泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是数学的一个分支,主要研究函数空间和算子的性质。
其中一个重要的定理是不动点定理,它在泛函分析的理论和应用中有着广泛的应用。
本文将探讨不动点定理的证明。
在介绍不动点定理之前,我们先来了解一下不动点的概念。
设X是一个非空集合,f是定义在X上的一个函数。
若存在一个元素x∈X,使得f(x)=x成立,则称x是函数f的一个不动点。
不动点定理指出,对于某些特定的函数和集合,总存在不动点。
为了证明不动点定理,我们需要引入一些基本的概念和定理。
首先是泛函分析中的度量空间和完备性。
定义 1:度量空间设X是一个非空集合,d是定义在X×X上的一个函数,满足以下条件:1) 对于任意的x, y∈X,有d(x, y)≥0,并且当且仅当x=y时,d(x,y)=0成立;2) 对于任意的x, y∈X,有d(x, y)=d(y, x);3) 对于任意的x, y, z∈X,有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)成立。
满足上述条件的d称为X上的一个度量,而(X, d)则称为度量空间。
在度量空间中,我们可以定义距离和收敛等概念。
定义 2:完备性设(X, d)是一个度量空间,若对于任意的Cauchy序列{x_n}⊆X,存在x∈X,使得limn→∞d(x_n, x)=0成立,则称(X, d)是一个完备度量空间。
在搞清楚上述基本概念后,我们现在可以来证明不动点定理了。
定理 1:Banach不动点定理设(X, d)是一个完备度量空间,f是一个映射,满足以下条件:1) f: X→X;2) 对于任意的x, y∈X,有d(f(x), f(y))≤kd(x, y),其中0≤k < 1。
那么f至少有一个不动点,即存在x∈X,使得f(x)=x成立。
证明:首先,我们定义一个序列{x_n}如下:x_0∈X, x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), ..., x_n=f(x_{n-1}), ...我们来证明这个序列是一个Cauchy序列。
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是函数空间上研究函数性质的数学分支,它主要关注函数空间中的映射和变换。
不动点定理是泛函分析中的基本概念之一,它在许多数学领域中有着重要的应用。
本文将探讨泛函分析中的不动点定理及其证明过程。
不动点定理是指对于某个函数空间中的映射,如果存在某个点在映射下不发生变化,即映射的输出等于输入,那么这个点被称为不动点。
不动点定理主要讨论在特定条件下,映射总能找到一个不动点。
以下我们将介绍泛函分析中的两个不动点定理:Banach不动点定理和Brouwer不动点定理。
一、Banach不动点定理的证明Banach不动点定理是泛函分析中最基本、最重要的不动点定理之一。
它表明,对于完备度量空间中的某个收缩映射,总能找到一个唯一的不动点。
假设我们有一个完备度量空间X,并且有一个映射T:X→X,满足以下条件:1. 存在一个常数0≤k<1,使得对于任意两点x和y,都有d(Tx, Ty)≤ k · d(x, y),其中d表示度量空间X中的距离。
2. 映射T是连续的,即对于任意序列{xn}收敛于x,都有{T(xn)}收敛于T(x)。
现在我们需要证明存在一个唯一的不动点y ∈ X,使得Ty = y。
证明过程如下:首先,我们选取一个起始点x0 ∈ X,并定义一个序列{xn},其中xn = T(xn-1),即递归地将映射T作用在前一个点上。
根据条件1,我们可以证明序列{xn}是一个柯西序列。
事实上,对于任意给定的正整数n和m,我们有d(xn, xm) = d(T(xn-1), T(xm-1)) ≤ k · d(xn-1, xm-1) ≤ k^2 · d(xn-2, xm-2) ≤ ... ≤ k^n · d(x0, xm-n)由于0≤k<1,当n趋向于无穷大时,k^n趋近于0。
因此,序列{xn}是一个柯西序列。
根据完备性的定义,我们知道柯西序列在完备度量空间中必定收敛。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系,泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论,不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。
首先,算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题,且由Hille Yosida -定理表明:当稠定闭算子A 满足定理条件时,是下列方程的解,且解是唯一的。
设A 是一个n n ⨯实矩阵,方程组()()()00ndx t Ax t dt x x R ⎧=⎪⎨⎪=∈⎩在空间中解存在唯一。
设0t ≥,考察映射 ()()0:.T t x x t →则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。
在常微分方程中把算子半群(){0T t t ≥通过矩阵写出来:()0!n ntAN t A T t e n ∞===∑.且不动点在常微分方程中有很多应用。
例如,应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程0,,xdyF x y y y dx满足以下条件:(1),F x y 在整个平面上连续;(2)()()11,,F x y F x y K y y -≤-,其中K >0; 那么存在唯一的连续函数y x 满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=。
证明:用0,XC U x 表示所有定义在0,U x 上取值于R 的连续函数全体,其中满足1K 。
,f g X ,用0,,maxx U x f gf xg x 表示,f g 间的距离,同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。
上述常微分方程等价于等价于积分方程0,x x y xy f t y t dt ,定义映射0,xx Tfy F t f t dt ,由F 的连续性知TfX ,,f gX 0,,max x U x Tf TgTf xTg x()()()()()00,max,,xx U x x F x f x F x g x dt δ∈⎡⎤=-⎣⎦⎰()()()00,maxxx U x x K f t g t dt δ∈≤-⎰()()()0,max x U x K f t g t δδ∈≤-,K f g因为1K,故存在唯一的连续函数0,,yx x U x ,使得()()()00,xx x y f t t dt ϕϕ=+⎰,显然()y x ϕ=可微,所以()()0,,y x x U x ϕδ=∈满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=,然后在延拓到整个R 上即得。
φ凹(-φ凸)算子不动点定理及其应用
文献标识码: A
一 。£一 。 )这一条件, ( + 从而改进和推
广了相关结果.作为应用, 给出了一类的 S u m— iu ie边值 问题的正解的存在唯—性结果. t r L o vl l
中图分类号:O1 58 1 79 7 .; 7 .1
1 引言
近年来, 很多学者对凹 凸算子进 行了广泛研究, 文献 f 0 取得 了比较丰富的结果.李福义 , 1 】 —1 梁
( ) ( +vt ) 即算子为 e =t , 1 ( ) , 一 凹算子时, t 0 , 令 一 + 则条件
一0 不能满足.
因此我们的工作弥补了文献 [ 7 中的不足. 6 ] — 作为应用, 我们讨论了一类 Sum L u i 两点边 tr -i v l o l e
值问题 的正解存在 唯一 陛. 本 文设 E 是实 B nc aah空间, 为 E 的正规锥 .用 ≤ 表 示 E 中 由 P 导 出的半序关系, P 即对
展东在文献 [ 提 出了 凹 ( 凸) 6 ] 一 算子的概念, 并且指出 q ( 凸) o凹 一 算子能够包含其他类型的 凹凸算子 ( 例如 凹 (O 凸 [ i ,一 G o凸 [ 5等)但美中不足的是文献 [ 中的有关结果 一 L 9 0 e凹 ) -] u 4】 . - 6 】
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义:设X 为一个集合,一个映射d :X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ,有 (I )(正定性)d(x,y )≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y ; (Ⅱ)(对称性)d(x,y)=d(y,x );(Ⅲ)(三角不等式)d(x,z )≤d(x,y)+d(y,z )则称d 为集合X 的一个度量(或距离)。
称偶对(X ,d )为一个度量空间,或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ,b 】空间、2l 空间,这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间,在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限,抽密集,可分空间: 证明极限有二种方法:1、定义法:设{}n x 是(X ,d )中点列,如果存在x ∈X ,是lim (,)n x d x x →∞=0,则称点列{}n x是(X ,d )中的收敛点列,x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈,n=1、,2……,n x x →,则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义,由这些系列例子可以看到,尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致,所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念,根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间,坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集,离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法:1、定义法:设X=(X ,d ),Y=(Y ,d )是两个度量空间,T 是X 到Y 中的映射,0x X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数δ0,使对X 中一切满足d (x ,0x )δ 的x ,有(,)d Tx Tx ε ,则称T 在0x 连续。
泛函分析中的不动点迭代法
泛函分析中的不动点迭代法在泛函分析领域,不动点迭代法是一种重要的数学工具。
它被广泛应用于各个数学领域,如函数逼近、优化问题、微分方程等。
本文将介绍不动点迭代法的基本原理和应用场景。
一、不动点迭代法的基本原理不动点迭代法的核心思想是通过反复迭代逼近一个函数的不动点。
一个函数的不动点是指对于函数f(x),若存在一个点x0使得f(x0)=x0,则x0称为函数f的不动点。
不动点迭代法的基本步骤如下:1. 选择一个初始点x0;2. 迭代计算:根据迭代公式x_{n+1}=f(x_n),进行反复迭代直到满足收敛条件;3. 迭代终止:达到满足收敛条件时,得到函数的近似不动点。
不动点迭代法的收敛性条件通常包括收敛性判别定理、收敛速度等,具体条件取决于问题的特性以及所选择的迭代函数。
二、不动点迭代法的应用场景不动点迭代法在泛函分析中有广泛的应用场景。
以下将介绍其中几个常见的应用:1. 函数逼近:通过不动点迭代法,可以逼近一个函数的零点。
选择一个合适的迭代函数,利用迭代过程逐步逼近函数的零点。
2. 优化问题:在优化领域中,不动点迭代法可以用来求解某些特殊类的优化问题。
通过将优化问题转化为求不动点的问题,利用不动点迭代法求解最优解。
3. 微分方程:不动点迭代法可以用于求解一些微分方程的初值问题。
通过将微分方程转化为一个不动点迭代问题,然后利用不动点迭代法进行求解。
不动点迭代法的应用并不仅限于以上几个场景,它在数学和工程领域都有广泛的应用。
三、不动点迭代法的实例为了更好地理解和应用不动点迭代法,以求解方程f(x)=0为例进行说明。
假设我们需要求解方程x^2-3x+2=0的根。
我们可以将其转化为不动点迭代问题,即求解不动点方程x=f(x),其中f(x)=(x^2+2)/3。
初始点x0可以选择为2,然后根据迭代公式进行迭代计算。
通过多次迭代,我们可以得到近似的不动点为1,即方程的解为x=1。
四、总结不动点迭代法是一种在泛函分析中常用的数学工具。
第5讲 巴拿赫不动点定理
An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性.设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
,得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
,A3
x∗ 1
=
x∗ 1
,…,An
x∗ 1
=
x∗ 1
,
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射,取 x0 = 0.75 ,由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 , x2 = 0.7533 , x3 = 0.7540 , x4 = 0.7544 ,
x5 = 0.7546 , x6 = 0.7547 , x7 = 0.7548 , x8 = 0.7548 ,….
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
.
因此对于正整数 k 有
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西安电子科技大学理学院 杨有龙
专题:关于函数不动点的研究及其应用
关于函数不动点的研究及其应用相关概念:定义:一般地,对于定义在区间D 上的函数()y f x =(1)若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点;(2)若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点; 说明:(1)不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==xy x f y )(的解),(00y x 的横坐标,或两者图象的交点的横坐标(2)稳定点是函数图象与它的反函数(可以是多值的)的图象的交点的横坐标.(3)令()0f x t =,则()()00f x t x t =≠,故函数()y f x =有两个二阶不动点0,x t 就是二元方程()()00f x t f t x =⎧⎪⎨=⎪⎩有解,即点()()00,,,t x x t 都在函数()y f x =图象上,所以()y f x =得二阶不动点就是函数()y f x =图象上关于直线y x =对称两点的横坐标。
(4)若0x 为函数)(x f y =的不动点,则0x 必为函数)(x f y =的稳定点,但稳定点不一定就是不动点,但若函数()y f x =单调递增,则它的不动点与稳定点是完全等价的。
(证明)相关习题:1.(2013年四川文科).设函数a x e x f x -+=)((R a ∈,e 为自然对数的底数). 若存在]1,0[∈b 使b b f f =))((成立,则a 的取值范围是( )A. ],1[eB. ]1,1[+eC. ]1,[+e eD.]1,0[分析:题目的等价于()y f x =存在二阶不动点]1,0[∈b ,而易知()y f x =在定义域内为单调递增函数,故二阶不动点与一阶不动点等价,进而转化为()y f x =存在一阶不动点]1,0[∈b ,即[]0,1x ∃∈,使得x a x e x f x =-+=)(在]1,0[∈x 有解,整理可得,2x x e a x -+=,在]1,0[∈x 有解令2)(x x e x g x -+=,]1,0[∈x∵021121)(=-+>-+='x e x g x ,∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增 1)0(=g ,e g =)1(,],1[e a ∈,故选择A变式:(2013四川理科)设函数a x e x f x -+=)((R a ∈,e 为自然对数的底数). 若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使00))((y y f f =成立,则a 的取值范围是( )A . ],1[e B. ]1,1[1--e C. ]1,1[+e D. ]1,1[1+--e e2.如果函数()()2f x x a a R =+∈的二阶不动点恰是它的一阶不动点,求实数a 的取值范围。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理(例如微分方程,积分方程,代数方程等)的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义 设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1)代数意义:若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2)几何意义:若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题,往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用 相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间,距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射,且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明 在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =,12Tx x =,…,n n Tx x =+1,… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=; ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=; ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+, ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明 由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时(λ是常数),()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明 在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-,R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0,取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ,已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ,且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微,且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明:若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1,任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根(即*x 为()x f 的不动点).证明 已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1(),(a x n ∈ξ) 由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明 易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续,且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤,则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验:把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设: 对椅子和地面做一些假设:1)椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2)地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点(没有像台阶那样的情况).即地面可视为数学上的连续曲面.3)对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4)椅子转动时中心不动.模型分析:在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚着地了,椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同,所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和,()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2)知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3),椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,所以对于任意的θ,()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0,当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解:令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵,()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明:若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑,则方程b Cx x +=有唯一解.证明 设X 是n R (或n C ),定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理 相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1(Brouwer 不动点定理)设Ω是n R 中的有界闭凸子集,Ω∂表示Ω的相对边界;设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点(否则,存在B x ∈,使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1,得到矛盾).在应用中,常常涉及到无穷维空间(如[][]b a L b a C ,,,2)上的算子,由上例可知,Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”,则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2(Schauder 不动点定理) 设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3(Leray —Schauder 不动点定理)设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明 令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰,则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊,屈田兴.应用泛函分析[M].长沙:国防科技大学出版社,2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2003.[4]钟承奎,范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报,2008.。
浅谈Banach不动点原理与应用
浅谈Banach不动点原理与应用作者:王涛廖雷来源:《文存阅刊》2018年第22期摘要:Banach不动点定理是度量空间理论的一个重要工具。
本文介绍了泛函分析中的Banach不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用,在证明数值分析中迭代法原理的应用。
关键词:Banach;不动点;迭代法一、预备知识定义1:设X是度量空间,T是X到X中的映射,如果存在一个数a,0定理1:(Banach不动点原理):设X是完备的度量空间,T是X上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点,即方程Tx=x,有且只有一个解。
定理2:设X是完备的度量空间,T是X上的压缩映射,对所有x,y∈X,成立d(Tx,Ty)≤ad(x,y),对任意x0∈X,定义xn=Txn-1,则存在唯一不动点x*,使得xn→x*,且d(xn,x*)≤ d(xn,xn-1)≤d(x1,x0) [1]。
二、Banach不动点原理的在数学其他学科中的应用(一)不动点原理在解决线对方程组AX+b=X,其中X=(x1,x2,…,xn)T∈in,A=(aij)n×n,b(b1,b2,…,bn).对in取范数‖x‖2=|x1|.下面使用Banach不动点原理讨论此方程组在系数满足什么条件时,存在唯一解。
(二)Banach不动点原理在证明数值分析中的迭代法的应用定理3:迭代法不动点原理设映射g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数,且满足:(1)封闭性:对x∈[a,b],有g(x)[a,b]。
(2)压缩性:L∈(0,1),使得对x∈[a,b],|g (x)|≤L则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*,且对x0∈[a,b],xk=g(xk-1)收敛于X*,且|x*-xk|≤|xk-xk-1|≤|x1-x0|有使用Banach不动点原理对推论证明:由原理内容知,g(x)是[a,b]到[a,b]的线性映射;R和[a,b]均完备;条件(2)等价于g(x)为压缩映射。
泛函分析中的不动点迭代方法
泛函分析中的不动点迭代方法泛函分析是数学中的一个重要分支,研究的是函数空间中的元素及其性质。
在泛函分析领域中,不动点迭代方法是一种重要的解题工具。
本文将介绍不动点的基本定义和性质,并详细阐述如何应用不动点迭代方法解决泛函分析中的问题。
一、不动点的定义在泛函分析中,给定一个函数或者算子,我们称其不动点是指在函数或者算子作用下仍保持不变的点。
具体而言,对于一个函数f,若存在一个点x使得f(x) = x成立,则称x为f的不动点。
对于一个算子T,若存在一个向量v使得T(v) = v成立,则称v为T的不动点。
二、不动点的性质不动点在泛函分析中具有一些重要的性质,这些性质是不动点迭代方法能够顺利应用的基础。
以下是其中几个主要性质的介绍:1. 唯一性:不动点不一定是唯一的。
一个函数或算子可能有多个不动点。
2. 不动点集:对于一个函数或算子的所有不动点构成了一个集合,称为不动点集。
3. 不动点不变性:若一个函数或算子的不动点集是它自身的子集,则该函数或算子称为具有不动点不变性。
三、不动点迭代方法的应用不动点迭代方法是一种常用的解决泛函分析问题的方法,其基本思想是通过迭代过程逐步逼近不动点。
下面将介绍不动点迭代方法的一般步骤:1. 确定函数或算子:首先需要确定一个函数或算子,假设为f或T,且希望求解的不动点为x。
2. 构造递推公式:根据函数或算子的不动点定义,可以构造一个递推公式来逐步逼近不动点。
3. 进行迭代计算:根据递推公式进行迭代计算,直到满足停止准则或达到预设的精度要求。
4. 检验收敛性:对于得到的逼近结果,需要进行收敛性分析,确保逼近的不动点与真实不动点的误差在可接受范围内。
四、案例应用以一个简单的线性方程组为例来说明不动点迭代方法的应用。
设有一线性方程组Ax=b,其中A为已知系数矩阵,x为未知变量向量,b为已知常数向量。
我们可以将该方程组转化为不动点问题进行求解。
首先,根据线性方程组的定义,有Ax=b,可以将其转化为x=Bx+c的形式,其中B为系数矩阵,c为常数向量。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支,研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中,不动点定理是一项极为重要的结果,它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一,它指出在一定条件下,对于某个变换,总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说,就是存在一个点,该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式,其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem),该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一,它具体表述为:若给定一个完备的度量空间,并且在该度量空间上定义了一个压缩映像,那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下:对于给定的度量空间(X, d),若存在一个常数0 < k < 1,对于任意的 x, y ∈ X,满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y),则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂,在此不展开叙述,但是通过巴拿赫不动点定理的证明,我们可以得出一个重要结论:在完备的度量空间上,压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用,以下是其中两个典型的应用实例:1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程,然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如,在实数轴上关于初始值问题的微分方程中,可以通过构造合适的算子和空间,将微分方程转化为一个算子方程,然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中,不动点定理也有着广泛的应用。
数学中不动点理论及其应用分析
数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具,被广泛应用于不同的学科和领域,例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。
本文将对不动点理论进行详细分析,并探讨其在数学中的应用。
不动点是指一个函数中的某个点,在施加函数变换后,其值保持不变。
即对于函数f(x),若存在x使得f(x) = x,则x即为f的不动点。
不动点理论主要关注寻找函数的不动点,并研究其性质和存在条件。
在数学分析中,不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。
Banach不动点定理也被称为压缩映射原理,它是20世纪最重要的数学发现之一,为数学中不动点理论的研究奠定了基础。
Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。
如果在某个度量空间中,存在一个压缩映射,即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0<q<1),其中d(x, y)代表x和y之间的距离,则这个压缩映射必有一个不动点。
换句话说,如果将一个空间的点映射到自身,并且映射过程中距离会不断缩小,那么必然存在一个点保持不变,这个点即为不动点。
Brouwer不动点定理则更加普遍,它适用于拓扑空间中的紧集合。
该定理表明,任何连续映射都至少有一个不动点。
虽然定理的证明相对复杂,但其结论确实深刻而重要。
不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。
其中,动力系统是其中之一。
动力系统研究的是在时间推移下,系统如何演化的数学模型。
通过不动点理论,我们可以确定系统演化的稳定状态,即系统的不动点。
不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。
不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。
对于给定的方程,通过找到方程的不动点,可以解决方程的存在性及唯一性问题。
这对于数学建模和分析具有重要意义。
此外,不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。
在经济学中,通过构建经济模型的不动点,可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》范文
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》篇一一、引言不动点定理在数学分析、微分方程以及泛函分析等多个领域都有广泛应用,它是关于自映射或非自映射在一定条件下的存在性定理。
本文旨在探讨几类经典的不动点定理以及Edelstein不动点定理的统一性,分析其内在联系与异同,以期为相关研究提供参考。
二、经典不动点定理简介(一)巴拿赫不动点定理巴拿赫不动点定理是一种重要且基本的泛函分析不动点定理,是现代数学理论中一个重要的工具。
该定理指出,在完备的度量空间中,一个压缩映射必存在唯一的不动点。
(二)斯宾格勒不动点定理斯宾格勒不动点定理则是针对多值压缩映射提出的。
在特定条件下,斯宾格勒不动点定理也证明了该类映射的不动点的存在性。
(三)查特利斯—怀特-戈利雅-尼尔森(Chatterjea-Whitney-Gorias-Nielsen)定理查特利斯—怀特-戈利雅-尼尔森定理关注的是具有收缩性的非自映射。
在适当的条件下,该定理保证了这类非自映射存在一个不动点。
三、Edelstein不动点定理Edelstein不动点定理是一种广义的不动点定理,它适用于更广泛的自映射和拓扑空间。
Edelstein定理描述了在具有特殊性质的空间中,即使不满足其他不动点定理的条件,仍有可能存在不动点。
这一理论的引入进一步扩展了不动点理论的应用范围。
四、几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一性分析虽然几类经典的不动点定理和Edelstein不动点定理在形式和适用条件上有所不同,但它们在本质上都探讨了自映射或非自映射的不动点的存在性。
这些定理的共同点是它们都要求映射具有某种形式的“压缩”或“收缩”性质,从而保证不动点的存在性。
此外,这些定理的证明方法也具有一定的相似性,都依赖于特定的拓扑性质和空间结构。
五、结论通过对几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一性分析,我们可以看出这些定理在形式和实质上具有内在联系。
泛函分析中的不动点迭代方法
泛函分析中的不动点迭代方法泛函分析是数学的一个分支,研究的是无穷维空间中的函数和算子。
不动点迭代方法是泛函分析中一种重要的解题技术,用于寻找函数的不动点。
本文将介绍不动点迭代方法的基本原理和应用。
一、不动点的定义与性质在泛函分析中,我们考虑函数f:X→X,X是一个完备的度量空间,如果存在一个元素x∈X,使得f(x)=x,则称x为函数f的不动点。
不动点的存在性是泛函分析中一个重要的问题,不动点迭代方法正是为了寻找这些不动点。
对于给定的函数f,如果存在一个映射T:X→X,使得对任意的x∈X,迭代序列xn+1=T(xn)收敛于函数f的不动点x∗,那么我们称T为不动点迭代方法。
二、不动点迭代方法的基本原理不动点迭代方法的基本思想是通过构造一个适当的映射T,使得序列的迭代过程逐渐靠近函数的不动点。
具体来说,我们从一个初始点x0开始,通过迭代公式xn+1=T(xn)不断更新序列的值,直到收敛于函数的不动点x∗。
不动点迭代方法的收敛性分析是泛函分析中的一个重要问题。
根据Banach不动点定理,如果映射T满足以下条件:(1) T是一个压缩映射,即存在一个常数0≤k<1,对于任意的x,y∈X有d(T(x),T(y))≤k·d(x,y),其中d(·,·)表示X中的度量;(2) X是一个完备度量空间。
那么不动点迭代方法序列xn收敛于T的不动点x∗,且收敛速度是指数级的。
三、不动点迭代方法的应用不动点迭代方法在泛函分析中有广泛的应用,以下是一些常见的应用场景:1. 方程求解:对于某些非线性方程,可以通过将其转化为函数的不动点问题,然后利用不动点迭代方法求解。
例如,考虑方程f(x)=0,可以构造映射T(x)=x-g(x),其中g(x)=f(x)+x,通过迭代序列xn+1=T(xn)求解方程。
迭代过程中,不断逼近方程f(x)=0的解。
2. 最优化问题:不动点迭代方法也可以应用于最优化问题的求解。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析中不动点理论及其应用泛函分析是数学领域的一门重要分支,主要研究函数空间上的映射和算子的性质及其应用。
不动点理论是泛函分析中重要的工具之一,它研究的是映射的不动点及其在各个领域的应用。
本文将介绍泛函分析中的不动点理论以及其应用。
一、泛函分析中的不动点理论不动点是指一个映射中的一些点,经过映射后的值等于原点的值。
在泛函分析中,我们关注的是线性算子或非线性算子的不动点。
不动点理论主要研究的是映射的不动点存在性、唯一性、稳定性等性质。
不动点理论最基本的结果是Banach不动点定理,它是20世纪初,由波尔莫格洛夫和厄特-斯克瓦伊利亚构建并证明的。
Banach不动点定理指出,在完备度量空间中,压缩映射必存在唯一的不动点。
这个定理为不动点理论的发展奠定了基础,也为其他领域的研究提供了数学的支撑。
在泛函分析中,不动点理论有多种推广和拓展。
比如,对于非线性算子,可以通过逐步逼近的方法,将其转化为一个线性算子的问题,进而得到不动点的性质。
此外,还有类似于半群理论、运算子等概念的发展,使不动点理论的适用范围进一步扩大。
二、不动点理论的应用不动点理论在泛函分析以及其他领域中具有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用领域。
1.微分方程:不动点理论可以用于解微分方程的问题。
例如,在常微分方程的初值问题中,将微分方程转化为算子的问题,通过不动点的存在性和唯一性来得到方程的解。
2.经济学:不动点理论可以用于分析经济模型中的均衡点。
例如,在一些市场均衡或者一些价格调整模型中,通过构造合适的映射,可以得到经济模型的均衡点,并且通过不动点的存在性和唯一性来研究经济的稳定性。
3.优化问题:不动点理论在优化问题中也有应用。
例如,在凸优化问题中,可以将优化问题转化为不动点问题,通过不动点的性质来研究优化问题的解。
4.图论:不动点理论在图论中有着重要的应用。
例如,在图的可达性问题中,可以通过构造相应的算子,将图的可达性问题转化为不动点的问题,通过不动点的性质来研究图的可达性。
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义:设X 为一个集合,一个映射d :X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ,有 (I )(正定性)d(x,y )≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y ; (Ⅱ)(对称性)d(x,y)=d(y,x );(Ⅲ)(三角不等式)d(x,z )≤d(x,y)+d(y,z )则称d 为集合X 的一个度量(或距离)。
称偶对(X ,d )为一个度量空间,或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ,b 】空间、2l 空间,这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间,在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限,抽密集,可分空间: 证明极限有二种方法:1、定义法:设{}n x 是(X ,d )中点列,如果存在x ∈X ,是lim (,)n x d x x →∞=0,则称点列{}n x是(X ,d )中的收敛点列,x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈,n=1、,2……,n x x →,则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义,由这些系列例子可以看到,尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致,所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念,根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间,坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集,离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法:1、定义法:设X=(X ,d ),Y=(Y ,d )是两个度量空间,T 是X 到Y 中的映射,0x X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数δ0,使对X 中一切满足d (x ,0x )δ 的x ,有(,)d Tx Tx ε ,则称T 在0x 连续。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支,主要研究向量空间中的函数和算子的性质及其相互关系。
不动点定理是泛函分析中的一项基本定理,它在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、主要结果以及其在一些实际问题中的应用。
一、不动点定理的概念不动点定理是指在给定的函数空间中,存在一个函数,它在函数空间中的作用下保持不变。
具体而言,设X为一个非空集合,f为从X到X的映射,如果存在一个元素x∈X,使得f(x)=x,则称x为f的不动点。
不动点定理的证明主要基于完备度和收敛性的概念。
如果给定的空间是完备的,并且函数的映射是连续的,那么不动点定理可以成立。
常见的不动点定理有Banach不动点定理、Brouwer不动点定理和Schwarz-Zippel不动点定理等。
二、主要的不动点定理结果1. Banach不动点定理:设X为一个完备的度量空间,f为X上的一个压缩映射,即存在一个常数k(0 < k < 1),对于任意的x, y∈X,有d(f(x), f(y)) ≤ k · d(x, y)。
则f存在唯一的不动点,即存在x∈X,使得f(x) = x。
2. Brouwer不动点定理:设D是欧几里德空间中的一个非空、闭、有界的凸集,f为D到D的连续映射,则f存在不动点,即存在x∈D,使得f(x) = x。
3. Schwarz-Zippel不动点定理:设D是n维欧几里德空间中的有界凸集,f为D到D的连续映射,并且满足f(0) = 0。
如果f是单调递增的,并且存在一个点a∈D,使得f(a) ≥ a,则f存在不动点。
三、不动点定理的应用不动点定理在实际问题中有着广泛的应用,例如在经济学、力学、计算机科学等领域。
在经济学中,不动点定理可以用来证明一些重要的经济模型的存在性。
例如,通过对需求曲线和供给曲线的分析,可以利用Banach不动点定理证明市场均衡点的存在性。
在力学中,不动点定理可以用来证明牛顿方程的解的存在性。
[实用参考]不动点定理及其应用(高考)
摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词:Banach不动点定理,数列通项,有界性,单调性,收敛性.AbstractThisarticlefirstlPintroducedtheFiGpointTheoreminBanachspace,theone-dimensionaleGtende dformoftheFiGpointTheoreminotherlineartopologicalspaceandtheeGtendedformingeneralcomplete metricspace.Then,wesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFiGpointTheorem,analPzin gthecharacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountrPrecentPears,includingthepro blemofgeneraltermandboundednessofasequenceofnumber.Atlast,attractivefiGpointandrejectionfiG pointinFiGpointTheoremwereintroducedwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicitPandastrin gencPofsequenceofnumber.KePwords:BanachfiGedpointtheorem,Sequence,Boundedness,MonotonicitPConvergence.目录第1章绪论 (1)1.1导论 (1)1.1.1 选题背景 (1)1.1.2 选题意义 (2)1.1.3 课题研究内容 (2)1.2 研究现状 (2)1.3本章小结 (3)第2章不动点定理 (4)2.1 有关概念 (4)2.2 不动点定理和几种推广形式 (4)2.3 本章小结 (7)第3章不动点定理在数列中的应用 (8)3.1 求数列的通项公式 (8)3.2 数列的有界性 (9)3.3 数列的单调性及收敛性 (11)3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)3.4 本章小结 (17)第6章结束语 (18)参考文献 (19)第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1].在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论[2].1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念[3].我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4].不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射,而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题.最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6],他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想,并给出了Banach 不动点定理[6].这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论.1.1.1选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容,但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项,数列有界性、数列的单调性及收敛性等,历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.因此,它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一,尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2选题意义利用“不动点”法巧解高考题,递推公式求数列的通项,证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等,历来是高考的重点和热点题型,那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此本文对函数“不动点”问题的研究结果,来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.1.1.3课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明,不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论,研究了以下的内容:①利用不动点定理的迭代思想,简化求递推数列的通项问题.②以不动点定理为指导思想,证明数列的有界性.③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性,并借此解决一些高考题.1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题,又比较有新生命力的领域,它的历史悠久,却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来,特别是最近的二三十年来,由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力,这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展,不断有新的不动点理论研究成果涌现,并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一,它依据于著名的巴拿赫(Banach )压缩映射定理,如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()f x ()f x 把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中,则有0[0,1]x ∈,使00()f x x =.波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果你不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来,有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题,将拓扑学不动点定理的一些基本思想,采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去,扩大中学生的知识领域,加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中,不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题,例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题,从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3本章小结本章介绍了选题的背景和意义,并对课题的要求和研究内容作了分析,对不动点定理的现况作了概要性的说明,是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章不动点定理2.1有关概念函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x ,使0()f x x =.就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:⑴代数意义:若方程00()f x x =有实数根0x ,则00)(x x f =有不动点0x . ⑵几何意义:若函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ,则0x 为()y f x =的不动点.为了介绍不动点的一般概念,本文先介绍以下相关概念.定义1[7]度量空间:设X 是一个集合,R X X →⨯:ρ.如果对于任何X z y x ∈,,,有 ⑴(正定性)(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当y x =;⑵(对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;⑶(三角不等式)(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+,则称ρ是集合X 的一个度量,偶对()ρ,X 是一个度量空间.定义2[7]压缩映射:给定()ρ,X 如果对于映射T :X X →存在常数K ,10<<K 使得(,)(,)Tx Ty K x y ρρ≤,(,)x y X ∀∈则称T 是一个压缩映射.定义3[7]CauchP 列:给定(,)X ρ,{}n x X ⊂,若对任取的0>ε,有自然数N 使对εN n m >∀,,都成立(,)m n x x ρε<则称序列{}n x 是CauchP 列.定义4[7]完备度量空间:给定(,)X ρ,若X 中任一CauchP 列都收敛,则称它是完备的.定义5[8]不动点:给定度量空间(,)T ρ及X X →的映射T 如果存在X x ∈*使**xTx =则称*x 为映射T 的不动点.定义6[9]凸集:设X 是维欧式空间的一点集,若任意的两点X x X x ∈∈21,的连线上的所有的点)10(,)1(21≤∂≤∈∂-+∂X x x ;则称X 为凸集.2.2不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程,诸如代数方程、微分方程、函数方程等,种类繁多,形式各异,但是它们常能改写成()f x x =的形状这里的x 是某个适当的空间X 中的点,f 是X 到X 的一个映射,把每个x 移到()f x .方程()f x x =的解恰好就是在f 这个映射下被留在原地不动的点,故称不动点,于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题,不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明定理l (Banach 不动点定理——压缩映射原理[10])设(,)X ρ是一个完备的度量空间T 是(,)X ρ到其自身的一个压缩映射,则T 在X 中存在惟一的不动点.证明首先,证明T 存在不动点取定X x ∈0以递推形式n n Tx x =+1确定一序列{}n x 是CauchP 列.事实上,由1111221210(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m m x x Tx Tx K x x K Tx Tx K x x K x x ρρρρρρ+------=≤=≤≤≤任取自然数n m ,,不妨设n m <那么 1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11m m n m n m m n n n m mm x x x x x x K K K x x K K K x x x x K Kρρρρρρ-----≤++≤+++-=≤-- 从而知{}n x 是一CanchP 列,故存在X x ∈*使*x x n →且*x 是T 的不动点,因为******1(,)(,)(,)(,)(,)()n n n n x Tx x x x Tx x x K x x n ρρρρρ-≤+=+→→∞故**(,)0x Tx ρ=,即**x Tx =,所以*x 是T 的不动点.其次,下证不动点的惟一性设T 有两个不动点*1*,x x ,那么由**x Tx =及*1*1x Tx =有 ******111(,)(,)(,)x x Tx Tx K x x ρρρ=≤设*1*x x ≠,则**1(,)0x x ρ>,得到矛盾,从而*1*x x =,唯一性证毕. 作为Brouwer 不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder 证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder 不动点定理I :定理2设E 是Banach 空间,X 为E 中非空紧凸集,X X f →:是连续自映射,则f 在X 中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意X x ∈,()x f 是紧的),这时映射的定义域可不必是紧集,甚至不必是闭集,有下面定理,我们称其为Schauder 不动点定理II :定理3设E 是Banach 空间,X 为E 中非空凸集,X X f →:是紧的连续自映射,则f 在X 中必有不动点.定义6设E 是线性拓扑空间,如果E 中存在由凸集组成的零邻域基,则称E 是局部凸的线性拓扑空间,简称局部凸空间.1935年,TPehonoff 进一步将Sehauder 不动点定理I 推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面的不动点定理,我们称其为TPehonoff 不动点定理:定理4设E 是局部凸线性拓扑空间,X 是其中的非空紧凸集,X X f →:是连续自映射,则f 必有不动点,即存在X x ∈0,使得00()f x x =.1950年,Hukuhara 将Schauder 不动点定理II 与TPehonoff 不动点定理结合起来得到下面的定理,我们称其为Sehauder--TPchonoff 不动点定理:定理5设E 是局部凸线性拓扑空间,X 是其中的非空凸集,X X f →:是紧连续自映射,则f 必有不动点,即存在X x ∈0,使得00()f x x =.从20世纪30年代起,人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点, 定义如下:定义7设X 是拓扑空间,X X T 2:→是集值映射,其中X2表示X 的所有非空子集的集合.若存在X x ∈0,使00()x T x ∈,则称0x 是T 的不动点.1941年,kllcIltani 把Bmuwer 不动点定理推广到集值映射的情形,得到下面的不动点定理,我们称其为Kakutani 不动点定理:定理6设m R X →是凸紧集,且X X T 2:→是具闭凸值的上半连续集值映射,则T 必有不动点.1950年,Botmenblust ,Karlin 把Sehauder 不动点定理I 推广到集值映射的情形: 定理7设E 是Banach 空间,X 是E 中的非空紧凸集,X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射,则T 必有不动点.1952年,Fan ,Glicksberg 分别把TPehonoff 不动点定理推广到集值映射的情形,成为Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理或K-F —G 不动点定理.即: 定理8设E 是局部凸的Hausdorff 线性拓扑空间,X 是E 中的非空紧凸集,XX T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射,则T 必有不动点. 1968年,Browder 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理,本文称此定理为Fan-Browder 不动点定理:定理9设X 是Hausdorff 线性拓扑空间E 中的非空凸紧子集,集值映射XX S 2:→满足:(1)对任意X x ∈,()S x 是X 中的非空凸集(2)对任意{}1,():()y X S y x X y S x -∈=∈∈是Z 中的开集则存在X x ∈0,使00()x S x ∈.本章小结本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明,概况了对不动点定理的几种推广形式.第3章不动点定理在数列中的应用在高考试题中,数列向所对应函数的不动点收敛的问题,常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决.“不动点”问题虽不是高考大纲的要求,但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用,在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I 为例,20PP 年,20PP 年、20PP 年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决.用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10已知数列{}n x 满足()()d cx b ax x f x f x n n ++==-,1,其中0,0≠-≠bc ad c ,设p 是()x f 唯一的不动点,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 证明因为p 是()x f 唯一的不动点,所以p 是方程d cx b ax x ++=,亦即p 是一元二次方程()02=--+b x a d cx 的唯一解.得ap cp pd b cd a p -=--=2,2 所以 ()()()()d cx p x pc a dcx ap cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111()()()()p x cp a cp d pc a c px cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++-=-++--=--+=------11111111把cd a p 2-=代入上式,得: px d a c p x n n -++=--1121 令d a c k +=2,可得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题,已知数列{}n x 的首项,数列的递推关系,求数列的通项,这类问题往往难度很大,通过不定点定理,大大降低了此类问题的难度.例1若1121,1--=-=n n a a a (*N n ∈,且2≥n )求数列{}n a 的通项公式. 解根据迭代数列121--=n n a a ,构造函数()x x f -=21,易知()x f 有唯一的不动点1=p ,根据定理可知2,1,1,0=-===d c b a ,则111111-+-=--n n a a 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项21-,公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为 ()()n n a n -=--+-=-21112111 解得nn a n 2123--= 又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为nn a n 2123--=. 对于此类形式的数列,已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1,其中0,0≠-≠bc ad c ,求其通项.运用不动点定理,可以简单快捷地解答.即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项1a ,公差为da c +2的等差数列. 推论已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1,其中0≠a ,设p 是()x f 唯一的不动点,则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列例2若32,111+=-=-n n a a a ,(*N n ∈,且2≥n ),求数列{}n a 的通项公式.解根据迭代数列321+=-n n a a ,构造函数()32+=x x f ,易知()x f 有唯一的不动点3-=p ,根据推论可知3,2==b a ,则()()()3231--=---n n a a所以()3231+=+-n n a a所以{}3+n a 是以231=+a 为首项,2为公比的等比数列,则当2≥n 时,有n n a 23=+,故32-=n n a又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .在高中阶段,学生在学习了数列之后,经常会遇到已知1a 及递推公式,求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题,很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法,应用此法可巧妙地处理此类问题.3.2数列的有界性在高考中会经常出现证明数列有界性的问题,不等式问题是高考中的一个难点,数列与不等式结合,使得这类问题更加的棘手了,而不动点定理却给了我们思想上的一个指导,即解决这类问题,我们可以先求出不动点,然后用数学归纳法证明.例3(20PP 年全国II )函数()x x x x f ln -=.数列{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10.证明:11<<+n n a a .分析函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛证明当()1,0∈x 时,()0ln '>-=x x f ,所以()x f 在区间()1,0内是增函数;又101<<a ,所以()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ;。
泛函分析中不动点理论及其应用
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)1.引言 (1)2.不动点定义及定理介绍 (2)2.1不动点相关定义 (2)2.2不动点思想 (2)2.3不动点相关定理 (6)3.不动点思想在其他学科的应用 (8)3.1在求数列通项公式中的应用 (8)3.2在求方程解中的应用 (11)3.3在求函数解析式中的应用 (12)4.不动点定理在证明中的应用 (14)4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14)4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15)4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17)4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17)4.5 不动点定理在图论中的证明 (14)参考文献 (18)致谢 (19)内容摘要:本文简要介绍了不动点思想及相关定理,对Banach不动点定理做了一些简单的推论,应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。
并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。
关键词:不动点不动点思想不动点定理应用Abstract:Key words:1.引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支,以其高度的统一性和广泛的应用性,在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中。
许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理,例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理,在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽象的结果。
不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题,是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础,它是关于具体问题解的存在唯一性的定理,其中Banach 不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解的最佳逼近程序,给出了近似解的构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用,在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
2.不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1 设X 为非空集合,:T X X ®是一个映射,如果x X $ 使得T x x =成立,则称x 为映射T 的一个不动点。
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目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)1.引言 (1)2.不动点定义及定理介绍 (2)2.1不动点相关定义 (2)2.2不动点思想 (2)2.3不动点相关定理 (6)3.不动点思想在其他学科的应用 (8)3.1在求数列通项公式中的应用 (8)3.2在求方程解中的应用 (11)3.3在求函数解析式中的应用 (12)4.不动点定理在证明中的应用 (14)4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14)4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15)4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17)4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17)4.5 不动点定理在图论中的证明 (14)参考文献 (18)致谢 (19)内容摘要:本文简要介绍了不动点思想及相关定理,对Banach不动点定理做了一些简单的推论,应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。
并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。
关键词:不动点不动点思想不动点定理应用Abstract:Key words:1.引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支,以其高度的统一性和广泛的应用性,在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中。
许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理,例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理,在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽象的结果。
不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题,是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础,它是关于具体问题解的存在唯一性的定理,其中Banach 不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解的最佳逼近程序,给出了近似解的构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用,在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
2.不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1 设X 为非空集合,:T X X ®是一个映射,如果x X $ 使得T x x =成立,则称x 为映射T 的一个不动点。
特别地,函数()f x 是定义在D R Ì上的函数,如果x D $ 使得()f x x =成立,则称x 为函数()f x 的一个不动点。
定义 2 设(),X r 是距离空间,T 是X 到其自身的映射,且对于任意的,x y XÎ,不等式()(),,Tx Ty x y r qr £都成立,其中q 是满足01q?的常数。
则称T 是X 上的压缩映射。
2.2不动点思想首先,对于函数()y f x =的不动点,有两个方面的理解:1)()y f x =的不动点,是方程()0f x x -=的根。
2)()y f x =的不动点,是函数()y f x =与y x =的交点。
有了这两个方面的理解,很显然,可以用不动点思想来求方程的根和函数的交点。
其次,由于()()()()()()()(),,f x x ff x f x x f f f x f x x ===== 无论迭代多少次,总是x 本身,所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。
2.3不动点相关定理定理1 设(),X r 为完备的距离空间,T 是X 上的压缩映射,则T 在X 中存在唯一的不动点,即存在唯一的x X Î,使得T x x =。
并且该不动点可以用迭代法求得。
有时候映射T 不能满足定理1的条件,故不能应用它,因此有必要将定理加以拓广,由此得到定理2。
定理2 设(),X r 为完备的距离空间,T 是X 到其自身的映射,如果存在常数:01q q?以及自然是0n 使得对于任意的,x y XÎ,()()0,,n n T x T y x y r qr £成立,那么T 在X 中存在唯一的不动点。
为使用的方便,由上述定理1的证明过程,容易得到下面的定理3。
定理3 若数列{}n x 满足条件211n n n n x x r x x +++-? ()1,2,3,01n r=?则{}n x 一定存在极限。
在定理1中取X R =,r 为R 中常见距离,则又可以得到下述定理4。
定理4 若函数()f x 是定义在D R Ì上的函数,若[),,0,1x y D q "? 使得()()fx f y x yq -?,那么函数()f x 在D 中存在唯一不动点。
若()f x 满足更强的条件,在D 是可导,则由微分中值定理,可得定理5。
定理 5 若函数()f x 是定义在D R Ì上的可导函数,且满足(),x D f x K¢"危,其中01K ?,则函数()fx 在D 中存在唯一不动点。
将此结论应用到数列中,有可得到下述的定理。
定理 6 设函数(),y f x x D = 可导且满足()1f x K¢?,定义数列()1n nx fx +=,1,2,3,n = 那么{}nx 一定存在极限。
有了上述一系列的定理,我们可以应用它们解决很多问题。
3.不动点思想在其他学科的应用3.1在数列通项公式中的应用命题1 若函数()f x ax b =+,0x 为()f x 的不动点,{}n a 满足()1n n a f a +=则{}0n a x -是以a 为公比的等比数列。
命题2 若函数()()0,0ax b f x c ad bc cx d+=?+,数列{}n a 满足()1n n a f a +=则有:(1)若()f x 有两个不动点,p q ,则数列nn a p a q 禳-镲睚-镲铪是等比数列。
(2)若()f x 只有一个不动点p ,则数列1n a p 禳镲睚-镲铪是等差数列。
证明(1),p q 是()f x 的不动点,则,p q 分别满足()20,cp d a p b +--=()20cq d a q b +--=,于是()()11n n n n n n n n aa bpa pc ab pd a p ca d aa b a qa qc ab qdqca d+++--+--+==+--+--+()()()()()()22n na pc a p cp d a p ba qc aq cq d a q b轾---+--臌=轾---+--臌n n a p a pc a qca q--=--故数列nn a p a q 禳-镲睚-镲铪是等比数列。
(2)p 是()f x 的唯一不动点,那么p 满足()20c p d a p b +--=且()()22cx d a x b x p +--=-。
于是11111n n n n n aa b a pa pa ppca d+-=-+----+()()()2n n n nca d a a b a pc a b pdap +--=轾-+--臌()()()()2n n n a p a pc a p a p -=轾---臌1a pc=-故列1n a p 禳镲睚-镲铪是等差数列。
例1.已知113,21,n n a a a +==-求数列{}n a 的通项公式。
解:设()21f x x =-,则()f x 的不动点为01x =,故{}1n a -是以2为公比的等比数列,而13a =,所以11222n nn a --=?,故21n n a =+例2.已知111,21n n n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式。
解:设()21xf x x =+,则()f x 有唯一的不动点0x =,故1n a 禳镲睚镲铪是等差数列,1112n na a +-=,而11a =,故()1121nn a =+-,从而可得121n a n =-。
3.2在求方程解中的应用命题3 若0x 是()y f x =的不动点,那么0x 也是()()y ff x =的不动点。
证明:0x 是()y f x =的不动点,那么()00f x x =,故()()()0f f x f x x ==,从而命题得证。
例3 求方程43222210x x x x --++=的解。
解:原方程可转化为()()222111x x x x x ------=,令()21f x x x =--,此题即求()()y ff x =得不动点。
由命题3,()y f x =的不动点也是()()y f f x =的不动点,从而求出()y f x =的不动点1211x x ==-。
即12,x x 是原方程的两个根。
故4322221x x x x --++必含((11x x 轾轾---犏犏臌臌,由多项式除法,((()43222221111x x x x x x x轾轾--++=-+---犏犏臌臌,得到方程的另两个根341,1x x ==-。
由定理1可知,不动点可由迭代法求得,应用此思想也可以求一些方程的近似解。
例4 求方程cos -=0x x 的近似解。
解:设()cos f x x =,本题转化为求()f x 在上的不动点。
由函数图象c o s ,y x y x ==只有一个交点,故()fx 只有一个不动点。
取初始值01x =,1cos n n x x +=,进行迭代,可以得到方程的近似解0.9998477x »。
3.3在求函数解析式中的应用命题 4 设(),1f x ax b a =+ ,定义()()()1,n nf x ffx n N ++=,则(),11nnb b fx a x n N aa +骣琪=-+ 琪--桫 证明:令()f x x =,得()f x 的不动点01b x a=-,原命题即证()()0nnfx ax x x=-+,用归纳法证明如下:1)当1n =时,结论显然成立。
2)假设当n k =时,结论成立。
即()()0kkfx a x x x=-+。
则当1n k =+时,()()()()()()10000k kk k fx ffx fa x x x a a x x x b+轾==-+=-++臌 ()()110000k k a x x ax b a x x x ++=-++=-+ 命题得证。
例5. 设()41f x x =-,定义()()()1,n nf x f fx n N ++=,求()nfx解:首先求出()f x 的不动点,013x =。
由命题4可知()11433nnfx x 骣琪=-+琪桫例5.求所有函数()f x ,使其定义域为一切正实数,值为正实数,且 (1)()()()0,0,x y f xf y yf x ">>=; (2)()lim 0x f x=。
解:设()f x 是满足题设条件的函数,则首先证明:1是()f x 的一个不动点。