平行线等分线段定理》课件

∵AF∥BC，
∴EF=FC.
E
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， D A F 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 B C 相等的线段. H 证法2： 延长ED交BC于点H， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥ED，即AB∥DH， 且AB=ED， ∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形， ∴AB=DH， ∴ED=DH； ∴EF=FC.
3、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， A E是AB边的中点，
D
EF∥DC，交BC于F， E 求证：DC=2EF. B F 证明： 作EM∥BC交DC于M， ∵E是梯形ABCD的腰AB的中点， ∴M是DC的中点，即DC=2MC； ∵EF∥DC， ∴EF=MC， ∴DC=2EF.
.
M
C
4、已知：直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90°， A D E是DC边的中点， E 求证：AE=BE. F 分析：需证E在AB的中垂线上. C 证明： 作EF∥BC交AB于F， B ∵E是梯形ABCD的腰DC的中点， ∴F是AB的中点； ∵EF∥BC，∠ABC=90°， ∴∠AFE=∠ABC=90°， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AE=BE.
∟ ∟ ∟
9、已知：AD为△ABC的中线， P M为AD的中点， M 直线CM交AB于点P， Q 1 求证： — AB. AP= 3 分析：可证明BP=2AP. B D 证明： 作DQ∥CP交AB于点Q； ∵D是BC的中点，M是AD的中点， ∴Q是BP的中点，P是AQ的中点， ∴AP=PQ=QB， 1 AB. ∴AP= — 3
×
A
)
A
C E
B
B
D F
C
E
D
F
3、过平行四边形对角线的交点且平行于一 组对边的直线必平分另一组对边。 (
√
)
M
A
O
N
D
B
C
4、如图，已知□ABCD中，
AA1⊥l, BB1⊥l, CC1⊥l, DD1⊥l, 则A1B1=C1D1. (
A
D
O
B B1 A1
C
O1
√
)
C1
D1
l
连结AC、BD交于点O，作OO1⊥l,
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段. D A 证法3：
M B C
E
F
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， N 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 D A 相等的线段. 证法4：
E
。
。F
证法8：
AAS
B
C
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， E 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 构造全等形的证法. D F A × 例如： 证法9：
。 。
C
P ×
AAS
B
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， E ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， × 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 D F A 构造全等形的证法. × 例如：
5、过梯形一腰的中点且平行于底边的直线平
分两条对角线及另一腰。
(
√
)
A D
M
N
B
P
Q
C
三、证明题 A 1、已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°， D为BC边的中点， E DE⊥BC交AB于E， 求证：AB=2CE. C D 分析：需要证明E是AB B 的中点，使CE成为斜边的中线. 证明：∵DE⊥BC， ∴∠BDE=90°； ∵∠ACB=90°， ∴∠BDE=∠ACB，∴DE∥CA， ∴E是AB的中点， ∵D是BC的中点， ∴AB=2CE.
定理：如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段 也相等.
已知：直线 l1∥l2∥l3，AB=BC， 求证：A1B1=B1C1. A A1 l1 证明： 连结AB1、A1B、 H BC1、B1C， B B1 l2 ∵AB=BC， ∴S△ABB =S△CBB ； （等底同高） C C1 l3 ∵l1∥l2∥l3， （同底等高） ∴S△ABB =S△A BB ， S△CBB =S△C BB ， ∴S△A BB =S△C BB ， ∴A1B1=B1C1.
A
B
C
B1 C1
推论2： A B C B1 C1
推论2：
A
B C
B1
C1
推论2： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边. A
在△ACC1中， B AB=BC，
BB1∥CC1， ∴AB1=B1C.
C
B1
C1
一、填空题
1、已知AB∥CD∥EF， AF交BE于O，且AO=OD=DF， 若BE=60厘米，那么BO= 20 厘米.
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A A1 B C B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A A1 B C B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C B1 C1
推论2：
A B C B1 C1
推论2：
A A1 B C B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
∟
M N F B
小结：
平行线等分线段定理是一个重要 的定理，在这里是利用面积证明的， 这种证法还可以用于后面即将学到的 平行线分线段成比例定理。
.
2、已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC A D 的中点， CE、AF N 分别交BD于M、N， E F 求证：BM=MN=NC. M
.
.
C 分析：需证明EC∥AF. B 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC； ∵E、F分别是AB、DC的中点，∴AE=FC， ∴四边形AECF是平行四边形，∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.
A B C
A1
B1 C1
推论1： 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线, A1 A 必平分另一腰. B C B1 C1
在梯形 ACC1A1中，AA1∥CC1 ， ∵AB=BC, BB1∥CC1， ∴A1B1=B1C1.
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
.. . .
7、已知：△ABC中，AB=AC， D在AB上，F在AC的延长线上， 且BD=CF，DF交BC于E， A 求证：DE=EF. 证法2：
D
B E C F
(以下略去。）
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H
8、已知：AC⊥AB，DB⊥AB， O是CD的中点， 求证：OA=OB. 分析：需证明点O在AB的垂直平分线上. D 证明： 作OE⊥AB于E，则∠OEA=90°； ∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴∠CAB=90°，∠DBA=90°， ∴∠CAB=∠OEA=∠DBA， O ∴AC∥OE∥DB； ∵O是CD的中点， ∴E是AB的中点， A B ∴OE是AB的垂直平分线， E ∴OA=OB. C
。
。
AAS
B
× Q C
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 D A 构造全等形的证法. 例如： 证法7：
×
E
×F
×
C
AAS
B
S
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 D 构造全等形的证法. T A 例如：
B C
E
F
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， E AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 构造全等形的证法. A D× F P × 例如：
。 。
C
证法5：
AAS
B
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， E AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 构造全等形的证法. D ×F A 例如： 证法6：
A
C
10、已知：∠ACB=90°，AC=BC， CE=CF， EM⊥AF，CN⊥AF， 求证：MN=NB. A 分析： 若结论成立，则过B作NC M 的平行线交直线AC必截得 相等的线段，反之亦然. E N
C
∟
F
B
D
A
10、证明： 延长AC到D，使CD=CE， 连结DB. E 则△ACF≌△BCD， ∴∠CAF=∠CBD； C ∵∠ACB=90°，CN⊥AF， ∴∠NCF=∠CAF=∠CBD， D ∴DB∥CN； ∵EM⊥AF， ∴EM∥CF， ∴EM∥CN∥DB， ∴MN=NB.
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
。 。
证法12： AAS
B
。
× × T C
7、已知：△ABC中，AB=AC， D在AB上，F在AC的延长线上， A 且BD=CF，DF交BC于E， 求证：DE=EF. 分析： 这是一道应已证过的题。 D H 除用证三角形全等的方法外， 本题还可用平行线等分线段 C B E 定理的推论来证明。 这里给出动画显示，证明的语句略去。 F 证法1：
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
说明：这里是用面积来证明的, 请你注意学习这种方法.
定理的适用情况1
A1 A
B C B1 C1
l1
l2
l3
∵直线 l1∥l2∥l3，AB=BC，
∴A1B1=B1C1.
定理的适用情况2
A1
B C
A
l1
l2
C1 l3
∵直线 l1∥l3，AB=BC， ∴A1B=BC1. (不再用全等三角形来证明.)
这个结论叫做重心定理.（现行课本已把它略去.）
E
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， D A F 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 B C 相等的线段.
E
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， D A F 求证：EF=FC. O 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 B C 相等的线段. 证法1：连结BE交AF于点O， ∴BO=OE； ∵四边形ABDE是平行四边形，
A O B D F C E
2、已知AD∥EF∥BC， 且AE=BE， 那么DF= A
E F
CF
.
D
C
B
3、已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点， 则DG=
BG ， H是 AC 的中点，
F是
CD 的中点.
E
A G H
D F
B
C
AD⊥BC， 4、已知△ABC中，AB=AC， M是AD的中点， A CM交AB于P， P DN∥CM交AB于N， 如果AB=6厘米， M 则PN= 2 厘米. N
。
证法10： AAS
B Q
。 C
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 D 构造全等形的证法. S A × × 例如：
E
。
F 。
证法11： AAS
B C
已知：梯形ABCD中，AD∥BC， E ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 A D ×F 构造全等形的证法. 例如：
定理的适用情况3
A1
B1 B C C1
A
l1 l2 l3
∵直线 l1∥l2∥l3，AB=BC， ∴A1B1=B1C1. 从特殊情况的研究中得到后面的两个推论.
推论1：
A B C
A1
B1
l1
l2 C1 l3
推论1：
A B C
A1
B1
l1
l2 C1 l3
推论1：
A B C
A1
B1 C1
推论1：
.
D
B
∟
C
5、已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E， DF∥CB交AB于F， AF=4厘米， 则AB= 8 厘米.
A F D
B
E
C
二、判断题 1、若AB∥CD∥EF， AC=CE， 则 BD=DF=AC=CE.
(
×
)
A
B
C
E
D
F
2、如图，若 AC=CE，BD=DF， 则AB∥CD∥EF， (
.
∟
5、已知：△ABC的两中线AD、BE相交于点 G，CH∥EB交AD的延长线于点H， A 求证：AG=2GD. 分析：需要证明GH=2GD=2DH. E 证明： ∵AD、BE是中线， G ∴AE=EC，BD=DC， ∵CH∥EB， C B D ∴AG=GH， ∴AG=2GD. GD=DH， H
本题说明三角形的两中线的交点把中线分成2：1的两部分.