31知识讲解 空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算

空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算

【学习目标】

1. 了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法；

2. 能熟练地将直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 【要点梳理】

要点一：两点之间的距离 1. 定义

连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离.

如图，已知空间中有任意两点M N ，，那么这两点间的距离d MN =. 2. 向量求法

设()()111222M x y z N x y z ，，，，，，则

()

()()2

22

121212d MN x x y y z z ==

++ .

要点二：点到直线的距离 1. 定义

从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距离.

如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点. 过点A 作做垂直于l 的直线，垂足为A '，则AA'即为点A 到直线l 的距离. 要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离． 2. 向量求法

2

2

d=PA PA s

要点诠释：

（1）本公式利用勾股定理推得：点A 到直线l 的距离2

2

AA'=PA PA' ，其中PA'是PA 在s 上的射影，即为0PA s . （2）0cos PA PA =PA APA'=⨯∠s

s s ，0s 为s 的单位向量，其计算公式为0=s s s

. 3.计算步骤

① 在直线l 上取一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 确定直线l 的方向向量s ，并求其单位向量0=

s

s s

； ③ 计算PA 在向量s 上的投影0PA s ； ④ 计算点A 到直线l 的距离2

2

0d=PA PA s .

要点诠释：在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择. 4. 算法框图

要点三：点到平面的距离 1.定义

自点向平面引垂线，点到垂足间的距离的长度叫作点到平面的距离.

如图，设π是垂直于向量n 的平面，AP 是平面π的一条斜线，作AA'π⊥，垂足为A'，则

AA'即为点A 到平面π的距离.

2.向量求法

0d=AA'=PA n

其中0n 为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n

. 3.计算步骤

① 取平面π内一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算其单位向量0=

n n n

； ③ 计算0PA n ，

④ 计算点A 到平面π的距离0d=AP n . 4. 算法框图

要点诠释：

（1）P 是平面内任意一点，可根据计算的需要灵活选择. （2）点面距还有一种重要的求法为等积转化法. 要点四：两条异面直线的距离 1. 定义

两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫作两条异面直线的距离. 如图，已知12l l ，是两条异面直线，直线1AB l ⊥，且2AB l ⊥，垂足分别是B ，A ，则AB 即为异面直线12l l ，的距离. 2. 向量求法

设n 是的12l l ，公垂线段AB 的方向向量，又C ，D 分别是12l l ，上的任意一点，则12l l ，之间的距离为

0d AB CD ==n

其中0n 为n 的单位向量，其计算公式为0=

n n n

. 要点诠释：12l l ，之间的距离也可以写成CD d=n n

.

3. 计算步骤

① 确定直线12l l ，的公垂线段的方向向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=

n n n

； ② 取1l 上一点C ，2l 上一点D ，计算CD ；

③ 由公式0d CD =n 计算异面直线12l l ，的距离.

要点五：与平面平行的直线到平面的距离 1. 定义

如果一条直线和一个平面平行，那么从这条直线任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度就是这条直线与这个平面间的距离.

如图，已知直线l ∥平面π，点A l ∈,作AA'π⊥垂足为A'，则AA'就是直线直线l 与平面π间的距离. 2. 向量求法

设n 是平面π的法向量，P 是平面π内异于A'的点，则点A 到平面π的距离为

0d=AA'=PA n

其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，即为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n

. 要点诠释：线面距的主旨在线上任取一点，转化为点面距. 3.计算步骤

① 取直线上任一点A ，平面π内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=

n n n

； ③ 由公式0d=AP n 可得点A 到平面π的距离.

要点六：两平行平面间的距离 1. 定义

夹在两平行平面之间的公垂线段的长度就是这两个平行平面间的距离. 如图，已知直线l 与平面α，β，α∥β，l α⊥，l β⊥，垂足分别为A ，A'，则AA'就是平行平面α，β间的距离. 2. 向量求法

设n 是平面α（或β）的法向量，点A ,P αβ∈∈，则

0d=AA'=PA n

其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，其计算公式为0=n n n

. 要点诠释：面面距的主旨在转化为点面距. 3. 计算步骤

① 取平面α内任一点A ，平面β内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ；