黎曼猜想简介

黎曼猜想简介

数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。

-----K.F.Gauss

比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想

20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。

当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。

让我们从1858 年讲起吧。

1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。

黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在 6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。

14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大4 开本《数论》，并用 6 天时间

读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。

1846 年春，19 岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。 1847 年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比

(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P .G.L. Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快，神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。

黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。 1851 年 11月，他提交了一篇题为“复变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。 1854 年6月10 日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于 1857 年升任副教授，1859年接替狄里赫利任教授。

就凭上述3篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人 能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。

黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又一代杰出数学家。

理解黎曼猜想

相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用数学符号表述。

要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作 Zeta 函数)说起。

早在 1749 年，著名数学家欧拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了实变量形式的ζ函数，他证明当 s>1 时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：

11(1)s s p

n n

p ∞---==∏-∑ 其中∑叫和号，这里表示从n=1 开始，累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有 p 求连乘积。p 表示素数。

而黎曼 1859 年的创新是将变量 s 看作复变量，并引进记号：

1()s n s n ζ∞

-==∑

这就是黎曼ζ函数，其中s=σ+it 为复变量，实部记作Res=σ。

使ζ(s)=0的点叫做ζ(s)的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是ζ(s)的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有 1/2+it 形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。

简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0 时 Res=1/2，即所有非平凡零点都位于σ=1/2 这条直线上。这条直线叫做临界线。

严格地说，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名论文中提出的 6 个猜想构成:

(1) ζ(s)在带状区域 0≤σ≤1中有无穷多个零点(亦即ζ(s) =0 在带状区

域0≤σ≤1中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。

(2) 以N(T)表示ζ(s)在矩形区域0 ≤ σ ≤ 1，0≤ t≤T 中的零点个数，则有

N(T)≈(T/2π)log(T/2 π)-T/2 π

(3)以ρ表示ζ(s)的非平凡零点， 表示对所有非平凡零点求和，则级数 收敛，而级数 发散。

(4)A=-log2和 B 为常数时， 。 (5)ζ(s)的全部非平凡零点的实部都是 1/2。

(6)对于函数

称为黎曼素数函数 其中

为曼哥特函数。

以上 6 个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通常所说的黎曼猜想。 纯粹数学航标

解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指引纯粹数学的航向。

从现有数学研究和推论看黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。或者设法找出ζ(s)的哪怕只是一个不在1/2线上的非平凡零点，就可以否认黎曼猜想。 ρ∑2

ρ

ρ-∑1

ρρ-∑()(1)A Bs s s e s e ρ

ρ

ζρ+=-∏2()()/log n x

J x n n ≤≤=Λ∑log ,,1()0k p n p k n ⎧⎫=≥Λ=⎨⎬⎩⎭