31知识讲解 空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
立体几何中的向量方法-距离的向量计算方法
向量的叉乘
总结词
叉乘是向量的另一种重要运算，表示垂直于原向量的新向量。
详细描述
叉乘是将两个向量a和b相乘，得到一个新的向量c。叉乘的定义为c=a×b，其 中c的大小为|a||b|sinθ，方向垂直于原平面，右手定则确定其方向。叉乘的结果 是一个向量，满足反交换律，即a×b=-b×a。
03
距离的向量计算方法
详细描述
数乘是将一个数k与一个向量a相乘，得到一个新的向量ka。数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
向量的点乘
总结词
点乘是向量的另一种重要运算，表示两个向量的夹角和大小 关系。
详细描述
点乘是将两个向量a和b相乘，得到一个标量。点乘的定义为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示 向量a和b的夹角。点乘的结果是一个标量，满足交换律和分配 律。
路径。
空间定位问题
要点一
总结词
利用向量的线性组合和向量模长的性质，确定空间中点的 位置。
要点二
详细描述
空间定位问题需要确定空间中某点的位置。通过向量的线 性组合和向量模长的性质，可以构建方程组，求解出点的 坐标。这种方法在解决空间几何问题时非常有效。
空间关系判断问题
总结词
利用向量的数量积、向量积和混合积等性质，判断点、 线、面之间的位置关系。
利用向量计算点到直线的最短距离
• 点到直线的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点投影到直线上，然后求投影点到直线上任一点的距离。
利用向Байду номын сангаас计算点到平面的最短距离
• 点到平面的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点 投影到平面上，然后求投影点到平面上任一点的距离。
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。
在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。
本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。
第一种方法是点到点距离的计算。
设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。
设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。
第三种方法是点到平面距离的计算。
设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。
需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。
综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。
这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。
立体几何中的向量方法----利用向量方法求距离
§立体几何中的向量方法(三)——利用向量方法求距离知识点一求两点间的距离已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC 与面ADC 垂直，求BD 间的距离．解 方法一过D 和B 分别作DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，则由已知条件可知AC ＝5，∴DE ＝3×45＝125，BF ＝3×45＝125.∵AE ＝AD 2AC ＝95＝CF ，∴EF ＝5－2×95＝75，∴DBu u u r ＝DE →＋EF u u u r ＋FB→. |DBu u u r|2＝ (DE →＋B 1E →＋FB →)2＝DE →2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2DE →·EF u u u r ＋2DE →·FB →＋2EF u u u r ·FB →.∵面ADC ⊥面ABC ，而DE ⊥AC ，∴DE ⊥面ABC ， ∴ DE ⊥BF, DE→ ⊥FB →, |DBu u u r|2＝DE →2＋B 1E →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725， ∴|DBu u u r |＝3375.故B 、D 间距离是3375. 方法二同方法一．过E 作FB 的平行线EP ，以E 为坐标原点，以EP ，EC ，ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125，EF ＝75，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，125，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，75，0，∴BD u u u r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，75，－125，| BDu u u r|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝⎛⎭⎪⎫－1252＝3375. 【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a·a 通过向量运算去求|a |.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22求解．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a ＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)∵CM＝BN＝a(0<a<2)，且四边形ABCD、ABEF为正方形，∴M(22a,0,1－22a)，N(22a，22a,0)，∴|MN→＝(0，22a，22a－1)，∴|MN→|＝a2－2a＋1.(2)由(1)知MN＝a－222＋12，所以，当a＝22时，MN＝22.即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为2 2.知识点二求异面直线间的距离如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π3，求异面直线AB与EB1的距离．→、BA→所在直线分解.以B为原点，BA别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝π3，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B(0,0,0)，A(0,0，2)，B 1(0,2,0)，设 E (3,,02a )，由EA ⊥EB 1，得EAu u u r ·1EB u u u r =0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－a ，2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，2－a ，0＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32＝0，即a ＝12或a ＝32(舍去)，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0.设n 为异面直线AB 与EB 1公垂线的方向向量，由题意可设n ＝(x ，y,0)，则有n ·1EB u u u r=0. 易得n ＝(3，1,0)，∴两异面直线的距离d ＝BE n n⋅u u u r＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0·3，1，03＋1＝1.【反思感悟】 求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，M 、N 分别为DC 、BB 1的中点，求异面直线MN 与A 1B 的距离．解 以A 为原点，AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)．∴|MN →＝(－3,2,1)，1A B u u u u r ＝(0,4，－2)．设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为n ＝(x ，y ，z)， 则10,0,n MN n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2y ＋z ＝04y －2z ＝0.令y ＝1，则z ＝2，x ＝43， 即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，1，2，|n |＝613.1MA u u u u r ＝(－3，－2,2)在n 上的射影的长度为d ＝1MA n nu u u u r ,故异面直线MN 与A 1B 的距离为66161.知识点三 求点到平面的距离在三棱锥B —ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．解如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，过O 作OM ⊥面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－12，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴AC u u u r=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，0，AB u u u r＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，12，DC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，0， 设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的一个法向量，则1·0,21·0,2AB x z AC x y ⎧⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎭n n u u u r u u u r ，∴y ＝－33x ，z ＝－3x ，可取n ＝(－3，1,3)，代入d ＝DC nn ⋅u u u r ，得d ＝32＋3213＝3913，即点D 到平面ABC 的距离是3913.【反思感悟】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 平面与EFBD 间的距离.解 如图所示，建立空间直角坐标系D —xyz ，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而EFu u u r＝(2,2,0)，MN→＝(2,2,0)， AMu u u u r ＝(－2,0,4)，BF →＝(－2,0,4)， ∴EFu u u r ＝MN→， AMu u u u r＝BF→， ∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，∴平面AMN ∥平面EFBD. 设n ＝(x ，y ，z)是平面AMN 的法向量，从而·220,·240,MN x y AM x z ⎧⎫=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩⎭n n u u u u r u u u u r解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2zy ＝－2z.取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)， 由于ABu u u r 在n 上的投影为n AB n⋅u u u r＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝n AB n⋅u u u r ＝83.课堂小结：1．求空间中两点A ，B 的距离时，当不好建系时利用|AB|＝|AB u u u r|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22来求． 2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n 为l 1与l 2的公垂线AB 的方向向量，d ＝|AB u u u r|＝|CD →·n ||n |.3点B 到平面α的距离：|BOuuu r|=AB n n⋅u u u r .(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题1.若O 为坐标原点，OAu u u r=（1，1，-2），OB uuu r=（3，2，8），OCu u u r =（0，1，0），则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）B ．214答案 D解析 由题意OP uuu r ＝(1－t )OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)， PC →＝OC →－OP uuu r ＝(1－t )OA →＝(－2，－12，－3)，PC ＝|PC →|＝ 4＋14＋9＝532.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A ．12答案 B解析 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则有D 1（0，0，1），D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1）.因O 为A 1C 1的中点，所以O （12，12,1），1C O u u u u r =（12， -12，0），设平面ABC 1D 1的法向量为 n=（x,y,z ），则有10,0,n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r即0,0,x z y -+=⎧⎨=⎩则 n = （1，0，1），∴O 到平面ABC 1D 1的距离为：1C O n d n⋅=u u u u r ,. 3．在直角坐标系中，设A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A 、B 两点间的距离为( )A ．211 D ．311 答案 A解析 AB AE EF =+u u u r u u u r u u u r ＋FB→AB u u u r 2＝AE u u u r 2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2AE u u u r ·EF u u u r ＋2AE u u u r ·FB →＋2EF u u u r ·FB →＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.∴|AB u u u r|＝211.4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )答案 B解析 如图所示，BA u u u r=（2，0，0）， BE u u u r=（1，0，2）， ∴cos θ= BA BEBA BEu u u r u u u r u u u r u u u r＝225＝55， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255，A 到直线BE 的距离d ＝|－*6]·OC→|sin θ＝2×255＝455.二、填空题5．已知A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．答案 491717解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u ur 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1，又ADu u u r =（-7，-7，7）. ∴点D 到平面ABC 的距离d =AD n n⋅u u u r＝491717.6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E 为A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 和BC 1间的距离是________．答案 263解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n 为异面直线D1E 与BC1公垂线的方向向量,并设n =(x,y,z),则有110,0,n BC n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u r易求得n =（1， -2，1），∴d=11D C n n⋅u u u u u r＝|(0，2，0)·(1，－2，1)|1＋4＋1＝46＝263.7．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点A 到平面A 1BD 的距离为________．答案 33a解析 以D 为空间直角坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的法向量，则有10,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )(a ，0，a )＝0，(x ，y ，z )(a ，a ，0)＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，∴n ＝(1，－1，－1)．∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝DA nn ⋅u u u r ＝a 3＝33a .三、解答题8．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设F(0,0，z)．∵四边形AEC1F为平行四边形，u u u r u u u u r∴由1AF EC得（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2.∴F（0，0，2）.∴BF u u u r=（-2，-4，2）.于是|BF u u u r|=26（2）设n1为平面AEC1F的一个法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=（x，y，1），由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r得 0410,2020,x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩ 即410,220,y x +=⎧⎨-+=⎩∴1,1,4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴n 1=（1,14-,1）.又1CC u u u u r=(0,0,3),设1CC u u u u r与n 1的夹角为α,则 cos α= 1111CC nCC n ⋅u u u u ru u u u r43313331116==⋅++∴C 到平面AEC 1F 的距离为d=|1CC u u u u r |cos α=3×43333433=9．已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离． (1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(22，22，0)，E(22，2，0)， F(2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．EFu u u r ＝(－2，2，0)， DB→＝(22，22，0)，1DD u u u u r ＝(0,0,4)，EFu u u r·DB→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.又EF ⊂平面B 1EF ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解由（1）知11D B u u u u r =)(22,2,0EFu u u r =)(2,2,0-，1B Eu u u u r =)(0,2,4--,设平面B 1EF 的法向量为n ,且n = (x,y,z)，则n ⊥EF u u u r ,n⊥1B Eu u u u r ，即n ·EF u u u r =（x ，y ，z ）·)(2,2,0＝－2x＋2y ＝0， n ·1B E u u u u r＝(x ，y ，z)·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，－24. ∴D 1到平面B 1EF 的距离 11D B nd n ⋅=u u u u r ＝|22＋22|12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－242＝161717 10．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1—BC －D 的大小； (2)求点E 到平面O 1BC 的距离． 解 (1)∵OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ， 建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴，OB=2，则，B(0,2,0)，C(-，O 1(0,0,3)设平面O 1BC 的法向量为n 1=（x,y,z ），则n 1⊥1O B u u u u r ， n 1⊥1O C u u u u r,∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －3z ＝0－23x －3z ＝0，若z ＝2，则x ＝－3，y ＝3， ∴n 1＝(－3，3,2)，而平面AC的法向量n2＝(0,0,3)∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝63×4＝12，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα＝12，∴α＝60°.故二面角O1－BC－D为60°.(2)设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴1EO u u u u r＝(－3，0，32)，则d=111EO nnu u u u r＝|(－3，0，32)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝3 2∴点E到面O1BC的距离等于32.。
3.2.3立体几何的向量方法三：距离
求：A1C与DB的距离;
D1
A1
D A B
C1 B1
C
小结
异面直线距离的求解法： 1）求出两条异面直线的公垂向量 2）给出连接两条异面直线的一个向量 | AB n | 3）用公式d . |n| 点到面、线到面、面到面距离的求解法： 1）求出平面的一个法向量 2）给出连接点与面的一个向量 | AB n | 3）用公式d . |n|
x y 0 n (1,1,1). x 1 0
D A
x
C1 B1
C y
B
又 DD1 (0,0, a),
点D1到面A1 BD的距离
d | DD1 n | |n|
a 3 a 即为面A1BD面CB1D1的距离. 3 3
三、异面直线的距离定义及向量计算公式 和两条异面直线都垂直相交的直线，我 们称之为异面直线的公垂线。
例4. 如图所示，在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中，
D1
A1
D A B
(1)求证：平面A1 BD / / 平面CB1 D1;
C1 B1
C
(2)求平面A1 BD和平面CB1 D1的距离.
解： 由正方体ABCD-A1B1C1D1知，
A1 B / / D1C , BD / / B1 D1 . A1 B BD B ，
A`
P1 P1
B`
当两个平面 平行时，一个平面上的任一点到另 一个平面的距离，叫做两平行平面的距离. 以上都可转化为点到平面的距离求解问题。
二、利用平面的法向量求点到面的距离
求点A到平面α的距离d，可以在平面α上任取一点B， 则 BA 在平面α的法向量 n 上的射影长为所求.
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离
G
x D F A
C
E
y
B
例1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 :
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 z B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． E F ( 2 , 2 , 0 ), E G ( 2 , 4 , 2 ), D C
G
x D
F A
C
E
y
B
练习3: 正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的 距离
D1 A1 Z B1
DD
C1 d
1
n
n
G A X
D
B
C Y
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
D1 A1 Z B1
AD
n
C1 d
n
D
A X B
C Y
| PA n | = |n |
.
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
∴n M C 2 2 ax ay 0
a , 0, 0) N (
2 2
a,
1 2
a,
1 2
a)
立体几何中的向量方法(距离问题)
化为向量问题
D1 A1 D A 图1
B B1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
AC ( AB BC )2 1 1 2cos 60 3
2
D1 A1 B1 H D B
C1
C
A
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
即 a 2 3 x 2 2(3 x 2 cos ) x
1 a 3 6cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析：面面距离转化为点面距离来求
解： 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
A1 B1 D C D1 C1
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
思考(1)分析: BD BA BC BB 1 1 其中 ABC ABB1 120 ， B1 BC 60
空间“距离”问题
复习回顾：
1.异面直线所成角：
C
[高二数学]32立体几何中的向量方法5距离问题张用
![[高二数学]32立体几何中的向量方法5距离问题张用](https://img.taocdn.com/s3/m/a5aaafc9998fcc22bcd10dae.png)
2 2 2
易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.
2
思考(2)分析: 设 AC1 a ， AB AD AA1 x ， BAD BAA1 DAA1
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题.
典 例
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的 夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对
由 AC1 AB AD AA1
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
即 a 2 3 x 2 2(3 x 2 cos ) x
1 a 3 6cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点与面的距离） 分析：面面距离 点面距离 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 解：
向量法求点到平面的距离：
如图，已知点P（x0,y0,z0）, 在平面 内任意取一点A（x1,y1,z1），
P
n
一个法向量 n
A
n AP n AP cos 其中 n, AP
n AP AP cos , n AP cos 的绝对值就是点P到平面的距离。
立体几何中的向量方法-—求空间距离
立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||||sin AP d AP =⇒=又|||||sin n AP n AP =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =AP 为斜向量，n 为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量） 例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则•αOP),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d （2）求C D 1到面BE A 1的距离；)2,2,1()1(:1=n BE A 的法向量知平面由解)0,0,1(11=A D 斜向量 311111==∴nn A D d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量 311111==∴nn A D d BD A D 的距离为到面点 33111的距离为与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E Axxxx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则B D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n n A D d 练习1：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 面BC A 1的距离.2．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离3．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。
空间向量解决立体几何的向量方法(三)求距离
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
d | n BE| 2 11 .
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，
SA AB BC a，AD Байду номын сангаас 2a, 求A到平面SCD的距离。 z
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z MA ( 2 a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
n (1,
1的,E一1G)个,B法E向22x量x为(224yn,y0,0(20x,)y0, z)FA
E
33
C
B
y
d | n BE| 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 2 11 .
长沙市一中课件_高二理科数学《3..2立体几何中的向量方法(三)——求距离》
E D
B 1
C
B
A
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复习旧知
一、向量法求空间两点间的距离 3.在正方体 在正方体ABCD-A1B1C1D中，棱长为 ， 在正方体 中 棱长为2， E为的 1B1中点，求平面 1EA的法向量 为的A 中点，求平面D 的法向量. 为的 的法向量
D 1 A 1
z
C1
E D
B 1
B1 A1 B A
C1 D C
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例题讲解
是棱长均为a的正三棱柱 的正三棱柱， 例2. ABC-A1B1C1是棱长均为 的正三棱柱， D是侧棱 1的中点，求点 到平面 1D 是侧棱CC 的中点，求点C到平面 到平面AB 是侧棱 z 的距离. 的距离
B1 A1 B x A
C1 D y C
(2)BA为 面 的 一 线 斜 不 垂 平 α 任 斜 ， 足 与足 O 合 可 重 即 ；
(3)n为 面 的 一 向 . 平 α 任 法 量
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例题讲解
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 ， 棱长为2， 例1.在正方体 在正方体 E为A1B1的中点 的中点. 为 (1)求点 1到平面D1EA1的距离； 求点A 到平面 距离； 求点 (2)F，G，H分别为 1C1，B1C1，CC1 的中点， 分别为D 中点， ， ， 分别为 到平面FGH的距离 的距离. 求B到平面 到平面 的距离
D 1 A 1
z
E
O
C1
D 1 A 1
F
B 1
B 1
G
C1
O C
H
C
M
D
B
x
A
3.2.3立体几何中的向量方法(3)--距离
n
| PA n | ★所以计算公式还是: d d n
★求两平行平面的距离，其 实就是求点到平面的距离。
例2.如图,已知一个结晶体的形状为平行六面ABCDA1B1C1D1,其中,以顶点为端点的三条棱长都相等,且它们 彼此的夹角都是600,那么,以这个顶点为端点的晶体的 对角线的长与棱长有什么关系？ 解:因为AC1 AB AD AA1 ,
z
y x
可设 平面C1 MN的法向量 为 n ( x, y, z ) nNM 0 x y 0 , 即： 令z 1, n (2, 2,1), nNC1 0 y 2 z 0 | n BM | | ( 1) 2 | 2 d . |n| 2 2 (2)2 12 3
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与 平面C1MN的距离， 如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2, 0), N (0,1, 0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM ( 1, 0, 0)
2 2 AC1 ( AB AD AA1 ) 2 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 ) 2(
设AB AA1 AD 1, 则
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60 ) 6, | AC1 | 6, 即对角线AC1的长是棱长的 6倍．
练习2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N 分别是BC和CD的中点,求直线BD与平面C1MN的距离.
空间向量解决立体几何的向量方法(三)求距离【可编辑】
B1
2006.03.07
D A x
C y
B
练习6:如图,
ABC 是D正 方 SB 形 面 A ，BC ，DS 且A 与 面 ABC 所D成 的 45， 角S 点 为 到A 面BC 的D 距 离 1， 为A 求C 与 SD 的 距 离 。
z S
B
Ay
xC
D
2006.03.07
评述：
此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数 的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离
D1 A1
B1
C1
BD 1 n
d
n
D
A
2006.03.07
X
C Y B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
2006.03.07
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n ,
A O
∴ PO ∥n .
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
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空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算【学习目标】1. 了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法；2. 能熟练地将直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 【要点梳理】要点一：两点之间的距离 1. 定义连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离.如图，已知空间中有任意两点M N ，，那么这两点间的距离d MN =. 2. 向量求法设()()111222M x y z N x y z ，，，，，，则()()()222121212d MN x x y y z z ==++ .要点二：点到直线的距离 1. 定义从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距离.如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点. 过点A 作做垂直于l 的直线，垂足为A '，则AA'即为点A 到直线l 的距离. 要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离． 2. 向量求法22d=PA PA s要点诠释：（1）本公式利用勾股定理推得：点A 到直线l 的距离22AA'=PA PA' ，其中PA'是PA 在s 上的射影，即为0PA s . （2）0cos PA PA =PA APA'=⨯∠ss s ，0s 为s 的单位向量，其计算公式为0=s s s. 3.计算步骤① 在直线l 上取一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 确定直线l 的方向向量s ，并求其单位向量0=ss s； ③ 计算PA 在向量s 上的投影0PA s ； ④ 计算点A 到直线l 的距离220d=PA PA s .要点诠释：在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择. 4. 算法框图要点三：点到平面的距离 1.定义自点向平面引垂线，点到垂足间的距离的长度叫作点到平面的距离.如图，设π是垂直于向量n 的平面，AP 是平面π的一条斜线，作AA'π⊥，垂足为A'，则AA'即为点A 到平面π的距离.2.向量求法0d=AA'=PA n其中0n 为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n. 3.计算步骤① 取平面π内一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算其单位向量0=n n n； ③ 计算0PA n ，④ 计算点A 到平面π的距离0d=AP n . 4. 算法框图要点诠释：（1）P 是平面内任意一点，可根据计算的需要灵活选择. （2）点面距还有一种重要的求法为等积转化法. 要点四：两条异面直线的距离 1. 定义两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫作两条异面直线的距离. 如图，已知12l l ，是两条异面直线，直线1AB l ⊥，且2AB l ⊥，垂足分别是B ，A ，则AB 即为异面直线12l l ，的距离. 2. 向量求法设n 是的12l l ，公垂线段AB 的方向向量，又C ，D 分别是12l l ，上的任意一点，则12l l ，之间的距离为0d AB CD ==n其中0n 为n 的单位向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：12l l ，之间的距离也可以写成CD d=n n.3. 计算步骤① 确定直线12l l ，的公垂线段的方向向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ② 取1l 上一点C ，2l 上一点D ，计算CD ；③ 由公式0d CD =n 计算异面直线12l l ，的距离.要点五：与平面平行的直线到平面的距离 1. 定义如果一条直线和一个平面平行，那么从这条直线任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度就是这条直线与这个平面间的距离.如图，已知直线l ∥平面π，点A l ∈,作AA'π⊥垂足为A'，则AA'就是直线直线l 与平面π间的距离. 2. 向量求法设n 是平面π的法向量，P 是平面π内异于A'的点，则点A 到平面π的距离为0d=AA'=PA n其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，即为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：线面距的主旨在线上任取一点，转化为点面距. 3.计算步骤① 取直线上任一点A ，平面π内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ③ 由公式0d=AP n 可得点A 到平面π的距离.要点六：两平行平面间的距离 1. 定义夹在两平行平面之间的公垂线段的长度就是这两个平行平面间的距离. 如图，已知直线l 与平面α，β，α∥β，l α⊥，l β⊥，垂足分别为A ，A'，则AA'就是平行平面α，β间的距离. 2. 向量求法设n 是平面α（或β）的法向量，点A ,P αβ∈∈，则0d=AA'=PA n其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：面面距的主旨在转化为点面距. 3. 计算步骤① 取平面α内任一点A ，平面β内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ；② 求出平面α（或β）的一个法向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ③ 由公式0d=AP n 可得平行平面α，β间的距离.【典型例题】类型一：两点之间的距离例1. 如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是1A D ，1BD 的中点，求MN 的长.【思路点拨】建系，写出点1A ，1D ，B ，D ，由中点公式写出点M N ，的坐标，即可求出MN .【答案】12【解析】如图，以D 为原点建立空间直线坐标系，则()1101A ，，，()1001D ，，，()110B ，，，由中点公式可得，11022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，111222N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，所以，2221111110222222MN ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【总结升华】灵活掌握两点间的距离公式.【变式1】若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是1AD 的中点，点Q 是BD 上一点，且14DQ DB =，则P Q 、两点间的距离PQ 是_________. 【答案】6 如图建立空间直角坐标系，由题意可得，11022P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，11044Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则6PQ =.【变式2】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1534AB BC AA ===，，，M N ，分别是1A B ，BD 的点，且 113AM AB =，13BN BD =，求MN 的长.【答案】52 【解析】以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()1500030504B D B ，，，，，，，，， 设()()M x y z N x'y'z'，，，，，， 由113AM AB =，13BN BD =，得 5410,0,,,1,0333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()222510452010333MN =⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.类型二：点到直线的距离例2. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1345AB=BC=AA =，，，求点1A 到下列直线的距离：（1）直线AC ； （2）直线BD .【思路点拨】（1）1AA 即为所求；（2）建系，利用向量坐标计算，确定直线BD 的一个方向向量，代入公式求解．【解析】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，显然1AA ⊥AC ， 所以1AA ＝5即为所求点1A 到直线AC 的距离． (2)如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则有B (4，3，0)，1A (4，0，5)．DB ＝(4，3，0)，1DA ＝(4，0，5)，1DA DB DB＝165，则点1A 到直线BD 的距离为21125676941-252DA DB d=DA ==DB. 【总结升华】本题（1）利用基本定义直接求解距离，（2）利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解．【变式】如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD . 若341AB AD PA ===，，，则点P 到BD 的距离为________.【答案】135类型三：点到平面的距离高清栏目401043空间角与空间距离例4例3.如图，已知ABCD 是矩形，AB a AD b ==，，PA ⊥平面ABCD ，2PA c =，Q 是PA 的中点，求：（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离.【思路点拨】【答案】（1）22222a b c a b ++；（2）222222a b +a c b c+ 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则B （a ，0，0），D （0，b ，0），Q (0，0，c)，P （0，0，2c ）.（1）()()-,0-,0BD a b BQ a c ==，，，， 则Q 到BD 的距离为： 22222222222-2BQ BD a a b BQ =a c c a b BD a b ⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .（2）设平面BQD 的法向量为n ，则 0,0.BD ax by BQ ax cz ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩n n 令1x =，则a a y=z=b c，.所以平面BQD 的一个法向量为1a a =b c ⎛⎫⎪⎝⎭n ，，，由于()02PB=a c ，， ， 所以点P 到平面BQD 的距离为222221PB a a d===a ab c +++n n222222a b +a c b c+方法二：设点A 到平面BQD 的距离为h ， 由——A BQD Q ABD V V =，得 1133BQD ABD S h S AQ ∆∆=， 所以222222ABD BQD S AQ h =S a b +a c b c∆∆=+.【总结升华】求点面距离时，常用间接求法，主要有两种：一是利用空间向量，二是利用等积法转化.【变式1】如图，已知三棱柱111—A B C ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱1A A 与AB 、AC 均成45︒角，且11A E B B ⊥于E ，11A F CC ⊥于F ，求点A 到平面11B BCC 的距离.【答案】1过1A 作1A N EF ⊥，则N 为EF 中点，且1A N ⊥平面11BCC B .即1A N 为点1A 到平面11BCC B 的距离，也就是点A 到平面11B BCC 的距离. 在Rt △1A EF 中， 211A E A F =EF =2，∴A 1E=22a ∴△1A EF 为等腰直角三角形，∠190EA F ∠=︒ ∴1A N =1.【变式2】如图，若平面PAD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA=AD =，E F 、分别是PA PD 、的中点，点Q 在线段CD 上，当CQ =_______时，A 到平面EFQ 的距离为45.【答案】23类型四：两条异面直线的距离例4. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 为四边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，求异面直线AB 与MD 的距离.【思路点拨】在直线CE 和1AB 上分别取点,C A ，得到向量CA ；再确定CE 和1AB 的公垂线的方向向量n ，由公式||||CA n d n =求得距离. 【答案】 【解析】【总结升华】求异面直线之间距离，最直观的做法是借助图形性质，直接找出该公垂线，然后求解。