常数项数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴

13572468

++++；

【解】分析级数各项的表达规律：

分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21

2n n u n

-=，1,2,3,....n =。 ⑵

1111112349827

++++++；

【解法一】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，

分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12

2n +，偶数项为3

的乘幂，幂指数为项数的一半，即2

3n ，

于是有12

22, 21

3, 2n n n n k u n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩

，k J ∈，1,2,3,....n =。

也可为1

221(1)1(1)2322

n n

n n n u +--+-=

⋅+⋅，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个

级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，

若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有

111

23

u =

+， 21149u =+221123=+，

311827u =+331123

=+，

......

于是得11

23n n n

u =

+，1,2,3,....n =。 ⑶3456

22345

-+-+-。

【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1

(1)n +-，

从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n

于是得1

1

(1)

n n n u n

++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21

u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，

从而得 11(1)n n n u n

++=-，1,2,3,....n =。

2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴

1

1

(21)(21)n n n ∞

=-+∑； 【解】级数前n 项和为

11(21)(21)n

n i S i i ==-+∑1111()221

21n n i i ==--+∑1111

()22121n n i i ==--+∑

11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11

(1)221

n =-+， 由于lim n n S →∞11

lim (1)221n n

→∞=-+12

=，知级数收敛，收敛于12。

⑵

1

n ∞

=；

【解】级数前n 项和为

1

n

n i S

==

1

n

i ==

1

n i

==∑

(1n =++

++

1=，

由于lim n n S →∞

1)n →∞

==∞，知级数发散。

⑶

1

1ln

n n n

∞

=+∑； 【解】级数前n 项和为

11ln n

n i i S i =+=∑1

[ln(1)ln ]n

i i i ==+-∑

ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++-ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

由于lim n n S →∞

limln(1)n n →∞

=+=∞，知级数发散。

⑷

1

n ∞

=∑。

【解】级数前n 项和为

1

n

n i S ==∑

=+++…………

+++

各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相

互抵销为0

，按此规律，第一括号中余下-

，而第三括号与后面括号抵销完，...，

于是，n

S =-

1=

1=

由于lim n n S

→∞

1lim

n =+

1=，

知级数收敛，收敛于1-

3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：

⑴1

1

1

(1)2n n n -∞

-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00

(1)12a -==，公比为12q =-，可见1

12

q =<，知级数收敛，其和为

1a q -1

11()2

=

--23

=。

⑵0

(ln 3)2n

n

n ∞

=∑； 【解】这是等比级数，首项为00(ln 3)12a ==，公比为ln 3

2

q =，可见2ln 3ln 122e q =<=，知级数收敛，其和为

1a q -1

ln 312

=

-22ln 3

=-。 ⑶

1

n

n e

∞

=∑；

【解】这是等比级数，公比为1q e =>，可知级数发散。

⑷11112()2

3n

n n n ∞

--=+∑；

【解】11112()23n n n n ∞

--=+∑1

111122()23

n n n n ∞∞--===+∑∑，

其中，级数

1

1

12n n ∞

-=∑为首项1a =，公比12q =的等比级数，其和为1a q -1

2112==-； 级数

11

2()3n n ∞

-=∑为首项1a =，公比23q =的等比级数，其和为1a q -1

3213

==-，由性质7.1.1知，级数1122()3

n n ∞

-=∑也收敛，其和为236⨯=， 于是由性质7.1.2知，级数11112()2

3n

n n n ∞

--=+∑收敛，其和为268+=。

⑸234

1

23444444(1)

5555

5n

n n

--+-++-+；

【解】这是等比级数，首项为45a =

，公比为45q =-，可见4

15

q =<，知级数收敛，其和为

1a

q

-45

41()

5

=--49

=

。