第八章量子统计

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2. 广义力
l l l Y al l （y为外参量—广义坐标） y 1 y l l e
l 1 e
l l

l

l
（巨配分函数）
Y 1 ln y
【实例】
3/ 2
（1）1938年，提出已经完成的4He的λ相变可能是一种 Bose凝聚； （2）1995－1997年，通过激光冷却、磁光陷阱和蒸发 冷却技术实现了碱金属Rb、Na和Li蒸气的Bose凝聚。
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热力学与统计物理学
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§8.4 光子气体
前面在讨论弱简并气体和BEC时，其系统的粒子数是确 定的。但对于平衡辐射问题，其粒子数是不守恒的，这是 Bose统计的重要应用。 根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。 空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。具 有一定波矢k和圆频率ω的单色平面波与具有一定动量p和能 量ε的光子对应：
2
3/ 2
（0级近似）
h 2 mkT
2
3/ 2

显然：第1项是Boltzmann分布得到的内能；第2项是由粒 子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加值，弱简并情 形下附加值是小的。注意到，Fermi气体的附加值为正而Bose 气体的附加值为负。因此，粒子的统计关联使Fermion 间出现 等效的排斥作用，Boson间则出现等效的吸引作用。 9
1/ 2 3/ 2 2 V N g 3 (2m) d 0 e h 1 3/ 2 3/ 2 2 V U g 3 (2m) d 0 h e 1 1/ 2 3/ 2 2 V x N g 3 (2kTm) x dx 0 e h 1
p k

（ de Broglie关系）
ck
cp
（ 光子的能量与动量关系）
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光子是Bose子，达到平衡后遵从Bose分布。由于窖壁不 断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出 Bose分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件 ，因而只能引进一个拉格朗日乘子β。于是光子气体的统计 分布应改为
一、Bose系统
1. 内能
N al
l l
e
l
l
1
l
（系统平均粒子数）
l 1 e
l l


l
（引入的巨配分函数）
2
N ln , U l al ln l
热力学与统计物理学
在T < Tc时Bose气体的内能是处在ε> 0 的粒子能量的 统计平均值：
T 3/ 2 2 V d U 3 (2m) / kT 0.770 NkT 0 e h 1 TC
3/ 2
3/ 2
CV U T
4. 实验验证

V
T 5 U 1.925Nk 2T TC
al
e 1 l （对所有能级成立）
（设最低能级为0）
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( l ) / kT
i
0
0 0 0
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N al
l l
e(l ) / kT
1
l 1 D( )d 3 ( ) / kT 0 e 1 1 h
al
e l 1
l
光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向上的投影有2个 可能值（为什么？）相当于左右偏振光。因此在体积内、在 p～p＋dp动量范围内，光子的量子态数为
V p2 dp d 2 43 h 2 d V d 2 3 c
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3/ 2 3/ 2 2 V x U g 3 (2mkT ) x dx 0 h e 1 x x 1 1 e 1 e x x x e 1 e (1 e )
x
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1
n0 / n
0
1
T / Tc
2. 凝聚体的特性
（1）凝聚体能量为0。 （2）凝聚体动量为0: K2=2mε。 （3）凝聚体熵为0：因为凝聚体的微观状态完全确定。 （4）凝聚体压强为0：无动量，无相互碰撞，无压强。
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3. 凝聚温度下Bose气体的热容量
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4. 热力学函数
J U TS N k ln
（巨热力学势）
二、Fermi系统
l 1 e
l l

l

l
（巨配分函数）
【说明】 （1）若知道粒子的能级和简并度，求出巨配分函数的对 数作为α(μ)、β(T)和y(V)的函数，然后再求出理想玻色(费米) 系统的基本热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。 （2）若给定的宏观量是N、T、V，则应令N=N，利用平 均粒子数公式建立N与α(μ)的关系。
d U (, T ) 0 d
m 2.822 Tk
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（3）光子气体的内能
l
ln l ln 1 e l


V 2 3 2 ln 1 e l d c 0 2 V3 1 3 45c
2 (2m)3/ 2 1/ 2 d n 0 e / kTc 1 h3
2 (2mkT )3/ 2 x1/ 2 dx n c 0 e x 1 h3 2 2/ 3 2 Tc n 3/ 2 2.612 mk
热力学与统计物理学
x / kTc
2 2 2 p p p x y z
在体积V内，ε~ ε+ dε能量范围内，分子可能的微观状态 数为源自文库（g为可能的自旋 3/ 2 1/ 2 2 V D( )d g 3 (2m) d 而引入的简并度） h
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系统的总分子数和内能分别为
dN d ln ln ln dU Ydy
1 dU Ydy dN dS T 1 , kT kT
S k ln ln ln k ln
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§8.3 Bose-Einstein凝聚
在弱简并条件下， nλ3很小，其影响十分微弱。当理想 Bose气体的nλ3大于或等于2.612时将出现一个独特的现象 — —Bose-Einstein凝聚现象。 1. BEC理论
考虑，由N个全同、近独立的Bose子组成的系统。假设 粒子的自旋为0。
第八章 量子统计
§8.1 热力学量的统计表述； §8.2 弱简并理想气体；
§8.3 Bose-Einstein凝聚；
§8.4 光子气体；
§8.5 自由电子气体
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§8.1 热力学量的统计表述
玻耳兹曼分布适用于定域系统和满足经典极限条件（非 简并条件）的量子系统。满足经典极限条件的气体称为非简 并气体。反之为简并气体，需要用玻色或费米分布处理—具 有T、V、μ的系统。将会看到：微观粒子的全同性原理带来 的量子统计关联对简并气体的宏观性质产生决定性的影响。
一般气体满足经典极限条件（非简并条件）eα>>1 时，可 以用玻耳兹曼分布处理；而简并性气体需要用玻色分布或费 米分布讨论。这里讨论的弱简并气体（ e-α或nλ3虽小但不可 忽略 ）可以初步显示出Bose气体和Fermi气体的差异。 为 简单起见，不考虑分子的内部结构，即只有平动自由度。
1
2m
p 1 ln V
3
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3. 熵 dN d ln ln dy d ln dU Ydy y


d ln ln d ln d ln dy {Ξ=Ξ[α,β,ε(y)]} y
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U ( , T )d
e h / kT
1
3 V d 2 3 h / kT d 1 c e 1
（ 辐射场内的内能—Planck公式）
（1）斯特藩－玻耳兹曼定律
U

0
2 4 k VT 4 U ( , T )d 3 3
15c
（2）维恩定律 辐射场能量的极大值位于：
3/ 2 nc (T ) n 1 T / Tc
【结论】在临界温度之下，粒子将可能占据能量最低位 置。绝对0度下Bose子将全部占据最低能级。 12
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在T < Tc时有宏观量级的粒子在最低能级处凝聚—— Bose-Einstein凝聚（BEC）。Tc称为凝聚温度，凝聚在基 态的粒子集合称为Bose凝聚体。
V (2m)3/ 2 1/ 2d （态密度） D( )d 23 h 2 (2m)3/ 2 1/ 2 d n (*) n N 0 e( ) / kT 1 V h3


在n不变的情况下，由于化学势μ随温度T降低而升高， 因此当温度T降到某一临界值Tc时，化学势μ将趋于－0：
2 mkT N gV 2 h
3/ 2
e 1
3/ 2

1 e 23/ 2

2 mkT U 3 gVkT 2 2 h
e 1

1 e 25/ 2
h e N gV 2 mkT 3 U NkT 1 N 2 4 2 gV
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三、求A的统计平均值
N
l
e l 1
l
l 1 1 l （归一化） N l e 1
A 1 N
A e
l
l
l
1
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§8.2 弱简并理想气体
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n h / 2 mkTc
【问题】


3
n 3 2.612
当T < Tc时，化学势μ仍将趋于－0。但方程(*)左边小于 n，这与给定n相矛盾。原因在于将求和变成积分时，自动舍 弃了ε= 0的项：在足够高的T下，处在能级ε= 0的粒子 数与总粒子数相比是一个小量，可以忽略的；但在T < Tc时粒 子数将是一个很大的值，不能忽略。因此在T < Tc时，方程 (*)应改写为 1/ 2 3/ 2 2 n0 (T ) 3 (2m) / kTd n 0 e h 1
2 4 4 U ln k3 V T 15c 3

（4）光子气体的压强
2 4 1 k T4 1U p ln V 3V 45c3 3
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（5）光子气体的熵
S k 2 ln ln k ln U 2 4 4 k V T 3V 45 c3 3