大一高数课件第五章 5-3-1

dy 0所确定，求 ； dx
t2 d2y x 1 u ln udu, 2、 设 (t 1) ,求 2 ； 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x cos(t 2 )dt ； 3、 dx sin x
4、设 g( x )

x2
0
dx ，求 g (1) . 3 1 x

四、小结
1.积分上限函数 ( x ) a f ( t )dt
2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式
b x
( x ) f ( x )
a f ( x )dx F (b) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的 关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
4、0 sin x dx .
1 x2
2
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
x t2 0 x 0
x
( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a, b]上的一个原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果 F ( x )是连续函数 f ( x ) 在区间[a, b]上的一个原函数，

x
0
f ( t )dt 在 ( , )内的表达式 .
七、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt ,证明： F ( x ) f ( t )dt a b f (t ) （1） F ' ( x ) 2 ; 、 （2） 、方程 F ( x ) 0在 ( a , b ) 内有且仅有一个根 .
一、 填空题： x2 d b 2 1、 a e dx =_______ . dx x d f ( x ))dx __________ . 2、 a ( dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 x dx x 2 ,0 x 1 2 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x ,1 x 2
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限 x 在区间[a, b]上任意变动，则对于每一个取定 的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a, b]上定义了一个 函数，
记
( x )
x a
f ( t )dt .
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 如 果 f (x ) 在 [a , b] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
则此时刻汽车速度
361000 m ( s) 3600
解: 设开始刹车时刻为

当汽车停住时,
10 ( m s )
得
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 即
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2 2 v ( t ) d t 0 (10 5t ) d t 0
10 t
5 t 2 2 10 (m) 2 0
1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T 2 v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ).
1
T
其中 s( t ) v ( t ).
二、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续，并且设 x 为[a, b] 上的一点，考察定积分
x a
则F ( x ) a
补充2
u( x )
f ( t )dt 可导，且 F ( x ) f u( x )u( x )
b 如果 f (t ) 连续，a ( x ) 、 ( x ) 可导，则
F ( x ) a ( x ) f (t )dt
b( x )
的导数 F ( x ) 为
d b( x ) F ( x ) a ( x ) f ( t )dt f b( x ) b( x ) f a ( x )a( x ) dx
解
0
2
f ( x )dx .
y
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1 2
1
2
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
o
1
2
x
例7 解
求
2 max{ x, x }dx.
牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意
当 a b 时， a f ( x )dx F (b) F (a )仍成立.
b
例4 解 例5 解
求
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2 2
y
y x2
由图形可知
y x
2
f ( x ) max{ x , x 2 }
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
o
1
2
x
原式
0 1 2 x 2dx 0 xdx 1 x 2dx 2
11 . 2
x
( x ) a f ( t )dt 在 [a, b] 上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 是
( x )
d x a f ( t )dt f ( x ) dx
x x
y
( a x b)
( x )
证

( x x ) a
x x a
f ( t )dt
b 则 a
f ( x )dx F (b) F (a ).
证 已知 F ( x ) 是 f ( x )的一个原函数，
又 ( x ) a f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
x
F ( x ) ( x ) C
x [a, b]
令 x a F (a ) (a ) C ,
第三节
• • • •
微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿——莱布尼兹公式 四、小结
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时间间隔[T1 ,T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0 ，求物体在这段时间内所经 过的路程. T2 变速直线运动中路程为 T v ( t )dt
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
,
1 t 2 cos x e dt lim 2 x 0
cos 2 x
x
1 . 2e
例 2 设 f ( x ) 在 ( ,)内连续，且 f ( x ) 0 .证明函数
F ( x)
x 0 t f ( t )dt 在 (0,) 内为单调增加函数. x 0 f ( t )dt
例8
计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解
面积 A sin xdx
0

y
cos x 0 2.

o

x
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车,
设汽车以等加速度
多少距离?
刹车, 问从开始刹 车到停车走了
例1
求
1 t 2 cos x e dt lim . 2 x 0
0 分析：这是 0
x
型不定式，应用洛必达法则.
2 2 解 d 1 e t dt d cos x e t dt , dx 1 dx cos x
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
F ( x )在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以 F ( x ) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
1
1
定理2（原函数存在定理）
如 果 f ( x ) 在 [a, b] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
x

e
2t 2
;
2、 lim

0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
dt
x 0
.
五、 求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 六、 设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， 求（x )
x

x 0
f ( t )dt

2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f (t ) 0,
x 0 x
f ( t )dt 0,
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
故 F ( x )在(0,) 内为单调增加函数.