量子习题解答

解： 光子的散射角 θ π 时电子获得的能量最大， v 电子的反冲速度沿入射光子的运动方向.设 为入 pe 射光的频率，为散射光的频率， 为反冲电子的动 v 量。 1 由能量守恒有： h(v v) Ek
由动量守恒有: 2 式得 由1 、
hv hv pe c c E k cpe hv 2 2
10
b = 2.898 ×10 - 3 m · K
2、光的粒子性: 爱因斯坦光量子假说（1905）:
E h mc 2 pc
h h h m 2 p c c 1 2 hν A 光电效应（1921）： mv max
2
红限频率v0 = A / h 康普顿散射（1923）：
玻尔磁子
电子自旋磁矩在磁场中的能量 Es B B
e B 9.27 10 24 J / T 2me
10、多电子原子的电子组态 电子的状态用4 个量子数n,l,ml,ms确定。n相同 的状态组成一壳层，可容纳2n2个电子；l相同 的状态组成一次壳层，可容纳2（2l+1)个电子。 基态原子电子组态遵循两个规律： （1）能量最低原理，即电子总处于可能最 低的能级。一般n越大，l越大，能量就越高。 （2）泡利不相容原理(1921)，不可能有两个 或两个以上的电子处在同一量子状态。即不 能有两个电子具有相同的n, l, ml , ms。
9、电子自旋(1926) 3 电子自旋角动量 S s( s 1) 4 ,
1 s 2
电子自旋在空间某一方向的投影 Sz ms
ms只有1/2（向上）和-1/2（向下）两个值， 为自旋磁量子数。 轨道角动量和电子自旋角动量的合角动量
J L S j ( j 1), 1 1 j l 和j l 2 2
德布罗意波长量子化
类似于经典的两端固定的弦驻波
势垒穿透：微观粒子可以进入其势能（有限的） 大于其总能量的区域，这是由不确定关系决定 的。 在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒 到达另一侧，这种现象又称隧道效应。 谐振子
1 E ( n )hv , 2
1 E 0 hv 2
能量量子化 零点能
频率条件：
h Em En
角动量量子化条件： mvn rn n
2
6、薛定谔方程(1926)（一维）
2 2 U i , 2 2m x t
( x, t )
定态薛定谔方程（一维） ：
U E , 2 2m x
2 2
8 -0.85
-1.51
-3.39
-13.6
例10 （20届11题）据玻尔的氢原子理论，氢原子中 电子绕核作圆周运动的最小半径为5.29×10-11m， 此时电子运动速度大小为_______,若将此时电子沿 某直径方向的位臵不确定量取为△x≈1.0×10-10m, 则据不确定关系，电子沿该方向的速度不确定量 已达△vx≈___.可见玻尔理论是一种“粗糙”的理论。 （电子质量m=9.11×10-31kg)
∴光子波长:
0 hc 510 510 510 0 c c 0.024 0.20 A E 62 62 62
h 由康普顿散射公式 0 (1 cos ) m0 c
180
0
0 2c 0.248 A
散射后: E
A eue1 hv1
A eue 2 hv2
hc
hc
1
2
1 1 hc e( ue1 ue 2 ) 2 1
2
1 c 1 ( ue1 ue 2 ) hc 1 1

1.6 1019 1 (1.43 0.71) 34 8 6.63 10 3 10 491 10 9 1 5.8 107 2.04 106 3.82 10 7 ( m ) 382( nm )
E1 4 E = En – E1 = n 2 – E1 1 3 n = 1+E/E1 ≈ 3 1 1 1/ 32 = R ( 2 2 - 3 2 ) 2 -7 可见 32 = 6.563×10 (m) 1 1 1/ 21 = R ( 1 2 - 2 2 ) 21 = 1.215×10 -7(m) 紫外 1 1 1/ 31 = R ( 1 2 3 2) 1 31 = 1.026×10 -7(m) 紫外
2
又由相对论的能量动量关系有:
(cpe )2 E 2 (m0c 2 )2 (m0c 2 Ek )2 (m0c 2 )2
Ek 2m0c Ek
2
2
故
Ek hv (1 1 2m0 c 2 E k ). 2
氢原子光谱例题 例9 已知氢原子受到能量为E = 12.2eV 的电子轰 击求氢原子可能辐射的谱线波长。 解： 氢原子吸收 E ,从基态 (eV) E1可能跃迁至某激发态 En -0.54 5
维恩常数b=2.898×10-3mK)。
2.898 103 T m 465 109
mT b 知 6232 (K ) （第一空）
斯忒藩-玻耳兹曼定律为 4 -8 4 M 0T 5.67010 (6232 ) （第二空） 8.552107 W / m2
光的粒子性例题
h 0 ( 1 cos ) m0 c
4、不确定关系(1927)：
h 2
x p x (或, 或h) 位臵动量不确定关系： 2
能量时间不确定关系：Et / 2
5、氢原Βιβλιοθήκη Baidu光谱(1913) 谱线的波数
1 1 R ( 2 2 ) T ( m) T ( n) m n
波粒二象性概要 1、光的粒子性: E h mc 2 pc h h h m 2 p c c
1 2 hν A 红限频率v0 = A / h 2、光电效应： mv max 2
3、康普顿散射： X光经散射 波长不变 有两种成分 波长变长 ——康普顿散射
h 0 (1 cos ) (康普顿散 m0 c 射公式)
例3（ 20届10题）能使某种金属产生光电效应的入 射光最小频率为6.0×1014Hz,此种金属的电子逸出 功为________。若在金属表面上再施加U=3V的反 电压，那么可激起光电流的入射光最小频率为 ________。（普郎克常量h=6.63×10-19C) 解：∵ EK=hv-A 当EK=0时，A=hv=3.98×10-19(J) （第一空） 依题意，在金属表面上施加U=3V的反向电压时: eU=EK=hv-A
例7 (13届8题)能量62keV的X射线与物质中的电 子发生康普顿散射，则在与入射线成180°角的 方向上所散射的X射线的波长是____Å，电子所 获得的反冲动能是______eV。（已知电子的康普 顿波长λc=h/mec=0.024Å) 解：0.248Å，12×103eV X射线电子能量 E=62keV=62/510mec2 其中电子能量 mec2=0.51MeV=510keV
2hc 2
1

5
. e
1
hc kT
1
斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体对所有频率总的辐 射出射为 s = 5.67×10- 8 W· m · K 维恩位移定律 ：普朗克公式对v（ ）求导， 可得维恩位移定律，即光谱辐射出射度最大的光 频率或峰值波长为
m C vT
Cv 5.880 10 Hz / K
_2 7 ( W · m ) 6.92×10
例2 （19届12题） 对太阳光谱的强度分析，确认 太阳辐射本领的峰值在465nm处。将太阳处理为 黑体，可知太阳表面温度为_________K，单位面 积上辐射功率为_________W/m2, (斯忒藩-玻耳兹曼常数 解： 由维恩位移定律
b
5.670 108 (m2 K 4 )
黑体辐射例题 例1 实验测得太阳单色辐出度峰值对应的波长
490 nm 若将太阳当作黑体，估算：
（1）太阳表面的温度T。 （2）太阳辐出度 。 解： （1）由维恩位移定律得：
2.898×10 _ 490×10 9
_3
5.91×10 3 ( K )
_8
（2）斯特藩-玻耳兹曼定律得：
5.67×10 ×(5.91×103 )4
普朗克能量子假说（1900） ：谐振子的能量
只可能是： E =nhv， n = 1, 2 , 3...
普朗克热辐射公式（1900） ：黑体的光谱辐射出
射度，即在单位时间内从单位表面积发出的频率在 v附近单位频率区间的电磁波的能量为
2v M Bv (T ) 2 . c
2
hv e
hv kT
或
M B (T )
n 0,1,2,3...
8、氢原子： 氢原子能级：
me4 1 1 En 2 13.6 2 (e V) 2 2 2 (4 0 ) n n
轨道角动量
L l (l 1)
轨道角动量沿磁场方向分量：Lz m 主量子数 轨道量子数 轨道磁量子数
n=1,2,3…
l=0,1,2,3…,n-1 ml=-l,-(l-1),…,0,1,..,l
hc
0
hc 光子散射前: E 0

0 E E
电子获得的反冲动能即光子散射前后损失的 能量:
0 0.2 E E E E (1 ) 62(1 ) 12keV 0.248
例8 （10届11题）在一次康普顿散射中，入射光 子传递给电子的最大能量为 E k ，电子的静止质 量为 m0 ，则入射光子的能量为____ 。
4、德布罗意假设： E/ h h/ p 5、物质波波函数Ψ= Ψ(x,y,z,t): (1)单值、有限、连续 (2) |Ψ|2为概率密度
( 3)

2
dxdydz 1归一化条件.
h 6、不确定关系： x p x (或,或h) 2 2
量子物理概要 1、黑体辐射:
( x ) e iEt /
7、薛定谔方程举例（一维） 一维无限深势阱中的粒子
本征函数
2 nx x sin n 1,2,3... a a
0≤x≤a
x<0, x>a
0 能量量子化
E
2 2
2ma
2
n 2 n 2 E1
2 n 2a / n k
1.0359 1.04V
例6 已知: 计算: 散射光子的波长和反冲电子的动能.
2 2 3.00×10 +2×0.00243×0.5
解：
3.12×10 -2(nm)
弹碰前系统能量： 弹碰后系统能量： 能量守恒:
6.63×10-34 ×3×10 8 ×( 3.00 3.12) ×10 2 ×10 -9 -16 2.25×10 ( J ) 1.59×10 3 ( ev )
eU A 3 1.60 1019 3.98 1019 v h 6.63 10 34 1.32 1015 ( Hz)
例4 ( 14届12题) 某光电子阴极对于λ1=491nm的 单色光，发射光电子电压为0.71V，当改取波长 为λ2的单色光时，其遇止电压升为1.43V，则 λ2=______.（电子带电绝对值为e=1.6×10-19C， 普朗克常量为h=6.63×10-34J· s） 解：由光电效应方程：
e2 解：电子受的库仑力为 4πε0 r 2 ，电子作圆周运
例5 （5届11题）射至光阴极上的光，其波长从 4000Å变至3000Å，则发射出的光电子的遏制电压 变化____V 解：1.04V
h 遏制电压： U e h hc 1 1 U 1 2 e e 1 2 6.63 10 34 3 108 1 1 19 7 7 1.6 10 4 10 3 10