(整理)微分方程练习题
微分方程习题
例6 解
1 求解方程 y′′ − 2 y′ + y = ( x + cos 2x). 2 特征方程 r 2 + 4 = 0,
特征根
r1, 2 = ±2i ,
对应的齐方的通解为 Y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x .
则 ( y * )′ = [ax 3 + ( 3a + b ) x 2 + 2bx ]e x , ( y * )′′ = [ax 3 + (6a + b ) x 2 + (6a + 4b ) x + 2b]e x ,
将 y * , ( y * )′, ( y * )′′ 代入原方程比较系数得
1 1 a= , b=− , 6 2
1 y = C1 + C 2 x + . x
2
二、练习自测
1 求下列微分方程通解或特解 求下列微分方程通解或特解:
(1) (2) (3)
ydy + e
y2 +3 x
dx = 0;
dy 2 2 = 1 + x + y + xy ; dx
( y sin x − 1)dx − cos xdy = 0;
dy 1 cos y − sin y = e x sin 2 y; (4) dx x
dy = 1 + x + y 2 + xy 2 dx
原方程变为
dy = (1 + x )(1 + y 2 ), dx
微分方程练习题
第7章微分方程练习题习题7 .11 •选择题 (1)()是微分方程((A )) d = (4x -1)d .( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2一 3y 2 = 0 . ((D ) ) sin xdx = 0.(2)()不是微分方程((A )) y 3y =0 .((B))亠4 = 3X + Sin X . dx((C ))3y 2一 2x y = 0 .2 2 2 2((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0(3)微分方程(y )23xy =4sinx 的阶数为() ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1.((D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”)⑵ (x _2y)y =2x2-y, x -x y⑶ dx . - sin y =0, dyy 二 arccosxC ⑷井 2丄2y =X y ,1 y - x习题7.21. 解微分方程2二C( )(1)(1) xy =2y, y =5x .dy 1dx xdy dxi-y 2 1 -x 2(5) x 2y xy y x =1_ 二4-2 •解微分方程（1）（x y ）y（一八。
• ⑵y2X 2/y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0.dy xy - • dx3 .解微分方程(1) y y =e (2) y cosx y sin x =1.选择题(1)( )是微分方程((A)) = (4x -1)d .(B) ) y =2x 1 .((C))(D) ) sinxdx =0 .(2)() 不是微分方程((A)) y，+ 3y =0 . ((B)) =3x si nx .((C) ) 3y2-2x y = 0 ((D))dx2(x2y2 )dx (x2- y2)dy =0 .(3)微分方程(y )2 3xy =4sinx的阶数为(((A) ) 2 . ( (B) ) 3.((C) ) 1. (D) ).2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”(1)xy =2y, y =5x2.(X _2y)y =2X _ y, x2 _ X鱼siny=0, dy y二arccosx C解微分方程dx x 习题7.2dydx1-y21 -x2⑷ y(1 — x 2)dy x(1y 2)dx =0 .2⑸ x y xy 二 y, y xj =4 •22 •解微分方程(1) (x y)y (x - y) =0 .⑶ y =e 27 y 2 x 2鱼二 xy 屯dx dx⑸ y = ------- 1i 2xcosy +sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程2（1）y x .（2）y 二3* 、归=23 .解微分方程 (1) y y = e (2) y cosx y sin x =1.dy y _ x 1 dxy x 厂3.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸ yy -(y)_y ".⑹ yy'y, V x^=1，yxJ .⑵ y -9y=0 .⑸ 4yF4y + y=0, \f x^=2, y 」=0.3 .解下列微分方程 (1) y -2y -3y=3x 1 .2x6 33⑶ y -10y 9y =e ,」=7 y x=0~ •⑷ y _4y 3y = 0, 丫乂』八2, g-0 .⑵ 2y "-3y - y = 2e x.⑷ y1；：：:卜y _2y =(5) y y = sin x . 8sin 2x .⑹ y y si n2x = °, y x 二「T yU.习题7.42 1•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x ,求这曲线的方程.2.生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.6 •一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数丄=24N/(m⑸•当弹簧受到强迫力f -100sin10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七一、选择题1 •微分方程f . yy 3. 乂丫4=0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()3.下列方程中是一阶线性方程的是()4 .方程y*_4y"+3y=0满足初始条件y x _^ = 6, (A ) y = 3e x e3x； (B ) y = 2e x 3e 3x ； (C ) y = 4e x 2e 3x ； (D ) y = C 1e x C 2e 3x .5 .在下列微分方程中，其通解为 y = C 1 cosx - C 2 sin x 的是()(A) y _y J 0 ; ( B ) y 八0 ; (C ) y y =0 ; ( D ) y _y =0 .6•求微分方程 < 3/ 2^x 2的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) ax 2；(B ) ax 2bx c ;(C ) x(ax 2bx c) ；(D ) x 2 (ax2bx c).7 .求微分方程 y "-3y '2y =si nx 的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) bsinx ； (B ) acosx ； (C ) acosx bsinx ； (D ) x(acosx bsin x).二、填空题 9 .微分方程 x-dy= y x 2 sin x 的通解是 __________________ dx10.微分方程y ” • 3y =0的通解是 _________________ 11 .微分方程y ” • 4y ' 5y = 0的通解是 ____________(A) y =cosx ；(B )y =x ；(C ) y =si nx ；( D )y = e x.(A ) (y_3)lnxdx_xdy=0 ；(B)dy _ y 2 dx 1 -2xy- 2 2 ・(C ) xy 二 y x sin x ；(D) y y-2y=0 .y x=0 =10特解是(12•以y=C !xexC 2e x 为通解的二阶常数线性齐次分方程为13. 微分方程4y ：4y ：y=0满足初始条件y x=0=2, y x ^ = 0的特解 是 ______________ .14. ________________________________________________ 微分方程 <-4< 5y =0的特征根是 ________________________________________________________ .215. 求微分方程y ：2y ”』2x -1的一个特解时，应设特解的形式为 _______________________通解为 _______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解2 216.已知y 1 =e x及y 2 = xe x都是微分方程2y”_4xy：(4x -2)y=0的解，则此方程的(1)dy _ xy dx " 1 x 2(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4) y y 二 sin x .(6) y 5y 4y = 3 - 2x .18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) cos ysin xdx - cosxsin ydy= 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,八±=2 •4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y' = 29cosx, y *占=0』v" •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点(x, y)处的切线斜率等于 2x ・y .y x 卫11220.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图.(2 )最终尸体温度将如何？(3)若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.⑶ d y .1=2L^dx x x1xcosy sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程⑴ y =x2.⑵ S 、y^o =1,、心=2⑶ y -y =x.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸4才+47*=°, y x 出=Z y 仁=0 .⑸ yy _(y )2 一 y =0 .⑹ yy =y ，V x^1,—=1.⑶ y 4y 4y =0 .⑷ y -4y 3y =0,科y x 异0.⑵ y -9y=0 .3 .解下列微分方程(1) y - 2y -3y = 3x 1 .⑷ y y -2y 二 8sin 2x .⑶ y -10y 9y = e 2x,33 7⑵ 2y "-3y - y = 2e x .(5) y y = sin x .⑹ y y si n2x = °, yxi-T y =1-习题7.41•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2，求这曲线的方程.2 .生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下 降深度与时间t 的函数关系.规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七、选择题 1 .微分方程y 2■ yy ”3 ' xy 4 =0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()(A) y = cosx ; (B ) y =x ;(C ) y = sin x ;(D ) y =e x.3 .下列方程中是一阶线性方程的是()(A ) (y-3)lnxdx-xdy=0 ；(B)鱼=丄dx 1 -2xy6 •一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了 0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数亠-24 N/(m ⑸•当弹簧受到强迫力f =100si n10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动(C) xy = y x sin x ；4.方程y"-4y"+3y = 0满足初始条件yx4=6, y x^ = 10特解是( )(A) y 二3e x e3x； (B) y 二2e x 3e3x； (C) y 二4e x 2e3x； (D) y 二C® C2e3x.5.在下列微分方程中，其通解为y = C! cosx C2 sin x的是( )(A) y _y =0 ； ( B) y y =0 ； ( C) y y=0 ； ( D) y—y=0 .26.求微分方程y ” • 3y ' 2y二x的一个特解时，应设特解的形式为( )(A) ax ；( B) ax bx c ；(C) x(ax bx c) ；( D) x (ax bx c).7 .求微分方程y"-3y'2y=si nx的一个特解时，应设特解的形式为()(A) bsinx ；(B) acosx ；(C) acosx bsinx ；(D) x(acosx bsin x).二、填空题9 .微分方程x-d^ = y x2 sin x的通解是_________________ .dx10. __________________________________________ 微分方程y ： 3y = 0的通解是.11. ______________________________________________ 微分方程y” • 4y： 5y =0的通解是_______________________________________________________ .12.以y=C1xe x・C2e x为通解的二阶常数线性齐次分方程为____________________________13.微分方程4y ' 4y ： y = 0满足初始条件y x=0= 2, / = 0的特解是_______________ .14.微分方程y ” - 4y ' 5y =0的特征根是______________15.求微分方程y：2y'2x -1的一个特解时，应设特解的形式为____________________________16.已知y1 =e x及y2二xe x都是微分方程y"-4xy ' (4x2 -2)y =0的解，则此方程的通解为_______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解dy dx xy(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4)y y 二sin x . (5) y - y -2y = 0 . ⑹ y 5y 4y = 3 - 2x . 18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) cos ysin xdx 「cosxsin ydy 二 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,y 」=2 .4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y‘= 29cosx, y x 占=0，y"x 占=1 •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y ）处的切线斜率等于1122x y •20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.（2 ）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.。
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常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程试题
第十二章 微分方程考试内容 常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始条件和特解 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 微分方程的幂级数解法 微分方程（或方程组）的简单应用问题。
练习题与答案[练习题] 1、填空题（1）微分方程x 2dy+(3xy-y)dx=0的通解为 。
（2）微分方程（x 2-1）dy+(2xy-cosx)dx=0,y|x=0=1的特解为 。
（3）一曲线过点（e,1），且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为xy x x x ln ln +-，则此曲线方程为 。
（4）通解为y=C 1e x +C 2e -2x 的微分方程是 。
2、选择题（1）满足方程⎰=1)()1)(()(）为（的可导函数的自然数为大于x f n x nf dt tx f 。
nx C D nx C C C C B n nCxA cos sin )()(1）（）（为常数）（-（2）微分方程)(sin 3)4(=+=-n x y x e y y 的特解可设为。
)sin cos ()(sin cos )(sin cos )(sin )(x C x B Ae x D xC x B Axe C xC x B Ae B xB Ae A xxx x +++++++（3）已知的解，则为的解，为xx e y y e y x y y x y =+==+=''21''21微分方程x e x y y +=+''的通解为y ＝（ ）。
（A ）x e x 21+（B ）x e x C x C x +++21sin cos 21 （C ）x x C x C ++sin cos 21 （D ）x C x C sin cos 21+（4）已知x y xy 4'''=+的一个特解为x 2，又对应的齐次方程0'''=+y xy 有一个特解lnx ，则原方程的通解y=( )。
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程习题(附答案)
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程题库（学生用）
微分方程题库（学生用）微分方程习题一、选择题1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程2．微分方程y ＇- y=x 2+1是（） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（）A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ．)(ln xy dxdy= C ．xdy-(y+x 3)dx=0D ．(x+y)dy-(x-y)dx=05. 下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.y x ydx dy sin += B.x e x xy dxy d )1(222+=- C.y x dx dycos =D.x dx dy x dx y d 1)(222=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（）A ．y=1B ．y=xC ．y=sinxD ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（） A ．e xB ．e 2xC ．e 3xD ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（） A.Ce xB.C 1e x +C 2C. C 1e x +C 2xD.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（）A.y=Ce xB.y=Ce x +1C.y=(C+1)e xD.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（） A ．y=C 1x+C2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2 D ．y=C x 212+ 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=-B ．)2sin 2cos (21xC x C e y x +=-C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=14. 微分方程y '=2y 的通解是（）A.y=Ce x B.y=e 2x +CC.y=2e CxD.y=Ce 2x二、填空题 15．（1）方程x e y dxdydx y d =++2)(222的阶数____.（2）方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______. 16．（1）微分方程xdy-ydx=0的通解为________ （2）微分方程1x 3dxdy=-的通解为_________. （3）. 求微分方程xy dxdy2=的通解________. 17. 微分方程y ''=cosx 的通解y=___________.三、计算题18．求下列可分离变量的微分方程的通解或特解．（1）x0y ln y dx dy=-，（2）01122=+-+dx )y (x dy )x (y . （3）221xy y x dx dy +++= （4）方程xydx dy =满足初始条件y(1)=2的特解. 19．求下列一阶线性微分方程的通解或特解．（1）、2.x dy y e dx += （2）dx dy +x x y n 1=x x n 12 ；（3）xy ′+y =xe x （4）211x y dxdy x +=+ （5）微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求下列二阶线性微分方程的通解或特解．（1）、〃y - 4y ＇+ 4y =0，（2）、y ″+ y ′-12y =0，（3）y ″-2y '-3y =0，（4）x e y 7y 4y =+'-'' （5）. 求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. （6）. 求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. （7）. 设函数f (x)满足6)x (f 6)x (f 5)x (f =+'+''，求函数f (x). （精品班用）（8）. 已知y *=811-21x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=83，y ′(0)=27的特解.（精品班用） 21. 已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )（精品班用）A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x ) 22．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为（）（精品班） A ．-2和5 B ．2和-5 C ．2和3D ．-2和-323．微分方程y ″-2y ′+3y=5e 2x 的一个特解为（）（精品班用）A ．x 2e 95B ．x 2e 35C ．x 2e 2D ．x 2e 2524．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（）（精品班用） A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 25. 微分方程y ″-y ′-6y=3e x 的一个特解y 应具有的形式为（）（精品班用） A. y =ae x B. y =(ax+b)e x C. y =axe x D. y =ax 2e x26．已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x （C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.（精品班用）。
全微分方程例题
全微分方程例题
1. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3y，且y(0) = 1。
解：因为dy/dx = 2x + 3y是一个一阶线性微分方程，可化为dy/dx - 3y = 2x，然后使用常系数齐次方程的解法得到通解为y = Ce^(3x) - (2/3)x - (1/9)。
将y(0) = 1代入可得C = 10/9，所以特解为y =
(10/9)e^(3x) - (2/3)x - (1/9)。
2. 求解微分方程(x^2 + y^2)dx - 2xydy = 0，且y(1) = 2。
解：将方程变形为(x^2 + y^2)dx = 2xydy，然后对两边同时求积分
得到x^3/3 + xy^2/2 = C，其中C为积分常数。
代入y(1) = 2可得C = 11/6，所以通解为x^3/3 + xy^2/2 = 11/6。
3. 求解微分方程dy/dx = e^(-x^2)，且y(0) = 1。
解：因为dy/dx = e^(-x^2)不是一个线性微分方程，所以不能使用
常系数齐次方程的解法。
但是，我们可以利用求导的逆运算——积分来解
决它。
对两边同时积分得到y = ∫e^(-x^2)dx + C，其中C为积分常数。
但是，e^(-x^2)的不定积分无法用初等函数表示，因此这个方程的解是无
法用解析表达式表示的。
我们只能使用数值方法或者级数方法来近似求解。
如使用泰勒展开把积分函数近似为多项式形式，然后求和得到级数解。
微分方程例题
典型例题1、判断下列一阶微分方程的类型并求其通解（1）0)41(2=+−dy x ydx ；（2）.0cos )cos (=+−dy x yx dx x y y x ；（3）0)sin (=−+dx x y xdy ；（4）0)4(3=+−dx y y x xdy ；（5）ydy dx y xydy dx +=+2；（6）0)12(23=−+dy xy dx y ；（7）.0324223=−+dy y x y dx y x （8）231dy x x ydx x++=−+2、求一阶微分方程的特解（1）求解微分方程x yx ydx dytan +=满足初始条件61π==x y 的特解.（2）求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足所给初始条件.1==e x y 的特解3、求下列微分方程的通解（1）求x y xe ′′′=的通解（2）02)1(222=−+dx dyx dx y d x （3）求方程02=′−′′y y y 的通解4、求下列微分方程的特解（1）求方程x e y x cos 2−=′′满足1)0(,0)0(=′=y y 的特解.（2）求微分方程初值问题：,2)1(2y x y x ′=′′+,10==x y 30=′=x y （3）求微分方程)(22y y y y ′−′=′′满足初始条件,1)0(=y 2)0(=′y 的特解.5、求下列微分方程的通解（1）440y y y ′′′++=（2）340y y y ′′′−−=（3）250y y y ′′′++=（4）(5)(4)220y y y y y y ′′′′′′+++++=（5）(4)250y y y ′′′′′−+=6、求方程12360y y y′′′−+=满足条件：01x y ==，00x y =′=的特解。
7、求解下列微分方程（1）求方程22y y y x ′′′−+=的一个特解。
（2）求方程2x y y y e ′′′−+=的一个特解。
微分方程练习题
第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题（1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）)x x dxy d sin 322+=．(（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ． （3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C yx xy x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx +==+arccos ,0sin . ( ) (4) xy y x y 1,22=+=''. ( )习题7.21．解微分方程 (1) xdxdy 1=． (2)2211xy dxdy --=．(3) y x e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x yy xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdy xydxdy x y =+22．(3) xy x y y tan+='．3．解微分方程(1) x e y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题（1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）)x x dxy d sin 322+=．(（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ． （3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C yx xy x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx +==+arccos ,0sin . ( ) (4) xy y x y 1,22=+=''. ( )习题7.21．解微分方程 (1) xdxdy 1=． (2)2211xy dxdy --=．(3) y x e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x yy xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdy xydxdy x y =+22．(3) xy x y y tan+='．3．解微分方程(1) x e y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ． (3) 3,12=+=+=x yxx xy dxdy ．(4) 2yx y dxdy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y yy y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y yy y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y yy y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y yy y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) x e y y y 232=-'-''．(3) 733,76,91002='==+'-''==x x xy ye y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk 时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xyy y y 阶数是（ ）（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ） （A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyydxdy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y特解是（ ）（A ）x x e e y 33+=； （B ）x x e e y 332+=； （C ）x x e e y 324+=；（D ）x x e C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++． 7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdy xsin 2+=的通解是 ．10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 x x e C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,20='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ． 16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1) 21xxy dxdy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,0650='==+'-''==x x y yy y y ．(3) 211,3,415164023-='==+'+''==-x x xy ye y y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y yx y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3) 3,12=+=+=x yxx xy dxdy ．(4) 2yx y dxdy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y yy y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y yy y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y yy y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y yy y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,91002='==+'-''==x x x y ye y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk 时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）x e y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ） （A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyydxdy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y特解是（ ）（A ）x x e e y 33+=； （B ）x x e e y 332+=； （C ）x x e e y 324+=；（D ）x x e C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++． 7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdy xsin 2+=的通解是 ．10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,20='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1)21x xy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sectan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y ey y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点)x+x处的切线斜率等于y2．(y,20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C︒20不变．31，且周围气温保持C︒（1）求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C25，时间为下午4时，死者是何时被害的？︒21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。
微分方程试题及部分应用题答案整理版
的阶数是 . .的阶数是的阶数是 . . 的阶数是 . .的阶数是 .. x 的特解是 . . 的通解是的通解是 . . 的通解是的通解是 . .的通解是 . .的通解为的通解为 . .的通解为 . .应满足 . .是 .1-17-561-17-56、方程、方程d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是化为齐次方程是 . .1-18-571-18-57、通解为、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数为任意常数))的微分方程为 .1-19-581-19-58、方程、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是的特解是 . .1-19-591-19-59、方程、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是的通解是1-21-611-21-61、、 方程x yxy x y xy d d d d 22=+化为齐次方程是化为齐次方程是1-22-621-22-62、、 若t y w cos =是微分方程09''=+y y 的解的解, , , 则则=w . 1-23-631-23-63、若、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, , 则则=k .1-24-641-24-64、、y y 2'=的解是的解是1-25-651-25-65、某城市现有人口、某城市现有人口、某城市现有人口50(50(50(万万), ), 设人口的增长率与当时的人口数设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比的积成正比, , , 则该城市人口则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是满足的微分方程是1-27-671-27-67、、 axae y =满足的微分方程是满足的微分方程是1-28-681-28-68、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是的通解是 . .1-29-691-29-69、已知特征方程的两个根、已知特征方程的两个根3,221-==r r , , 则二阶常系数线性齐次微分方则二阶常系数线性齐次微分方程为程为 . .1-30-701-30-70、方程、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解解.1-31-711-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和之和之和. . 1-32-721-32-72、、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为等实根，则其通解为 . .1-33-731-33-73、、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为dy 12-x 21x -21x -21x -++2-9-642-9-64、、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x+=,则p 的值是的值是 ( ) ( )A.1B.0C.21D.412-10-652-10-65、微分方程、微分方程02'=-yy 的通解是的通解是 ( ) ( )A.Cx y +=2sin B.C e y x +=24 C.xCe y 2= D. x Ce y =2-11-662-11-66、方程、方程xy2dx dy =的通解是的通解是 ( ) ( )A.C e x +2B.Cx e+2 C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-672-12-67、、x e y -=''的通解为=y ( ) A.x e -- B. x e - C. 21C x C e x ++- D. 21C x C e x++--2-13-682-13-68、微分方程、微分方程xe21dxdy-=满足10-==x y 的特解为的特解为 ( ) ( )A.1221+-=-x e y B. 3221-=-xe y C.C e y x+-=-212 D.212121--=-x e y2-14-692-14-69、微分方程、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是的通解是 ( ) ( )A.Cy x =-2422B. Cy x =+2422C. 02422=-y x D. 12422=+y x2-15-702-15-70、、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是的通解是 ( ) ( ) A.222=+y x B. 933=+y x C. 133=+y x D. 13333=+y x 2-16-712-16-71、、 过点,0()2-的曲线的曲线,,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是曲线方程是( ) ( )A.32-=x y B. 52+=x y C.53-=xe y D. 5-=xCe y2-17-722-17-72、齐次方程、齐次方程x y x ytan dx dy =化为可分离变量的方程化为可分离变量的方程, , , 应作变换应作变换应作变换 ( ) ( )A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D. 33xu y =2-18-732-18-73、、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21yy b a +也是方程的解的解,,则( )A.b a =B. 0=+b aC. 1=+b aD. b a ,为任意常数为任意常数2-19-742-19-74、、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是的通解是 ( ) ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-752-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .xyy =' D .xy y -=2'2-21-762-21-76、曲线上任一点、曲线上任一点、曲线上任一点P P 的切线均与的切线均与OP OP OP垂直的曲线方程是垂直的曲线方程是垂直的曲线方程是 ( ) ( ) A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x yy =' 2-22-772-22-77、方程、方程2)3(,0'==+yy y 的解是的解是 ( ) ( )A.xe y -=32 B. xe y --=32 C. 32-=x e y D. 32--=x ey2-23-782-23-78、、 微分方程x y y ln '=的通解是的通解是 ( ) ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. xx x Ce y -=ln2-24-792-24-79、下列哪个不是方程、下列哪个不是方程y y 4''=的解的解 ( ) ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-802-25-80、方程、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是的阶是 ( ) ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-812-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是，则这条曲线是( ) ( )A. A. 椭圆椭圆椭圆B. B. B. 抛物线抛物线抛物线C. C. C. 双曲线双曲线双曲线D. D. D. 圆圆dy2 dy-ex3-7-583-7-58、、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0p==x y 3-8-593-8-59、、 0)0(,02')1(22==+-y xy y x3-9-603-9-60、、 1)(,ln 2'==ey x y y3-10-613-10-61、、 x x y y y x d sin cos d sin cos =, 4|0p==x y 3-11-623-11-62、、 0y)dx -(x dy )(=++yx3-12-633-12-63、、 )ln (ln dxd x y y y x -= 3-13-643-13-64、、 0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-653-14-65、、 x y x y xy tan '=-3-15-663-15-66、、x yx y x y xy ++=-ln )(' 3-16-673-16-67、、dx dyxy dx dy x y =+22 3-17-683-17-68、、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-693-18-69、、x yxyy +=', ey e x ==| 3-19-703-19-70、、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-713-20-71、、x x y x y sin 1'=+,1|==px y3-21-723-21-72、、xe x y xy 43'=-3-22-733-22-73、、342'x xy y =- 3-23-743-23-74、、x y xy ln 11'=-3-24-753-24-75、、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-763-25-76、、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-773-26-77、、x x y xy sin 1'=+, 1|==px y3-27-783-27-78、、22112'x y x x y+=+- ,|0==x y3-28-793-28-79、、x xy xy ln '=-, ey e x ==|3-29-803-29-80、、 22d dy x xe xy x-+= 3-30-813-30-81、、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-823-31-82、、5d dy xyy x=- 3-32-833-32-83、、02d dy 4=++xy xy x3-33-843-33-84、、4)21(3131d dy yx y x -=+ 3-34-853-34-85、、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-863-35-86、、xy y +='''3-36-873-36-87、、01)'(''2=++y yy3-37-883-37-88、、01''3=+y y 3-38-893-38-89、、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y 3-39-903-39-90、、223''y y =, 1|3==x y , 1|'3==x y 3-40-913-40-91、、02''=+yy 3-41-923-41-92、、013'4''=++y y y 3-42-933-42-93、、0'2''=+-y y y3-43-943-43-94、、04'5''=+-y y y 3-44-953-44-95、、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-963-45-96、、29'4''=++y y y ,0|0==x y ,15|'0==x y3-46-973-46-97、、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-983-47-98、、0'4''4=++y y y ,2|==x y , 0|'0==x y3-48-993-48-99、、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y 3-49-1003-49-100、、4'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-1013-50-101、、xe y y y 2'''2=-+3-51-1023-51-102、、x e y y x cos ''+=+ 3-52-1033-52-103、、x e x y y y 3)1(9'6''+=+- 3-53-1043-53-104、、'''22x y y y e --=5-2-195-2-19、设、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解个相异特解, ,证明证明1213y y y y --为一常数为一常数. .部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Ew sin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , w为常数). 解. 设)(ti i =, 由回路电压定律t E dt di L Riw sin 0=+, 即t L E LR dt di w sin 0=+ \ò+òò=-]sin [)(0C dt te L Ee t i t dtLR L R w =ò+-]sin [0C dt te LE ettLR L Rw=)cos sin (2220t L t R LR E Ce tL Rw w w w -++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C w w +=\)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR w w w w w -++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系的关系解：. 物体重力为mgw =, 阻力为kv R -=, 其中g是重力加速度, k 是比例系数. 由牛顿第二定律得kvmg dtdv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v \ò--+=+òò=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v kmmk][, 将0|0==t v 代入通解得代入通解得 g k m C -=\)1(t m k e g km v --=, 再积分得122C ge k m gt km S tm k++=-, 将0|0==t S 代入求得gk m C 221-=\ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程. 解：解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(yx P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q . 因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为ò=-xtv dx y 0022'1, 从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令py =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程, 解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y 而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y101t d dy 31y 101dt dy ×31tCe 103te 103dt dpdt dp=dt dp=c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论: (1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-, 则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =¥®)(lim . 它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格pp =0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程. (2) 由于tc k k e c k k p p dt dp)(0)()(+-+-=, 所以当pp >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格. 。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
高等数学微分方程习题(最新整理)
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
微分方程练习题
微分方程练习题一、选择题 １、微分方程3+2=2x dx dy 的阶数为（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４２、微分方程6+3+2=′2x x y 的通解是（ ）ＡC x x x +6+3+223 Ｂ．C x x +23+323 Ｃ C x x x +6+23+3223 Ｄ．C x 23x 3223++ ３、微分方程0=4+′x y 的通解是（ ）Ａ．213++32c x c x Ｂ．c x +323 Ｃ． 213++2c x c x Ｄ．213++23c x c x 4、微分方程yx xy y dx dy 321++=是（ B ）.A 线性微分方程；B 可分离变量的微分方程；C 齐次微分方程；D 一阶线性非齐次微分方程. 5、微分方程 y 2dx －(1－x)dy=0是（ D ）微分方程。
A 一阶线性齐次B 一阶线性非齐次C 二阶线性齐次D 变量可分离6、下列各组函数中，是线性无关的是（ ）A 3x 与2xB 5sinx 与6sinxC sin2x 与cos2xD 2x 与23x7、微分方程06y y 5y =-'+''的通解是（ ）A x 26x 1e C eC +- B x 26x 1e C e C + C -x 26x 1e C e C +-D -x 26x 1e C e C +8、微分方程0y y 2y =+'+''的通解是（ ）A ()x21e x C C + B ()2x 21e x C C + C ()-x 21e x C C + D ()-2x 21e x C C +9、微分方程025y y 6y =+'-''的通解是（ ）A ()sin2x C cos2x C e 213x +B ()sin4xC cos4x C e 213x +C ()sin2x C cos2x C e 21-3x +D ()sin3x C cos3x C e 214x +10、下列函数是微分方程2x 5e6y y 5y -=+'-''的一个特解的是（ ） A 2x 5xe B 3x 5xe C 2x 5e D -2x 5xe二、填空题。
微分方程练习题及解析
微分方程练习题及解析微分方程作为数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，涉及到物理、经济学、生物学等众多科学领域。
掌握微分方程的解析方法和技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将为大家提供一些微分方程的练习题，并对其中的解析过程进行详细讲解。
1. 难题1已知微分方程 dy/dx = x * y，求其通解，并求通过点 (1,2) 的特解。
解析：首先对微分方程进行变量分离，将 dy/y 移到方程的右边，将 dx/x 移到方程的左边，得到：dy/y = x * dx对上式两边同时积分，得到：ln|y| = x^2/2 + C1其中，C1 为常数。
接下来，对上式两边同时取指数，得到：|y| = e^(x^2/2 + C1) = e^(C1) * e^(x^2/2)由指数函数的性质可知，e^(C1) 为常数，因此可以将其用 C2 来表示。
于是通解为：y = ± C2 * e^(x^2/2)下面求通过点 (1,2) 的特解，将 x=1 和 y=2 代入通解中，得到：2 = ± C2 * e^(1/2)解得 C2 = ± (2 / e^(1/2))所以通过点 (1,2) 的特解为：y = ± (2 / e^(1/2)) * e^(x^2/2)2. 难题2已知微分方程 d^2y/dx^2 + 4 * dy/dx + 4y = 0，求其通解，并求过点(0,1) 且 y'(0) = -2 的特解。
解析：该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，首先求其特征方程。
特征方程为：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程可得到两个特征根相等的情况，即 r = -2。
由于存在重根，通解形式为：y = (C1 + C2x) * e^(-2x)下面求过点 (0,1) 且 y'(0) = -2 的特解。
将 x=0 和 y=1 代入通解中，得到：1 = C1 * e^0 = C1将 x=0 和 y'=-2 代入通解的导数中，得到：-2 = C2 * e^0 - 2C1 = C2 - 2解得 C2 = -2 + 2 = 0所以过点 (0,1) 且 y'(0) = -2 的特解为：y = (1 + 0x) * e^(-2x) = e^(-2x)通过以上两个例子，我们可以看到，对于微分方程的求解，我们需要先进行变量分离、恢复变量或代换等操作，然后再通过积分或特征方程求解，最后根据已知条件求得特定的解。
微分方程练习题及解答
微分方程练习题一、一阶微分方程1.求 dy dx =2xy 的通解。
2.求微分方程x dy =y +�x 2+y 2 (x >0)满足y (1)=0的特解。
3.求微分方程 y ′−3x y =x 的通解。
4.求微分方程 y ′+y tanx =cosx 的通解。
5.求 x 2y ′+xy =y 2满足初始条件y (1)=1的特解。
6.求微分方程sec 2x coty dx −csc 2y tanx dy =0的通解。
7.求微分方程dy dx −2y x +1=(x +1)52的一个特解。
8.求微分方程xdy =yln y x dx 的通解。
9.求微分方程 dy dx =y x +y 3e y 的通解。
10求微分方程 y ′+y =e −x 的通解。
11.求微分方程xy 2dy =(x 3+y 3)dx 的通解。
12.求微分方程y =�1+(y ′)2 满足条件y (0)=1的特解。
13.求微分方程 xy ′+2y =x lnx 满足初始条件y (1)=−19的特解。
14.求微分方程 xy ′+y =x 2 y 2 lnx 的通解。
15.设f (x )=�f �t 2�dt +ln2，求f (x )的表达式。
2x 0二、高阶微分方程 1.求y ′′=1+(y ′)2的通解。
2.求 y ′′−2y ′−y =0的通解。
3.求 y ′′+2xy ′2=0，y (0)=1,y ′(0)=−12的特解。
4.求 y ′′−2y ′−5y =1的通解。
5.求 y ′′+y ′+y =8的通解。
6.求微分方程d 2y dx 2+w 2y =0的通解。
7.求微分方程 y ′′−3y ′+2y =xe x 的通解。
8.求微分方程 x 2y ′′+4xy ′+2y =x 的通解。
9.求微分方程 yy ′′+y ′2=y ′ 的通解。
10.求微分方程 x 2y ′′+3xy ′−3y =x 3的通解。
数学课程微分方程入门练习题及答案
数学课程微分方程入门练习题及答案微分方程是数学中重要的一门学科，广泛应用在物理、工程、经济等领域。
掌握微分方程的基本概念和解题方法对于学习和应用数学都至关重要。
本文将为您提供一些微分方程入门练习题及其答案，帮助您巩固基础知识和提高解题能力。
1. 练习题：一阶线性微分方程已知微分方程dy/dx + xy = 2x，求其通解，并满足初始条件y(0) = 1，求特解。
解答：首先，根据线性微分方程的一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以将给定的微分方程转化为dy/dx + xy = 2x的形式，其中P(x) = x，Q(x) = 2x。
该方程是一阶线性齐次微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
假设通解为y = e^(-1/2 * x^2) * u(x)，其中u(x)为待定函数。
将通解代入原方程，可得：e^(-1/2 * x^2) * d(u(x))/dx + xe^(-1/2 * x^2) * u(x) = 2x对上式两边同时乘以e^(1/2 * x^2)，并化简得：d(u(x))/dx + x * u(x) = 2x * e^(1/2 * x^2)利用一阶线性非齐次微分方程的常数变易法解法，我们可以通过求解齐次方程和利用常数变异法得到非齐次方程的一个特解。
首先求解齐次方程d(u(x))/dx + x * u(x) = 0，可以使用分离变量法得到：du(x)/u(x) = -xdx经过积分求解后可得齐次方程的通解为u(x) = Ce^(-1/2 * x^2)，其中C为任意常数。
接下来，我们可以利用常数变异法来求解非齐次方程。
设特解为v(x) = A(x)e^(-1/2 * x^2)，将其代入非齐次方程中，可得：dv(x)/dx + x * v(x) = 2x * e^(1/2 * x^2)对上式进行求导，并代入v(x) = A(x)e^(-1/2 * x^2)，可得：A'(x)e^(-1/2 * x^2) = 2x * e^(1/2 * x^2)将上式中的e^(-1/2 * x^2)约去，并进行变量分离，可得：A'(x) = 2x对上式两边进行积分，并得到A(x) = x^2 + C1，其中C1为常数。
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第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xe y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xx e C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ． 16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解(1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． （2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=； （C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ．(4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ．(6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y ey y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。