直接开方法解一元二次方程
1.2《一元二次方程的解法—直接开方法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法班级________姓名____________一.学习目标：1．由平方根的定义探寻直接开方法；2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程．学习难点：体会整体思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是．②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝．③x2＝14，则x＝．若分式x2－92x－6的值为零，则x的值为．Ⅱ．活动探究【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0．【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？阅读：解方程x2－4＝0．解：移项，得x2＝4．∴x＝±4＝±2即x1＝2，x2＝−2．我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”．思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。
例1：解下列一元二次方程．⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0．例2：解下列一元二次方程．⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0．【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？例3：用“直接开方法”解下列方程：⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0．【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0【课内反馈】1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为．2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为．3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤04．解下列方程⑴2x2＝50；⑵12y2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．。
一元二次方程的解法1直接开方
九年数学系列
师生讲学稿
(3) 3(x -1)2 _6 =0 (4) 9x26x 1 =4
2、若方程（x-a）2 - -b有解，则b的取值范围是_______________________ .
3、对于形如（x • m）2= n的方程，他的解的正确表达式为（
）
A .都可用直接开平方法求解，且x- n
B .当n_0时，m= 一n
C .当n_0时,x = .n-m
D .当n_0 时，x = n-m
4、方程x2h的实数根的个数是（）
A .0个
B .1个
C . 2个
D .无数个
5、下列各方程能用直接开平方法求解的是（）
A . 4x2-4x -7 = 0
B . 4（x -3）2二25
C. 2y2-7y 2=0
D. （x 5）（x -、5） = 20
五、小结：
1、具备怎样特点的一元二次方程可用直接开平方法求解：
2、用降次法一直接开平方法解一元二次方程的步骤有哪些：六、随堂练习：
1、下列方程不能用直接开平方法的是（
2
A . x—3 = 0 B.
C. x22x = 0
2、用直接开平方法解下列方程:
2
（1）5x -5=35
(3)(x-2)(x 2) = 21
)
(x_1)2 _4 = 0
D. (x_ 1)2二(2x 1)2
(2)4(x 3)^ 100
(4)4(x 1)2二25(x- 2)2 3、设a ,P是方程（X+2）2=9的两个根，求|ct| +|P|的值.
作业：卷
反思（收获）：。
解一元二次方程直接开平方法
解一元二次方程直接开平方法嘿，解一元二次方程的直接开平方法，那可真是个超棒的解题利器！想象一下，就像打开一把神秘的锁，直接开平方法就是那把关键的钥匙。
先说说步骤吧！如果方程是形如x²= a 的形式，那简直爽歪歪！当a ＞0 时，x 就等于正负根号a。
这不是很简单吗？可要是a＜0 呢？嘿嘿，那方程就没有实数解啦！就好比你在沙漠里找水，没找着呗。
注意事项也得牢记哦！要确定方程是不是真的能化成x²= a 的形式，可别瞎整。
要是搞错了，那可就白费力气啦！这就像你走路走岔道了，越走越远。
那这方法安全稳定不？当然啦！只要你按照步骤来，一步一个脚印，绝对稳稳当当。
就像盖房子，基础打牢了，还怕它倒了不成？
应用场景那可多了去了。
比如求解一些实际问题中的面积啦、速度啦啥的。
优势也很明显呀！简单快捷，不拖泥带水。
不像有些方法，绕来绕去，让人脑袋都大了。
这就好比你在一堆工具里找到了一把最顺手的锤子，一锤定音。
举个实际案例吧！比如一个正方形的面积是25 平方米，求边长。
这
不就是设边长为x，x²= 25 嘛，那x 就是正负5，边长不能是负数，所以边长就是5 米。
看，多好用！
直接开平方法就是这么牛！它是解一元二次方程的好帮手，能让你在数学的海洋里畅游无阻。
一元二次方程的解法直接开平方法
方程的两根为
x1
1， 3
x2
1.
能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形
式，那么就可以用直接开平方法求解.
1.下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A) x2=-2,解方程，得x=± 2
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 x1＝2,x2＝－1 . 3. 解下列方程：
∴
5
x1= 4
，x2=
7. 4
例3 解下列方程：
(1)x2 4x 4 5
解： x 22 5,
x2 5,
x 2 5, x 2 5,
方程的两根为
x1 2 5， x2 2 5.
(2)9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2,
3x 1 2， 3x 1 2,
方程的两根为
x1 7 x2 1
一、概念：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平 方法.
二、特征： 如果一个一元二次方程可化为x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那
么就可以用直接开平方法求解.
三、基本思路：
降次
22.2.1直接开平方法解一元二次方程
5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式
第2课 解一元二次方程(直接开方法)
x1＝0.1, x2＝1.9
x＝－12±7
x1＝3，x2＝－4
10. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝144;
(2)(1－2x)2＝0.36.
(1－x)2＝1.44 1－x＝± 1.44 1－x＝±1.2 x＝1±1.2 x1＝2.2,±0.6
6. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)2x2＝8; x2＝4
(2) 1 x2－27＝0. 3
x2＝81
x＝± 4
x＝± 81
x1＝2，x2＝－2
x1＝9，x2＝－9
知识点2：若(x＋b)2＝a(a≥0)，则x＋b＝± a .
7．(例3)用直接开方法解一元二次方程：
(1)(x－1)2＝2;
(2)2(x－3)2＝18.
(1＋x)2＝25 1＋x＝± 25 1＋x＝±5 x＝－1±5 x1＝4，x2＝－6
9. (例4)用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝81;
(2)(2x＋1)2－49＝0.
(1－x)2＝0.81 1－x＝± 0.81 1－x＝±0.9 x＝1±0.9
(2x＋1)2＝49 2x＋1＝± 49 2x＋1＝±7 2x＝－1±7
(C )
13.解方程： (1)x2－1＝0;
x1＝1，x2＝－1
(2)32x2＝6. x1＝2，x2＝－2
14.解方程：
(1)x2＝13；
x1＝
33，x2＝－
3 3
(2)9x2－5＝3.
x1＝2 3 2，x2＝－2 3 2
第2关 15．解方程：3(x－1)2－6＝0.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
解，则 m＝__－__2____.
初中数学知识点：直接开方法解一元二次方程
初中数学知识点：直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
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人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
解一元二次方程(直接开方法配方法公式法因式分解法)
解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）一元二次方程知识讲解只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【例题讲解】例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．小试牛刀1. 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．10一元二次方程的解叫做一元二次方程的根解一元二次方程:直接开方法配方法公式法因式分解法【例题讲解】例1：解方程：x+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．【小试牛刀】1. 求出下列方程的根吗？102（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=02.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？例题讲解例1. 解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x+6x+3=-5+3（x+3）=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（由此可得x+32335）=-1+（）2（x+）2= 2224222355353=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5 ，x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2从以上例题可以看出，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法：总结用配方法解一元二次方程的步骤10（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【小试牛刀】用配方法解以下方程（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4）【课堂引入】例1. 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm212x-x-4=0 4?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．解：存在．根据题意，得：m2+1=2 ，即m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠010当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=1?(?1)?91?3 即 x1=1，x2=- ?22?241． 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?b?b2?4ac?将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．小试牛刀1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 因式分解法因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A・B＝0A＝0或B＝0．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：10感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第02讲解一元二次方程——直接开方法与配方法(原卷版)
第02讲 解一元二次方程——直接开方与配方法知识点01 直接开方法解一元二次方程1. 直接开方法求p x =2的一元二次方程：由平方根的定义可知： ①0＞p 时，一元二次方程p x =2有 个 的实数根，分别是 或 。
他们互为 。
②当0=p 时，一元二次方程p x =2有 个 的实数根，即。
③当0＜p 时，一元二次方程p x =2 实数根。
2. 直接开方法解()p b ax =+2的一元二次方程：同样由平方根的定义可知：①当0＞p 时，一元二次方程()p b ax =+2有 个 的实数根。
方程开方降次得到一元一次方程p b ax =+或p b ax -=+。
所以它的两个实数根分别是 或 。
②当0=p 时，一元二次方程()p b ax =+2有 个 的实数根。
方程开方降次得到一元一次方程0=+b ax ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
③当0＜p 时，一元二次方程b ax =+题型考点：①利用直接开方法解方程。
②根据根的情况求字母的值或取值范围。
【即学即练1】1. 方程x 2＝1的根是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝±1D ．x ＝±22．方程（x +6）2﹣9＝0的两个根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝9B ．x 1＝﹣3，x 2＝9C ．x 1＝3，x 2＝﹣9D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣9 3．解方程：（1）x 2﹣81＝0； （2）4（x ﹣1）2＝9． 【即学即练2】4．关于x 的一元二次方程x 2＝a 的两个根分别是2m ﹣1与m ﹣5，则m ＝ ．【即学即练3】5．若关于x 的方程（x ﹣a ）2﹣4＝b 有实数根，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞4B ．b ＞﹣4C ．b ≥4D ．b ≥﹣46．如果关于x 的方程（x ﹣1）2＝m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．知识点02 配方法解一元二次方程1. 配方法的定义：将一元二次方程化成()p b x =+2的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。
四种解一元二次方程的方法
四种解一元二次方程的方法嘿，咱今儿个就来唠唠解一元二次方程的那四种法子！这可都是数学里的宝贝呀！先说说直接开平方法。
这就好比是一把钥匙，能直接打开那扇困住方程的门。
遇到那种能直接写成平方形式的方程，嘿，用它就对啦！就像一把精准的钥匙，咔嗒一下，答案就出来了。
比如说，一个方程是(x-3)²=4，那咱不就能直接得出 x-3=±2，进而算出 x 的值啦，多简单直接呀！再讲讲配方法。
这就像是给方程做一顿美味大餐，得精心调味、搭配。
把方程通过一些巧妙的操作，配成完全平方的形式。
这可得有点耐心和技巧呢！就好像要把各种食材搭配得恰到好处，才能做出美味佳肴。
举个例子，x²+4x-5=0，咱就给它加上 4 变成 x²+4x+4-4-5=0，然后就变成了(x+2)²=9，这不就好解了嘛。
因式分解法呢，就如同拆礼物。
把方程拆呀拆，拆成几个因式相乘等于零的形式。
这可需要一双敏锐的眼睛，能找到那些隐藏的线索，把方程巧妙地拆解开来。
比如 x²-3x+2=0，就能分解成(x-1)(x-2)=0，那答案不就呼之欲出啦！最后说说公式法。
这可是个厉害的大绝招！不管啥样的一元二次方程，它都能给你搞定。
就像是一个万能工具，啥难题都能解决。
只要记住那个神奇的公式，往里一套，答案就出来啦。
不过用的时候可得小心，别算错咯。
哎呀呀，这四种方法各有各的妙处呀！就好像是武林高手的不同绝技，在不同的场合都能大显身手。
咱在解一元二次方程的时候，就得像个聪明的侠客，根据不同的情况，灵活运用这些方法。
有时候一种方法就能搞定，有时候得几种方法结合起来呢。
你想想啊，要是遇到个难题，你能一下子就找到合适的方法把它解开，那得多有成就感呀！就好像是攻克了一座坚固的城堡。
而且呀，这四种方法在生活中也有类比呢！比如说直接开平方法就像直截了当地解决问题，配方法就像精心准备去做一件事，因式分解法就像把复杂的事情拆解成简单的步骤，公式法就像有个通用的规则可以遵循。
(完整版)直接开方法解一元二次方程
直接开方法解一元二次方程开方法的依据
2、会熟炼运用直接开方法解 x2 b b 0或
的方程。
x a2 b b 0;
平方根
1.如果 x2=a（a≥0）则 x 就叫做 a 的
。
2.如果 x2=a（a≥0）则 x = ± ������ 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ x2=4 根据平方根的定义可知:x是4的( 平方根).
∴ x= 4
即: x=±2 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的 两个根。
∴ 方程 x2=4的两个根为 x1=2，x2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
3.如果 x2=64 则 x = ±8 。
方法 小结
1．直接开平方法的依据是什么？（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程： x2 b b 0或 x a2 b b 0;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
以变形为：（χ+1）2= 4
现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解： (1) 移项，得（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2
∴ χ1=1，χ2=－3.
例题讲解
1解方程(2x－1)2=(x－2)2
1、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）3（x+2）2 =3 （3）5（x-4）2-25=0 （（45））（（12 22xx+-13））22-=5（=03-x）2
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初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
（4）
2x2
1 2
0;
将方程化成
x2 b
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。
例2、 解方程 x 32 2 0 解：x 32 2
注意：解方程 x2 b b 0; 或
时，应先把方
程变形为： x a2 b b 0。
例题讲解
1解方程(2x－1)2=(x－2)2 -
2、（3x -4）²=（4x -3）²
解：两边开平方，得：
3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1
x2 4x 4 3
• 2. x2-6x+9=7 • 3. 4x2+4x+1=4
解下列关于x的方程：
1 x2 a
1
a
0;
2x2 a 0 a 0;
3x a2 b2;
4ax c2 d d 0, a 0
5 mx2 n 0 m 0
(1) x 42 3; (2) 3x 12 3;
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）3（x+2）2 =3 （3）5（x-4）2-25=0 （ （45））12（（22xx+-13））22-=5（=03-x）2
下列方程能用直接开方法吗？
x2 4x 4 5.
因此：x 4 2
以上解某些一元二 次方程的方法叫做 直接开平方法。
这里，一个数(x)的平方根等于4， 这个数(x)叫做4的什么？ 这个数(பைடு நூலகம்)叫做4的平方根(或二 次方根)。 一个正数有几个平方根？ 一个正数有两个平方根，它们 互为相反数。 求一个数的平方根的运算叫做 什么？
求一个数的平方根的运算叫做 开平方。
归纳 小结
1．直接开平方法的依据是什么？（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程： x2 b b 0或 x a2 b b 0;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时，方程的根是x
c a
;
即：x1
c a
1 a
ac,
x2
c a
1 a
ac;
2当
c a
0时，原方程无实数根。
为什么分 母要加绝 对值？
提问：下列方程有解吗？
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0）的形 式,再求解
x3 2
即：x 3 2,或x 3 2;
x1 3 2, x2 3 2;
解下列方程：
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
直接开平方法 解一元二次方程
复习回忆 1.什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？
若x2=a,则x叫a的平方根，记作 x a （a 0)
2.据平方根的概念解方程 ① x2－4 = 0
例1、解方程 x2 4 0
先移项，得： x2 4
可见，上面的 x2 4
实际上就是求4的平方 根。