导数的计算(一)
知识讲解-导数的计算-基础(1)
导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。
要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法对于求解各种问题具有重要的意义。
本文将介绍导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的几何意义以及常见函数的导数计算方法。
首先，我们来看一下基本的导数公式。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即函数f(x)的导数。
常见的基本导数公式包括：1.常数函数的导数，如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2.幂函数的导数，对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数，指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导数为f'(x)=a^x ln(a)。
4.对数函数的导数，对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))。
5.三角函数的导数，常见三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
这些基本的导数公式是我们计算导数时的基础，掌握这些公式能够帮助我们更快更准确地计算各种函数的导数。
其次，我们来谈谈导数的几何意义。
在几何学中，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体地说，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)就是函数图像在该点处切线的斜率。
这意味着导数可以帮助我们理解函数图像在不同点处的变化情况，从而更好地理解函数的性质和特点。
最后，我们来讨论一些常见函数的导数计算方法。
对于常见的函数，我们可以利用基本导数公式和导数的性质来计算它们的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以根据它们的导数公式来计算它们的导数。
此外，我们还可以利用导数的性质，如导数的和、差、积、商规则，来简化导数的计算过程，从而更快更准确地求得函数的导数。
总之，导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
专题01 导数的运算(解析版)
专题01 导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ． (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ．(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020·全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x ，将x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(5x )′＝5x log 5x D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12x D ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则 知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′·cos x －sin x ·(cos x )′cos 2x ＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ， 则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝ 2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ． 8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2．13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．14．f (x )＝3e x ＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x(e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x ＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x1＋e x＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3．(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
1.2.2导数运算法则1
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 n n 1
公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx ; 公式 ,则 '( xf) '( x0; 公式1. 3.若 若f f( (x x) ) c sin xf, 则 ) cos x;
n n 1 公式 2. 若 f ( x ) x , 则 f '( x ) nx ; x; 公式 4. 若 f ( x ) cos x , 则 f '( x ) sin 公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; x 公式 3. 若 f ( x ) sin x, 则 f x'( x )a xcos x ; n, 则 n 1a 公式 5. 若 f ( x ) a f '( ) ln ( 公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx ; a 0); 公式 4.若 若f f( (x x) ) e cos x,f则 f '( x)e x x sin x; 公式6. , 则 '( x ) 3. sin x, 则f '( x) ;cos x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 1 公式 4. 若 f ( x ) cos x , 则 f '( x ) sin x;( a 0, 且a 1); 公式7.若f ( x) log x , 则 f '( x ) a 公式6.若f ( x) e xx, 则 f '( x) e xx; x ln a 公式5.若f ( x) a , 则f '( x) a ln a( a 0); 1 1 x x ln x则 ,则 f'('( x'( ) 公式7. ,则 f) ) ( a 0, 且a 1); 6.若f ( x) log e , x x e ;; a xf x x ln a 1 公式8.若f ( x) log a x, 则f '( x) 1 ( a 0, 且a 1); 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x ln a x 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ;
1.2.2 导数的运算法则(一)
1.2.2 导数的运算法则（一）知识要点1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ，即()()'u x v x ±=⎡⎤⎣⎦2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ，即()()'u x v x ⋅=⎡⎤⎣⎦ 。
特别地，()'cu x =⎡⎤⎣⎦ （其中c 为常数）。
3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。
即知识点一，直接求导例1，求下列函数的导数（1）23cos y x x x =+ （2）1x y x=+ （3）tan y x = （4）lg x y x e =-变式训练1，求下列函数的导数(1)23y x =(2)5314353y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1x y x =+知识点二，先变形再求导例2，求下列函数的导数（1）y =（2）cos 2sin cos x y x x =+（3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2)44sin cos 44x x y =+知识点三，导数的综合应用例3，已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数在点P 处的切线方程。
变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v水平基础题1．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －23．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．5．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. 水平提升题6．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2 D.12(2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数9．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______．10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题13．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数）1(1)(2)y f y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭知识要点1，和（或差） ()()''u x v x ±2，第一个函数的导数乘第二个函数 第一个函数乘第二个函数的导数()()()()''u x v x u x v x ⋅+⋅ ()'cu x3,分子的导数与分母的积 分母的导数与分子的积 分母的平方()()()()()()()()()2'''0f x g x f x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦典型例题例1，答案：（1）'6cos sin y x x x x =+-（2）()21'1y x =+（3）21'cos y x=（4）1'ln10x y e x =- 变式训练1，(1)'6y x =(2)42'43y x x =-+(3)()2'21sin cos y x x x x =-+(4)()2ln 1'1x x x y x x -+=+例2，答案：（1）21y x==- ()22'1y x =-（2）cos 2cos sin sin cos x y x x x x==-+ 'sin cos y x x =--（3）)212sin cos 4sin 222x x y x x =-=--1'1cos 2y x x =-- 变式训练2，(1)232'3y x x =-(2)1'sin 4y x =-例3，答案：因为1921n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以2n =，221x y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()32'21x y x =+，12'|27x y == 所以切线方程为22710x y -+=变式训练3，53m v = 作业练习1．[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.2．[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.3．[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.4．[答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.5．[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.6．[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 7．[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.8．[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．9．[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 10．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1 [解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 11．[解析] 因为y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存有公共点，使在这个点处的两条切线互相垂直．12．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.13．则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.14,()()()2112222211111(1)'''''(2)''''11'11''1222'y f f f x x x x x y f f f x x f x x f --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==•=-• ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤==•⎢⎥⎣⎦=•++=•+•=解：。
导数基本运算法则
导数基本运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的计算可以根据导数的基本运算法则进行简化和推导。
本文将介绍导数基本运算法则，并通过几个例子来说明其应用。
一、常数函数的导数我们来看一个简单的情况，即常数函数的导数。
对于一个常数函数f(x)=C，其中C为常数，其导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即导数为常数0。
二、幂函数的导数接下来，我们来考虑幂函数的导数。
对于幂函数f(x)=x^n，其中n 为正整数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数可以通过指数法则和常数函数的导数来推导得到。
三、和差法则导数的和差法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的和（差）函数在该点的导数等于f(x)和g(x)在该点的导数之和（差）。
即(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
四、乘法法则导数的乘法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的乘积函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)加上g(x)在该点的导数乘以f(x)。
即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
五、除法法则导数的除法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点不为0，则它们的商函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)减去g(x)在该点的导数乘以f(x)，再除以g(x)的平方。
即(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
六、复合函数的导数导数的复合函数法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点的导数不为0，则复合函数h(x) = f(g(x))在该点的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。
导数的运算 (解析版)
（2）由 可得
【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数 的导数．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则计算．
【详解】
【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
【变式1-1】2.求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4) (5) (6)
【解析】（1）由 ，则 ；
（2）由 ，则 ；
（3）由 ，则 ；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（2）
（3）
（4）
（5）
【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2) ；
(3) ；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
（4）由 ，则 ；
（5）由 ，则 ；
（6）由 ，则 .
【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
导数的计算(一轮复习)
5.曲线 y＝9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x＋y－6＝0 . 解析 ∵y′＝－x92， ∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.
12345
10.已知抛物线 y＝x2，求过点－12，－2且与抛物线相切的直线方程.
12345
2.已知 f(x)
解析
f(x)＝
x，得
f′(x)＝
1
-
x
1
2，
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
12345
D.－1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y＝3，则 y′＝0 √C.若 y＝ x，则 y′＝21 x
B.若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
√D.若 y＝x，则 y′＝1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
12345
4.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 .
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以x0＝1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)＝0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
导数的计算
昌都景点文案短句目录:一、昌都——西藏佛教文化的瑰宝二、气象之城——昌都的自然景观三、世外桃源——昌都的禅修胜地四、情系长春——昌都的民俗文化五、馨香旅程——昌都的美食之旅六、冰雪奇缘——昌都的冰川景观七、梦幻河谷——昌都的湖泊和河流一、昌都——西藏佛教文化的瑰宝昌都是座位于西藏的文化名城，承载着丰富的佛教文化底蕴。
在这里，你可以感受纯净的宗教氛围，探寻佛教的深邃奥义。
昌都的雄伟寺庙、壮丽塔院、精美佛塔都是西藏佛教文化的重要代表，每一处都散发着无比庄严的宗教意味。
二、气象之城——昌都的自然景观昌都被誉为西藏的气象之城，这里的自然景观自成一派。
壮丽的雪山、湖泊清泉、广袤的草原等都让人流连忘返。
在昌都，你可以漫步在大自然的怀抱中，感受生命的生动与奇迹。
三、世外桃源——昌都的禅修胜地昌都是禅修的好去处，有着许多世外桃源般的地点。
茂密的森林、宁静的寺庙、僻静的山谷，处处都透露出禅修的静谧与宁静。
无论是初次尝试禅修，还是想要深入修行，昌都都是你的不二之选。
四、情系长春——昌都的民俗文化昌都是多民族聚居的地方，拥有丰富多彩的民俗文化。
这里的藏族、珞巴族、羌族等民族拥有独特的风俗习惯和传统艺术。
在昌都，你可以欣赏到丰富多样的舞蹈、音乐、手工艺品等民间艺术表演，感受浓厚的人文气息。
五、馨香旅程——昌都的美食之旅昌都的美食文化也是别具一格。
在这里，你可以品尝到传统的藏族美食，如酥油茶、青稞饼等，还可以尝试当地珞巴族和羌族的特色菜肴。
不同的民族风味汇聚于昌都，为你带来一场舌尖上的盛宴。
六、冰雪奇缘——昌都的冰川景观昌都是西藏冰川的重要区域，这里的冰川景观堪称壮丽。
巍峨的冰川山峰、澄澈的冰湖、绚丽的冰瀑布都是大自然的奇迹。
无论是远足、攀登，还是观赏冰川景观，昌都都会带给你前所未有的震撼与感动。
七、梦幻河谷——昌都的湖泊和河流昌都拥有许多湖泊和河流，如冈底斯河、光明湖等。
清澈的湖水倒映着山脉和天空，风景如画。
在昌都的湖泊和河流之间，你可以放松身心，感受宁静与宜人。
导数的计算
导数的计算一、导数的概念1、y=f(x)在x=x0处的导数．2、y=f(x)的导(函)数．二、常见的函数的导数1、y=f(x)=c（c为常数）2、y=f(x)=x3、y=f(x)=x24、y=f(x)=5、三、基本初等函数的求导公式1、若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0；2、若f(x)=xα(α∈Q*)，则f′(x)=αxα－1；3、若f(x)=sinx，则f′(x)=cosx；4、若f(x)=cosx，则f′(x)=－sinx；5、若f(x)=a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=a x lna；6、若f(x)=e x，则f′(x)=e x；7、若f(x)=log a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=；8、若f(x)=lnx，则f′(x)=．例1、假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（元）与时间t（年）有如下函数关系：p(t)=p0(1＋5%)t，其中p0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当p0=1时，p(t)=1.05t．∴p′(t)=1.05t ln1.05，∴p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08（元/年）．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．四、导数的运算法则1、[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)；2、[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)＋f(x) g′(x)；3、．推论：[cf(x)] ′=cf′(x)（c为常数）练习：1、已知函数f(x)=ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)=4，则a=___________．答案：2、已知物体的运动方程是S=－2t2－12t(t表示时间，单位：秒，S表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻是___________秒．答案：6五、复合函数的求导法则1、复合函数的定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示为x的函数，那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．2、复合函数y=f(g(x))的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y x′=y u′·u x′或y x′=f′(g(x))·g′(x)．例2、求下列复合函数的导数．(1)y=(2x＋3)2；(2)y=e－0.05x＋1；(3)y=sin(πx＋)(π，为常数)．解：（1）．法二：函数y=(2x＋3)2可以看作函数y=u2和u=2x＋3的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=2u·2=4u=4(2x＋3)=8x＋12．(2)y=e－0.05x＋1可以看作函数y=e u和u=－0.05x＋1的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=e u·(－0.05)=－0.05e u=－0.05e－0.05x＋1．(3)y=sin(πx＋)可以看作函数y=sinu和u=πx＋的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=(cosu)·π=πcosu=πcos(πx＋)．一、选择题1、曲线在点(1，)处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．2、下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y′=0B．若，则C．若，则D．若y=3x，则y′|x=1=33、已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于1，则切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定4、若对任意x属于R，f′(x)=4x3，f(1)=－1，则f(x)是（）A．f(x)=x4B．f(x)=x4－2C．f(x)=4x3－5 D．f(x)=x4＋25、函数y=lgx在x=1处的切线方程为（）A．y=lge(x－1) B．y=(ln10)(x－1)C．y=x D．y=06、函数(a>0且a≠1)的导数为（）A．B．－a－x lnaC．a－x lna D．7、函数(x>0)的导数是（）A． B．C． D．8、函数y=x－(2x－1)2的导数是（）A．3－4x B．3＋4xC．5＋8x D．5－8x9、垂直于直线2x－6y＋1=0，且与曲线y=x3＋3x2－1相切的直线方程是（）A．3x＋y＋2=0 B．3x－y＋2=0C．3x＋y－2=0 D．3x－y－2=010、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)=2(x－1)C．f(x)=2(x－1)2D．f(x)=x－1二、填空题11、求下列函数的导数：(1)y=x300π；(2)；(3)y=log3x．11、解：(1)y′=300πx300π－1；(2)y′=－()x ln2；(3)．12、求下列函数的导数：(1)f(x)=(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)=xtanx－；(3)．12、解：(1)∵f′(x)=(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，∴f′(x)=10x4＋32x3－15x2＋4x＋8．13、已知曲线C：y=x3－3x2＋2x，直线l：y=kx，且l与C切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．。
1.2导数的计算(1)
3.2导数的计算（1）班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿【学习目标】1．(重点)掌握几个常见函数的导数2．(重点)掌握基本初等函数的导数公式及运算法则☆预习案☆ （约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
【知识要点】 （阅读课文第12-16页，完成导学案）1.导数的几何意义是：2.几个常用函数的导数3.基本初等函数的导数公式及导数运算法则函数导数f (x )＝c （常数）f ′(x )＝ f (x )＝*x Q αα∈（）f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x f ′(x )＝ f (x )＝e x f ′(x)＝ f (x )＝log a x f ′(x)＝ f (x )＝ln xf ′(x)＝4.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝ (2)[f (x ) ∙g (x )]′＝ (3)[f (x )g (x )]′= (4)[cf(x)]′＝ 【预习自测】1.求下列函数的导数函数 导数f (x )＝c （常数） f ′(x )＝ f (x )＝x f ′(x )＝ f (x )＝x 2 f ′(x )＝ f (x )＝1xf ′(x )＝ f (x )＝x f ′(x )＝（1）2y=log x （2）x y=2e (3) 52y=2x 3x 5x 4-+- （4）y=3cos x 4sin x -2．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x (x ＋3)2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x (x ＋3)2D.3x 2＋6x (x ＋3)23. 已知曲线y ＝3x上有一点A (1,3)，则曲线在A 处的切线斜率是( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－32【我的疑惑】☆探究案☆ （约 分钟）【典型例题】例题1.求下列函数的导数(1)y ＝2x 2＋1x －3x 3； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； (4)y ＝x 3＋lg x☆训练案☆ （约 分钟）【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单！1．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
导数计算公式和法则
导数计算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
计算导数的公式和法则是求解导数的基础工具，掌握了这些公式和法则，可以更加方便地计算各种函数的导数。
我们来看一下导数的定义。
对于函数f(x)，在x点处的导数表示为f'(x)，可以用以下公式来表示：f'(x) = lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示极限的意思，h表示自变量x的增量。
这个定义可以理解为，当自变量的增量趋近于0时，函数在该点处的变化率就是该点的导数。
接下来，我们来看一些常见函数的导数计算公式和法则。
1. 常数函数的导数计算公式：常数函数的导数始终为0。
例如，对于函数f(x) = c，其中c是一个常数，其导数表示为f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数计算公式：幂函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = x^n，则f'(x) = n*x^(n-1)。
其中n是幂函数的指数。
3. 指数函数的导数计算公式：指数函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)。
其中a是指数函数的底数，ln(a)是以e为底a的对数。
4. 对数函数的导数计算公式：对数函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = log_a(x)，其中a为对数函数的底数，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数的导数计算公式：三角函数的导数可以通过以下公式来计算：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数计算公式：反三角函数的导数可以通过以下公式来计算：- 反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
导数基本公式与运算法则
导数基本公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用来描述函数在其中一点的变化率。
导数的计算可以依据一些基本公式和运算法则进行。
下面将介绍导数的基本公式和运算法则。
一、导数的定义设函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim表示极限，Δx表示自变量x的增量。
二、导数的基本公式1.常数的导数若c是一个常数，则导数f'(x)=0。
2.幂函数的导数若f(x) = x^n，其中n是正整数，则导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数若f(x) = a^x，其中a是正实数且a≠1，则导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的导数若f(x) = ln(x)，则导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数(1) 若f(x) = sin(x)，则导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 若f(x) = cos(x)，则导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 若f(x) = tan(x)，则导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数(1) 若f(x) = arcsin(x)，则导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 若f(x) = arccos(x)，则导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 若f(x) = arctan(x)，则导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
三、导数的运算法则1.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
2.和差法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.积法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
导数的计算
导数的计算求导法则是微积分中重要的工具，用于计算函数的导数。
它是微积分基本原理的具体应用，可以通过一系列简单的规则来求解各种函数的导数。
本文将介绍常见的求导法则，包括常数法则、幂规则、乘积法则、商法则、链式法则和复合函数法则。
1.常数法则：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数是0，因为它没有斜率。
2. 幂规则：设f(x)=x^n，其中n是一个实数。
那么f'(x)=nx^(n-1)。
这意味着x的任意幂次减一并乘以该幂次即可得到导数。
例如，如果f(x)=x^2，那么f'(x)=2x^(2-1)=2x。
3.乘积法则：设f(x)=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是两个函数。
那么f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
这个法则用于求解两个函数乘积的导数。
例如，如果f(x)=x^2sin(x)，那么f'(x)=2xsin(x)+x^2cos(x)。
4.商法则：设f(x)=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是两个函数，并且v(x)≠0。
那么f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2、这个法则用来求解两个函数的商的导数。
例如，如果f(x)=x^2/sinx，那么f'(x)=[2xsin(x)-x^2cos(x)]/sin^2(x)。
5.链式法则：设f(x)=g(u(x))，其中u(x)是一个函数，g(x)是一个关于x的函数。
那么f'(x)=g'(u(x))u'(x)。
这个法则用来求解复合函数的导数。
例如，如果f(x)=(sinx)^2，那么f'(x)=2sin(x)cos(x)。
6.复合函数法则：设f(x)=g(h(x))，其中g(x)是一个函数，h(x)是一个函数，g(x)是关于x的函数。
如果g(x)是导数可求的，且h(x)是可导的，那么f'(x)=g'(h(x))h'(x)。
导数计算公式和法则
导数计算公式和法则导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
导数的计算公式和法则如下：1. 基本导数公式：(1) 若y=f(x)，则y的导数为f(x)在x点处的导数，即f'(x)。
(2) 若y=u/v，其中u、v为两个可导函数，v(x)不为0，则y的导数为：y'=(u'v-uv')/v²2. 常见函数的导数：(1) 常函数y=C的导数为0，即y'=0。
(2) 幂函数y=xⁿ的导数为y'=nxⁿ⁻¹。
(3) 正弦函数y=sin(x)的导数为y'=cos(x)。
(4) 余弦函数y=cos(x)的导数为y'=-sin(x)。
(5) 指数函数y=aˣ的导数为y'=aˣln a。
(6) 对数函数y=logₐx的导数为y'=1/(xln a)。
3. 基本导数法则：(1) 常数因子法则：若y=Cf(x)，其中C为常数，则y'等于f(x)的导数乘以常数C，即y'=Cf'(x)。
(2) 常数和法则：若y=f(x)±g(x)，则y'等于f(x)的导数和g(x)的导数的和（减法同理），即y'=f'(x)±g'(x)。
(3) 乘法法则：若y=f(x)g(x)，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)加上g(x)的导数乘以f(x)，即y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)。
(4) 除法法则：若y=f(x)/g(x)，其中g(x)不为0，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)减去f(x)乘以g(x)的导数除以g(x)的平方，即y'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g²(x)。
(5) 复合函数法则：若y=f(u)，u=g(x)，则y'等于f(u)对u的导数乘以u对x的导数，即y'=f'(u)g'(x)。
1.2 导数的计算(一)
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x； • (4)y＝e0.
二.新课 新课
导数的运算法则 （1）函数的和或差的导数 ）
[ f ( x) ± g ( x)]′ = f ′( x) ± g ′( x).
推广: 推广 ( f1(x) ± f2(x) ±K± fn(x))′ = f1′(x) ± f2′(x) ±K± fn′(x) （2）函数的积的导数 ）
练习与思考:已知两条曲线 练习与思考 已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在 已知两条曲线 问是否存在 这两条曲线的一个公共点,使在这一点处 使在这一点处,两条曲线的 这两条曲线的一个公共点 使在这一点处 两条曲线的 切线互相垂直?并说明理由 并说明理由. 切线互相垂直 并说明理由 设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件 满足题设条件. 解:设存在一个公共点 设存在一个公共点 满足题设条件 由 y ′ = (sin x )′ = cos x , 得 y ′ | x = x 0 = cos x 0 ;
x =1
2 '
'
（x ）= 2 x
1 =− 2 x x
( x) = 2
1 x
函数y=f(x)=1/x的导数： 1 的导数： 函数 的导数 (2):
(xn )′ = nxn−1 (n∈Q) .
练习：求下列函数的导数，并讨论（ ）（ ）（3） 练习：求下列函数的导数，并讨论（1）（ ）在x=0处 处 的切线情况。 的切线情况。
(1) y = x
3
(3):
( 2) y =
1 x
(3) y = x
3
. (sin x)′ = cos x
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x
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1
，
x x x
所以 y' lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
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12
小结
1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ； 2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ； 3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ；
从物理的角度理解：
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可
以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速
度为2x.
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9
4.函数 y = f (x) =
1 x
的导数
因为
y
f x x f x
1 1 x x x
x
x
x
x
xx
x x xx
x2
1 x•， xFra bibliotek所以y'
lim
x0
(2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢?
y=2x
2
y=x
1
(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
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-2 -1 -1
-2
1 2x
6
函数 y= f (x)= kx 的导数
因为 y f x x f x
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
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1
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
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2
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1. 函数y=f(x)=c (c为常数)
2.y f (x) x
3.y f (x) x2
4.y f (x) x3
5.y f (x) 1 x
若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的
瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
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4
2.函数 y= f (x)=x 的导数
因为 y f x x f x x x x 1， y
x
x
x
y=x
所以 y' lim y lim 1 1. x0 x x0
从几何的角度理解：
4.若f
x
1 x
, 则f
'x
1 x2
；
5.若f x x,则f 'x 1 .
2x
x x 1(是常数)
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推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
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基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
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7
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x2 x2
y
x
x
x
x2 2x • x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
6.y f (x) x
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3
1.函数 y = f (x) =c 的导数
因 y f x x f x c c 0，
x
x
x
y y=c
所以 y' lim y lim 0 0. x0 x x0
O
x
从几何的角度理解：
y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.
从物理的角度理解：
y=x2 x
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8
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.
从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x
表明:
当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;
当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
O
x
y=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1.
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某
物体做瞬时速度为1的匀速运动.
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5
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?y y=4x y=3x
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
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1 x
15
练习：1 求下列幂函数的导数
（1）y x5 (2) y 1 x2 (3) y 3 x
(4) y 3 x5
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2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
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17
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的说明比:上值面的: 方
y f (x x) f (x) ;
x
x
法中把x换x0 即为求函数在
点x0处的 导数.
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
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y x
lim x0
x2
1 x • x
1 x2
.
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10
探究
画出函数
y
1 x
的图象.根据图象,描述它的变化情况,并
求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
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11
5.函数 y = f (x) = x 的导数
因为 y f x x f x x x x