高考数学 必考热点分类集中营6

高考数学必考热点分类集中营

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3.【2010⋅新课标全国理】若

4

cos

5

α=-，α是第三象限的角，则

1tan

2

1tan

2

α

α

+

=

-

(A)

1

2

-(B)

1

2

(C) 2 (D) -2

4.【2010⋅新课标全国文】若

4

sin

5

a=-，a是第三象限的角，则sin()

4

a

π

+=

（A）72

（B

72

（C）

2

（D

2

【命题意图猜想】

1.三角函数的化简、求值及最值问题，主要考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用，考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．

2.2011年的试题主要考查三角函数的概念、二倍角的余弦公式．2010年试题主要考查三角

恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.通过这

两年试题来看，二倍角公式是必考的内容，是一个核心.2012年因为考查了一道三角函数的解

答题，故小题中没有涉及三角化简求值，而是命制了一道三角函数的性质的题目，预测2013

年高考题会考查三角函数的化简与求值，但是题目难度为中低档，且很有可能与三角函数的

定义联系到一起.

3.从近几年的高考试题来看，利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、

和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函

数的图象与性质、向量等知识综合考查，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题．

【最新考纲解读】

1．任意角的概念、弧度制

(1)了解任意角的概念．

(2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．

2．和与差的三角函数公式

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、

正切公式，了解它们的内在联系．

3．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组

公式不要求记忆)．

【回归课本整合】

一．三角函数诱导公式

1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2n πα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函

数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号；

2.对于形如3,()22a a k Z π

π±±∈即满足2

n πα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号.

3.口诀：奇变偶不变，符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.

4.运用诱导公式转化角的一般步骤： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角

函数值；

(2)正化负：当已知角是大于360的角时，可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数

值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时，可利用180,270,360ααα---的诱导公

式把这个角的三角函数值化为0到90内的角.

二． 两角和与差的三角函数公式

1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±.

变形式： ()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；

2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβ

αβ

变形式：()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ； ()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；

3．两角和与差的正切公式：

()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ

±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、. 变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.

注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的

是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆

公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题

设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的

切入点.

三．二倍角公式的正弦、余弦、正切

1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；

二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；

二倍角的正切公式:tan 2α=　

22tan 1tan αα- . 2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22

α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.

注意：在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两

个角的倍数关系，同时还要注意απ

απα-+4

42，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换. 【方法技巧提炼】

1.正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用

sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，

2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=2

1(sin cos )sin cos .2

x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.

2.如何利用“切弦互化”技巧

（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，

进行求值.

常见的结构有:

①sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代

换法求解；

②sin ,cos αα的齐次分式（如

sin cos sin cos a b c d αααα

++）的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.

3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路

基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，

角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代