高中数学大一轮复习讲义23函数的奇偶性与周期性

2.3 函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x

＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3 解析 由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，

f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.

答案 D

2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2

解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝

－f (x )，所以f (x )＝sin π

2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.

答案 B

【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.

3．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f (|x |)为偶函

数；②f (x )＋f (－x )为非奇非偶函数；③f (x )－f (－x )为奇函数；④[f (x )]2

为偶函数．其中正确判断的个数有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析 对于①，用－x 代替x ，得f (|－x |)＝f (|x |)，所以①正确；对于②，用－x 代替x ，得f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )，所以②错误；对于③，用－x 代替x ，得f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]，所以③正确；易知④错误． 答案 B

4．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x

－1，则f (－5.5)的值为( )

A ．2

B ．－1

C ．－1

2

D ．1

解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5

－1＝1. 答案 D

5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以

f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知 f (1)＝1，f (－1)＝2，

所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3. 答案：A

6．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－

1

f x

，且当x ∈[

－3，－2]时，f (x )＝

4x ，则f (107.5)＝( )

A ．10 B.110 C ．－10 D ．－1

10

解析] 由f (x ＋6)＝－1

f x ＋3

＝f (x )知该函数为周期函数，周期为6，所以f (107.5)＝

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6×18－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又f (x )为偶函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－52＝－1－10＝110. 答案：B

7． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2009)＋f (2011)的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．无法计算

解析 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4， ∴f (2009)＝f (1)，f (2011)＝f (3)＝f (－1)，

又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2009)＋f (2011)＝0. 答案：C 二、填空题

8．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，

∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案 －1

9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．

解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

答案 (－2,0)∪(2,5)

10． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．

解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x ＋4，

∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫⎪⎪

⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，

又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，

∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪

⎪x ＋1x ＋4，

即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1

x ＋4，

整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2

＋9x ＋1＝0，

设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2

＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.

则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－92＝－8.

答案 －8

11．已知函数f (x )满足：f (1)＝1

4，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 013)

＝________.

解析 法一 当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－1

4；当x ＝2，y ＝1

时，f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝1

4；当x ＝3，y

＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－1

4；….

∴f (x )是以6为周期的函数，

∴f (2 013)＝f (3＋335×6)＝f (3)＝－1

2

.

法二 ∵f (1)＝1

4，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，

∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π

3x ，

∴f (2 013)＝12cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3×2 013＝－12.