常数项数的概念和性质
常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
3常数项级数的基本概念和性质
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于 原级数的和.
*证 设 S
n 1
un 收敛，任意加括弧,
1 1 1
( u1 un ) ( un
un )
2
( un
k 1 1
un )
k
令 vk un
k 1 1
un
n
n
lim σ n
cS
σ n cS n
故 c un 收敛 , 其和为 c S .
n 1
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n 1 n 1
性质2 设收敛级数 S 也收敛, 其和为 S σ . 注
n 1
un , σ
n 1
例
判断级数的敛散性
1 2 1
1 2 1
1 3 1
1 3 1
1 4 1
1 4 1
解
加括号级数
一般项
发散 , 故原级数发散 .
收敛
发散
例4
判断级数的敛散性
1 2 1 2 1 2
2
11
1 3
1 2
n
1 n
解 加括号级数为
n 1
( un vn ) (1 1) ( 2 2 ) (
(
1
1
1 2 1
2
2
1 3 1
n
)
)
n
由于 un
n 1
n 1 n 1
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
常数项级数的概念与性质
m1
证明：设 un S ， v1 u1 u2 un1 ，
n1
v2 un11 un2 ， ，
vm unm11 unm ， ，
级数 un 和 vm 的部分和分别为Sn 和 n ，
n1
m1
则1 Sn1 ，2 Sn2 ， ，k Snk ， ， 故{n}是 {Sn} 的子列，
从而当 lim Sn 存在时， lim n 必存在，且
级数简介
无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示、 函数逼近及数值计算的一种重要数学工具.
正项级数
常数项级数交错项级数
无穷级数函数项级数LF任ao幂意uurre级项ienrt数 级级级数数数
第九章 常数项级数
常数项级数的概念与性质 常数项级数的判敛法 反常积分判敛法
1.1 常数项级数的概念
n1
n
证若明n：1∴u设 n收limn敛 1uunnnlliSimm，u(nS∵n0uS，nnS1 )nSSnS1，0 。
即 若 limnun 0n un发散 ，
n
n1
但 lim un 0 un 收敛。
n
n1
例如调和级数 1 是发散的，而 lim 1 0 。
n1 n
n n
例 7．判别级数
kn1
例 8．判别下列级数的敛散性：
（1）1lnln2 ln3
解：∵ (1)n1(ln)n1 是等比级数，公比 qln ，
n1
q lnlne1，
∴原级数发散。
（2） [
2
(1)n( 3 )n ]
n1 n(n1)
4
解：∵
2
收敛；
n1n(n1)
(1)n( 3)n 为公比q 3 的等比级数，
常数项数概念与性质
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§111常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
性质1如果 则
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
第一节常数项级数的概念与性质
性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1
的级数仍然收敛，且其和不变. 即 若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1
如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数 的敛散性. n 1 n n 1
解 级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与 ，则级数
n 1 n 1
u
n 1
n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .
n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性， 但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数 发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数 收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
常数项级数的概念与基本性质
一、基本概念
级数：a1 a2 an an n1
一般项：a n
部分和：sn a1 a2 an
部分和数列：(
s
n
)
பைடு நூலகம்
n1
有限数
若
lim
n
s
n
s，则称级数收敛，并称
s
an 为级数的和；
n1
否则称级数发散。
余项： rn s sn
例1、证明：几何级数（等比级数） aqn (a 0) 收敛 ， n0
性质4：如果级数收敛，则当 n 时它的一般项趋于零。
推论5：若 n 时，一般项不趋于零，则级数发散。
lim
n
an
0
?
an收敛
n1
例4、判别下列级数的敛散性，若收敛则求其和。
n
(1) cos
n1
3
1
( 2) n1 n n
n2 1
(3) ln
n2
n2
作业 习题9-1：1（偶数题）、2（奇数题）
或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的
敛散性。
推论1：任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。
性质2：（1）若级数 an 收敛，其和为 s ，则对任意 n1
常数 k ，级数 kan收敛，且其和为 ks 。 n1
（2）若级数 an 、 bn 分别收敛于和 s 、 ，即
n1
n1
an s ， bn
n1
n1
则级数 (an bn )也收敛，其和为 s 。 n1
推论2：若 k 0 ，则级数 an与 kan有相同的敛散性。
n1
n1
推论3：两个收敛级数可以逐项相加或相减。
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
n1
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散
定义1：作级数
u
n
的前
n
项和
n 1
Sn u1 u2 un
称其为级数 un 的部分和。显然，可得到一个新数列
n 1
{S n }
，称为级数 un 的部分和数列。 n 1
分条件。可考察级数
n1
ln(1
1 n
)
例4 判断级数 ( n2 n n)的敛散性。
n1
解：因为
lim ( n2 n n) lim
n
n
所以级数 ( n2 n n)发散。 n1
n
1 0
n2 n n 2
1 n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
例3
判断级数 n1
ln(1
1 n
)
的敛散性。
解：级数的部分和为
Sn
ln
2 ln
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义
给定一个无穷数列u1, u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式
u1 u2 un
称为常数项无穷级数，简称级数，记作 un ，即
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
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1．写出下列级数的一般项： ⑴13572468++++；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为212n n u n-=，1,2,3,....n =。
⑵1111112349827++++++；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即122n +，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即23n ，于是有1222, 213, 2n n n n k u n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，k J ∈，1,2,3,....n =。
也可为1221(1)1(1)2322n nn n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。
【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有11123u =+， 21149u =+221123=+，311827u =+331123=+，......于是得1123n n nu =+，1,2,3,....n =。
⑶345622345-+-+-。
【解】分析数列各项的表达规律：各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1(1)n +-，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n于是得11(1)n n n u n++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得 11(1)n n n u n++=-，1,2,3,....n =。
2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴11(21)(21)n n n ∞=-+∑； 【解】级数前n 项和为11(21)(21)nn i S i i ==-+∑1111()22121n n i i ==--+∑1111()22121n n i i ==--+∑11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11(1)221n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n→∞=-+12=，知级数收敛，收敛于12。
⑵1n ∞=；【解】级数前n 项和为1nn i S==1ni ==1n i==∑(1n =++++1=，由于lim n n S →∞1)n →∞==∞，知级数发散。
⑶11lnn n n∞=+∑； 【解】级数前n 项和为11ln nn i i S i =+=∑1[ln(1)ln ]ni i i ==+-∑ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++-ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，由于lim n n S →∞limln(1)n n →∞=+=∞，知级数发散。
⑷1n ∞=∑。
【解】级数前n 项和为1nn i S ==∑=+++…………+++各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相互抵销为0，按此规律，第一括号中余下-，而第三括号与后面括号抵销完，...，于是，nS =-1=1=由于lim n n S→∞1limn =+1=，知级数收敛，收敛于1-3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：⑴111(1)2n n n -∞-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00(1)12a -==，公比为12q =-，可见112q =<，知级数收敛，其和为1a q -111()2=--23=。
⑵0(ln 3)2nnn ∞=∑； 【解】这是等比级数，首项为00(ln 3)12a ==，公比为ln 32q =，可见2ln 3ln 122e q =<=，知级数收敛，其和为1a q -1ln 312=-22ln 3=-。
⑶1nn e∞=∑；【解】这是等比级数，公比为1q e =>，可知级数发散。
⑷11112()23nn n n ∞--=+∑；【解】11112()23n n n n ∞--=+∑1111122()23n n n n ∞∞--===+∑∑，其中，级数1112n n ∞-=∑为首项1a =，公比12q =的等比级数，其和为1a q -12112==-； 级数112()3n n ∞-=∑为首项1a =，公比23q =的等比级数，其和为1a q -13213==-，由性质7.1.1知，级数1122()3n n ∞-=∑也收敛，其和为236⨯=， 于是由性质7.1.2知，级数11112()23nn n n ∞--=+∑收敛，其和为268+=。
⑸234123444444(1)55555nn n--+-++-+；【解】这是等比级数，首项为45a =，公比为45q =-，可见415q =<，知级数收敛，其和为1aq-4541()5=--49=。
⑹111111()()()2349827++++++。
【解】级数为111()23n n n ∞=+∑111123n n n n ∞∞===+∑∑，为两收敛等比级数的和，是收敛的。
其中112n n ∞=∑的和为121112==-，113n n ∞=∑的和为1131213==-，从而111()23n n n ∞=+∑的和为13122=+=。
4．求级数113()2(1)n n n n ∞=++∑的和． 【解】级数112n n ∞=∑为等比级数，其和为121112==-，级数13(1)n n n ∞=+∑1113()1n n n ∞==-+∑， 其前n 项和为1113()1nn i S ii ==-+∑13(1)1n =-+， 得知其和为1lim lim3(1)31n n n S S n →∞→∞==-=+ 综上知，级数113()2(1)nn n n ∞=++∑的和为134+=。
５．判断下列级数的敛散性：⑴0.0010.001n ++；【解】级数的通项是1(0.001)nn u =，由于10lim lim(0.001)(0.001)10nn n n u →∞→∞===≠，所以该级数发散。
⑵12342345++++；【解】级数的通项是1n nu n =+， 由于lim lim101n n n nu n →∞→∞==≠+，所以该级数发散。
⑶1(1)21n n n n ∞=-⋅+∑。
【解】由于(1)(1)lim lim lim 212n nn n n n n u n →∞→∞→∞-⋅-==+不存在，所以该级数发散。
６．设级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，证明：级数1()nn n uv ∞=+∑发散。
【证明】由级数收敛定义，知1limni n i v →∞=∑不存在，从而由极限运算法则知，1lim()niin i u v →∞=+∑也不存在，可知级数1()nn n uv ∞=+∑发散。
证毕。
7．判别级数21111112102210210n n++++++⨯是否收敛。
【解】级数通项为11210n n u n=+，于是级数为1111()210n nn n u n∞∞===+∑∑， 由于调和级数11n n ∞=∑发散，从而级数1110n n ∞=∑发散，即由上面第6题的结论知，级数1111()210n nn n u n∞∞===+∑∑也发散。
*8．求级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和。
【解】由于111111(1)(2)2122n n n n n n =⋅-+⋅++++1121()212n n n =-+++，得11(1)(2)nn k S k k k ==++∑11121()212n k k k k ==-+++∑ 121331121[(124)()1()222543=-++-++-++ 121211()()()]112211211n n n n n n n n n +-++-++--++++--121121(1)222112n n n =-++-++++ 1111()2212n n =-+++ 111[]22(1)(2)n n =-++， 于是，11lim lim(1)(2)nn n n k S S k k k →∞→∞===++∑111lim[]22(1)(2)n n n →∞=-++14=。
9．已知级数1n n u ∞=∑的前n 项的部分和18178n n n S --=⨯，求这个级数。
【解】由于111281817878n n n n n n n u S S ------=-=-⨯⨯11(81)8(81)78n n n -----=⨯118n -=， 可知这个级数是1118n n ∞-=∑。
10．设级数1n n u ∞=∑的第n 次部分和为21n nS n =-，判断级数21n n u ∞+=∑的敛散性，若级数收敛，求它的和。
【解】由于lim lim 21n n n n S n →∞→∞=-11lim 122n n→∞==-，知级数1n n u ∞=∑收敛于12，而级数21n n u∞+=∑为由级数1nn u∞=∑去掉前面两项得到，即由性质7.1.3知，级数21n n u∞+=∑也收敛，由于11212(1)1n n n n n u S S n n --=-=----12123n n n n -=---1(21)(23)n n -=--， 可知级数1n n u ∞=∑的前两项为1111(1)u -==⨯-，211313u -==-⨯，即得21n n u ∞+=∑11(1)3nn u ∞==--∑11(1)23=--16=-。
11．证明：0.91=。
【证明】234999990.91010101010n =++++++1910nn ∞==∑， 这是首项为910，公比为110的等比数列，其和为1a q -9101110=-1=。
即为0.91=，证毕。