泛函分析中不动点理论及其应用

目录

内容摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key Words (1)

1．引言 (1)

2．不动点定义及定理介绍 (2)

2.1不动点相关定义 (2)

2.2不动点思想 (2)

2.3不动点相关定理 (6)

3．不动点思想在其他学科的应用 (8)

3.1在求数列通项公式中的应用 (8)

3.2在求方程解中的应用 (11)

3.3在求函数解析式中的应用 (12)

4．不动点定理在证明中的应用 (14)

4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14)

4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15)

4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17)

4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17)

4.5 不动点定理在图论中的证明 (14)

参考文献 (18)

致谢 (19)

内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。

关键词：不动点不动点思想不动点定理应用

Abstract：

Key words：

1．引言

泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。

不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。

2．不动点相关定义及定理介绍

2.1不动点相关定义

定义1 设X 为非空集合，:T X X ®是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成

立，则称x 为映射T 的一个不动点。

特别地，函数()f x 是定义在D R Ì上的函数，如果x D $ 使得()f x x =成立，则称x 为函数()f x 的一个不动点。

定义 2 设(),X r 是距离空间，T 是X 到其自身的映射，且对于任意的

,x y X

Î，不等式()(),,Tx Ty x y r qr £都成立，其中q 是满足01q

?的常数。则

称T 是X 上的压缩映射。

2.2不动点思想

首先，对于函数()y f x =的不动点，有两个方面的理解：

1）()y f x =的不动点，是方程()0f x x -=的根。 2）()y f x =的不动点，是函数()y f x =与y x =的交点。

有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的

交点。

其次，由于()()()()()()()(),,f x x f

f x f x x f f f x f x x ===== 无论迭

代多少次，总是x 本身，所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。

2.3不动点相关定理

定理1 设(),X r 为完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，则T 在X 中存在唯一的不动点，即存在唯一的x X Î，使得T x x =。并且该不动点可以用迭代法求得。

有时候映射T 不能满足定理1的条件，故不能应用它，因此有必要将定理加以拓广，由此得到定理2。

定理2 设(),X r 为完备的距离空间，T 是X 到其自身的映射，如果存在常数:01q q

?以及自然是0n 使得对于任意的,x y X

Î，()()0

,,n n T x T y x y r qr £成

立，那么T 在X 中存在唯一的不动点。

为使用的方便，由上述定理1的证明过程，容易得到下面的定理3。 定理3 若数列{}n x 满足条件211

n n n n x x r x x +++-? (

)1,2,3,01

n r

=?

则{}n x 一定存在极限。

在定理1中取X R =,r 为R 中常见距离，则又可以得到下述定理4。 定理4 若函数()f x 是定义在D R Ì上的函数，若[),,0,1x y D q "? 使得

()()

f

x f y x y

q -?，那么函数()f x 在D 中存在唯一不动点。

若()f x 满足更强的条件，在D 是可导，则由微分中值定理，可得定理5。 定理 5 若函数()f x 是定义在D R Ì上的可导函数，且满足

()

,x D f x K

¢"危，其中01K ?，则函数()f

x 在D 中存在唯一不动点。

将此结论应用到数列中，有可得到下述的定理。 定理 6 设函数(),y f x x D = 可导且满足()1

f x K

¢?，定义数列

()1n n

x f

x +=，1,2,3,n = 那么{}n

x 一定存在极限。

有了上述一系列的定理，我们可以应用它们解决很多问题。

3．不动点思想在其他学科的应用

3.1在数列通项公式中的应用

命题1 若函数()f x ax b =+，0x 为()f x 的不动点，{}n a 满足()1n n a f a +=则

{}0n a x -是以a 为公比的等比数列。

命题2 若函数()()

0,0ax b f x c ad bc cx d

+=?

+，数列{}n a 满足()

1n n a f a +=则有：

（1）若()f x 有两个不动点,p q ，则数列n

n a p a q 禳-镲睚-镲铪是等比数列。

（2）若()f x 只有一个不动点p ，则数列1

n a p 禳镲睚

-镲铪

是等差数列。

证明（1）,p q 是()f x 的不动点，则,p q 分别满足()20,cp d a p b +--=

()2

0cq d a q b +--=，于是

()()11n n n n n n n n aa b

p

a pc a

b pd a p ca d aa b a q

a qc a

b qd

q

ca d

+++--+--+==+--

+--+

()()()()()()2

2

n n

a pc a p cp d a p b

a qc a

q cq d a q b

轾---+--臌=

轾---+--臌

n n a p a pc a qc

a q

--=

--

故数列n

n a p a q 禳-镲

睚-镲铪

是等比数列。

（2）p 是()f x 的唯一不动点，那么p 满足()

20c p d a p b +--=且()()

2

2

cx d a x b x p +--=-。于是