量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思
量子力学引发的哲学思考
量子力学引发的哲学思考量子力学是近代物理学中的一门重要学科，它的发展经历了许多挣扎和争论，有时被质疑其可靠性和合理性。
但是，在今天，已经有越来越多的科学家和研究者接受了这种理论，并把它应用在很多实际问题的解决中。
然而，量子力学所提供的理论框架，它所揭示出的自然现象，以及它所暗示出来的人类认识论和哲学问题，都使得我们需要对它进行更深入的思考和探究。
一、量子力学量子力学是研究微观粒子行为的物理学，它涉及到原子和亚原子级别的粒子运动，如电子、质子、中子等。
量子力学的中心概念包括波粒二象性、不确定性原理、超越空间和时间限制的纠缠现象等等。
这些新理论解释了许多实验现象，如双缝干涉、光电效应等。
同时，这些解释以及其他专业概念也导致了一些哲学和认识论问题的产生。
二、量子力学的哲学启示1. 认识论问题量子力学挑战了经典物理学中的因果关系原则，因为在微观粒子世界中，我们无法完全预测其粒子运动的轨迹和特定位置。
我们可以观察这些粒子并测量它们的属性，但这样可能会改变它们的状态。
这意味着我们对粒子行为的认识具有某种程度上的不确定性。
这种不确定性也使得量子力学中的“观测”概念具有高度分歧。
如果测量过程就是所谓的“观察”，那么就可能会有一定程度的人为的干扰因素在里面，从而导致测量结果的不可靠或不准确。
2. 真实性问题量子力学为粒子运动的发生提供了概率性解释，即有可能、可能不发生等等。
这一概率性似乎挑战了经典物理学的定律性原则，从而引发了一些哲学思考。
另一个问题是“测量”是否会引起粒子状态的变化。
这种转变是否意味着我们的“观测”会导致粒子状态的真实性发生变化？也许有可能，但是这是否意味着该粒子的真实性不一定是存在的，这是一个需要探究的问题。
3. 纠缠现象在量子力学中，一对纠缠的粒子被称为“施密特对”。
当施密特对的一部分发生改变时，另一部分也会发生变化，即使它们在空间上相距很远。
这种现象好像涉及到了超越物理学上的空间和时间。
这个纠缠现象的出现似乎挑战了人们对物理世界中的分离性原则，即两者之间的空间和时间距离越远，它们之间的相互作用和联系就越少。
薛定谔方程是量子力学的基本原理
薛定谔方程是量子力学的基本原理量子力学是描述微观世界的理论框架，而薛定谔方程则是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化规律，从而揭示了微观粒子的运动规律和性质。
本文将从宏观角度出发，深入探讨薛定谔方程在量子力学中的地位和重要性，以便更深入地理解这一基本原理。
1. 量子力学的发展历程1.1 经典力学的局限性1.2 波动理论的兴起1.3 波粒二象性的提出1.4 薛定谔提出波函数概念1.5 薛定谔方程的提出2. 薛定谔方程的物理意义2.1 波函数的物理解释2.2 叠加原理与量子纠缠2.3 波函数坍缩的概念2.4 算符与观测量的本征值问题2.5 微观粒子的运动规律3. 薛定谔方程的数学形式3.1 薛定谔方程的时间无关性3.2 薛定谔方程的一般形式3.3 薛定谔方程的解与波函数的性质3.4 波函数的物理量与测量规律3.5 薛定谔方程的近似解法4. 个人观点与理解薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，深刻揭示了微观粒子的波粒二象性和运动规律。
在我看来，薛定谔方程不仅是物理学的重要成果，更是人类认识世界的突破和进步。
通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。
总结回顾通过本文的介绍，我们对薛定谔方程的物理意义、数学形式和发展历程有了更深入的了解。
薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，对我们理解微观世界具有重要意义。
在今后的学习和工作中，我们应该深入学习薛定谔方程，不断提高对量子力学的理解和应用能力。
结论薛定谔方程作为量子力学的基本原理，对我们认识和理解微观世界具有重要意义。
通过深入学习和应用薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的规律和奥秘，推动科学技术的发展和进步。
希望本文能够对大家有所帮助，也希望大家能够对薛定谔方程保持持续的兴趣和热爱。
通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。
薛定谔方程及其在量子物理中的应用
薛定谔方程及其在量子物理中的应用量子物理是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子物理中，薛定谔方程是一个非常重要的数学工具，它被用来描述量子系统的演化和态函数的变化。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及它在量子物理中的应用。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它是一种描述量子系统的波动方程。
薛定谔方程的基本形式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，t是时间，ψ是系统的波函数，Ĥ是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一系列现象，例如电子在原子中的行为、粒子的干涉和衍射等。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置、动量和能量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，从而了解系统的性质和行为。
薛定谔方程在量子物理中的应用非常广泛。
首先，它被用来解释原子和分子的结构。
根据薛定谔方程，我们可以计算出原子和分子的能级和波函数，从而推导出它们的光谱特性和化学性质。
此外，薛定谔方程还被用来研究固体材料的电子结构和导电性质，为材料科学和电子器件的设计提供了理论基础。
其次，薛定谔方程在粒子物理学中也有重要应用。
量子场论是描述基本粒子的理论框架，其中的场满足薛定谔方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到场的模式和激发态，从而计算出粒子的质量、自旋和相互作用等性质。
薛定谔方程还被用来研究粒子的散射和衰变等过程，为粒子物理实验的解释提供了理论依据。
此外，薛定谔方程还在量子计算和量子通信等领域有着重要应用。
量子计算利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比经典计算更高效的算法。
薛定谔方程提供了描述量子比特演化的数学工具，为量子计算的设计和优化提供了理论基础。
量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更安全和更快速的通信方式。
薛定谔方程被用来描述量子纠缠的产生和传输，为量子通信技术的发展提供了理论支持。
“薛定谔方程”—量子力学之魂课程论文
最后，全同性原理指明，微观粒子具有不可区分性，这是特有属性——在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变。
， （13)
即 与 都为 的本征函数，分别对应与能量为 与 的定态。设有状态：
(14)
显然这是一个非定态解，则：
（15）
因为 ，所以 ，即 不是 的本征态。
当体系处于任一状态 ，若它不是 的本征态，但它可以表示为哈密顿算符本征态的迭加。即 ，这是一个非定态波函数。它表明，此时能量没有确定值，只有一系列可能值，这些可能值就是 的各个本征值 ，每个能量可能值均以一定的几率 出现。
量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 描述。但波函数 却不是实验直接可测的，即在量子力学中，运动状态的描述与实验直接测量量的表述是割裂的。量子力学中，态函数 一般是一个复数，是一个理论工具。虽然实验上仍可直接测量量子系统中粒子的坐标、动量以及场的强度，但它们并不直接代表量子态。
1.2状态量的描述
经典力学中，描述质点运动状态的状态量为坐标 和动量 ，且任意时刻t，质点有确定的坐标 与动量 。
当然，这一切的一切，当普朗克常量 时，量子力学就将很自然地过渡到经典物理。
二、薛定谔方程的产生
其实，量子与经典没有很刻意的联系，只是在某种极限情况下，量子力学可以自然地过渡到经典力学，我想，这可能也是自然的一种造化使然吧。但是，在一种“漫天迷雾”的背景下，量子力学的产生无疑是充满神奇色彩的。那也要归功于薛定谔、爱因斯坦、海森堡等等这些旷世奇才做出的巨大贡献。那么，其实我觉得，薛定谔方程，应该就是这个传奇色彩中最浓重、最亮丽的一道风景吧。
量子力学的形而上沉思
量子力学的形而上沉思前言我从很小的时候起就沉迷于量子力学所描述的世界。
这学期，我如愿以偿地选修了“量子力学”课程，然而让我感到遗憾的是，这门课的重点乃是如何用数学的手段描述以及解决量子力学的问题，唯独缺少相应的物理诠释。
因此，我希望运用在“现代西方科学哲学”这门课程中学到的知识及方法，结合自己的沉思，探讨量子力学中的某些基本问题，并展望它所揭示的一种全新世界观。
一、认识论基础在进入主题前，我不得不首先对本人赖以行文的基本信念做一些简短的说明。
量子力学隶属于物理学，因此我首先要谈论自己对物理学界限的理解。
仿造罗素在《西方哲学史》前言中对“哲学”那著名的划界法，我们也可以对物理学做如下定义：“建立在先验公理之上、运用逻辑规则进行推演的符号体系叫做数学，试图阐明世界本质的学科叫形而上学，两者的中间地带便是物理学。
”数学是高度抽象的，它自成体系，拥有明确的法规，并且不屑与现实世界有过多牵扯；形而上学是脚踏实地的，它研究我们所在世界的问题，永远不能脱离“人”而存在。
物理学兼具两者的特点：它也有先验命题（各种定律及原理），也依靠逻辑分析，在方法上接近数学；然而它研究的对象乃是现实世界，与经验结合紧密，在目的上接近形而上学。
因此，物理学决不能滑向两个极端：一味强调数学方法而脱离实在意义的诠释，抑或终日冥想空谈而缺少数据的佐证。
在“物理学能做到什么”这个问题上，本人深受维特根斯坦的影响。
在我看来，物理学也是一种语言图示，在说出一个物理学术语时，我们必须给出它所指称的事实。
但是，我们又绝不可越界，徒劳地谈论事实的“本质”是什么。
物理学所能做到的，仅仅是告诉我们事物遵循的规律，或者说，世界的特征。
因此，诸如“定场中粒子数守恒”是一个好的物理描述，因为它是由薛定谔方程导出的结果所指称的事实；而“量子力学是反因果律的”则是一个坏描述，因为“因果律”本身就是一个说不清道不明的东西，是维氏眼中的“神秘之物”。
在“观察——理论”问题上，本人并不认可将观察与理论二分的做法，而更倾向于整体论的观点。
量子力学的核心——薛定谔方程
量子力学的核心——薛定谔方程在日常生活中，利用牛顿定律我们就可以描述各种运动。
但是，当物理学家想要探索微观世界，比如电子围绕着原子核运动，他们发现事情变得异常诡异，而牛顿定律也不再适用。
要想要描述微观世界就必须运用量子力学，该理论在20世纪初发展起来。
而量子力学的核心方程就是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。
也许你没见过薛定谔方程，但是你或许听过他那只举世闻名的猫，因为薛定谔猫同时处于死和活的叠加态。
不过今天的主要目的是要让你们理解薛定谔方程，因此我首先要从波和粒子开始说起。
薛定谔（1887 - 1961）。
【波与粒子】在经典力学中，我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。
举个例子，在一个桌上有许多的台球，如果你知道每个球在某个时刻 t 的位置和动量（即质量乘以速度），那么你就知道该系统在t 的一切：球的位置，以及它们移动的方向和速度。
因此我们可以问，如果我们知道一个系统的初始条件，即该系统在时间t₀的状态，那么这个系统的动态如何演化？利用牛顿第二定律我们就可以回答这个问题。
在量子力学中，我们问同样的问题，但是答案更加的巧妙，因为位置和动量已不再是描述该系统的合适变量。
爱因斯坦提出的光电效应。
（© Hyperphysics）问题的关键在于，发生在微观尺度下事物的行为与桌球的行为不同。
举个例子，牛顿认为，光是由微粒构成的，但是，之后许多其它科学家的通过实验表明光的行为像波动。
但是，爱因斯坦在1905年发现，波动学说也并不是完全正确的。
为了解释所谓的光电效应，你需要把一束光想象成一束粒子流，爱因斯坦称之为光子。
光子的数量正比于光的强度，每个光子的能量 E 与它的频率 f 成正比：普朗克常数h = 6.626068×10⁻³⁴m²kg/s，这个非常小的数字是由普朗克在1900年对黑体辐射研究时提出来的。
现在我们面对的问题是有时光的行为像粒子，而有时它的性质像波。
理解薛定谔方程——堪称最伟大的公式之一
理解薛定谔方程——堪称最伟大的公式之一之前的文章讨论过物质的二象性，即粒子的行为像波，而波的行为像粒子。
为了解释这一点，我们引入了波函数，它描述的不是粒子的实际位置，而是在给定点上找到粒子的概率。
此外，当我们将波函数视为描述“概率场”的状态时，我们会发现该场的时间相关行为表现出类似于波动的行为。
假设粒子与外界的相互作用由势能函数V(r)表示，而V(r)只取决于粒子的位置。
我们不讨论V取决于于时间或其他变量的情况。
然后上述所描述的“概率场”是波函数ψ,满足一个偏微分方程称为薛定谔方程：在这个方程中，r意味着位置(x, y, z),是普朗克折减常数，E是总能量，是拉普拉斯算符：如果你了解偏微分方程。
这些解表示所谓的“稳态”。
现在让我们简短地讨论线性代数。
我们可以用称为哈密顿量的微分算子表示薛定方程的左侧：很容易证明这个算子是线性的。
因此，薛定谔方程是一个特征值方程，这告诉我们，能量E特征值对应的特征向量ψ：当电势不依赖于时间时，我们说我们是在“时间无关的情况下”工作。
然而，这并不意味着解不依赖于时间。
时间在解决方案中以相位因子exp（-iωt）的形式出现。
此外，任何的线性组合的特征函数ψ也将解薛定谔方程的一般形式的解决方案是：a是服从归一化条件的复数：如果波函数是一个以上本征函数ψ的线性组合，那么我们说该系统处于与总和中出现的本征函数相对应的状态的叠加中。
如果对系统进行测量，我们将发现它处于状态k的概率为|a|，质点的波动函数为ψ。
概率和变量当我们在经典物理学中指定一个系统的状态时，我们是在声明它的动力学变量的精确值，也就是像位置和动量这样的物理量。
在量子物理学中，情况并非如此。
相反，在量子物理中指定一个系统的状态意味着指定动态变量取某些值的概率。
另一个不同点是，与经典物理不同，在量子物理中，我们需要处理离散和连续的变量，因此需要处理离散和连续的概率分布。
离散的概率分布形式为：们用过狄拉克符号。
符号| n被称为“状态向量”,它们代表与离散变量的第n个值相对应的系统状态。
量子力学学习心得(二)
量子力学学习心得河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章波函数和薛定谔方程§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化所谓自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即位势u（r）0。
一、自由粒子波函数的规格化1.一维情况对于质量为的一维的自由粒子，它所满足的定态薛定谔方程为d2（x）e（x）（1）22dxˆ实际上，上述方程就是动能算符t（1）式的两个特解分别为2d2的本征方程。
22dx21（x）e ikx2（x）eikx（2）其中k通解为上述两个特解的线性组合2 e（3）（x）c11（x）c22（x）（4）其中，c1和c2为任意复常数。
下面利用波函数所满足的条件来定解。
首先，讨论e0的情况。
由于e0，所以k为虚数，若令则（2）可改写为式中为正实数。
2e1（x）e x2（x）e x当x0时，1（x）不能满足波函数有限性的要求，而当x0时，2（x）不能满足波函数有限性的要求，所以，1（x）和2（x）都不是描述一维自由粒子运动的定态波函数。
显然，在通解中也找不出满足波函数自然条件的解，故方程无e0的解。
在物理上，不存在e0的解是容易理解的，这是因为自由粒子不存在势能项，它的能量就是动能，而动能是不能小于零，故能量小于零时无解。
其次，讨论e0的情况。
当e0时，k为正的实数，（2）式即为两个特解。
若k的取值范围选为从负无穷到正无穷，则上面两式可以统一写成k（x）ceikx（5）式中，c是归一化常数，k为实数，也可以将其视为量子数，它可以在正负无穷之间连续取值，k（x）是本征波函数。
由（3）式可知，相应的能量本征值为k22ek（6）21河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章波函数和薛定谔方程显然，k表示动量。
当k0时，表示粒子向右运动；当k0时，表示粒子向左运动。
由于k可以连续取值，所以，能量本征值也是连续的，称之为体系具有连续能谱。
当k0时，自由粒子处于能量最低的状态，称之为基态，而把其它的状态称为激发态。
数学论文 浅谈薛定谔方程及其应用
中国网络大学CHINESE NETWORK UNIVERSITY 毕业设计(论文)院系名称：百度网络学院专业：百度学生姓名：百度学号：0101指导老师：百度中国网络大学教务处制2019年05月16日第1章绪论薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
1.1薛定谔方程的提出历史当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程1.2 薛定谔方程的建立1. 2 .1问题提出1923年，正当人们对光的波粒二象性仍然感到新奇之际，法国物理学家德布罗意又提出实物粒子也具有波粒二象性。
在爱因斯坦的提议下，实验物理学家们都积极参与对这一提法的实验证明。
美国实验物理学家戴维森在对电子束实验中，证明德布罗意的提法是正确的．实物粒子具有波粒二象性，这是物质的根本属性，那么具有波粒二象性的实物粒子运动的基本规律是什么?如何从理论上直接得到，是在德布罗意的假设被肯定之后所面临的中心问题．薛定愕的老师德拜指定他做有关德布罗意工作的报告。
在报告之后，德拜表示不满向他指出，德布罗意以物质具有波动性质描述了微观粒子，但还不曾建立一个以波动来表示微观粒子运动的动力学方程，研究波动就应该先建立一个方程。
薛定愕在他的启示下，深入研究了这个问题，显然他不是用传统理论中人们熟悉的逻辑思维解决的。
1.2.2发散思维(1)建立方程首先要选择一个状态量，那么用什么样的物理量来描述具有波粒二象性的实物粒子的运动状态呢?这个状态量的意义是什么呢?(2)建立方程的形式应属于那一基本类型呢?这个方程的解是什么呢?(3)建立方程中自变量是什么?有几个呢?(4)被描述的实物粒子所处的环境又将怎样描述呢?1.2.3 联想思维(1)从德布罗意和爱因斯坦那里，薛定谔吸取了关于电子波动和物质具有波动性质的思想——对应波的振幅引入称之波函数，从而用波函来描述电子的运动状态。
《量子力学》理论教学与科研实践相结合的教学模式的思考
《量子力学》理论教学与科研实践相结合的教学模式的思考摘要：电子科学与技术是光电信息产业的支柱和基础，量子力学作为电子科学与技术专业最重要的必修课，其体现出的研究和对待新事物的思想和方法，对培养学生的探索精神和创新意识具有十分重要的启迪作用。
论文围绕“科研融入教学、教学提升科研”的理念，提出拓展和更新量子力学理论课的教学内容，科研是充实教学内容、提高教学质量的源泉。
同时，教师在提升教学效果的同时需要不断充实提升自己的科研水平，形成科研教学双促进，从而推动人才的培养和教学水平的提高。
关键词：电子科学与技术；量子力学；理论教学；科研实践中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）24-0229-02 现代信息技术即将步入光子学新阶段，光子作为信息和能量的载体，迅速推动建立了一个前所未有的现代光电子交叉学科和信息产业。
电子科学与技术是光电信息产业的支柱和基础，是多学科相互渗透而形成的交叉学科。
量子力学在近代物理中的地位如此之重，但在实际教学中学生普遍感到量子力学理论性太强，公式众多，逻辑推理严密，太过抽象，难以理解，特别是跟实际生活联系不紧密，从而导致缺乏学习兴趣。
作者在多年量子力学专业课程教学过程中，总结教学心得，提出了“科研与教学互进互促”的教学理念，建立了教学内容与科研课题相结合的量子力学专业课程教学模式。
一、介绍量子力学理论在现代科学技术中的实际应用，调动学生学习量子力学的热情兴趣是学习一切知识的源动力，在绪论讲述中通过大量多媒体资源向学生们展示现代科技革命与量子力学息息相关，量子力学渗透到现代科技的方方面面，从电脑、手机到航天、核能，从科幻电影到工业 4.0，几乎没有哪个领域不依赖于量子论。
同时针对学生们的喜好，科普《星际穿越》、《生活大爆炸》、《源代码》等热门影视中黑洞、虫洞、平行宇宙等量子物理的基本思想，以激发学生对量子论的求知欲，并向他们介绍一些关于量子力学的科普书籍，如曹天元的《上帝执骰子吗――量子力学史话》、霍金的《大设计》以及罗杰的《神奇的粒子世界》，并引用《上帝执骰子吗》中优美的开场向学生引出量子力学这一神秘和优美的故事，用生动有趣的方式讲述量子力学的发展史话，穿插每一个具有革命性大事记形成和建立的历史背景，相关科学家的简史和名人逸事，如德布罗意如何从一个纨绔子弟成长为诺贝尔奖获得者；牛顿和胡克还有其他科学家之间关于理论归属问题的争执；一个早期不受大家认可的爱因斯坦；二战期间参与研制原子弹，二战结束后大力促进核能和平利用的“哥本哈根学派”代表人物玻尔；以严谨、博学而著称，同时又以尖刻和爱挑刺而闻名的天才少年泡利；在建筑领域同样杰出的胡尔；爱打赌的霍金；等等。
量子力学的奥秘和困惑读书随笔
《量子力学的奥秘和困惑》读书随笔1. 内容描述在浩瀚的宇宙中，微观世界如同一片未被揭开的迷雾，吸引着无数科学家去探索。
作为研究微观粒子运动和相互作用的学科，为我们揭示了世界的另一面。
从波粒二象性到量子纠缠，从测不准原理到超级定位，量子力学的奥秘令人惊叹，同时也带来了无尽的困惑。
量子力学的应用和理解过程中也充满了困惑，超定位现象是否违反了相对论？量子计算中的叠加态和纠缠态如何解释？这些问题不仅考验着科学家的智慧，也推动着科学的进步。
每一次实验结果的重复和验证，都是对理论的一次挑战和修正。
读完《量子力学的奥秘和困惑》，我深感量子力学不仅仅是一门科学，更是一种哲学。
它让我们重新审视自然界的规律，思考现实的本质。
在这个充满未知和挑战的领域里，我们将继续探索、前行。
1.1 量子力学的基本概念在深入探讨量子力学的奇妙世界之前，我们首先需要清晰地理解这一领域的一些基本概念。
作为现代物理学的基石之一，它描述了物质的微观粒子，如原子、分子和基本粒子等，在极小尺度上的行为。
与经典物理学相比，量子力学展现出了一系列令人惊异的现象和特性。
量子力学中的核心概念包括波粒二象性、量子态、量子叠加和量子纠缠等。
波粒二象性揭示了微观粒子同时具有波动性和粒子性的双重性质，这使得粒子如电子和光子能够展现波的干涉和衍射等波动现象。
量子态则是指微观粒子在某一特定时刻所处的状态，它可以用波函数来描述，而波函数的模平方则表示粒子出现在某位置的概率密度。
量子叠加原理指出，一个量子系统可以同时处于多个互不相容的状态中，这种状态的组合被称为叠加态。
当我们对这样一个系统进行测量时，它会随机地塌缩到一个特定的状态，并且测量结果遵循概率规律。
量子纠缠则是一种神奇的现象，它描述了两个或多个粒子之间在空间上相隔极远但仍然紧密关联的状态。
当对其中一个粒子进行测量时，其他粒子的状态也会立即改变，这表明它们之间存在着一种超越时空的联系。
这些基本概念不仅揭示了量子世界的奇特之处，也引发了许多深刻的哲学思考。
薛定谔方程意味着什么？剖析
薛定谔方程意味着什么？Marianne Freiberger关键词：薛定谔方程, 理论物理, 应用数学薛定谔方程之于量子力学宛如牛顿运动第二定律之于经典力学：牛顿第二定律描述一个物理系统，例如某些力作用下的一组粒子，怎样随时间而变。
在经典力学中我们所要的是所有粒子在每个时间t的位置和动量：这给了你系统的全部描绘。
而在量子力学中，关于系统的信息包含在薛定谔方程的波函数解Ψ中。
波函数的绝对值平方|Ψ|2被解释成一个概率密度。
例如，对于我们在盒子中的粒子，|Ψ(x)|2给出在位置x处发现粒子的概率密度。
但是对许多粒子的系统也可以求解薛定谔方程，找到用于其它可观察量（比如粒子的动量）的波函数。
照片摄于1927年第五届苏威会议，沃尔夫冈·泡利，维尔纳·海森堡（后排左数第五位，第六位）路易·德布罗意，玻恩，尼耳斯·玻尔（中间排左数第七位，第八位，第九位）普朗克，阿尔伯特·爱因斯坦（前排左数第二位，第五位）波在哪里？量子力学到底精确地告诉了我们什么？薛定谔方程出自如下的想法：像电子这样的粒子在有些情况下行为像微粒，而在其他情形下又像波：这就是所谓的波粒二象性。
马上出现的一个问题是：为什么我们从未见到像桌子、椅子这样的大物体有波的行为。
作为具有启发性的一个论据，回忆德布罗意关于一个“质量波”的波长λ和动量p之间的关系λ=h/p,其中h是普朗克常数。
物体的动量p等于质量乘以它的速度。
量子力学的一个结果是没有物体完全静止，因此p从不为零。
但是普朗克常数h=6.626068×10−34m2kg/s是如此不可思议地小，以至于即便最小的质量和速度还是使得波长λ也可以忽略不计。
它如此之小使得我们通常感知不到宏观物体的波动。
有物理波吗？下一个问题是怎样解释波函数。
不像以往对物理系统的经典解释，波函数并不给出一个粒子于时刻t关于其位置的确定信息---它仅仅给出时间t在一个给点位置发现粒子的概率。
量子力学的哲学启示
量子力学的哲学启示编辑整理：正心世界的本源是什么？宇宙是怎样形成的？生命是如何产生的？意识是怎么回事？这些问题应该是我们大多数人曾经冥思苦想过的问题。
对人类来说，以上问题不可能有直观和确定不疑的答案，因为没有人曾经见证过宇宙的形成，生命产生时也还没进化到人类，这些问题也不可能通过科学验证的方法找到答案。
所以，人类对以上问题的解答，主要还是依靠宗教和哲学。
当一种理论能够圆满地解释所有与它相关的现象时，那我们就认为这种理论接近了真理。
曾经，科学是作为神学的对立面出现的。
科学的发展，解释了很多人们以为很神秘的现象，破除了人们的各种迷信。
科学的观念是如此地深入人心，也使人们对建立在经典物理学（相对量子力学而言，经典物理学主要研究宏观世界）之上的唯物主义深信不疑。
在中国，经常是受教育程度越高，越是相信世界是物质的、意识是物质派生的，因为唯物主义是中国的官方思想，唯物主义教材是学校的官方法定课本。
如果说唯物主义是真理，那它必须符合真理的条件，即对所有与它相关的现象都能给出圆满的合理的令人信服的解释。
但是，目前来看，下面的两个问题是唯物主义很难解释的。
首先，科学对客观物质世界的解释就是它的“规律性”，或者说是“确定性”，也就是说：一个系统的所有参数都确定的话，下一刻的状态也是确定的。
那么如果我们把整个宇宙看做一个系统，宇宙这一刻的状态是由上一刻的状态决定的，继续往前不停地推，可以得出的结论是：宇宙这一刻的状态从宇宙诞生那刻起就已经决定了。
然后我们再往后推，宇宙未来每时每刻的状态早在宇宙诞生时就已经确定好了，我们生活在一个早已设计好的世界里。
再接着想，世界是物质的，生命也是物质的一种形式，那是不是说从出生那刻起，我们的命运就已经注定了？继续往前推，是不是宇宙诞生那刻起，我们的命运就已经注定了？再接着想，意识是物质派生的，也是物质的一种形式，那人的意志必定是不自由的，一个人的所思所想其实不是自己的所思所想，你今天的所思所想从你出生那刻便确定了，甚至可以说从宇宙诞生那刻就确定了。
【完整版】毕业论文--量子力学中微扰理论的简单论述--量子力学论文
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微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
[10]J. W. S. Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894)
A simple discussion of perturbation
theory in quantum mechanics
设 的本征方程是：
归一化条件是：
的本征方程是：
由于 是完备系，将 按 展开后，得：
将此式代入上式得：
以 左乘上式两端，对全空间进行积分后有：
其中：
按微扰的精神，将 的本征值 和在 表象中的本征函数 按的幂级数作微扰展开：
再将这两式代入后得：
比较上式给出的两端 的同次幂，给出：
：
：
如果讨论的能级是第 个能级，即 ，由 的0次幂方程式得：
（4）关于 的讨论：由 得出，若设我们将 看成一个可变化的参数，则显然当 0时， ，这时体系未受到微扰的影响；当 1时， ，微扰全部加进去了。因此、可以想象体系当从 0缓慢变化到 1的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。[7]
1.5
设 是 的函数，因此他的本征方程和归一条件为：
则，由：
将得出 。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。[10]
薛定谔方程的研究与应用
薛定谔方程的研究与应用薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程的研究与应用在物理学领域具有重要意义，本文将对薛定谔方程的基本原理、数学形式以及其在量子力学中的应用进行探讨。
薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，它是描述微观粒子的波函数随时间演化的方程。
波函数是描述粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置、动量以及其他物理性质的信息。
薛定谔方程的基本原理是根据哈密顿量来描述粒子的能量，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而确定粒子的性质。
薛定谔方程的数学形式为：\[\hat{H}\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\]其中，\(\hat{H}\)为系统的哈密顿量，\(\Psi\)为波函数，\(i\)为虚数单位，\(\hbar\)为约化普朗克常数，\(\frac{\partial\Psi}{\partial t}\)表示波函数随时间的变化率。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要借助于数学工具和物理学的知识。
薛定谔方程的研究与应用在量子力学中具有广泛的应用。
首先，薛定谔方程可以用来描述微观粒子的运动和行为。
根据波函数的模的平方，可以计算出粒子在空间中的概率分布，从而得到粒子的位置、动量等信息。
薛定谔方程还可以用来描述粒子之间的相互作用，如电子的自旋、原子核的振动等。
其次，薛定谔方程还可以用来解释和预测一系列的实验现象。
例如，薛定谔方程可以解释光的干涉和衍射现象，以及电子的波粒二象性。
薛定谔方程还可以用来解释和预测材料的电子结构和性质，如金属的导电性、半导体的能带结构等。
通过求解薛定谔方程，可以得到材料中电子的波函数和能级分布，从而确定材料的电子性质。
此外，薛定谔方程还被广泛应用于量子计算和量子通信领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，相较于传统的计算方式，具有更高的计算效率和安全性。
对量子力学及相对论力学建立基础的反思
对量子力学及相对论力学建立基础的反思对量子力学及相对论力学建立基础的反思20世纪初，诞生了二门同源却又不同路的基础物理学，且二者之间存在无法协调的矛盾，那就是相对论力学和量子力学。
至于为什么会出现这种状况，直到现在还没有答案。
相对论力学以其独特的思维、利用洛伦兹坐标变换和光速不变二个原理阐述了力是时空弯曲效应，在这个体系中，时间、空间、质量都是可以变换的，从而丧失了伽利略、牛顿建立物理学的初衷，即物体运动的可知性，让固守经典物理学的人们陷入一片迷茫之中。
量子力学更是让人爱恨交加，一方面它固守经典，继承了电磁理论和电磁波理论，另一方面它又背离经典，引入了四个量子和几率波概念，更是不可思议。
面对这二门水火不容的现代基础物理学，我们今后物理学的发展应该向何处去？这真值得我们反思!是我们物理学的基础出了问题，还是宇宙规律真地就具有宏观与微观之分？在此，我想谈谈我的一点反思：从我的思考思路和思考空间上、去理解和总结我以前所得的结论，我发现：我们物理学的基础是不够牢固的！特别是关于“场物理学”部分，不仅存在概念上杂乱，而且在理论上还存在前后不一的冲突；比如，我们对场的认识与描述：法拉第用力线思想首先撬开了场物理学的大门，高斯给它装上了一个数学套子，麦克斯韦则将法拉第力线与物质实体分开，只保留了法拉第力线中“场”思想，结合高斯定理，他创建了无粒子存在的“纯波”态电磁场运动，这就从根本上否定了法拉第创造力线的初衷，即力线是与物质存在相联系的力线，不是脱离物质存在的虚无力线。
从而可以看出，麦克斯韦优美的电磁波理论是有缺陷的，它首先否定了物质决定场的存在，取而代之的是场决定物质的存在。
量子力学和相对论力学都是关于场的物理学，但二者的研究方法和思路是截然不同的，量子力学则是继承了刚体力学、电磁学中荷运动理论等来探讨场与微观粒子运动的关系；相对论力学则继承了高斯定理关于场的几何化思想、用黎曼几何来重新解读牛顿万有引力定律，但从它们的应用效果、范围来看，量子力学到显得更成功一些，为什么？！谈到量子力学不能不说波粒二象性问题，谈到电磁波问题又不能不说简谐振动和机械波理论。
用薛定谔方程探索宇宙的终极意义
用薛定谔方程探索宇宙的终极意义薛定谔和他的薛定谔方程。
薛定谔方向是1926年奥地利理论物理学家薛定谔提出的。
它描述微观粒子的状态随时间变化的规律。
微观系统的状态由波函数来描写，薛定谔方程即是波函数的微分方程。
若给定了初始条件和边界的条件，就可由此方程解出波函数。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当，超弦理论试图统一两种理论。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程的推导过程就不做介绍了大家自行查阅，接下来我们来聊这个神奇的方程。
上面是薛定谔方程时间微分写法，大家有没有注意到方程式中有一个复数i和普朗克常量h。
复数i是空间旋转算子，这个概念在上一篇文章物质波函数推导过程里介绍过了也就是说i在几何空间上的意义就是旋转90度。
那么量子波函数也就是量子在三维空间某个时刻的状态就是一个有关于普朗克常量和粒子当前能量有关的具有运动方向的矢量旋转90度才是当前粒子真实三维空间状态。
那么在旋转前粒子状态和旋转后粒子的状态存在矢量垂直关系，我们在维度空间里有个概念就是三维向四维扩展时存在一个和三维空间垂直的方向，粒子的三维空间运动状态是粒子在四维空间的运动状态的投影，也就说四维空间的粒子运动可以描述为粒子不停地穿过无数三维空间，刚好在我们所处的三维空间粒子某一时刻的状态就是四维空间中该粒子穿过该三维空间时的四维切面空间状态。
量子力学中的哈密顿算符与薛定谔方程
量子力学中的哈密顿算符与薛定谔方程量子力学是研究微观领域的物质和能量相互作用的一门学科。
而哈密顿算符和薛定谔方程则是量子力学的重要基础概念。
本文将通过对哈密顿算符和薛定谔方程的探讨，帮助读者更加深入地理解这两个概念以及它们之间的关系。
在量子力学中，哈密顿算符扮演着非常重要的角色。
它是描述系统能量的算符，通常用符号H来表示。
哈密顿算符是由系统的动能和势能算符组成的。
具体来说，哈密顿算符H定义为：H = T + V其中T代表系统的动能算符，V代表系统的势能算符。
动能算符和势能算符是根据经典力学中的动能和势能函数经过量子化处理得到的。
为了更好地理解哈密顿算符，我们可以以一个简单的例子开始。
考虑一个自由粒子，它的哈密顿算符由动能算符T表示，而动能算符又可以表示为动量算符p的平方除以2倍粒子的质量m。
因此，自由粒子的哈密顿算符可以写成：H = p^2 / 2m哈密顿算符是量子力学中的一个关键概念，因为它的本征值对应着系统的能量本征值。
量子力学告诉我们，量子系统的能量是离散的，只能取一些特定的值。
这些特定的值就是哈密顿算符的本征值，而对应的本征函数则描述了系统在不同能量水平上的状态。
系统的哈密顿算符的本征函数组成了系统的基态和激发态，它们由薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子系统的时间演化。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ * ∂ψ / ∂t = H * ψ这里，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，∂ψ / ∂t表示波函数ψ对时间的偏导数，H是系统的哈密顿算符。
这个方程可以看作是量子版的牛顿第二定律，描述了系统的波函数随时间变化的规律。
薛定谔方程的解决方案是系统的波函数ψ。
波函数是包含了所有关于系统状态的信息。
通过对波函数的求解，可以得到系统在不同时间点的状态，从而揭示出量子系统的行为。
哈密顿算符和薛定谔方程是量子力学中两个密切相关的概念。
哈密顿算符提供了系统的能量本征值和本征函数，而薛定谔方程则描述了系统的时间演化。
量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思
量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》学院：数理信息工程学院专业：物理112班学生姓名：徐盈盈王黎明学号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日由薛定谔方程引发的深思【摘要】薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。
作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。
为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。
【引言】随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。
于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。
正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。
并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。
【关键词】薛定谔方程玻尔理论波函数深思【正文】一、薛定谔方程的提出与推导1、薛定谔方程的历史背景爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。
1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。
薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。
最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。
2、薛定谔方程的推导思路①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。
波函数描写体系的量子状态。
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量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》学院：数理信息工程学院专业：物理112班学生姓名：徐盈盈王黎明学号：******** ******** 完成时间： 2013年12月20日由薛定谔方程引发的深思【摘要】薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。
作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。
为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。
【引言】随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。
于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。
正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。
并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。
【关键词】薛定谔方程玻尔理论波函数深思【正文】一、薛定谔方程的提出与推导1、薛定谔方程的历史背景爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。
1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。
薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。
最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。
2、薛定谔方程的推导思路①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。
波函数描写体系的量子状态。
波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。
②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。
③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae i(p.r-Et)/h,并且对时间求偏微商，对位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p2/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程：④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：3、薛定谔方程与玻尔理论的对比分析一般认为以薛定谔方程为代表的量子力学是“新量子力学”，以玻尔理论为代表的量子力学是“旧量子力学”，但二者在根本上是同出一源，只是所用的概念和模型不同而已。
①玻尔理论:用粒子表示电子。
(1)玻尔理论的基础来源：牛顿定律、库仑定律、玻尔的定态及跃迁假设和玻尔的角动量量子化假设。
(2)玻尔理论的逻辑推导过程：A、氢原子中，电子绕核作圆周运动，根据牛顿第二定律kze2 /r2=mv2/r---（1）B、电子的总能量E是电子的动能和势能之和E=mv2/2-kze2/r. ---（2）C、玻尔关于电子轨道运动的角动量量子化假设mvr=nh/2π ----- （3）D、玻尔关于电子轨道跃迁辐射的公式为E2-E1=hf---------- （4）E、由以上四式可解得r=n2h2/4π2mkze2, --------------------------------(5)E=-z22π2mk2e4/n2h2 ------------------------------ (6)1/λ=f / c=z22π2mk2e4/ch3(1/n12-1/n22) ---------(7)以上三式成功的解释了氢原子中电子轨道的量子化和能量量子化和巴耳末系，并且成功的预告了其他线系的存在[3]。
②薛定谔方程：用波函数表示电子。
薛定谔方程的逻辑推导过程：A、引来一个必需的、消去了时间的、一维的波动方程d2u/dx2+(2π/λ)2u=0 -----（8）B、粒子的能量关系E=p2/2m+V -------------（9）C、根据玻尔的角动量量子化假设mvr=nh/2π=pr----------（10）D、利用驻波理论2πr=nλ-------------------（11）E、最后得到d2u/dx2+8π2m(E-V)u/h2=0这是一维不含时薛定谔方程。
三维薛定谔方程的推导原理相同。
③玻尔理论与薛定谔方程的对比分析：玻尔理论和薛定谔方程在一定程度上具有等价性。
两者是解决粒子问题的两套不同的思路，但是殊途同归，具有异曲同工之处。
一、薛定谔方程在解决量子力学问题中的应用：1、用薛定谔方程求解量子力学问题的基本步骤：①写出具体问题的势函数V(r)的形式代入薛定谔方程；②用变量分离法求解微分方程；③用归一化条件和标准条件确定积分常数并得出波函数；④讨论解的物理意义。
2、薛定谔方程应用于解决一维势阱中粒子问题将薛定谔方程应用于解决一维势阱的问题时，首先要对势阱进行分区（不同区的势能不同），接着要求解二次微分方程的通解，根据边界条件、归一化条件、连接条件（波函数和波函数的导数的连续性）定系数A、B、C，最后根据得出的能量和波函数分析物理意义。
3、薛定谔方程应用于解决谐振子问题主要解决势能为V(x)=m w2x2/2时的薛定谔方程对于求解这个方程主要有代数法和解析法。
①解析法：先把薛定谔方程无量纲化，求出极限解，再用上边界条件得到尝试解，把尝试解代入无量纲化后的薛定谔方程，即可得到一个厄米微分方程。
再用级数展开法，解这个微分方程。
利用有限性条件，让u中断为一个多项式，即可得到λ-1=2n,从而可以得到本征值和本征态。
②代数解法：受解析法的启发，以解析解为基础构造出升幂算符和降幂算符，再利用升降幂算符的性质，在不求解薛定谔方程的基础上得到本征值和本征态。
4、薛定谔方程应用于解决三维体系中的量子力学问题将薛定谔方程中的位置坐标扩展开，即可得到三维薛定谔方程。
通过分离变量法可以求解若干三维体系中量子力学问题以及无相互作用的两体问题等。
另外，可将三维薛定谔方程中的坐标（x,y,z）换成（r,θ，φ），从而得到球坐标系下的薛定谔方程，以此解决球势阱、氢原子等问题。
二、薛定谔方程在前沿领域中的应用1、薛定谔方程在化学中的应用①由于原子中的电子在核外的球形对称场中运动，把直角坐标系转换为球坐标系，通过波函数的解析图像来掌握核外电子的运动情况。
薛定谔方程作为一个类比方程，可应用于原子核外电子的描述、分子中的化学键的描述等。
②对于原子，通过求解薛定谔方程得得到的波函数ψ即为原子轨道，而对于分子而言则称之为分子轨道。
与该轨道对应的能量E则成为轨道能量。
2、薛定谔方程还被广泛应用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合的很好。
三、思考与总结1、薛定谔方程的建立与创新思维不管学习哪个学科都必须注重创造性思维的培养，而薛定谔方程的建立过程正是体现了很多创造性思维的特征。
①创造性思维定义及其操作模型：创造性思维的定义可归纳为：人脑对客观事物本质和事物之间内在联系规律所作出的概括、间接与能动的反映。
而其具体操作模型为：②薛定谔方程的创造性特征：（1）问题提出：具有波粒二象性的粒子运动的基本规律是什么？（2）发散思维：A、建立方程需要选择物理量，要用什么物理量来描述具有波粒二象性的粒子的运动以及其物理意义是什么？B、建立方程的形式应基于那一基本类型？这个方程的解是什么？C、建立方程中的自变量是什么？D、被描述的实物粒子所处的环境将又怎样描述？（3）联想思维：A、从德布罗意和爱因斯坦那里吸收了关于电子波动和物质具有波动性的思想，提出用波函数描述电子的状态；B、从哈密顿的分析力学中悟出经典力学与几何光学类似的思想；C、哈密顿的波动理论；D、从玻尔理论得到能量是分立的，从而注意到数学中偏微分方程的本征值；E、实物粒子一定要处于一个环境之中，因此描述实物粒子的环境应是经典力学中粒子所处场中的势能。
（4）再造思想A、原子领域中电子的能量是分立的；B、在一定的边界条件下，波动方程的振动频率只能取一系列分裂的本征频率；C、哈密顿-雅可比方程不仅可用于描述粒子的运动，也可用于描述光波；D、最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二象性的思想。
电子可以看成是一种波，其能量E和动量P可用德布罗意公式与波长和频率联系在一起。
（5）得出结论A、得到氢原子的能级公式；B、得到谐振子的能级和定态波函数；C、处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题；D、可用于计算氢原子的Stark效应。
2、学习物理的思维方式和态度①从薛定谔身上学到的思维方式和学习态度薛定谔作为概率波动力学的创始人，他之所以能够在量子力学的舞台上如此熠熠生辉，并不只是因为他在物理知识上的贡献，还因为他具备值得我们学习的思维方式和学习态度。
在文中提到，自从德布罗意假说被实验所证实，薛定谔就开始尝试用一个波动方程去描述这种量子行为，期间他通过发散思维找出自己应该解决的问题，借鉴了众多前人的研究成果与经验尽量解决每一个疑问，并且一步步完善自己的理论。
所以薛定谔方程的成功提出并不是偶然，而是薛定谔在日复一日的辛苦付出后的成果。
②自己的反思与计划首先，我深刻的反思了自己的学习态度是否端正。
对于一个并不知道结果的问题，薛定谔一步步尝试着去解决，而且之后他还不断完善自己的理论。
而想想我们在平日的学习过程中，并没有具备学习物理该有的态度。
很多时候我们只是拘泥于老师的作业，认为只要完成作业就万事大吉了，其实我们根本就没有很好地锻炼自己的物理素养。
真正的学习物理的态度是得像薛定谔那样深入的挖掘问题内在的含义，不断通过调研解决问题。
（虽然老师也经常强调这一点，但是我们却没有将这个任务很好的落到实处。
）另外，通过这次研究，虽然意识到自己在日常学习过程中还存在很多问题，但是也让我更加明确接下来应该怎样规划自己的学习。
在保质保量的完成老师的作业外，要多找一些拓展性的题目，每天花上1～2小时去深入调研，注意采用发散思维的方式，尽量找出问题的每一考察角度，然后依次解决，归纳一般解题步骤。
这对于我们这些“未来的物理教师”来说，是非常重要的。
因为这不仅锻炼了我们的解题能力，而且在日后的教学过程中难免会遇到学生会问问题的一个小侧面，所以我们自己事先去考虑问题的每个侧面能够帮助我们及时高效的解决学生的疑问。
总之，通过这次课程论文的书写，我不仅学习到了很多有关于薛定谔方程的知识，而且也让我学到了薛定谔思考问题的方式和学习的态度，也让我深刻的反思自己在日常学习中的问题，也让我有机会能够给自己制定一个更加科学高效的学习计划。
【参考文献】[1]百度百科.薛定谔方程[OL].[2]周世勋.量子力学教程[M].第二版.高等教育出版社.[3]张蓓蓓，李勇.由薛定谔方程引发的深思[D].浙江：浙江师范大学，2008.[4]孙诒丹.谈薛定谔方程的建立与创造性思维特征[J].鞍山师范学院学报.2004,(04).[5]苑壮东,考秀娟.薛定谔方程在化学中的应用[J].济宁学院学报.2008,(06).[6]David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[M].。