量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思

量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》

学院：数理信息工程学院

专业：物理112班

学生姓名：徐盈盈王黎明

学号：******** ******** 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思

【摘要】

薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。

【引言】

随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。

【关键词】

薛定谔方程玻尔理论波函数深思

【正文】

一、薛定谔方程的提出与推导

1、薛定谔方程的历史背景

爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。

2、薛定谔方程的推导思路

①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。

②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。

③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae i(p.r-Et)/h,并且对时间求偏微商，对位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p2/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程：

④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：

3、薛定谔方程与玻尔理论的对比分析

一般认为以薛定谔方程为代表的量子力学是“新量子力学”，以玻尔理论为代表的量子力学是“旧量子力学”，但二者在根本上是同出一源，只是所用的概念和模型不同而已。

①玻尔理论:用粒子表示电子。

(1)玻尔理论的基础来源：牛顿定律、库仑定律、玻尔的定态及跃迁假设和玻尔

的角动量量子化假设。

(2)玻尔理论的逻辑推导过程：

A、氢原子中，电子绕核作圆周运动，根据牛顿第二定律kze2 /r2=mv2/r---（1）

B、电子的总能量E是电子的动能和势能之和E=mv2/2-kze2/r. ---（2）

C、玻尔关于电子轨道运动的角动量量子化假设mvr=nh/2π ----- （3）

D、玻尔关于电子轨道跃迁辐射的公式为E2-E1=hf---------- （4）

E、由以上四式可解得

r=n2h2/4π2mkze2, --------------------------------(5)

E=-z22π2mk2e4/n2h2 ------------------------------ (6)

1/λ=f / c=z22π2mk2e4/ch3(1/n12-1/n22) ---------(7)

以上三式成功的解释了氢原子中电子轨道的量子化和能量量子化和巴耳末系，并且成功的预告了其他线系的存在[3]。

②薛定谔方程：用波函数表示电子。

薛定谔方程的逻辑推导过程：

A、引来一个必需的、消去了时间的、一维的波动方程

d2u/dx2+(2π/λ)2u=0 -----（8）

B、粒子的能量关系

E=p2/2m+V -------------（9）

C、根据玻尔的角动量量子化假设

mvr=nh/2π=pr----------（10）

D、利用驻波理论2πr=nλ-------------------（11）

E、最后得到d2u/dx2+8π2m(E-V)u/h2=0这是一维不含时薛定谔方程。三维薛定谔

方程的推导原理相同。

③玻尔理论与薛定谔方程的对比分析：玻尔理论和薛定谔方程在一定程度上具有等价性。两者是解决粒子问题的两套不同的思路，但是殊途同归，具有异曲同工之处。

一、薛定谔方程在解决量子力学问题中的应用：

1、用薛定谔方程求解量子力学问题的基本步骤：

①写出具体问题的势函数V(r)的形式代入薛定谔方程；

②用变量分离法求解微分方程；

③用归一化条件和标准条件确定积分常数并得出波函数；

④讨论解的物理意义。

2、薛定谔方程应用于解决一维势阱中粒子问题

将薛定谔方程应用于解决一维势阱的问题时，首先要对势阱进行分区（不同区的势能不同），接着要求解二次微分方程的通解，根据边界条件、归一化条件、连接条件（波函数和波函数的导数的连续性）定系数A、B、C，最后根据得出的能量和波函数分析物理意义。

3、薛定谔方程应用于解决谐振子问题

主要解决势能为V(x)=m w2x2/2时的薛定谔方程

对于求解这个方程主要有代数法和解析法。

①解析法：先把薛定谔方程无量纲化，求出极限解，再用上边界条件得到尝试解，把尝试解代入无量纲化后的薛定谔方程，即可得到一个厄米微分方程。再用级数展开法，解这个微分方程。利用有限性条件，让u中断为一个多项式，即可得到λ-1=2n,从而可以得到本征值和本征态。

②代数解法：受解析法的启发，以解析解为基础构造出升幂算符和降幂算符，再利用升降幂算符的性质，在不求解薛定谔方程的基础上得到本征值和本征态。

4、薛定谔方程应用于解决三维体系中的量子力学问题

将薛定谔方程中的位置坐标扩展开，即可得到三维薛定谔方程。通过分离变量法可以求解若干三维体系中量子力学问题以及无相互作用的两体问题等。另外，可将三维薛定谔方程中的坐标（x,y,z）换成（r,θ，φ），从而得到球坐标系下的薛定谔方程，以此解决球势阱、氢原子等问题。

二、薛定谔方程在前沿领域中的应用

1、薛定谔方程在化学中的应用

①由于原子中的电子在核外的球形对称场中运动，把直角坐标系转换为球坐标系，通过波函数的解析图像来掌握核外电子的运动情况。薛定谔方程作为一个类比方程，可应用于原子核外电子的描述、分子中的化学键的描述等。