南航《矩阵论》第1章
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵论第一章内容总结
定理(展开定理) 行列式D等于它的任意一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
第一章内容总结
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn 0, i j. ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn D, i j.
定理 定理
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 一个排列经过奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次 对换不改变奇偶性。
n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，
各为 n!2 个。
第一章内容总结
6. n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
( j1 j2 jn )
(Байду номын сангаас) a a a 1 j1 2 j2
nj n
j1 j2 jn
an1 an2 ann
7. 上三角、下三角、对角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积。
第一章内容总结
8、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.
如果齐次线性方程组(Ⅱ)有非零解，则它的系数行 列式等于零．
11. 拉普拉斯展开
an1 ani ann an1 an i ann
4
第一章内容总结
推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写 成m个行列式的和.
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。
南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。
在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。
下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。
1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。
解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。
计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。
因此，矩阵A可逆。
接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。
计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。
最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。
2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。
解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。
特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。
解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。
接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。
将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。
对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。
3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。
解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
矩阵论1beamer
2
3
Chapter 1 Vector Spaces, Inner Product and Normed Spaces
outline
1
Vector Spaces, Inner Product and Normed Spaces Linear Mapping and Transformation, Eigenvector and Eigenvalue Invariants and Canonical Forms of Matrices Matrix Factorizations
Chapter 1 Vector Spaces, Inner Product and Normed Spaces
Frequently-used Symbols
Capital letters A, B , C , . . . denote sets, a, b, c , . . . denotes the elements. A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B }. R denotes the set of real numbers, C denotes the set of complex numbers.
Chapter 1 Vector Spaces, Inner Product and Normed Spaces
Frequently-used Symbols
Capital letters A, B , C , . . . denote sets, a, b, c , . . . denotes the elements. A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B }. R denotes the set of real numbers, C denotes the set of complex numbers. R n denotes the set of real n−dimensional vectors, C n denotes the set of complex n−dimensional vectors R m×n denotes the set of real m × n matrices, C m×n denotes the set of complex m × n matrices
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
矩阵论复习(南航)
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
01_矩阵论_第一章
注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一 个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成 不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算， 就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它 得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基， 则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解 任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3
因为 所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是 一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换 的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为 向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向 量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种 运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间 表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间 来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组 为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到， 许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为 向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组 了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别 是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素 间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法 或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几 个例题。
矩阵论第一章
B1t n1 B2t n2 Bst ns
令 Cij
q1 Aiq Bqj F
其中 i = 1, …, r, j = 1, …, s
，则
• 分块矩阵的转置
AB (Cij ) rt
–欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每 个子矩阵转置即可
， n1 n2 ns n
B1s m1 B2 s m2 Brs mr
则
其中 m1 m2 mr m 1。 A B ( Aij Bij ) rs 2。 A (Aij ) rs F
将 A F 的列， B F 的行用相同的划分法划分为分块矩阵， 则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。
量x的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
2. 矩阵与图像
1.矩阵可表示为图像 矩阵元素可以表示为图像的像素。 2.数字图像一般表示为矩阵 反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。图像压缩就是矩阵的表示问题. 这时矩阵相 邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。 3. 矩阵与图像的差异 矩阵的元素间的取值可以完全独立，但是有意义的图像的像素间有约束关系.
矩阵引论
概要复习已知的矩阵相关知识，说明 矩阵分析及应用不是从零开始，而是 在有关已有知识基础上的深化。
矩阵是什么？
论矩阵的含义和矩阵运算背后的数学理论
矩阵的代数性质
1.矩阵是线性映射的表示： 线性映射的相加表示为矩阵的相加 线性映射的复合表示为矩阵的相乘
2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。 学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统 的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的 之一。
矩阵论第一章3
§3 内积空间(欧氏空间与酉空间)一、内积空间的概念二、Cauchy-Schwarz不等式三、内积空间的标准正交基四、内积空间的子空间五、练习解答及提示12一、内积空间的概念内积空间内积空间 设X 为数域K 上的线性空间，映射 .若 ，满足 (1) 正定性 ，且 ；(2) 共轭对称性； (3) 关于第一个变元的线性性，则称 为x 与y 的内积，称 （简称X ）为内积空间．若为子线性空间，则称 为子内积空间。
当K 为实数域时称为Euclid 空间，当K 为复数域时称为酉空间。
空间的维数即线性空间的维数。
,:X X K <⋅⋅>×→,,,,x y z X a b K ∀∈∀∈,0x x <>≥,00x x x <>=⇔=,,x y y x <>=<>,,,ax by z a x z b y z <+>=<>+<>,x y <>(,,)X <⋅⋅>M X ⊂(),,M <⋅⋅>(,,)X <⋅⋅>(,,)X <⋅⋅>3一、内积空间一、内积空间的概念的概念 在内积空间 上， ,称 为x 的长度（或范数），当 时称x 为单位向量。
(,,)X <⋅⋅>x X∀∈||||,x x x =<>||||1x =注：1. 对于Euclid 空间，“共轭对称性”即对称性。
2. 对于Euclid 空间，关于第二个变元也是线性，即,,,,,,,,x y z X a b K x ay bz a x y b x z ∀∈∀∈<+>=<>+<>3. 对于酉空间，关于第二个变元为共轭线性，即,,,,,,,x y z X a b K x ay bz ay bz x ∀∈∀∈<+>=<+>,,a y x b z x =<>+<>,,a x y b x z =<>+<>4一、内积空间一、内积空间的概念的概念22212||||||||||n x x x x =+++⋯ (2)按内积 构成一个n 维酉空间。
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
南航双语矩阵论 matrix theory第一章部分题解
Solution Key (chapter 1)#2. TakeS , 2=. But 2S ∉. If 2S ∈, then there are rational numbers a and b , such that2=0a ≠ and 0b ≠.) This will lead to224232a b ab--=The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number. This is impossible. Thus, S is not closed under multiplication. Hence, S is not a field.#13. (a) Denote the set by S . Take 2()p x x x S =+∈, 2()q x x x S =-+∈.Then ()()2p x q x x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (b) Denote the set by S .Take 3()1p x x S =+∈, 3()1p x x S =-+∈. Then ()()2p x q x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.(Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.)(d) Denote the set by S . Take ()1p x x S =+∈, ()1p x x S =-+∈, ()()2p x q x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.#15. (c) Denote the set by S . Take ()p x x S =∈. But ()p x x S -=-∉. Thus, the set S is not closed under scalar multiplication. Hence, S is not a subspace.(e) Denote the set by S . Take ()1p x x S =-∈ ()1q x x S =+∈. But ()()2p x q x x S +=∉. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace.#17. Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i , all combinations of 12,,,u u u r are also in 12{,,,}v v v s span . Thus, 12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span . Therefore, 12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span .#25. (a) Let 12(,,,)b b b n B = . Then 12(,,,)b b b n AB A A A = .If AB O =, then b 0i A = for 1,2,,i n = . ()b i N A ∈ for 1,2,,i n = . All lineawr combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A . Thus, ()()R B N A ⊂. ()R B is a subspace of ()N A .If ()R B is a subspace of ()N A , then for each column b i of B , we must haveb 0i A =. Hence,12(,,,).b b b n AB A A A O ==(b) By part (a), we know that ()R B is a subspace of ()N A . Thus,()dim(())dim(())r B R B N A =≤. By the rank-nullity theorem, we obtain that()()d i m (())(r B r A N A r A n +≤+= #29. Let,A B S∈. Then ()T T T A B A B A B +=+=+, and ()T T kA kA kA ==. S is closedunder addition and scalar multiplication. Thus, S is a subspace ofn n R ⨯Let ,A B K ∈. Then ()()T T T A B A B A B A B +=+=--=-+, and ()()T T kA kA kA ==-. K is closed under addition and scalar multiplication. Thus, K is a subspace ofn n R ⨯The proof of n n R S K ⨯=⊕.Let .n n A R ⨯∈ Then 11()()22T T A A A A A =++-.1()2T A A + is symmetric and 1()2T A A - is anti-symmetric. This show that n n R S K ⨯=+. Next, we show that the sum S K + is a direct sum. If A S K ∈⋂, then we have both T A A = and T A A =-. This will imply that A A =-. Thus, A must be the zero matrix. This proves that the sum S K + is a direct sum.#32. Let ij E denote the matrix whose (,)i j entry is 1, zero elsewhere. For any()m n ij ij A a C ⨯=∈, where ,ij ij a b are real numbers, A can be written as1111n m n mij ij ij ij j i j i A a E b E =====∑∑.This shows that the matrices{|1,2,,,1,2,,} ij ij E i m j n == forms a spanningset form nC⨯. If1111n mn mijijij ij j i j i a Eb E O=====∑∑, then 0ij ij a = for1,2,,i m= ,1,2,,j n = . Thus, we must have 0ij ij a b ==for 1,2,,i m = , 1,2,,j n = . Therefore,{|1,2,,,1,2,,} ij ij E i m j n == forms a basis for m n C ⨯. The dimension is 2mn .。
南航矩阵论第一章作业答案与提示
矩阵论作业答案与提示第一章（P41-P44）8提示：设044332211=+++ααααx x x x ，解得04321====x x x x ，因此4321,,,αααα线性无关．10（1）提示：考虑n 阶反对称矩阵构成的线性空间V ．设ij α是处的元素为1，处的元素为-1，而其余元素均为零的n 阶反对称矩阵（），则),(j i ),(i j j i <n n n 2n ,123112,,,,,,,−ααααL L L A ij 线性无关．又若V a α∈=)(，则有∑≤<≤=nj i ijija A 1α，即A 可以由n n n n ,1223112,,,,,,,−αααααL L L 线性表示，因此.2)1(12)2()1()dim(−=+++−+−=n n n n V L 同理，若V 是n 阶对称矩阵构成的线性空间，则.2)1()dim(+=n n V 12提示：设A x x x x =+++44332211αααα，解得1,1,3,24321−===−=x x x x ，因此A 在基4321,,,αααα下的坐标是.)1,1,3,2(T −−18提示：（1）对任意P ,,∈∈k W Y X ，直接验证W kX Y X ∈+,．（2）在中取向量W )(i i e diag =α，其中表示第i 个分量为1，其余分量为零的n 维行向量，，则i e n i ,,2,1L =n ααα,,,21L 线性无关．又若，则由W x X n n ij ∈=×)(XA AX =得到，即)(0j i x ij ≠=),,,(2211nn x x x diag X L =．于是∑==ni i ii x X 1α，即X 可由n ααα,,,21L 线性表示．因此n ααα,,,21L 是的一组基，而．W n W =)dim(19（1）提示：设},{},,{212211ββααspan V span V ==，则},,,{212121ββααspan V V =+．由于121,,βαα是向量组2121,,,ββαα的极大线性无关组，所以，而3)dim(21=+V V 121,,βαα是21V V +的一组基．接下来，求的维数和基．设21V V I 21V V I ∈α，则有24132211ββαααk k k k −−=+=，从而024132211=+++ββααk k k k ．解这个向量方程得到：,,3,4,4321k k k k k k k k =−=−==其中k 是任意常数．此时,)4,3,2,5()3()4(2121T k k k −−−=−=−=ββααα即．于是})4,3,2,5{(21T span V V −−−=I 1)dim(21=V V I ，而是的一组基． T )4,3,2,5(−−−21V V I 21提示：设,)1,,1,1(,)1,1,0,,0(,)0,,1,1,0(,)0,,0,1,1(121Tn T n T T L L L L =−=−=−=−αααα则},,,{},{},,,,{112121211n n n n span V V span V span V ααααααα−−=+==L L ．由于n n ααα,,,11−L 线性无关，所以它们构成n R 的一组基，从而．注意到，于是． n R V V =+21}0{21=V V I n R V V =+⋅2124提示：在V 中取向量,1100,0010,0011321⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα 则321,,ααα线性无关，且321αααc b a c c b a a ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+， 从而，而3)dim(=V 321,,ααα是V 的一组基．定义映射如下：3:R V →σ,)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+c b a c c b a a σ 由于是向量在基T c b a ),,(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=c c b a a α321,,ααα下的坐标，所以σ是V 到3R 的同构映射．27（1）提示：首先将321,,ααα化为标准正交向量组，得到.)2,1,1,2(101,)2,3,3,2(261,)1,2,2,1(101321T T T −−−=−=−=εεε其次，解方程组，求得基础解系，将其单位化，得0321===x x x TT T εεεT )3,2,2,3(4−=αT )3,2,2,3(2614−=ε，则4321,,,εεεε是V 的标准正交基．最后，直接计算，得到311010εεα+=． （2）解答：212321362),31(4103,26,21εεαεεε+=−===x x ．。
01南航戴华《矩阵论》第一章线性空间与内积空间
注意：
通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不
唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,
线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性 空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。
N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；
例1.4.1
对于任意一个有限维线性空间 V ，它必
有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空
因此
所以
V1
V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1
V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
2
nn
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向
求 V1
V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1
所以可令 解关于
V2
，则
V1， V2
k11 k2 2 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
4 3 4 2 1 4
23 18 4
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
南航双语矩阵论第1章部分习题参考答案
Solution Key (chapter 1)Exercise 2.The show that this set is not closed under multiplication.TakeS ,2=.But 2S ∉.If 2S ∈rational numbers a and b ,such that2=It is clear that 0a ≠and0b ≠.)This will 224232a b ab --=The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number.This is impossible.Thus,S is not closed under multiplication.Hence,S is not a field.Exercise 7.zx y x +=+)()()()(z x x y x x ++-=++-z x x y x x ++-=++-])[(])[(z 0y 0+=+zy =Exercise 12It is a vector space.A1：A2：,Hence,A3：The existence of the zero element .The zero element must satisfy that for any ,That is for any ，.We obtain that the zero element is A4:The existence of additive inverse.For each ，its additive inverse is ,since.(Note that is the zero element of )M1：M2：M3：M4：Exercise 13.(a)No,it is not a subspace.Denote the set by S .Take 2()p x x x S =+∈,2()q x x x S =-+∈.Then ()()2p x q x x S +=∉.S is not closed under addition.Hence,S is not a subspace.(Or:The set S does not contain the zero polynomial,hence,is not a subspace.)(b)Denote the set by S .(b)Take 3()1p x x S =+∈,3()1p x x S =-+∈.Then ()()2p x q x S +=∉.S is not closed under addition.Hence,S is not a subspace.(Or:The set S does not contain the zero polynomial,hence,is not a subspace.)(c)Yes,it is a subspace.Check that this set is closed under addition and scalar multiplication.(d)No,it is not a subspace.Denote the set by S .Take ()1p x x S =+∈,()1p x x S =-+∈,()()2p x q x S +=∉.S is not closed under addition.Hence,S is not a subspace.Exercise 15.(a)Yes,it is a subspace.Check that this set is closed under addition and scalar multiplication.(b)Yes,it is a subspace.Check that this set is closed under addition and scalar multiplication.(c)Denote the set by S .Take ()p x x S =∈.But (1)()p x x S -=-∉.Thus,the set S is not closed under scalar multiplication.Hence,S is not a subspace.(d)Yes,it is a subspace.Check that this set is closed under addition and scalar multiplication.(e)Denote the set by S .Take ()1p x x S =-∈()1q x x S =+∈.But ()()2p x q x x S +=∉.S is not closed under addition.Hence,S is not a subspace.Exercise 17.Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i ,all combinations of 12,,,u u u r are also in12{,,,}v v v s span .Thus,12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span .Therefore,12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span .Exercise 19By Taylor expansion formula()110(1)()32(1)!j n n j j f f x x x j --==+=-∑22(1)(2)512(1)(1)(1)2!n n n x x --=⋅+-⋅-+-+ 12(1)(2)()(1)2(1)!j n n n n j x x j ----+-++- The coordinate vector is 2(1)(2)2(1)(2)()5,2(1),,,,,2)Tn n n n n j n ------ （Exercise 22Use the definition of the transition matrix.111011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Exercise 25.(b)Let 12(,,,)b b b n B = .Then 12(,,,)b b b n AB A A A = .If AB O =,then b 0i A =for 1,2,,i n = .()b i N A ∈for 1,2,,i n = .All linear combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A .Thus,()()R B N A ⊂.()R B is a subspace of ()N A .If ()R B is a subspace of ()N A ,then for each column b i of B ,we must haveb 0i A =.Hence,12(,,,).b b b n AB A A A O == (b)By part (a),we know that ()R B is a subspace of ()N A .Thus,()dim(())dim(())r B R B N A =≤.By the rank-nullity theorem,we obtain that ()()dim(())()r B r A N A r A n+≤+=Exercise 26.(a)Hint:First,show that each column vector of C is a linear combination of the column vectors of A.Then,linear combinations of the column vectors of C are linear combinations of the column vectors of A.(b)Hint:First,show that each row vector of C is a linear combination of the row vectors of B.Then,linear combinations of the row vectors of C are linear combinations of the row vectors of B.(c)By (a)and (b),()dim(())dim(()()rank C R C R A rank A =≤=And ()dim(())dim(())()T rank C R C R B rank B =≤=Thus,()min{(),()}rank C rank A rank B ≤Exercise 27.(a)Hint:The column vectors of C are linearly independent if and only if the system 0x C =has only the trivial solution (the zero solution).If ()0x AB =,then ()0x A B =.x B must be zero since the column vectors of A are linearly independent.Thar is,0x B =.Since the column vectors of B are linearly independent,x must be zero.(b)Hint:T T T C B A =.Column vectors of T A are linearly independent.Column vectors of T B are linearly independent.The row vectors of C are linearly independent if and only if the column vectors of T C are linearly independent.Then apply part(a).Exercise 29.Let ,A B S ∈.Then ()T T T A B A B A B +=+=+,and ()T T kA kA kA ==.S is closed under addition and scalar multiplication.Thus,S is a subspace of n nR ⨯Let ,A B K ∈.Then ()()T T T A B A B A B A B +=+=--=-+,and ()()T T kA kA kA ==-.Kis closed under addition and scalar multiplication.Thus,K is a subspace of n n R ⨯The proof of n n R S K ⨯=⊕.Let .n n A R ⨯∈Then 11()()22T T A A A A A =++-.1()2T A A +is symmetric and 1()2T A A -is anti-symmetric.This show that n n R S K ⨯=+.Next,we show that the sum S K +is a direct sum.If A S K ∈⋂,then we have both TA A =and TA A =-.This will imply that A A =-.Thus,A must be the zero matrix.This proves that the sum S K +is a direct sum.Exercise 32.Let ij E denote the matrix whose (,)i j entry is 1,zero elsewhere.ij F denote the matrix whose (,)i j entry is 1-,zero elsewhere.Forany ()m n ij ij A a C ⨯=+∈,where ,ij ij a b are real numbers,A can be written as1111n m n mij ij ij ij j i j i A a E b F =====+∑∑∑∑.This shows that the matrices {,|1,2,,,1,2,,} ij ij E F i m j n == forms a spanning set for m n C ⨯.If 1111n m n m ij ij ij ij j i j i a E b F O ====+=∑∑∑∑,then 0ij ij a =for 1,2,,i m = ,1,2,,j n = .Thus,we must have 0ij ij a b ==for 1,2,,i m = ,1,2,,j n = .Therefore,{,|1,2,,,1,2,,} ij ij E F i m j n == forms a basis for m nC ⨯.Thedimensionis 2mn .Note that,all coefficients of linear combinations must be real numbers because theunderlying field is the real number field.。
南航《矩阵论》第1章
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
0
1
0
,
0
1
1
0
1
E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
0 0
1
类似地，
1
A2
0
1
0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
1
0
,
1 1
1 0
B3
0
0
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即A可由1,2,3线性表出。所以 Dim（V）=3
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向 量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩. （2）个数与线性空间 V 的维数相等的线性无 关组都是 V 的基.
例1.3.1 线性空间 C 是实数域 R 上的二维空间， 其基可取为 {1, i } ，即C中任一复数k=a+bi a （a,bR）都有a+bi=(1,i)( ),所以(a,b) T即为k的坐 b 标。
（或值域）,记为R(A)或Im(A)。
即R(A)={y|y=Ax,xRn}
注：判定非空集合是否为线性空间，要验算
运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。
至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，
则很方便.
下面考虑两个子空间的运算：
注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V 的子空间；
1， ， n m，则
2
V1 span(1,,m , 1,n1 m ),
V2 span(1,,m , 1, n2 m ),
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1 V2
所以可令 解关于
，则
V1， V2
k11 k22 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
空间，所以V1 V2也是有限维的。设 dim(V1 ) n1 , dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m. 取V1 V2的一组基1 , , m，把它扩充成 V1的一组基1 , , m，1， ， n1 m，并且 把1 , , m也扩充成V2的一组基1 , , m，
例1.4.4 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，且
V1 span(1 , , s ), V2 span( 1 , , t ),
则
V1 V2 span(1 ,, s , 1 ,, t )
证明
由子空间和的定义，有
V1+V2=span(1,2…s)+span(1, 2…t) ={(k11+k22…+kss)+(l11+l2 2…+ ltt)| ki,lj P}
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R，
令 k11+k22+k33
1 0 1 0 0 0 0 0 k1 0 0 k2 1 1 k3 1 1 0 0
由题， 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
1 2 4 P 0 1 4 1 0 0
x (3, 2,4)
T
而且，基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为
所以
1 1 yP x 0 0
例 1.3.2
实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n） 第i行第j列的元素为1，其它的都为0。
R
nn
的维数为
例1.3.4 在线性空间 P[ x] 中，显然 3
1 1, 2 x, 3 x
是 P[ x]3 的一组基，此时多项式
2
3 2x 4 x2
在这组基下的坐标就是
(3, 2, 4)T .
2
证明 1 1, 2 ( x 2), 3 ( x 2) 也是 P[ x]3 的基,并求 1 , 2 , 3 及 在此基下的坐标。
0 A3 1
1 E12 E21 0
0 A4 1
1 E12 E21 0
0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为
注意：
通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不
唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,
线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性 空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。
N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；
例1.4.1
对于任意一个有限维线性空间 V ，它必
有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空
间{0}和V本身。
实数域 R上的线性空间 R nn 中全体上
例1.4.2
三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对 称矩阵集合分别都构成
R
nn
的子空间。
例1.4.3 设ARmn，记A={a1,a2,…an},其中aiRm，则
k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
矩
阵
论
教学目的：
理解线性空间和内积空间的概念 掌握子空间与维数定理 了解线性空间和内积空间同构的含义 掌握正交基及子空间的正交关系 掌握Gram-Schmidt正交化方法
线性空间是线性代数最基本的概念之一，
是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空
间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、 多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的 一般运算，也可以是各种特殊的运算。
例1 所有 n维实（复）向量按向量的加法和数乘，
构成线性空间Rn(Cn) 。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和 数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。 例3
因此
所以
V1 V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1 V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
2 1 0
4 3 4 2 1 4
23 18 4
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
(I ) 1 A1 0 0 A3 1 1 B1 1 0 , 1 1 , 0 1 , 1 0 1 A2 , 0 1 1 0 A4 1 0 1 1 B2 , 1 0 1 0 B4 0 0
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
(A 1, A 2, A 3, A 4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
T
一个线性空间。因为加法不封闭。
例6
线性非齐次方程组 b 的解集
n mn
V { R | C11 Cnrnr , A R
组 Ax 的一个基础解系， 个特解。
}
不构成线性空间，这里 1 ,, n r 是对应齐次方程
为 Ax b 的一
( II )
1 1 B3 , 0 0 求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵。
解
引入 R 22 的标准基：
E11 E 21 1 0 0 1 0 , 0 0 , 0 E12 E 22 0 0 0 0 1 , 0 0 1
1 , 2 , 1 , 2
的极大无关组，所以它也是
V1 V2 的基，故 dim(V1 V2 ) 3.
注意到例 1.4.5 中
dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ).
这并不是偶然的。 定理1.4.7（维数公式） 设 都是有限维的，并且
从而
( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
1 (A , A , A , A ) C 1 2 3 4 1 C2
因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
2 0 1 1 C C1 C2 22 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 . 0 0
闭区间 [a , b] 上的所有实值连续函数按通常函 数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数 小于n 的所有实系数多项式添上0多项式按
通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空
间 R[ x]n
例5
集合 V { x x [ x1 , x2 ,1] , x1 , x2 R} 不是