人教版数学高二A版选修4-5自主训练2.3反证法与放缩法

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人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法

课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ，由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )，所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋，当且仅当a ＝2时，等号成立．所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋，即f (a )＋f (c )＞45.。

数学人教A版选修4-5素材：教材习题点拨 2.3反证法与放

教材习题点拨习题2.31．证明：方法一：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则 ∵0＜a ，b ，c ＜1，∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. ∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32，∴矛盾，假设错误，原命题成立．方法二：设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则三式相乘(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164.① 又∵0＜a ，b ，c ＜1，∴0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14.②同理(1－b )b ≤14，③ (1－c )c ≤14.④ ②③④三式左右两边分别相乘(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾， ∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同，结合0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法． 2．证明：∵1k －1k ＋1＝1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k，k ＝2,3,4，…， ∴12－13＜122＜1－12， 13－14＜132＜12－13， ……1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n. 将以上n －1个不等式左右两边分别相加，可得12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ＝n －1n. 点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，这是一种常见的放缩．3．证明：∵k －k －1＝1k ＋k －1＞1k ＋k ＝12k ， ∴1k＜2(k －k －1)，k ＝1,2,3，…，n . 当k ＝1,2,3，…，n 时，1＜2(1－0)，12＜2(2－1)， (1)＜2(n －n －1)．将以上n 个同向不等式相加，得1＋12＋13＋…＋1n ＜2n . 点拨：先构造其中一个式子1k＜2(k －k －1)，再相加得到要证的不等式． 4．证明：假设⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9不成立，则⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＜9. 于是1－⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1x 2y2＜9， ∴1－(x 2＋y 2)＜8x 2y 2.∵x ＋y ＝1，∴1＝(x ＋y )2.∴2xy ≤8x 2y 2.∴xy (1－4xy )＜0.① ∵xy ≤x ＋y 2＝12，∴xy ≤14.∴1－4xy ≥0. ∴xy (1－4xy )≥0.②由①②可知矛盾，所以假设不成立，从而⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9成立． 5．解：∵V ＝πr 2h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋πrh ＋πrh ≥332πr 2·πrh ·πrh ＝332π3r 4h 2＝332π(πr 2h )2＝332πV 2.∴表面积最小为S ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝πrh ＝πrh ，即V ＝πr 2·2r ＝2πr 3.∴r ＝3V 2π，h ＝23V 2π. 点拨：主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有R 2＝r 2＋h 2＝12r 2＋12r 2＋h 2≥3312r 2·12r 2·h 2＝3314(r 2h )2. ∵14(r 2h )2≤R 627，∴(r 2h )2≤4R 627. ∴r 2h ≤23R 39. ∵V ＝13πr 2h ，∴V ≤13π23R 39＝23πR 327. ∴容积最大为23πR 327.此时12r 2＝h 2，∴h ＝22r . ∵r 2＋h 2＝R 2，∴r ＝63R .∴2πr ＝(360°－θ)πR 180°. ∴θ＝(360－1206)°.。

人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法

自我小测1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( )A ．3a ＝3bB ．3a ＜3bC ．3a ＝3b 且3a ＜3bD ．3a ＝3b 或3a ＜3b4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．参考答案1．解析：由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∵x ，y 都是正实数，∴x ＞0，y ＞0.∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．答案：A2．解析：∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y 1＋y＝B . 答案：D3．D4．解析：∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2.答案：C5．解析：对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确．对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确．对于③，显然不正确．答案：C6．|f (x 1)－f (x 2)|≥127．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要8．解析：A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 1010101010101112<12222+++==共2个. 答案：A ＜19．答案：解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，10b 1＋10(10－1)2d ＝145，∴b 1＝1，d ＝3.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2.(2)∵b n ＝3n －2，∴a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n ＝log a 3n －13n －2. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×54×…×3n －13n －2. 又13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1. ∴比较S n 与13log a b n ＋1的大小，即比较21×54×…×3n －13n －2与33n ＋1的大小．记A n ＝21×54×…×3n －13n －2， B n ＝33n ＋1.∵3n －13n －2＞1， ∴对任意n ∈N ＋，都有3n －13n －2＞3n 3n －1＞3n ＋13n ＞0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13n －23＞3n －13n －2×3n 3n －1×3n ＋13n ＝3n ＋13n －2，从而A 3n ＝⎝⎛⎭⎫213×⎝⎛⎭⎫543×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －43n －53×⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13n －23＞41×74×…×3n －23n －5×3n ＋13n －2＝3n ＋1＝B 3n. ∴A n ＞B n (n ∈N ＋)．由对数的单调性，可得当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1(n ∈N ＋)；当0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1(n ∈N ＋)．。

人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法学案

三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a ， b ， c 不成等差数列．证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾．故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列．知识点二放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________．解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ，两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。

数学·高二选修4-5(人教a版)练习：第二讲2.3反证法与放缩法word版含解析

第二讲证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是()A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b，且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.答案：D2．实数a，b，c不全为0的等价命题为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a ＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.答案：B二、填空题6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜12，那么它的假设应该是________．答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥127．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜18．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要三、解答题9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋yx≥2，则⎩⎨⎧1＋x ≥2y ，①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.10．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．B 级能力提升1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2＋2 2 B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2＋2 2 解析：1＋a ＋b ≤ab ≤（a ＋b ）24，所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，解得a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋22，故选A. 答案：A2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋zt 的最小值为________．解析：因为x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z100，所以x y ＋z t ≥1z ＋z100≥21z ·z 100＝15，当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时，等号成立．答案：153．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，所以原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，所以原不等式成立． ③当n ≥3时，因为n 2>(n －1)·(n ＋1)，所以1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74. 所以当n ≥3时，所以原不等式成立．综上所述，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

数学人教A版选修4-5素材：目标导引2.3反证法与放缩法含解析

三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前,总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上,一张写“活"字,一张写“死"字，抽到“活”字可幸免一死。

一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死"字让他去抽,心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人。

国王宣布抽签开始后,那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片,看也不看便放进嘴里，就吞下肚子,使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗?导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活"，此时,国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证,可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用,下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答:在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2。

生活中的归谬证法是什么意思呢?答:归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来。

对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果,而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导。

这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显,这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中,自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好。

对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬,往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨,于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.。

人教版数学高二A版选修4-5练习 2.3反证法与放缩法

2.3 反证法与放缩法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3bC.3a ＝3b 且3a ＜3bD.3a ＝3b 或3a ＜3b3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( )A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M >ND.M <N5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，求c 的最大值．10．已知n ∈N ＋，求证：(1)2n n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.参考答案1．【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C2.【解析】应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a ＜3b . 【答案】 D3.【解析】对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】 C4.【解析】依题意易知1－a,1－b,1－c ∈R ＋≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1)a -≥(1－b )(1－c )，即M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故选A.【答案】 A5.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 6. 【解析】略【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7.【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜18.【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】 M ＜19.【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”，由2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c ，得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c ＝2a＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.10.【证明】 k <(1)k k +<(1)2k k ++＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )．若记S n ＝1×2＋2×3＋… S n >1＋2＋…＋n ＝(1)2n n ++，S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<2(1)2n +.。

人教版数学高二A版选修4-5素材2.3反证法与放缩法

庖丁巧解牛知识·巧学一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.记忆要诀用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较原结论词等于（=）大于(>)小于(<)对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或q p且q反设词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n-1个至少n+1个p⌝且q⌝p⌝或q⌝3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的.学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.二、放缩法1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1，B1≤B2，…，B1≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，A i≥B，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 2.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有：①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k kk k k k k k .误区警示用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题知识点一：反证法证明不等式例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而a 3>8-12b+6b 2-b 3,a 3+b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行. 证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①另一方面，由绝对值不等式的性质，有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况. 例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于41. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41,则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>641.①又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41.同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤41,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好. 证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.∴log n (n-1)log n (n+1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2<［2log 2n n ］2=1.∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1. 方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及. 例5 若n 是正整数，求证22221312111n ++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k k k k k111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵kk k k k 111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. ∴n n n•-++•+•+<++++)1(13212111113121112222 ..212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=nn n 巧解提示实际上，我们在证明22221312111n++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3. 思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c, 且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0.∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c b a c-+-1 =ba cb ac b a c a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0, ∴cb ac b a c b a c b a -++-++-+≥3. 方法归纳本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此ba c ca b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度. 问题·探究交流讨论探究问题有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。

高中数学人教A版选修4-5学案第2讲 3 反证法与放缩法 Word版含解析

三反证法与放缩法．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性命题的条件的结论，以说明质、明显成立的事实等)矛盾假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )．两个都是偶数．一个是奇数，一个是偶数．至少一个是偶数．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】教材整理放缩法阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．放大证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值缩小或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若－＜，－＜，则下列不等式一定成立的是( )【导学号：】．－＜．－＞．－＜－＞【解析】－＝(－)－(－)≤－＋－＜.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()＋()－()＝；()()，()，()中至少有一个不小于.【精彩点拨】()把()，()，()代入函数()求值推算可得结论．()假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】()由于()＝＋＋，∴()＋()－()＝(＋＋)＋(＋＋)－(＋＋)＝.()假设()，()，()都小于，则有()＋()＋()＜.(*)。

人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法作业

三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a ,b ,c 满足a+b+c=13,则a ,b ,c 中( )A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小于19D.至少有两个不小于19a ,b ,c 都小于19,即a<19,b<19,c<19,则a+b+c<19+19+19=13,这与a+b+c=13矛盾,因此假设错误,即a ,b ,c 中至少有一个不小于19.2.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,设M=a 1+a +b 1+b ,N=c 1+c ,Q=a+b 1+a+b,则M ,N 与Q 的大小关系是( )A.M<N<QB.M<Q<NC.Q<N<MD.N<Q<Ma+b>c>0,则1a+b <1c . ∴1a+b +1<1c +1,即a+b+1a+b <c+1c . ∴c 1+c <a+b 1+a+b , 故N<Q.M-Q=a 1+a +b 1+b −a+b 1+a+b >a 1+a+b +b 1+a+b −a+b 1+a+b =0,∴M>Q ,故M>Q>N.3.导学号26394038设M=1210+1210+1+1210+2+…+1211-1,则( ) A.M=1B.M<1C.M>1D.M 与1大小关系不确定210,共有210个单项.4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f (x )在[0,1]上有意义,且f (0)=f (1),如果对于不同的x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|,求证|f (x 1)-f (x 2)|<12.那么它的假设应该是 .(x 1)-f (x 2)|≥125.设a ,b ,c 均为正数,P=a+b-c ,Q=b+c-a ,R=c+a-b ,则“PQR>0”是“P ,Q ,R 同时大于零”的条件.;当PQR>0时,若P ,Q ,R 不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.6.设a ,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a 2+b 2>2;⑤ab>1.其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a ,b 中至少有一个大于1,正确;④a 2+b 2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.7.设f (x )=x 2-x+13,a ,b ∈[0,1],求证|f (a )-f (b )|≤|a-b|.(a )-f (b )|=|a 2-a-b 2+b| =|(a-b )(a+b-1)|=|a-b||a+b-1|,因为0≤a ≤1,0≤b ≤1,所以0≤a+b ≤2.所以-1≤a+b-1≤1,所以|a+b-1|≤1.故|f (a )-f (b )|≤|a-b|.8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:1+x y ,1+y x中至少有一个小于2. 证明假设1+x y ,1+y x都不小于2,即 1+x y ≥2,且1+y x≥2. 因为x>0,y>0,所以1+x ≥2y ,且1+y ≥2x. 把这两个不等式相加,得2+x+y ≥2(x+y ),从而x+y ≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,1+x y ,1+y x都不小于2是不可能的,即原命题成立. 9.导学号26394039已知S n =sin12+sin222+sin323+…+sinn 2n ,求证:对于正整数m ,n ,当m>n 时,|S m -S n |<12n .a k =sink 2k (k ∈N +),则|a k |≤12k . 于是,当m>n 时,|S m -S n |=|a n +1+a n +2+…+a m |≤|a n +1|+|a n +2|+...+|a m | ≤12n+1+12n+2+ (12)=12n+1[1−(12)m -n]1−12=12n [1−(12)m -n ]<12n .10.导学号26394040若数列{x n }的通项公式为x n =n n+1,求证x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−xn 1+x n .√1−x n 1+x n =√1−n n+11+n n+1=√12n+1, 又2n -12n √2n -12n+1=√2n -1·√2n+12n =√4n 2-12n<√4n 22n =1, 所以2n -12n <√2n -12n+1, 所以x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1=12×34×…×2n -12n<√13×35×…×2n -12n+1=√12n+1,故x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−x n 1+x n .。

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测B卷

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（）A . 6B . 7C . 8D . 92. （2分）用反证法证明“如果a>b，则a3>b3”假设的内容是（）A . a3=b3B . a3<b3C . a3=b3且a3<b3D . a3=b3或a3<b33. （2分） (2016高二下·泗水期中) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60度B . 假设三内角都大于60度C . 假设三内角至多有一个大于60度D . 假设三内角至多有两个大于60度4. （2分） (2018高二上·台州月考) 已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）A . 且B . 且C . 且D . 且5. （2分）用反证法证明某命题时，对结论“a、b、c、d中至少有三个是正数”正确的反设是（）A . a、b、c、d中至多有三个是正数B . a、b、c、d中至多有两个是正数C . a、b、c、d都是正数D . a、b、c、d都是负数6. （2分） (2017高二下·大名期中) 用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A . a、b都小于2B . a、b至少有一个不小于2C . a、b至少有两个不小于2D . a、b至少有一个小于27. （2分） (2016高二下·孝感期末) 用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（）A . 假设四内角至多有两个大于90度B . 假设四内角都不大于90度C . 假设四内角至多有一个大于90度D . 假设四内角都大于90度8. （2分）实数a，b，c满足a+2b+c=2，则（）A . a，b，c都是正数B . a，b，c都大于1C . a，b，c都小于2D . a，b，c中至少有一个不小于9. （2分）用反证法证明命题：“若关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a＜1”时，应假设（）A . a≥1B . 关于x的方程x2﹣2x+a=0无实数根C . a＞1D . 关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根二、填空题 (共3题；共3分)10. （1分）(2019高三上·广州月考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则对任意的都必须满足________.11. （1分）用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设________12. （1分）用反比例法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，要做的假设是________三、解答题 (共10题；共85分)13. （5分） (2017高二下·双鸭山期末) 已知、、是正实数，且，求证： <．14. （10分）(2019·广西模拟) 已知函数f(x）=ax2-2xln x-1(a∈R）．（1）若x= 时，函数f（x）取得极值，求函数f(x）的单调区间：（2）证明：1+ + +…+ > 1n（2m+1)+ （n∈N*)．15. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 已知函数f（x）=ax+ （a＞1），用反证法证明f（x）=0没有负实数根．16. （10分） (2017高二下·邢台期末) 已知a＞0，b＞0．（1）求证： + ≥ ；（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．17. （5分）设a是实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于．18. （5分） (2015高二下·福州期中) 用分析法证明：当x≥4时， + ＞ + ．19. （15分）(2013·北京理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ，第n项之后各项an+1 ，an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．20. （10分）(2019·长沙模拟) 设函数 .（1）求函数的极值点个数；（2）若，证明 .21. （5分）已知：x∈R，a=x2﹣1，b=4x+5．求证：a，b中至少有一个不小于0．22. （15分）(2018·永春模拟) 已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；（3）求证： .参考答案一、选择题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共3题；共3分)10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共10题；共85分)13-1、14-1、14-2、15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

人教版数学高二A版选修4-5教材习题点拨2.3反证法与放缩法

教材习题点拨习题2.31．证明：方法一：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则 ∵0＜a ，b ，c ＜1，∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. ∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32，∴矛盾，假设错误，原命题成立．方法二：设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则三式相乘(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164.① 又∵0＜a ，b ，c ＜1，∴0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14.②同理(1－b )b ≤14，③ (1－c )c ≤14.④ ②③④三式左右两边分别相乘(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾， ∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同，结合0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法． 2．证明：∵1k －1k ＋1＝1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k，k ＝2,3,4，…， ∴12－13＜122＜1－12， 13－14＜132＜12－13， ……1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n. 将以上n －1个不等式左右两边分别相加，可得12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ＝n －1n. 点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，这是一种常见的放缩．3．证明：∵k －k －1＝1k ＋k －1＞1k ＋k ＝12k ， ∴1k＜2(k －k －1)，k ＝1,2,3，…，n . 当k ＝1,2,3，…，n 时，1＜2(1－0)，12＜2(2－1)， (1)＜2(n －n －1)．将以上n 个同向不等式相加，得1＋12＋13＋…＋1n ＜2n . 点拨：先构造其中一个式子1k＜2(k －k －1)，再相加得到要证的不等式． 4．证明：假设⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9不成立，则⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＜9.于是1－⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1x 2y 2＜9，∴1－(x 2＋y 2)＜8x 2y 2.∵x ＋y ＝1，∴1＝(x ＋y )2.∴2xy ≤8x 2y 2.∴xy (1－4xy )＜0.① ∵xy ≤x ＋y 2＝12，∴xy ≤14.∴1－4xy ≥0. ∴xy (1－4xy )≥0.②由①②可知矛盾，所以假设不成立，从而⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9成立． 5．解：∵V ＝πr 2h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋πrh ＋πrh ≥332πr 2·πrh ·πrh ＝332π3r 4h 2＝332π(πr 2h )2＝332πV 2.∴表面积最小为S ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝πrh ＝πrh ，即V ＝πr 2·2r ＝2πr 3.∴r ＝3V 2π，h ＝23V 2π. 点拨：主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有R 2＝r 2＋h 2＝12r 2＋12r 2＋h 2≥3312r 2·12r 2·h 2＝3314(r 2h )2. ∵14(r 2h )2≤R 627，∴(r 2h )2≤4R 627. ∴r 2h ≤23R 39. ∵V ＝13πr 2h ，∴V ≤13π23R 39＝23πR 327. ∴容积最大为23πR 327.此时12r 2＝h 2，∴h ＝22r . ∵r 2＋h 2＝R 2，∴r ＝63R .∴2πr ＝(360°－θ)πR 180°. ∴θ＝(360－1206)°.。

高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法导学案

2.3 反证法与放缩法学习目标： 1. 理解并掌握反证法与放缩法;2. 会利用反证法与放缩法证明不等式知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .例2、若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m bb m+<+” ④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例3 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例4求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n达标训练：1.设x.y 为正数，且1=+y x ，用反证法证明9)11)(1122≥--yx （2.已知0<x<1,a>0,a ≠1,试比较)1(log )1(log x x a a +-与的大小，并说明理由3.已知m>0,求证342≥+mm4、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a。

2015-2016学年高中数学-2.3反证法和放缩法练习-新人教A版选修4-5

2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文常见词语至少有一至多有一唯一一个不是不可能全都是个个否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个及两个以上是有或存在不全不都是思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( )A．分析法 B．综合法C．反证法 D．直接法答案：C3．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A．M＝1 B．M<1C．M>1 D．M与1大小关系不定答案：B4．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N*)的大小关系为________．解析：n∈N*，当n＝1时，A＝n＝1；当n>1时，A＝1＋12＋13＋…＋1n>1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n＋n－1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＝n.综上可知，A≥n.答案：A≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根．B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根．C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2.答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ② 由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1， x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n<13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)，所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. 方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74. ∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则 d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾．当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1，此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾．综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾．因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝－3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14，所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.14．设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *)的零点，且0<a n <1，求证：nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.证明：先证明左边的不等式：因为a 3n ＋n 2a n －1＝0.由0<a n <1，得a 3n <a n ，即1－n 2a n ＝a 3n <a n . 所以a n >1n 2＋1.所以 a 1＋a 2＋…＋a n >112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1. 以下证明112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1≥nn ＋1.①因为a n >1n 2＋1≥1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n >⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 不等式①对应任何n ∈N *都成立．所以a 1＋a 2＋…＋a n >n n ＋1.再证明右边的不等式：当n ＝1时，f (x )＝x 3＋x －1. 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋12－1＝－38<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋34－1＝1164>0，所以12<a 1<34.由(1)知0<a n <1，且a 3n ＋n 2a n －1＝0，所以a n ＝1－a 3n n 2<1n2.因为当n ≥2时，1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n <34＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12－1n <32.所以当n ∈N *时，都有a 1＋a 2＋…＋a n <32.综上所述，nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.1．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．2．放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．3．当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方法．4．放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．这其中的平衡就需要从练习中去把握．。