2018届高三文科数学 选修4-4,4-5测试卷

选修4-4，4-5测试卷

解答题

1．【2018河北衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ： ,{

x y sin αα

==（α为参数），以原

点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos 14πρθ⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．

2．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()22

2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．

【解析】（1）因为1cos ,sin ,x y C ρθρθ==∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+= ．

（2）将4

π

θ=

代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得2

40ρ-+=，解得

1212MN ρρρρ===-=因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积

11

1sin 4522

⨯=．

3．【2018华大新高考联盟】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,{

2x cos y sin αα

==（α为参数）

，以O 为极点, x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=.

（1）若1m =，求直线l 交曲线C 所得的弦长； （2）若C 上的点到l 的距离的最小值为1，求m .

4．已知曲线C

的参数方程为31x y αα

⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为

极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （Ⅱ）若直线的极坐标方程为1

sin cos θθρ

-=

，求直线被曲线C 截得的弦长．

【解析】（I ）曲线C

的参数方程为31x y α

α

⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为

()()321210x y -+-=，曲线C 表示以()3,1

cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨=⎩

代入并化简

得：6cos 2sin ρθθ=+，即曲线c 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+．

（II ）

直线的直角坐标方程为1y x -=，∴圆心C

到直线的距离为2

d =

∴

弦长为=．

5．在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换3

2

x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，后的曲线为2C ，

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．

6．【2018东北名校联考】 已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . （1）若曲线21:{

(2x t C t y t

=+=+为参数）与曲线1C 相交于两点,A B ，求AB ；

（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(),x y ，求()()11x y ++的最大值.

【解析】（1）1:1C ρ=化为直角坐标方程为22

1:1C x y +=，21:{

(2x t

C t y t

=+=+

为参数）可化为

21:{(22

x C t y t

==+为参数），代入22

1:1C x y +=

，得的2212122t t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，化简得240t ++=，设,A B 对应的参数为12,t t

，则12124t t t t +=-=，所以

12AB t t =-=

=

（2）(),M x y 在曲线1C 上，设{

(x cos y sin θ

θθ

==为参数）

，则()()()()11cos 1sin 1sin cos sin cos 1x y θθθθθθ++=++=+++

，令

(sin cos 4πθθθ⎛

⎫+=+∈ ⎪⎝

⎭，则21sin cos 2t θθ-=

，那么()()()222111*********t x y t t t t -++=++=++=+， 所以()(

))

2

max 11112

x y ++=.

7．建立极坐标系，直线l 的参数方程为0cos sin x t y y t α

α=⎧⎨=+⎩

（t 为参数，α为l 的倾斜角），曲线E 的极坐标

方程为4sin ρθ=，射线=θβ,6

π

θβ=+,6

π

θβ=-

与曲线E 分别交于不同于极点的三点A ，B ，

C ． （1

）求证：|||||OB OC OA +=；

（2）当3

π

β=

时，直线l 过B ，C 两点，求0y 与α的值．

8．已知函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；

（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．