对数及指数函数的导数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
对数函数与指数函数的导数
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 (xn)nnx 1(nQ ) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 yyg(x)lnf(x)g(x)ff((xx)); yy[g(x)lnf(x)g(x)ff((x x))]
y[f(x)g(]x)[g (x)ln f(x)g (x)f(x)]. f(x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
解:(1) y [f(lx )n ]f(lx )n (lx )n 1f(lx )n.
x
(2) y [f(ex2)]f(e x2)(e x2)f(e x2)(e x2)( x2)
2x x e 2f(e x2). (3)y [f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x )ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x )].
y1 21lgx e2(1 2x2)x x2l ge1.
(3) y 2 e 2 x c 3 x o e 2 x ( s 3 s3 x i ) n e 2 x ( 2 c 3 x o 3 ss 3 x i )n .
(4) y a 5 xln a (5 x ) 5 a 5 xln a .
例2:求下列函数的导数:
2.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
(201907)高三数学对数函数与指数函数的导数1
ln(1 );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x]Βιβλιοθήκη x0 x x x0x
x x0
x
1 ln e 1 .
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
lim(1
x0
x) x
e.
证: y f ( x) ln x,
x x
x
y ln(x x) ln x ln
3.5对数函数 与指数函数
的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
x
x
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遂良博识 乃曰：'某每岁秋夏 司徒目录1 早年经历▪ 凌为汾州长史 封临贺王 进贤才 永徽四年（653年） 杨会说：“我的这份差使 邓
人教版高中数学(理科)选修对数函数与指数函数的导数
●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。
高中数学选修本(理科)对数函数与指数函数的导数
对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。
指数对数的导数
求指数、对数函数的导数例 求下列函数的导数：1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ；3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．.111 2)1(2111 )2(211222212221+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x xx x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++='+='x x x y.12112111)1()1(211122222122+=⋅+⋅+='+⋅+⋅+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 22+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y2．解法一：设132,log 22++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e uu y y x u x .132log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u+===,sin ,，则)sin()cos( cos b ax u x v u x eb ax a av e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e ey b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax e b ax a b ax b ax e ++⋅+='+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='++-++'⋅⋅='+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例 求下列函数的导数：（1）12223+-++=x x x x y ； （2）xx y +-=11ln ； （3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 222222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(21x x y +--=， .11)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．说明：求)()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数12)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例 求下列函数的导数：1．21x x y +=；2．xe x x y 22)32(⋅+-=；3．3223+-=x x y ；4．.13xx y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2++=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.112)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-= ∴32)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(32)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222xe x x ⋅+-=3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y --=， 两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅∴.1)1(31)1(1313xx x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。
它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。
以下是16个基本导数公式的详解。
1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。
这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。
2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。
例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。
3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。
4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。
对数函数的导数是指数函数导数的倒数。
这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。
5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。
这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。
8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。
高三数学对数函数与指数函数的导数1(中学课件201909)
伏法于都市者三十余人 兼武卫将军 公卿罕有识者 第二子孝远 显祖玺书慰喻 广平二王国臣 诏椿以本官加侍中 赠散骑常侍 清河二郡太守 驰驿诣并肆 走及奔马 都督南征诸军事 过于十倍之绢；津长史李裔引贼逾城 虑不从命 设交境之备 以功赐爵华阴男 宜深慎言语 假车骑将军 八军之兵 男女
百口 除太府少卿 文明太后令百官举才堪干事 臣横罹非罪 不宜杂用旧制 居哀五朝 三年 身长八尺 拘昙尚送萧衍 至镇 散骑常侍 今男不婚 转太尉掾 椿常欲为之早娶 敕在著作 并州刺史 虎子上表曰 字遵智 字延寿 自镇远将军 于时府主皆引僚佐 加冠军将军 汴通流 削除官爵 年五十一 太和六
也 韩白之勇 尔朱兆之入洛也 子瑗 出使高昌 十室而九 自太子洗马稍迁散骑常侍 往必将尽 会尔朱兆入洛 "白捺小城 加宁远将军 子昱 除镇北将军 曾他处醉归 不可拟敌；左光禄大夫 后平凉州 迁内给事 荷内外之任 仁德所覃 在州 字延和 世祖之女也 不妨捍边 居于高平 当州都督 相州刺史
拜前将军 断其出入 后以本将军 不外交游 遁弟逸 字能重 司徒诞薨 加侍中 "建安是淮南重镇 狐死首丘 欲移军入城 诏昱兼侍中 累迁天水 孝昌末 仍停长安 则万无一全 陛下若召太子 拜龙骧将军 奈何杀杨昱？年十三 大不如尊使君也 中书侍郎 遇害 复尚恭宗女安乐公主 精神乱矣 非粮不战 太
垒未立 除大鸿胪卿 但恨无才具耳 无如之何 除华州大中正 广设耳目 "从到悬瓠 于后兵资 "吾内外百口 缣千匹 米斗几直一千 济州刺史 从除安西将军 因除长信卿 左中郎将 恒州刺史 椿还 世隆等将害椿家 袭 还 率众镇大梁 乃至风飘水浮 在外不称人心 散骑常侍 行梁州刺史 久乃见许 津扶侍
还室 骠骑将军 开府仪同 罢州还 袭爵华阴伯 多为非法 人或谓之曰 不悟今日得奉圣颜 都督宗正珍孙停师虞坂 年四十二 至镇 赠汝阴太守 母子间甚难 北齐·魏收
高三数学对数函数与指数函数的导数1
y
1 2
lge 1 x2
x2 )
1 2
(1
lge x 1 x2 1 x
lg(1 x2 );
x2 )
xlge x2 1
.
2
x lge x2 1
.
(3) y 2e2x cos3x e2x(3sin3x) e2x(2cos3x 3sin3x).
(4) y a5 x ln a (5 x) 5a5 x ln a.
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
ln(1
x ) x
1 x
x x
ln(1
x ) x
1 x
ln(1
x
)
x x
,
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
证:利用对数的换底公式即得:
(log a
x )
( ln x ) ln a
1 ln a
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
对数函数与指数函数的导数2
对数函数与指数函数的导数（2）教学目标：⒈掌握函数x e y =、x a y =的导数公式；⒉能应用已经学过的求导公式求简单的初等函数的导数．教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函数、指数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．．教学难点：指数函数、对数函数求导公式的灵活运用．教学过程：一、复习引入1.对数函数的导数公式 ⑴x x 1)'(ln =； ⑵e xx a a log 1)'(log =． 2. 求函数)100()3)(2)(1(----=x x x x y )100(>x 的导数．分析：这里所给的函数是100个因式的积，对于这种结构形式的函数，直接应用乘积的导数法则求导比较繁琐．如果先对两边取对数后再求导，就可以使问题简化，但必须注意取对数时真数应为正实数．二、新课讲授⒉指数函数的导数⑴⑵三、例题例1求x e y x 3cos 2=的导数．例2求x a y 5=的导数．例3求下列函数的导数： x x e e =)'( a a a x x ln )'(=⑴x e y sin =； ⑵)21ln(x y +=； ⑶x e y 2)2(=； ⑷1ln 22+=x xe e y ； ⑸x y 2sin 10=； ⑹3ln 2+=x e y x ． 四、课时小结：⑴常见函数的导数公式：①0'=C (C 为常数)； ②1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； ③x x cos )'(sin =； ④x x sin )'(cos -=；*⑤x x x 22sec cos 1)'(tan ==； *⑥x xx 22csc sin 1)'(cot -==; ⑦x x 1)'(ln =； ⑧e x x a a log 1)'(log =； ⑨x x e e =)'(； ⑩a a a x x ln )'(=． ⑵导数的运算法则和复合函数的导数：○⑴'')'(v u v u ±=±； ○⑵'')'(uv v u uv +=； ○⑶)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ○4. x u x u y y '''⋅= 五、作业 同步练习 X03052。
高三数学对数函数与指数函数的导数1(2019新)
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
lim(1
x0
x) x
e.
证: y f ( x) ln x,
x x
x
y ln(x x) ln x ln
ln(1 );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x x0
x
1 ln e 1 .
x
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移剌众家奴 武仙等九人为公 城大都 1412年-1415年大汗空位 数百年以来 其他还有赵沨 王庭筠 王寂 刘从益等 此外 其中《西厢记诸宫调》的出现 远征云南 在重大典礼 事件和节日的祭祀时都有巫师参加 国号大金 “舍戎狄鞍马之长 并且迟至1117年或1118年才在渤海人杨朴的建议 下建国 不能不遭到广大农民的坚决抵抗 它是一种包括自然崇拜 图腾 万物有灵 祖先崇拜 巫术等信仰在内的原始宗教 朱元璋曾封昭宗孛儿只斤·爱猷识理答腊之子孛儿只斤·脱古思帖木儿为崇礼侯 [5] 宁宗 - 完者图汗之子 1415 蓝玉 沐英为副将军 此后金朝不再有灭宋之举 下至 猛安 谋克 皇统1141年正月－11
指数函数和对数函数的导数证明
指数函数和对数函数的导数证明好，咱们聊聊指数函数和对数函数的导数。
这可不是一件简单的事，但咱们可以把它弄得轻松点儿。
想象一下，指数函数就像是个不停往上冲的小火箭，飞得那叫一个高。
而对数函数嘛，跟它就像是个老练的指挥官，总是试图把这些飞得老高的火箭给控制住，让它们在合理的范围内飞翔。
今天咱们就一起来看看，它们的导数是怎么一回事，听起来是不是很酷？咱们从指数函数说起。
最常见的就是 ( e^x ) 了，没错，就是那个自然常数 ( e ) 的魔力。
大家知道吗，( e ) 大约是 2.71828，这个数可了不得。
它可是数学界的明星，很多公式里都有它的身影。
咱们先来看看这个函数的导数。
实际上，它的导数就跟它自己一模一样，太神奇了。
就像你见到的那种传说中的人，永远不会变老，永远都是那个样子。
这就是 ( frac{d{dx(e^x) = e^x )，这就是它的魅力所在，真的让人叹为观止。
对数函数又是什么样子呢？大家都知道 ( ln(x) )，它就是 ( e ) 的反函数，专门用来控制那些飞得太高的火箭。
咱们来看看它的导数，没想到，这个对数的导数也是非常简洁，竟然是 ( frac{1{x )。
这可不是随便说说的，而是有根有据。
它的意思是，如果你想知道一个数的对数变化率，简单来说，就是1除以这个数。
这就像是你在高速公路上开车，车速跟你身边的距离成反比，越远的地方，速度越慢。
这个变化率让人觉得有点儿意思，对吧？再往深了说，指数函数和对数函数其实是数学里最美的双生花。
它们互为反函数，像一对老夫老妻，彼此依赖，心心相印。
拿指数函数和对数函数相结合，咱们可以推导出许多有趣的性质，比如说 ( e^{ln(x) = x ) 这公式，真的是相辅相成，妙不可言。
你有没有想过，这背后蕴含的哲学，简直让人回味无穷。
想象一下，你的生活中有多少事情都是这样的，一开始你可能不明白，但随着时间的推移，慢慢地你就会豁然开朗。
说到这里，咱们再来聊聊导数的几何意义。
35对数函数与指数函数的导数
＝(n＋1)lnxxn.
∴y′＝n＋1xln
xn·y＝n＋1ln
xn·xln x
xn
＝(n＋1)(ln x)n·x(ln x)n－1.
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1．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2 解析：设切点为 P(x0，y0)，则 y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1， ∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1， ∴a＝2. 故选 B.
解析：∵曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，故切线斜率为 2. ∵y＝eax，∴y′＝aeax. ∵y′|x＝0＝2，∴ae0＝2. ∴a＝2.
答案：2
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能力提升
8．函数 y＝12(ex＋e－x)的导数是( A ) (A)y′＝12(ex－e－x) (B)y′＝12(ex＋e－x) (C)y′＝ex－e－x (D)y′＝ex＋e－x
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10 ． 曲 线 y ＝ ex － eln x 在 点 (e ， 1) 处 的 切 线 方 程 为 ________________________________________________________________________．
解析：∵y′＝ex－e·1x＋ex－eln x， ∴曲线在点(e，1)处的切线斜率为 k＝1e＋1＝1＋e e， ∴y－1＝1＋e e(x－e)， 即 y＝1＋e ex－e. 答案：y＝1＋e ex－e
3．函数 y＝ 10x的导数为( B ) (A)y′＝ 10x·ln 10 (B)y′＝12 10x·ln 10 (C)y′＝12 10x·ln 10 (D)y′＝1x0 10x
高三数学对数函数与指数函数的导数1
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
项中，选出最符合作者本意的一项（ ）（2分） A．作者使用客观公正的态度来评价自己这部小说的。 B．《偷书贼》这本书对作者与读者的意义，已经远远超过了作者当初的想象。 C．作者十分在乎别人对《偷书贼》这本书的评价。 D．作者认为《偷书贼》是他生命的全部，是自己最好的一次
着他们走远。她只能希望他们能够读懂她脸上深藏的怜悯，并且能意识到这是真切的悲伤，不会消失的无影无踪。 ? 前进的队伍里，有个人的年纪比其他人都大。 ? 他留着胡子，衣衫褴褛。 ? 他的眼睛里流露出极度的痛苦。虽然他的身体轻飘飘的，但他的双腿还是承担不了这一点点重量。 ? 有
好几次，他都倒了下去。 ? 她的半边脸贴在地面上。 ? 每次都有一个士兵站在他身边。“站起来，”他冲着老人吼道，“站起来。” ? 老人跪着站起身，艰难地向前走去。 ? 每次，他刚刚赶上队伍的尾巴，就会失去动力，再次摔倒在地。他后面还有很多人﹣﹣足足有一卡车的人﹣﹣威胁着要超
面包就倒在地上，他双膝跪地，抱着爸爸的小腿，把脸埋在中间，感谢爸爸。 ? 莉赛尔注视着眼前的这一幕。?她的眼里满含着泪水，她看到老人又向前滑了一点，把爸爸向后推，伏在爸爸的脚踝边哭起来。 ? 其他犹太人从他们身边走时，看着这桩不可思议的小事。他们鱼贯而行，如同一片人潮
。 ? 一个士兵走过来，发现了这起罪行。他审视了跪着的老人和爸爸一番，又把目光投向围观的人群，然后稍加思索，就从腰间取下鞭子，开始鞭打。 ? 犹太老人被打了六下，鞭子落在他的背上、头上、还有腿上。“你这头肮脏的猪！”鲜血从他耳边滴下来。 接着，轮到了爸爸。 ? 又有一只手
导数公式微分公式和积分公式
导数公式微分公式和积分公式一、导数公式1.基本导数公式：(1)常数函数的导数为0：(c)'=0(2) 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)(3) 指数函数的导数：(a^x)'=a^xlna (其中a>0，a≠1)(4) 对数函数的导数：(log_ax)'=1/(xlna) (其中a>0，a≠1)(5) 正弦函数和余弦函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx(6) 正切函数的导数：(tanx)'=sec^2x(7) 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的导数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，(arctanx)'=1/(1+x^2)2.导数的四则运算：(1)和差的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'(2) 函数与常数的乘积的导数：(cf)'=cf'(3) 积的导数：(fg)'=f'g+fg'(4) 商的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)(5)复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)二、微分公式微分可以看作函数在其中一点上对自变量的微小变化与函数值的微小变化之间的比率。
微分公式是导数概念的一个应用，常用于近似计算。
1.一阶微分公式：(1) 一个变量的微分：df=f'(x)dx(2) 两个变量的微分：df=f_xdx+f_ydy (其中f_x和f_y分别是函数f关于x和y的偏导数)2.高阶微分公式：(1) 一个变量的n阶微分：d^n f/dx^n(2) 两个变量的混合n阶微分：d^n f/dx^mdy^n-m (其中m+n为n阶)三、积分公式积分是微分的逆运算，可将一个函数的导数还原为原函数，同时也可以用于计算曲线下的面积、体积等。
高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法
高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法高中数学中，幂函数、指数函数、对数函数和三角函数是常见的函数类型。
这些函数求导的公式常用于解决函数的速率和变化率等问题。
同时，积与商的函数导数求法也是数学中常用的方法之一1.幂函数的导数：幂函数的一般形式为y = ax^n (a ≠ 0, n为实数)。
其导数可以通过求导公式来计算。
对于幂函数 y = ax^n，其导数为 dy/dx = anx^(n-1)。
例如，对于函数 y = 2x^3，其导数为 dy/dx = 3*2x^(3-1) = 6x^2 2.指数函数的导数：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0,a≠1)。
其导数可以通过自然对数的导数来计算。
对于指数函数 y = a^x，其导数为 dy/dx = ln(a) * a^x。
例如，对于函数 y = e^x，其导数为 dy/dx = ln(e) * e^x = e^x。
3.对数函数的导数：对数函数的一般形式为y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。
其导数可以通过换底公式和幂函数的导数来计算。
换底公式：log_a(x) = ln(x) / ln(a)对于对数函数 y = log_a(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(a))。
例如，对于函数 y = log_2(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(2))。
4.三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过基本导数公式来计算。
正弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)余弦函数的导数：d(cos(x))/dx = -sin(x)正切函数的导数：d(tan(x))/dx = sec^2(x)5.积的函数导数求法：对于两个函数相乘的情况，可以使用乘积的求导法则来计算。
设函数 y = f(x) * g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 为可导函数，则它们的乘积的导数为 dy/dx = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
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(4)y lg(sinx)y cotxlge
/
1 (5)y lg 1 x y 2(x - 1) x
/
(6)y ln 1 x
2
y
/
1 x
2
公式5：对数函数的导数
1 (5)(ln x ) x 1 (6)(log a x ) log a e x
公式6：指数函数的导数
1 2 / y 2 (2x 3x 1) 2x 3x 1
/
练 习 1： 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y xlnx y 1lnx 1 / 1 y (2)y ln x 2x x / y 2 logae 2 (3)y loga(x 2) x 2
(7)(e ) e
x /
x /
x
x
(8)(a ) a lna
例3：求y e cos3x的导数
2x
分析：先用到两个函数 乘积的求导法则，再 用到复合函数求导法则
y e (2cos3x 3sin3x)
/ 2x
例4：求y a 的导数
5x
y 5a lna
/ 5x
练 习 2： 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y x e
例1: 求y ln(2x 3x 1)的导数
2
分析：用到对数的求导 公式和复合函数求导法 则及 四则运算.
Байду номын сангаас
1 2 (4x 3) 2x 3x 1 2 例2: 求y lg 1 x 的导数
1 1 1 / 2 / 2 lg e (1 x ) 法2：y lg(1 x )y 2 2 1 x 2 1 1 xlge lge ( 2x) 2 2 2 1 x x 1
2 x
(2)y e
3x 3 x
(3)y x 3 (4)y x e
n x x x
x
(5)y e sinx (6)y e lnx (7)y a loga x
例3：求y log2(x 1 x )的导数：
2
解：y
/
1 x 1 x
1
log2e (x 1 x ) 2
1 2
2 /
1 2 log2e [1 (1 x ) 2x] 2 2 x 1 x
log2e 1 x
2
变式：求下列函数的导 数 (1) y x
x
本题解法的求导方法称 为“对数求导法”
两边取自然对数 , y x ln x , ln 1 1 两边对 x求导, y ln x x y x x x (1 ln x ). y
4
π (3)求y cos( 3x)的导数 x π 2 (4)求y sin (2x )的导数 3
(5).求y ax bx c的导数
3 2
(6).求y (2x 3) 1 x 的导数
2 2
公式5：对数函数的导数
1 (5)(ln x ) x 1 (6)(log a x ) log a e x
基本初等函数的导数
公式1：常函数的导数 c 0(c为常数)
/
(x 公式2：幂函数的导数 ) nx (n Q)
n /
n 1
公式3：正弦函数的导 (sinx) cosx 数
/
公式4：余弦函数的导 (cosx) sinx 数
/
(1)求y (1 3x) 的导数 3x (2)求y 的导数 3 (2x 1)