第二类边界条件先进格林函数节块法
格林函数方法
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算
三维圆柱几何格林函数节块法中子扩散计算
胡永明;赵险峰
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】1997(14)4
【摘要】发展了中子扩散计算三维圆柱几何格林函数节块法。
首先通过横向积分
将中子扩散方程化为三个互相耦合的一维偏通量方程。
对于径向偏通量方程，将径向扩散微分算符分解为平板几何的扩散微分算符和一个修正项之和，将修正项移到方程右端作为修正源项，这样，三个方程都化为平板几何的一维方程形式。
再借助平板几何第二类边界条件格林函数，对圆柱几何相应体源作积分，建立偏通量积分方程。
对于修正源项，通过分部积分方法将偏通量导数项转化为对格林函数的求导。
通过源迭代法求解方程。
基准计算表明，该计算精度高、速度快，可成为三维圆柱几何堆芯设计和燃料管理计算的有效方法。
【总页数】2页(P429-430)
【关键词】格林函数;节块法;气冷堆;堆芯;中子扩散
【作者】胡永明;赵险峰
【作者单位】清华大学核能技术设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】TL425.025;TL325
【相关文献】
1.三维圆柱几何格林函数节块法 [J], 胡永明;赵险峰
2.用于轻水堆扩散计算的格林函数节块展开法 [J], 沈炜;谢仲生
3.两种圆柱几何格林函数节块法的比较 [J], 施工;杜启新;胡永明
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亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz
一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
G ( r r ' ), G
他们满足以下的方程：
e
m
(r r ' )
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场， G0(r,ri’)表示下半空间电流 元的镜像所产生的场
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数
ψe
引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function
电动力学电动力学二五(格林函数)
a RdR
0
2 0
d1
3 2
R2
2RRcos
R2 z2
15 8
R2
2RRcos
R2 z2 2
2
V0a2 2
R2
z z2
32
1
3 4
a2 R2
z2
15R 2a 2 8 R2 z2
2
21
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上 半空间的格林函数用柱坐标表出为
G
x,
x
1
1
4 0 R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos -
R2 R2 2RRcos
1
RR R0 2 R02 2RRcos
13
三、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分 布ρ，边界S上给定电势|s ，求V内的电势 (x)。
设区域内有两个函数(x) 和 (x) ，有格林公式
2 2 dV dS
x
dS
对第二类边值问题，由于 G(x,x’)是点上单位点电荷 所产生的电势，其电场通 量在边界面S上应等于1/0 ，即
S
n
G x ,
x dS
1
0
满足上式的最简单的 边界条件是
Gx, x 1
n
xS
0S
第二类边值问题的解
x
V
G
x,
x
x
dV
0
S
G
x,
x
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
第四章格林函数法1
边界条件有三种类型，应用较多的是第一、第二边界条件。 1）第一边值问题：
边界条件 u f ， (是的边界,f 是上的连续函数)
要求的解u C 2 () C 0 (),即u在内有二阶连续偏导数，在( )上 连续，满足Laplace方程,且在边界上与f 吻合。
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirchlet)问题，简称狄氏问题。
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1）.调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域
边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在内任一点的值。
0
注意，当 0时，有 lim u u ( M 0 ), (u连续)
1 u(M 0 ) 4 1 1 u [u ( ) ]dS n r r n
1 4
1 1 u [u(M ) ( ) ]dS n rMM0 rMM0 n
注1：当M 0取在区域之外或边界上，也可用同样的方法导出公式，
2 2 2 u u u 2 u 2 2 2 0, ( x, y, z ) R3 \ x y z
3）Dirichlet外问题
边界条件为: u f ，f 是连续函数.
要求的解u ( x, y, z ), 在外部区域内调和，在 上连续， 并且满足边界条件。
[u(M )
Ka
1 1 u ( ) ]dS n r r n
1 4
1 4
1 4 a 2
1 1 u 1 1 u u ( M ) dS dS [ u ( M )( ) ] dS 2 2 4 a K 4 a K n r r n Ka
第二章 静电场 格林函数法
将（6）式减去（7）式，得
[ ]dV ( )dS （8） V S n n
2 2
该式称为Green第二公式。
Green第一、第二公式是等价的。Green公式对解静 电问题的意义是：在区域V 内找一个待定函数
通过这个 公式从已知确定未知。 ，（ 为待求） （2）边值问题的解
1
2
这也可看到 G( x, x) G( x, x )
（3）球外空间的 Green函数
即在接地导体球外的空间，由 G S 0 ，属于 第一类边值问题。
z R' R0 θ' o
x
r' θ
r
R
x
α
y
x
R2 x2 y2 z 2 R 2 x 2 y 2 z 2 其中： cos cos cos sin sin cos( ) 1 2 2 r | x x | R R 2 RR cos 2 R 1 2 2 4 2 | x ( 0 ) x | r R R R0 2 R0 RR cos R R
从 函数性质可知，保持小体积V 的面积为1， 从而有
1 1 1 V r dV V r dV S r dS r 1 2 3 dS 2 r d S r S r 4
2
1 21 V ( x x)dV V 4 r dV 1
b) 如果所取的Green函数属于第一类问题，即
G ( x, x ) ( x ) G ( x, x ) ( x)dV 0 ( x) dS V S n 这实质上就是第一类边值问题的解。
格林函数方法
2 0 2
P ，它的坐标为
4 0 2
（它在 OP 连线上，题中b对应这里的
2 0 2
2 R0 x 2 R R 2
0
R R R R 2 P P r x x R 2R cos R R R R0 Q R0 R02 R02 ∵ Q 1 Q (b R ) R R a R
（3）球外空间的格林函数
P’
P
设点电荷Q = 1 坐标为 P ( x, y , z )
观察点为 P( x, y, z )
R x
R x
x2 y2 z 2
x 2 y 2 z 2
R 相当于题中的 a ） R0 R（
PP r x x R 2 R 2 2RR cos
(x)
S
解法: (1)先求第一类边值问题的格林函数
1 G ( x , x ) ( x x )
2
G s 0
0
(2)
(2). 把(2)的解(格林函数)代入下式即可:
( x ) G ( x , x ) ( x )dV 0 ( x ) G ( x , x )dS V S n
§2.5
内容提要
格林函数方法
一、格林函数
二、用格林函数求解一般的边值问题
机动
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结束
1. 处于 x 点上的单位点电荷的电荷分布密度: ( x ) ( x x )
回忆:点电荷密度的
函数表示
V
( x )dx ( x x )dV 1
格林函数--偏微分方程解的积分表示
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。
理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。
1，Green 函数的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。
2，Green 函数的分类：边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。
2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠.3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！）4，Green 函数边值条件：设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。
1）齐次边值条件：()|0.GG n αβ∑∂+=∂ 2） |0r G →∞=有解：基本解。
5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式6，Green 函数的求法：1) 特殊方法：21(').|'|G r r G r r δ∇=--⇒=-。
2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。
3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。
4）积分变化法：LT ，FT 。
3-格林函数法
26
计算电磁学基础
7、矢量格林公式
• 对区域V中任意两个矢量场P和Q，对P×(D×Q)应用 高斯定理，可得矢量第一格林定理
Q P Q P dV P Q dS
V V
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
( x ) Q ( x )
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
( x ) Q ( x x)
Q ( x x) 0,
( x ≠x ’ 点 )
V
Q ( x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
1 4 1 4 1 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z' ) 2 1 ( x x' ) 2 ( y y' )2 ( z z' )2
18
计算电磁学基础
5、 泊松方程格林函数
一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程
2 2
1
2
R0 1 2 2 4 2 r | x ( ) x | R R R0 2 R0 RR cos R R
1
2
根据镜象法得
G ( x x ) 1 40 ( R 2 R2 2 RR cos ) 1 2 1 ] 1 RR 2 2 (( ) R0 2 RR cos ) 2 R0
场点P的坐标为R。
z R' R0 θ' o
x
r' R θ
r
x
α
y
x
23
格林函数方法
第四章 格林函数方法自强●弘毅●求是●拓新4.3.1 格林函数方法的基本思想【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为 r的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间产生的电位：场点r 2r r rlimrr0r rr' dV 源点r'4.3.1 格林函数方法的基本思想在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位为：dr r' dV 4π r r' 引入格林函数：G r,ri'1 4π r r'根据叠加原理，电位函数表示为： r 由体积分定义，得：i r4π' dV r r' G r,ri' r' dV i r V r4π' dV r r' G r,ri' r' dV V4.3.1 格林函数方法的基本思想格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。
通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：2r r M MnShM其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数 0：第一类边界条件 0 ：第二类边界条件4.3.2 静态电磁场的格林函数方法 引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方程，得： 2G r,r'1 r r' G r,r'G r,r' n S0进一步处理，得：2rGr,r' 2G r,r' rdV V1 VrGr,r'dV1 r V r' rdV4.3.2 静态电磁场的格林函数方法对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，右边求体积分得：VS r V r G r, r 'dVS r G r,r'nG r,r' rndS 1如果 0 ，对（1）式进一步化简得： r' rGr,r' VdV Shr Gr,r' ndS2存在矛盾：我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是 r 点的源在 r' 产生的场。
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用别离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和〔或〕初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u 〔r 〕和v 〔r 〕在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u〔12-1-1〕这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v〔12-1-2〕〔12-1-1〕与〔12-1-2〕两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu〔12-1-3〕n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
〔12-1-3〕叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆〔12-1-4〕第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑〔12-1-5〕其中 ϕ〔M 〕是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
格林函数法
r
0
dS
(5.2.8）
式（5.2.8）称为泊松方程的基本积分公式。但是它
的物理解释很困难，因此我们根据前面的格林函数互易定
理，并利用跟林函数的对称性，将上式改为：
u r0
G r0,r
u r
G
T0
r0,r
f
r0
dV0
0
G
r0,r
u r0 n0
n0 dS0（5.2.9）
G r0,r
u r
G r,r0
T0
f
r0
dV0 r0
0
n0 dS0
（2）第二类边值问题
（5.2.13）
14
对应下列格林函数的解：
u r f r
u
n
|
rp
（5.2.14）
G r, r0 r r0 G r, r0
n | 0
（5.2.15）
代入基本积分公式可得第二类边值问题的解的积
G(r, r0) G(r0, r)
上式表明，在位于r0处的脉冲（或点源）在一 定边界条件下在r处产生的影响（或产生的场）， 等效于把脉冲（或点源）移至r处在同样边界条件 下在r0处算产生的影响（或场），即物理场的互 易性。
10
根据第二格林公式，得到：
u
r
G n
G
u r
n
dS
T
u rG Gr
u
r
0
T
G
r,
r
0
f
r
dV
1
r
G
r,
n
r0
dS
（5.2.19）
利用格林函数的互易性可得到互易后的解的积
第5章格林函数法
第5章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．5.1 格林公式TΣ上具有连续一阶导数,在区域及其边界中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理d d T T div =∇∫∫∫∫∫∫i A V =A V (5.1.1)单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量单位时间内V 内各源头产生的流体的总量将对曲面Σ的积分化为体积分d ()d d d T T Tu u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2)()uv u v u v∇=∇⋅+∇以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d ()d d d T T T u u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3)上述两式相减得到()d ()d Tu u u u V Σ∇−∇=Δ−Δ∫∫∫∫∫i S v v v v的外法向偏导数．5.1.4）为第二格林公式．进一步改写为()d ()d Tu S u u V n Σ∂∂−=Δ−Δ∂∂∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）5.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=−r r (5.2.1)（5.2.2）是区域边界Σ上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()u f u u n αβϕΣΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r (5.2.3)上沿界面外法线方向的偏导数格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（5.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类(,)()[]0G G G n δαβΣΔ=−−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩00r r r r （5.2.4）()δ−0r r 代表三维空间变量的δ函数，在直角坐标系中其形式为0()()()()x x y y z z δδδδ−=−−−r r 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内）0r 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(5.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函格林函数互易定理：因为格林函数0(,)G r r 代表0r 处的脉冲（或点源）在r 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||−r r 的函数,故它应该遵守如下的互易定理：(,)()G G ,=r r r r （5.2.5）)得到())d (()())d T u S u G G u V n ∂⋅=Δ−Δ∂∫∫∫r r r （5.2.6）0()]d (()())d ())()()]d T G u S G u u G Vf u V δ∂−⋅=Δ−Δ∂−+−∫∫∫r r r r r r r n (5.2.7)根据δ函数性质有：00()()]d ()T u V u δ−=∫∫∫r r r r (5.2.8)故有0(,)()]d G u S ∂−∂r r r)r n (5.2.9)泊松方程的基本积分公式．00000000((,))d [(,)()]d u G V G u S n Σ∂∂+−∂∂∫∫ r )r r r r r n 格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到（5.2.10）解的基本思想：通过上面解的形式（5.2.9）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(5.2.1)与任意边值问题（5.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（5.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（5.2.9）即可求出（5.2.1）和（5.2.2）定解问题的解．考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()u f u ϕΣΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r （5.2.11）相应的格林函数0(,)G r r 是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.2.12）考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（5.2.9）可得第一类边值问题的解000(,)()(,)()d ()d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫ nr r r r r r r （5.2.13）另一形式的第一类边值问题的解000(,)()d G S ∂∂0n r r r (5.2.5)2.第二类边值问题()()|()p u f unϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.15）00,)|0n Σ=r （5.2.16）5.2.9）可得第二类边值问题解00(,)()d ()(,)d G f V G SϕΣ+∫∫ r r r r r r （5.2.17）3.第三类边值问题()() []()p u f u u n αβϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.18）0(,)]0G G n βΣ∂+=∂r r （5.2.19）边值条件，两边同乘以格林函数G（5.2.19）的边值条件的两边同乘以函数u得[]0Gu G nαβΣ∂+=∂G ϕ[]()p uG u G nαβϕΣ∂+=∂r ）得到第三类边值问题的解001,)()d ((,)d f V G S ϕβΣ+∫∫ r r r r)r r (5.2.20)格林函数的互易性则得到000001)()d ()(,)d 0f V G S ϕβΣ+∫∫r r r r r (5.2.21)这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T 中分布的源0()f r 在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的对于拉普拉斯方程0()0f ≡r 第一边值问题的解为0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫ r r r r n (5.2.22)第三边值问题的解为1()()(,)d u G S ϕβΣ=∫∫ r r r r (5.2.23)5.3 无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式（5.2.10）中的面积分应为零，故有000()(,)()d T u G f V =∫∫∫r r r r (5.3.1)选取()u r 和0(,)G r r 分别满足下列方程()()u f Δ=−r r (5.3.2)00(,)(-)G δΔ=−r r r r (5.3.3)5.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00=r 对（5.3.3）式两边在球内积分)d V（5.3.4）T∫∫∫（5.3.5）5.1.1）得到2(,0)d (,0)d sin d d S S G G V G r r θθϕ∂⋅∇=∇⋅=∂∫∫∫∫ r r S (5.3.6)故有2sin d d (,0)d 1S T G r G V r θθϕ∂=Δ=−∂∫∫∫∫∫ r 使上式恒成立，有2(,0)4π1G r r∂=−∂r 14πcr=+0G →因此0c =，,故得到1(,0)4πG r=r对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||G =−r r r r （5.3.7）代入（5.3.1）得到三维无界区域问题的解为0（5.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式5.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即(,0)d ()d TTG V VδΔ=−∫∫∫∫∫∫r r ()d 1V δ=∫∫∫r ,0)d (,0)d SV G =∇∫∫i r SG只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即d d ()d 1T Gr z V r ϕδ=−=−∫∫∫r选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πG r r∂=−∂11(,0)ln 2πG c r =+r 令积分常数为0，得到11(,0)ln 2πG r=r 0011(,)ln 2π||G =−r r r r （5.3.9））代入式（5.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()ln d 2π|S u f S |=−∫∫r r r r。
数学物理方法--格林函数法
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
11
12.1 泊松方程的格林函数法
有源问题
1. 源问题 例 静电场
a.无界空间
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
r r'
q 4
r
r'
r 处静电场
(r)
r
1 r '
u0 (r , r ') G(r , r ')
格林函数代表一个点源所产生的场，对点源产生的场 利用叠加定理则可知道任意源分布产生的场
T
1
4
T
u
(r
r
')dV
由Green公式：
Gu
V
uG(r , r
')dv
G
u n
u
G n
ds
以及 (r r '函) 数的性质： u(r ) (r r ')dv u(r )
V
u(r)
1
4
G(r
V
r ')dv 1 4
边值问题泊松方程u?边界条件???unu?定义在00第一类边界条件00第二类边界条件00第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件构成第一边值问题狄里希利问题泊松方程与第二类边界条件构成第二边值问题诺依曼问题泊松方程与第三类边界条件构成第三边值问题74
传热学第一类边界条件和第二类边界条件
传热学第一类边界条件和第二类边界条件
传热学中的第一类边界条件，也称为Dirichlet边界条件，是指在一个传热问题中，确定性地指定了边界上的温度或温度梯度。
这意味着在问题求解过程中，我们已经知道了边界上的温度或温度梯度，而不需要再进行计算。
这种边界条件可以用数学表达式或实验测量来确定。
例如，在一个热传导问题中，我们可能知道一块热板的一个表面的温度为100℃，这就是一个第一类边界条件。
通过这个边界条件，我们可以得出在该边界表面上的温度分布。
第二类边界条件，也称为Neumann边界条件，用于指定边界上的传热速率或热通量。
在这种情况下，我们并不知道边界上的温度或温度梯度，但我们知道边界上的传热速率或热通量。
传热速率是指单位时间内通过单位面积的热量。
以热传导问题为例，我们可能知道一块热板的一个表面的传热速率为200 W/m^2，这就是一个第二类边界条件。
通过这个边界条件，我们可以得出在该边界表面上的热流分布。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值
l
产生的电位也取相同的
及 l 在圆柱面上P点共同产
生的电位为
l r l r0 l r0 ln P ln ln 2π r 2π r 2π r
已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值
V
dV | r r |
(r )
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解。
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 定解条件 初始条件
边界条件 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程 及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是 静电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简 化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简 便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们
解的形式也一定相同。
例如，含变量 x 的常微分方程的通解为
X ( x) Ae jkx x Be jkx x
或者
X ( x) C sin k x x D cosk x x
式中，A, B, C, D为待定常数。
当kx为虚数时，令 k x j ，则上述通解变为
X ( x) Aex Bex
或者
X ( x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 的常微分方程的解完全相同。 这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为 了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
由第二类边界条件
由第二类边界条件εϕS n s 1|-=∂∂ 又因为格林函数定义为：)(1),('2r r r r G '--=∇ δε，格林函数的第二类边界条件：1 ⎰⎰'''∂∂'+'''=S d r n r r G d r r r G r )(),()(),()( ϕετρϕ )()();()(12r r nr r n σϕεσϕε=∂∂'=''∂∂ 在全空间里有两个导体1和2（如下图所示，图中两导体均为任意形状）：空间没有自由体电荷，在2上放电荷，1上的电势为：⎰⎰''=''∂∂'=2221)(),()(),()(S d r r r G S d r n r r G r σεϕεϕ 在1上放电荷，2上的电势为：⎰⎰'=∂∂'='1112)(),()(),()(S d r r r G S d r nr r G r σεϕεϕ 第一式左边乘以)(1r σ并对1S d 积分，得到：12212211211111)()(),()(),()(])(),()([)()(S d S d r r r r G S d r r r G r S d S d r n r r G r S d S d r r ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''=''=''∂∂'=σσεσσεϕσεσϕ由),(),(r r G r r G'='将第二式带入，上式变为： 2221221111)()()()(),()()(S d r r S d S d r r r r G S d r r ''=''=⎰⎰⎰⎰σϕσσεσϕ由于1与2到平衡的时候均为等势体，所以1ϕ和2ϕ均与位置矢量无关，可以提到积分号前，得互易定理。