2018届高三文科数学 选修4-4,4-5测试卷

选修4-4，4-5测试卷
解答题
1．【2018河北衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ： ,{
x y sin αα
==（α为参数），以原
点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos 14πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．
2．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．
【解析】（1）因为1cos ,sin ,x y C ρθρθ==∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为
22cos 4sin 40ρρθρθ--+= ．
（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得2
40ρ-+=，解得
1212MN ρρρρ===-=因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积
11
1sin 4522
⨯=．
3．【2018华大新高考联盟】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,{
2x cos y sin αα
==（α为参数）
，以O 为极点, x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=.
（1）若1m =，求直线l 交曲线C 所得的弦长； （2）若C 上的点到l 的距离的最小值为1，求m .
4．已知曲线C
的参数方程为31x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （Ⅱ）若直线的极坐标方程为1
sin cos θθρ
-=
，求直线被曲线C 截得的弦长．
【解析】（I ）曲线C
的参数方程为31x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为
()()321210x y -+-=，曲线C 表示以()3,1
cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入并化简
得：6cos 2sin ρθθ=+，即曲线c 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+．
（II ）
直线的直角坐标方程为1y x -=，∴圆心C
到直线的距离为2
d =
∴
弦长为=．
5．在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换3
2
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，后的曲线为2C ，
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．
6．【2018东北名校联考】 已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . （1）若曲线21:{
(2x t C t y t
=+=+为参数）与曲线1C 相交于两点,A B ，求AB ；
（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(),x y ，求()()11x y ++的最大值.
【解析】（1）1:1C ρ=化为直角坐标方程为22
1:1C x y +=，21:{
(2x t
C t y t
=+=+
为参数）可化为
21:{(22
x C t y t
==+为参数），代入22
1:1C x y +=
，得的2212122t t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简得240t ++=，设,A B 对应的参数为12,t t
，则12124t t t t +=-=，所以
12AB t t =-=
=
（2）(),M x y 在曲线1C 上，设{
(x cos y sin θ
θθ
==为参数）
，则()()()()11cos 1sin 1sin cos sin cos 1x y θθθθθθ++=++=+++
，令
(sin cos 4πθθθ⎛
⎫+=+∈ ⎪⎝
⎭，则21sin cos 2t θθ-=
，那么()()()222111*********t x y t t t t -++=++=++=+， 所以()(
))
2
max 11112
x y ++=.
7．建立极坐标系，直线l 的参数方程为0cos sin x t y y t α
α=⎧⎨=+⎩
（t 为参数，α为l 的倾斜角），曲线E 的极坐标
方程为4sin ρθ=，射线=θβ,6
π
θβ=+,6
π
θβ=-
与曲线E 分别交于不同于极点的三点A ，B ，
C ． （1
）求证：|||||OB OC OA +=；
（2）当3
π
β=
时，直线l 过B ，C 两点，求0y 与α的值．
8．已知函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；
（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．
9．【2018四川德阳三校联考】（1）函数()3f x x =-，若存在实数x ，使得()()241f x m f x +≤+-成立，求实数m 的取值范围；
（2）设,,x y z R ∈，若224x y z +-=，求2
2
2
4x y z ++的最小值． 【解析】（1）令()()()241g x f x f x =+--，则()214g x x x =+--，即
()()
()
6
1{32
(14) 64x x g x x x x x --≤-=--<<+≥，作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ，所以()min 5m g x ≥=-，
实数的取值范围是[
)5,-+∞
（2）由柯西不等式： ()][
()()22222
22112222x y z x y z ⎡⎤++-⋅++≥+-⎣⎦
，即
()
()2222642216x y z x y z ++≥+-=，故222843x y z ++≥，当且仅当2112
x y z
==
-时，即214,,333x y z ===-时等号成立，所以2224x y z ++的最小值为83
.
10．已知函数()13,1f x x x x =++-≥-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值.
11．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()2
274f x m m >-+对于x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围.
12．设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()27
2
f x t t ≥-
恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（I ）()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪
=-≤<⎨⎪+≥⎩
，当1x <-，42x -->，6x <-，6x <-∴，当12x -≤<，32x >，
23x >
，2
23
x <<∴ 当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ≥∴，综上所述2|63x x x ⎧
⎫>
<-⎨⎬⎩
⎭
或． （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()211
2
f x t t ≥-
恒成立，则只需()22min
7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述3
22
t ≤≤．
13．【2018河南漯河中学三模】若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a ；
（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14
233y m n m n
=
+
++的最小值.
14．【2017届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】已知函数()2123f x x x =++-． （1）若0x R ∃∈，使得不等式()0f x m ≤成立，求实数m 的最小值M ； （2）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：
31
3b a
+≥． 【解析】（1）由题意，不等式2123x x m ++-≤有解，又因为()212321234x x x x ++-≥+--=， 由题意只需()
min
2123
4m x x ≥++-=，所以实数m 的最小值4M =；
（2）由（1）得34a b +=，所以
()3113119133363444a
b a b b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当9a b b a =即32a b ==时等号成立．。