g(n)中的点。