2019-2020学年浙江省宁波市余姚市九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
【35套试卷合集】浙江省宁波市名校2019-2020学年数学九上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年九上数学期末模拟试卷含答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=（用含a的式子表示）；y1=（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为3cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2x，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出k 即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+4﹣4）+3=（x=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a （x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=x，在Rt△CDB中，CD=BD=x，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+x=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=x，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=x，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+x=，解得x=21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，由题意得出y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，因为2＞0于是，当x=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y2=x2﹣mx+4≤0，当x=4时，y2=x2﹣mx+4＞0即可求得m的取值；【解答】解：（1）∵y2=x2﹣mx+4=（x﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣ +4）…（2）①当m=5时，y1=x﹣1，y2=x2﹣5x+4．…（4分）如图，当y1=0时，x﹣1=0，x=2，∵A（2，0），当y2=0时，x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4，∴B（1，0），C（4，0），因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．…（5分）②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，∴x=3，当x=3时，y2=32﹣3m+4≤0，解得m≥，当x=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=c osα（用含a的式子表示）；y1=sinα（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：1＜y1+y2≤．．【分析】（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，∴x1=cosα，y1=sinα，故答案为cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．。
余姚市兰江中学2019年九年级上期末模拟数学试卷及答案
余姚市兰江中学2018-2019学年第一学期期末模拟九年级数学试卷一、选择题：1、下列函数中，图象经过点（－2，1）的反比例函数解析式是（ ） A ．1y x=B ．1y x-=C ．2y x=D ．2y x-=2、下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．3、下面给出了关于三角形相似的一些命题： ① 等边三角形都相似；②等腰三角形都相似；③直角三角形都相似；④等腰直角三角形都相似；⑤全等三角形都相似。
其中正确的有（ ） A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个4、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是（ ）A ． 35°B ． 140°C ． 70°D ． 70°或 140°5、.两圆半径分别为3cm 和7cm ，当圆心距d ＝10cm 时，两圆的位置关系为（ ）A 、外离B 、内切C 、相交D 、外切6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）7、如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ） A ． r B ． 2r C ． r D ． 3r8、如图，巳知A 点坐标为（5，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b 的值为（ ） A ． 3 B ． C ． 4 D ．9、在直角坐标系中，抛物线y = 2x 2图像不动，如果把X 轴向下平移一个单位，把Y 轴向右平移3个单位，则此时抛物线的解析式为（ ） A 、y = 2（x +3）2+1 B 、y = 2（x +1）2－3 C 、y = 2（x －3）2+1 D 、y = 2（x －1）2+310、如图，在□ABCD 中，AB ∶ AD = 3∶2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于（ ）Ｂ． 6233+ Ｃ．663+ Ｄ．11、如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在AB 上，且AE ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（ ） A ． 3：4 B ． ：2 C ． ：2 D ． 2：12、已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t+4），D （3，t ）．记N （t ）为▱ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为（ ） A ． 6、7 B ． 7、8 C ． 6、7、8 D ． 6、8、9二、填空题：13、抛物线y =－ 2（x －3）2+5的顶点坐标是 14、已知点（－2，y 1 ），（－3，y 2），（2，y 3）在函数y =xk(k ＜0）的图像上，则y 1 , y 2 , y 3从小到大用“＜”连结表示为 ．15、如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2019次后它停在哪个数对应的点上16、如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则阴影部分面积为（结果保留π） ．17、已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于 ．18、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan ∠EFO 的值为 ．三、解答题：19、计算（1）︒-︒30cos 245sin 2＋2)60tan 1(︒-（2）已知32=y x ，求yx y x 22+-的值.20、某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次共调查了 名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 度； （2）请把这个条形统计图补充完整；（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”项目21、如图，已知点A(－4，2)、B( n ，－4)是一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象的两个交点. (1) 求此反比例函数的解析式和点B 的坐标；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围.22、某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角∠ABC ＝45°，坡长AB ＝2m ，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD ，使∠ADC ＝30° （1）求AC 高（结果保留根号）； （2）在楼梯口B 左侧正前方距离舞台底部C 点3m 处有一株大树，修新楼梯AD 时底端D 是否会触到大树？并说明理由。
浙江省宁波市余姚市19-20九上期末数学试卷
浙江省宁波市余姚市19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.如果ab =2，则a+ba−b的值是()A. 3B. −3C. 12D. 322.下列事件为必然事件的是()A. 买一张电影票，座位号是偶数B. 抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上C. 明天一定会下雨D. 百米短跑比赛，一定产生第一名3.抛物线y=x2+1的顶点坐标是()A. (1,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,1)4.△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是()A. 2，5B. 1，5C. 4，5D. 4，105.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A. 32π B. 2π C. 3π D. 6π6.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1=y2>y3B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y3>y1=y27.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB=5，则∠C为()A. 60°B. 90°C. 45°D. 30°8.若抛物线y=ax2+c经过点P(1,−2)，则它也经过()A. P1(−1,−2)B. P2(−1,2)C. P3(1,2)D. P4(2,1)9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=3√10，sinA=35，则AB的长为()A. 15B. 5√10C. 20D. 10√510.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：311.已知OA=4cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若使点A在⊙O内，则r的值可以是()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm12.如图，在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E、F分别在边BC、AD上，则长AD与宽AB的比为()A. 6：5B. 13：10C. 8：7D. 4：3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.一个正八边形每个内角的度数为______度．14.比较下列三角函数值的大小：sin40°____sin50°．15.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为．16.把二次函数y=2x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______．17.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，BD=1，则BC的长为______．18.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.若BE=3，ED=6，则AB=______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：4sin45°+cos230°−．tan60°−√2四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）20.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的2个球中任意摸出1个球．(1)用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；(2)求两次摸到的球的颜色不同的概率．21.如图所示，小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现阳光下，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成锐角为26°，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m).(参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49)22.已知抛物线y=−x2+(m−1)x+m与y轴交于(0,3)，(1)求m的值；(2)求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标；(3)请直接写出抛物线在x轴上方时x的取值范围________．(4)请直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围________．23.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上(点C与点O、A不重合)，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．(1)若∠F=30°，请证明E是BD⏜的中点；(2)若AC=1，求BE⋅EF的值．224.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，每上涨1元，则每个月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？25.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD⏜上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．(1)求证：AC⊥BH；(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求①CG的值；CD②EH的长．26.如图，在平面直角坐标系中，A(3,4)，B(5,0)，连结AO，AB.点C是线段AO上的动点(不与A，O重合)，连结BC，以BC为直径作⊙H，交x轴于点D，交AB于点E，连结CD，CE，过E 作EF⊥x轴于F，交BC于G．(1)AO的长为______，AB的长为______(直接写出答案)(2)求证：△ACE∽△BEF；(3)若圆心H落在EF上，求BC的长；(4)若△CEG是以CG为腰的等腰三角形，求点C的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积可得a=2b，然后代入比例式进行计算即可得解．解：∵ab=2，∴a=2b，∴a+ba−b =2b+b2b−b=3．故选：A．2.答案：D解析：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．解：A.是随机事件，选项错误；B.是随机事件，选项错误；C.是随机事件，选项错误；D.是必然事件，选项正确．故选D．3.答案：C解析：解：∵抛物线的解析式为：y=x2+1，∴其顶点坐标为(0,1)．故选：C．直接根据二次函数的顶点式可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4.答案：A解析：本题考查三角形的内心、外心、三角形的面积及勾股定理的逆定理.解题的关键是正确应用三角形的内心和外心的性质．根据三角形的内心到三角形的三边等距离，可以运用三角形的面积求出内切圆的半径；根据直角三角形的外心是斜边的中点可得外接圆的半径．解：如图，△ABC中，设AC=6，BC=8，AB=10，根据勾股定理的逆定理由62+82=102可得△ABC是直角三角形，且AB是斜边，所以AB是外接圆的直径，所以外接圆的半径是5；设O是内心，作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，D、E、F是垂足，则OD=OE=OF=r，S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12r×10+12r×8+12r×6=12r，又因为S△ABC=12×8×6=24，所以12r=24，解得r=2，所以△ABC内切圆和外接圆的半径分别是2和5．故选A．5.答案：C解析：解：该扇形的弧长=90⋅π⋅6180=3π．故选：C．根据弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=n⋅π⋅R180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．6.答案：A解析：解：二次函数y=−x2+2x+c的图象的对称轴为直线x=−22×(−1)=1，而P1(−1,y1)和P2(3,y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5,y3)到直线x=1的距离为4，所以y1=y2>y3．故选：A．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y1，y2，y3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．7.答案：D解析：本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB=5，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=12∠AOB=12×60°=30°，故选：D．8.答案：A解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性．根据二次函数的对称性解答即可．解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，P(1,−2)关于y轴的对称点为(−1,−2)，∴抛物线也经过点(−1,−2)．故选A．9.答案：A解析：[分析]过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=3k，则AB=AC=5k，继而可求出BD=k，解直角三角形即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．[详解]解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，，在Rt△ACD中，sinA=35设CD=3k，则AB=AC=5k，∴AD=√AC2−CD2=4k，在Rt△BCD中，∵BD=AB−AD=5k−4k=k，在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√k2+9k2=√10k，∵BC=3√10，∴√10k=3√10，∴k=3，∴AB=5k=15，故选A．10.答案：C解析：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=12BC，DE//BC，∴DEBC =12，△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故选：C．根据三角形的中位线得出DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．11.答案：D解析：∵已知OA=4cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的大小应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．12.答案：A解析：解：连结EF，作IJ⊥LJ于J，∵在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，∴△HGF∽△FHE，△HGF≌△FML≌△LJI，∴HG：GF=FH：HE=1：2，∴长AD与宽AB的比为(1+2+1+2)：(2+2+1)=6：5．故选：A．连结EF，作IJ⊥LJ于J，根据中心对称图形的定义和相似三角形的性质可得两直角边的比是2：1，进一步得到长AD与宽AB的比．此题考查了中心对称图形，相似三角形的性质，关键是理解直角三角形两直角边的比是2：1．13.答案：135解析：解：一个正八边形每个内角的度数=18×(8−2)×180°=135°．故答案为：135．根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．14.答案：<解析：解：∵40°<50°，∴sin40°<sin50°．故答案为<．根据当0<α<90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°<sin50°．本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0<α<90°，sinα随α的增大而增大．15.答案：353 5解析：此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果，∴正面的数字是奇数的概率为3535；故答案为3．516.答案：y=2(x+3)2−4解析：解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的图象表达式为y=2(x+3)2−4，故答案为：y=2(x+3)2−4．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．17.答案：3解析：解：∵AB=AC，∠BAC=120°，×(180°−120°)=30°，∴∠B=∠C=12∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=30°，∴∠DAB=∠B，∴AD=BD=1，在Rt△DAC中，∠C=30°，∴CD=2AD=2，∴BC=BD+CD=3，故答案为：3．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°，进而得到∠DAB=∠B，即可得到AD=BD=1，根据直角三角形的性质计算出CD，即可．本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．18.答案：3√3解析：此题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用圆周角定理得出角相等，证得三角形相似是解决问题的关键.等弦对等角可证DB平分∠ABC，证得△ABE∽△DBA，根据相似三角形的性质可求AB的长．解：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，∴又∵∠ABE=∠ABD，∴△ABE∽△DBA，∴ABBE =BDAB，∵BE=3，ED=6，∴BD=9，∴AB2=BE⋅BD=3×9=27，∴AB=3√3．故答案为3√3．19.答案：解：原式=4×√22+(√32)2−√3−√2=2√2+34−2(√3+√2)=34−2√3．解析：直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.答案：解：(1)如图：；(2)共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为46=23．解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)由(1)中树状图可知两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=30°，DC=8，∴DQ=4，QC=8cos30°=4√3，≈8.16(米)在Rt△DQE中，QE=QDtan26∘∴BE=BC+CQ+QE=(20+4√3+8.16)米，在Rt△ABE中，AB=BEtan26°≈17(米)．答：旗杆的高度约为17米．解析：延长AD交BC于E点，则BE即为AB的影长．然后根据物长和影长的比值计算即可．本题查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．22.答案：解：(1)∵抛物线y=−x2+(m−1)x+m与y轴交于(0,3)，∴3=0+(m−1)×0+m，解得：m=3；(2)∵m=3，∴抛物线解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，当y=−x2+2x+3=0，解得：x1=3，x2=−1，∴抛物线与x轴的交点坐标为：(3,0)，(−1,0)，顶点坐标为：(1,4)；(3)−1<x<3；(如图所示：当−1<x<3时，抛物线在x轴上方)(4)x<1.(如图所示：当x<1时，y随x的增大而增大)解析：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合得出x的取值范围是解题关键．(1)根据图象过点(0,3)，则可求出m的值；(2)利用(1)中所求得出二次函数解析式，进而求出其顶点坐标和与x轴的交点坐标；(3)画出函数图象进而得出抛物线在x轴上方时，x的取值范围；(4)利用函数开口方向以及对称轴位置，进而得出y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．23.答案：(1)证明：连接OE ，如图1所示．∵CF ⊥AB ，∴∠FCB =90°．∵∠F =30°，∴∠OBE =60°．∵OB =OE ，∴△OBE 为等边三角形，∴∠OEB =∠BOE =60°．∵OD//BF ，∴∠DOE =∠BEO =∠BOE =60°，∴BE ⏜=DE ⏜．(2)解：过点Q 作OM ⊥BE 于M ，如图2所示．∵OB =OE ，∴BE =2BM ．∵OD//BF ，∴∠COD =∠B ．在△OBM 和△DOC 中，{∠OMB =∠DCO =90°∠OBM =∠DOC OB =DO，∴△OBM≌△DOC(AAS)，∴BM =OC =2−12=32， ∴BE =2OC =3．∵OD//BF ，∴△COD∽△CBF ，∴OC BC =OD BF ，即322+32=2BF ，∴BF =143，∴EF =BF −BE =143−3=53，∴BE⋅EF=3×5=5．3解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)根据等边三角形的性质结合平行线的性质找出∠DOE=∠BOE；(2)利用全等三角形及相似三角形的性质，求出BM、BF的长度．(1)连接OE，由CF⊥AB、∠F=30°，可得出∠OBE=60°，结合OB=OE可得出△OBE为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠OEB=∠BOE=60°，由OD//BF利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，由此即可证出BE⏜=DE⏜；(2)过点Q作OM⊥BE于M，易证△OBM≌△DOC，根据全等三角形的性质可得出BM=OC=3，进2而可得出BE=3，由OD//BF可得出△COD∽△CBF，根据相似三角形的性质可求出BF的长度，结合EF=BF−BE可求出EF的长度，再将BE、EF的长度代入BE⋅EF中即可求结论．24.答案：(1)y=360−3x，自变量x的取值范围：50≤x≤120；(2)每件商品的售价定为80元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是6400元解析：[分析](1)当售价超过50元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖3件，直接根据销量=原销量−上涨的钱数×3即可求解，然后确定取值范围即可；(2)由利润=(售价−成本)×销售量列出函数关系式，(3)求出定义域内函数的最大值，然后作比较．[详解](1)y=210−3(x−50)，即y=360−3x，自变量x的取值范围：50≤x≤120，(2)w=−3x2+480x−14400，(3)当50≤x≤120时，w=−3x2+480x−14400，当x=80时，w有最大值为6400，答：每件商品的售价定为80元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是6400元．[点睛]本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．25.答案：解：(1)如图，连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°−(∠EBC+∠DCA)=180°−90°=90°，∴AC⊥BH．(2)①∵∠ABC=45°、∠ADC=90°，∴AD=BD=8，则CD=√AC2−AD2=√102−82=6，∴BC=BD+CD=8+6=14，∵∠CBG=∠CAD、∠CGB=∠CDA=90°，∴△BCG∽△ACD，则CGCD =BCAC=1410=75；②∵∠BCE=∠ECD、∠EBC=∠DEC，∴△BEC∽△EDC ，则BC EC =EC DC ，即14EC =EC 6，即EC 2=84， 连接OE ，在Rt △CGE 中，EG 2=EC 2−CG 2，即EG 2=84−(5+OG)2，在Rt △EOG 中，EG 2=EO 2−OG 2，即EG 2=25−OG 2，则84−(5+OG)2=25−OG 2，解得：OG =175，则EG 2=25−(175)2=33625， ∴EG =4√215(负值舍去)， ∵AC ⊥BH ，∴EH =2EG =8√215．解析：(1)由∠DAC =∠DEC 、∠EBC =∠DEC 知∠DAC =∠EBC ，根据∠DAC +∠DCA =90°知∠EBC +∠DCA =90°，即可得证；(2)①由∠ABC =45°、∠ADC =90°知AD =BD =8、CD =6、BC =BD +CD =14，证△BCG∽△ACD 得CG CD =BC AC ；②先证△BEC∽△EDC 得BC EC =EC DC ，即EC 2=84，连接OE ，由EG 2=84−(5+OG)2且EG 2=25−OG 2可得OG =175，代入EG 2=25−OG 2得EG 的长度，再利用垂径定理可得答案．本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26.答案：解：(1)5；2√5；(2)如图1中，∵OA=OB=5，∴∠A=∠EBF，∵BC是直径，∴∠BEC=∠AEC=90°，∵EF⊥OB，∴∠EFB=90°，∴∠AEC=∠EFB=90°，∴△ACE∽△BEF；(3)如图2中，当GC=GE时，点G与点H重合，∴GE=GB=GC，∴∠GEB=∠EBG，∵∠GEB+∠ABO=90°，∴∠EBG+∠ABO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠A+∠EBG=90°，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AO，∴OC=OB⋅cos∠AOB=3，∴BC=√OB2−OC2=√52−32=4；(4)①如图2中，当GC=GE时，点G与点H重合，∴GE=GB=GC，∴∠GEB=∠EBG，∵∠GEB+∠ABO=90°，∴∠EBG+∠ABO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠A+∠EBG=90°，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AO，∴OC=OB⋅cos∠AOB=3，∴C(95,125)；②如图3中，当CE=CG时，作AK⊥OB于K.设CD=4k，OD=3k．∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE=∠BGF，∵∠CEG+∠BEF=90°，∠BGF+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠BEF，∵EF⊥OB，AK⊥PB，∴EF//AK，∴∠BEF=∠BAK，∴∠CBD=∠BAK，∵∠CDB=∠AKB=90°，∴△CBD∽△BAK，∴CDBK =BDAK，∴4k2=5−3k4，∴k=511，∴C(1511,2011)解析：本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(1)利用两点间距离公式计算即可；(2)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；(3)当GC=GE时，点G与点H重合，根据三角函数和勾股定理解答即可；(4)分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．(1)∵A(3,4)，B(5,0)．∴OA=√32+42=5，OB=5，AB=√(3−5)2+42=2√5．故答案为5；2√5；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．。
浙江省宁波市鄞州区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
鄞州区2019学年第一学期九年级期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.抛物线22y x =的开口方向是（ ）A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右【答案】B 【解析】 【分析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax 2+bx+c （a ≠0）的二次项系数a 的符号决定，据此进行判断即可．【详解】解：∵y=2x 2的二次项系数a=2＞0， ∴抛物线y=2x 2的开口方向是向上； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的开口方向．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的开口方向：当a ＜0时，开口方向向下；当a ＞0时，开口方向向上． 2.已知2x=5y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A. 25x y=B. 52x y =C. 25x y =D. 52x y=【答案】B 【解析】试题解析：∵2x=5y， ∴ 52x y ＝， 故选B，3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A. y=2x -3 B. y=2x +3C. y=2(3)x +D. y=2(3)x -【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】，抛物线y=x2向上平移3个单位，，平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.4.下列事件中，是必然事件的是（）A. 抛掷一枚硬币正面向上B. 从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃AC. 今天太阳从西边升起D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服【答案】D【解析】【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、抛掷一枚硬币正面向上，是随机事件，故本选项错误；B、从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃A，是随机事件．故本选项错误；C、今天太阳从西边升起，是不可能事件，故本选项错误；D、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服，是必然事件，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了事件发生的可能性，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.如果两个相似多边形面积之比为1:4，那么它们的周长之比是（）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16【答案】A【解析】【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1:4，∴两个相似多边形周长的比等于1:2，∴这两个相似多边形周长的比是1:2．故选：A．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．6.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（）A. 3B.C.D. 6【答案】D【解析】【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=60°,∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=6.所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为6．故选D．【点睛】本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.7.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）A. 12B. 24C. 1188D. 1176【答案】B【解析】 【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02， 出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件）， 故选：B ．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．8.如图，点A 、B 、C 是O e 上的点，OB AC ∥，连结BC 交OA 于点D ，若60ADB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40︒C. 45︒D. 50︒【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可得，∠A=∠O ，据圆周角定理可得，∠C=12∠O ，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．【详解】解：∵OB ∥AC ，∠A=∠O ， 又∠C=12∠O ， ∴∠ADB=∠C+∠A=12∠O +∠O=60°，∴∠O=40°． 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．9.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，过重心G 作AC 、BC 垂线，垂足分别为D 、E ，则四边形GDCE的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.19B.16C.29D.13【答案】C 【解析】 【分析】连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，再证明△ADG ∽△GEF ，得出=2DG AG ADEF FG EG==，设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，用含a,b 的式子将AC ，BC 的长表示出来，再列式化简即可求出结果．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ， 易得四边形GDCE 为矩形，∴DG ∥BC ，DG=CD=EG=CE ，∠CDG=∠CEG=90°， ∴∠AGD=∠AFC ，∠ADG=∠GEF=90°， ∴△ADG ∽△GEF ，∴=2DG AG ADEF FG EG==． 设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，的∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b ， BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+12DG )=3a ， ∴2=19332GDCE ab ABC a b =⨯⨯四边形△的面积．故选：C ．【点睛】本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．10.如图，AB 为O e 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长DE 交O e 于点F ，若12AC =，3AE =，则O e 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 16．【答案】C 【解析】 【分析】连接OD 交AC 于点G ，根据垂径定理以及弦、弧之间的关系先得出DF=AC ，再由垂径定理及推论得出DE 的长以及OD ⊥AC ，最后在Rt △DOE 中，根据勾股定理列方程求得半径r ，从而求出结果． 【详解】解：连接OD 交AC 于点G ， ∵AB ⊥DF ，∴»»AD AF =，DE=EF ． 又点D 是弧AC 的中点，∴»»»AD CD AF ==，OD ⊥AC ，∴»»AC DF=， ∴AC=DF=12， ∴DE=6．设O e 的半径为r ， ∴OE=AO-AE=r-3，在Rt △ODE 中，根据勾股定理得，OE 2+DE 2=OD 2， ∴(r-3)2+62=r 2， 解得r=152． ∴O e 的直径为15． 故选：C ．【点睛】本题主要考查垂径定理及其推论，弧、弦之间的关系以及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，是中考常考题型．11.若(),A a b ，()2,B a c -两点均在函数()212019y x =--的图象上，且12a ≤<，则b 与c 的大小关系为（ ） A. b c < B. b c ≤ C. b c > D. b c ≥【答案】A 【解析】 【分析】将点A （a -1，b ），B （a -2，c ）代入()212019y x =--得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b -c=2a -5，结合12a ≤<可得到b -c 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：∵点A （a-1，b ），B （a-2，c ）在二次函数()212019y x =--的图象上，∴22(2)2019(3)2019a b a c ⎧--=⎨--=⎩， ∴b-c=2a-5，又12a ≤<，∴b -c=2a -5＜0， ∴b ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-5．12.如图，矩形ABCD ∽矩形FAHG ，连结BD ，延长GH 分别交BD 、BC 于点I 、J ，延长CD 、FG 交于点E ，一定能求出BIJ ∆面积的条件是（ ）A. 矩形ABJH 和矩形HJCD 的面积之差B. 矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差C. 矩形ABCD 和矩形AHGF 的面积之差D. 矩形FBJG 和矩形GJCE 的面积之差【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质得到AF AH AB BC =，即AF ·BC=AB ·AH ①．然后根据IJ ∥CD 可得，IJ BJDC BC=，再结合AF AHAB BC=以及矩形中的边相等可以得出IJ=AF=DE ．最后根据S △BIJ =12BJ ·IJ=12BJ ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC ·AF-12DH ·DE ②，结合①②可得出结论． 【详解】解：∵矩形ABCD ∽矩形FAHG ，AF AHAB BC∴=，∴AF ·BC=AB ·AH ， 又IJ ∥CD ，∴IJ BJ DC BC=，又DC=AB ，BJ=AH ，∴=IJ AH AF BC BAB A =，∴IJ=AF=DE ． S △BIJ =12BJ ·IJ=12BJ ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC ·AF-12DH ·DE=12AB ·AH-12DH ·DE=12(S 矩形ABJH -S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ 面积的条件是知道矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13.一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是___________． 【答案】16【解析】 【分析】“正面朝上的数字是5”的情况数除以总情况数6即为所求的概率．【详解】解：∵抛掷六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子共有6种结果，其中“正面朝上的数字是5”的只有1种，∴“正面朝上的数字是5”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，概率等于所求情况数与总情况数之比． 14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，4AC =，则AB 的长是__________．【答案】 【解析】 【分析】 根据cosA=ACAB可求得AB 的长．【详解】解：由题意得，cosA=AC AB ，∴cos45°=42AB =，解得AB =故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 15.在△ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 上，∠AED=∠B ，若AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，则边AB 的长为________ ，【答案】3 【解析】 【分析】由∠AED=∠B ，∠A 是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE ∽△ACB ，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得2ADE ACB S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，即可求得AB 的长． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A 是公共角，∴△ADE ∽△ACB ，∴2ADE ACB S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5， ∴△ABC 的面积为9， ∵AE=2，∴242=()9AB， 解得：AB=3． 故答案为3．【点睛】本题考查相似三角形的判定性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 16.如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转角度α（090α︒<<︒），得到AB C ''∆，若B '，C ，C '三点在同一条直线上，46B CB '∠=︒，则α的度数是___________．【答案】46︒ 【解析】 【分析】首先根据邻补角定义求出∠BCC ′=180°-∠BCB ′=134°，再根据旋转的性质得出∠BCA=∠C ′，AC=AC ′，根据等边对等角进一步可得出∠BCA=∠ACC ′=∠C ′，再利用三角形内角和求出∠CAC ′的度数，从而得出α的度数．．【详解】解：∵B ，C ，C ′三点在同一条直线上，∴∠BCC ′=180°-∠BCB ′=134°， 又根据旋转的性质可得，∠CAC ′=∠BAB ′=α，∠BCA=∠C ′，AC=AC ′， ∴∠ACC ′=∠C ′， ∴∠BCA=∠ACC ′=12∠BCC ′=67°=∠C ′， ∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠C ′=46°， ，α=46°． 故答案为：46°．【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．同时也考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和以及邻补角的定义．17.如图，点()1,B a -、(),4C b -在OA e 上，点A 在x 轴的正半轴上，点D 是A e 上第一象限内的一点，若45D ∠=︒，则圆心A 的坐标为__．【答案】()3,0 【解析】 【分析】分别过点B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，先通过圆周角定理可得出∠BAC=90°，再证明△BEA ≌△AFC ，得出AE=CF=4，再根据AO=AE-OE 可得出结果． 【详解】解：分别过点B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ， ∵∠D=45°，∴∠BAC=90°．∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90°， ∴∠ABE=∠CAF ，又AB=AC ，∠AEB=∠AFC=90°， ∴△BEA ≌△AFC （AAS ）， ∴AE=CF ，又∵B ，C 的坐标为()1,B a -、(),4C b -， ∴OE=1，CF=4，∴OA=AE-OE=CF-OE=3． ∴点A 的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）．【点睛】本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()2,2A ，()5,5B ，若二次函数2y ax bx c =++的图象过,A B 两点，且该函数图象的顶点为(),M x y ，其中x ，y 是整数，且07x <<，07y <<，则a 的值为__________．【答案】±1，13± 【解析】 【分析】先将A ，B 两点的坐标代入2y ax bx c =++，消去c 可得出b=1-7a ，c=10a ，得出x M =-2b a =712a a-，y M =224914144ac b a a a a--+-=.方法一：分以下两种情况：①a ＞0，画出示意图，可得出y M =0,1或2，进而求出a 的值；②a ＜0时，根据示意图可得，y M =5，6或7，进而求出a 的值；方法二：根据题意可知71=0,1,2,3,4,5,62a a -或7①，29141=0,1,2,3,4,5,64a a a-+-或7②，由①求出a 的值，代入②中验证取舍从而可得出a 的值．【详解】解：将A ，B 两点的坐标代入2y ax bx c =++得，2425255a b c a b c =++⎧⎨=++⎩①②，②-①得，3=21a+3b ， ∴b=1-7a ，c=10a ．∴原解析式可以化为：y=ax 2+(1-7a)x+10a ．∴x M =-2b a =712a a -，y M =224914144ac b a a a a--+-=, 方法一：①当a ＞0时，开口向上，∵二次函数经过A,B 两点，且顶点(),M x y 中，x ，y 均整数，且07x <<，07y <<，画出示意图如图①，可得0≤y M ≤2，∴y M =0,1或2，当y M 291414a a a -+-==0时，解得a=79±,不满足x M 为整数的条件，舍去；当y M 291414a a a-+-==1时，解得a=1(a=19不符合条件，舍去)； 当y M 291414a a a-+-==2时，解得a=13,符合条件．②a ＜0时，开口向下，画出示意图如图②，根据题中条件可得，5≤y M ≤7，只有当y M =5，a=-13时，当y M =6，a=-1时符合条件． 综上所述，a 的值为±1，13±．方法二：根据题意可得71=0,1,2,3,4,5,62a a -或7；29141=0,1,2,3,4,5,64a a a-+-或7③，∴当71=02a a-时，解得a=17，不符合③，舍去；当71=12a a-时，解得a=15，不符合③，舍去；当71=22a a-时，解得a=13，符合③中条件；当71=32a a-时，解得a=1，符合③中条件； 当71=42a a-时，解得a=-1，符合③中条件； 当71=52a a-时，解得a=-13，符合③中条件；当71=62a a-时，解得a=-15，不符合③舍去；当71=72a a-时，解得a=-17，不符合③舍去；综上可知a 的值为：±1，13±． 故答案为：±1，13±【点睛】本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标以及函数图像的整数点问题，掌握基本概念与性质是解题的关键．三、解答题19.计算：23tan30cos 452sin 60︒︒︒+-． 【答案】12【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可．【详解】解：原式232322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭12=12=． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．20.如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，ABC ∆的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．（1）在图1网格中找格点D ，作直线AD ，使直线AD 平分ABC ∆的面积；（2）在图2网格中找格点E ，作直线AE ，使直线AE 把ABC ∆的面积分成1:2两部分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（2）根据同高且底边长度比为1:2的两个三角形的面积比为1:2寻找点，同时利用相似三角形对应边的比相等可找出格点．【详解】解：（1）如图①，由网格易知BD=CD ，所以S △ABD =S △ADC ，作直线AD 即为所求； （2）如图②，取格点E ，由AC ∥BE 可得，21CN AC BN BE ==（或2142CM AC BM BE ===）, ∴S △ACN =2S △ABN （或S △ABM =2S △ACM,）， ∴作直线AE 即为所求．（选取其中一条即可）【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，相似的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这,x y．样确定了点M的坐标()（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若M在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）游戏是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列表法或画树状图可得出所有可能的结果；（2）利用概率公式计算出小明胜的概率，小红胜的概率，从而可判断这个游戏的公平性．【详解】解：（1）M点的坐标共12个，如下表：（2）游戏公平，理由如下：由列表可知，点M 在第一象限共有6种情况，∴小明获胜的概率为：61=122， 点M 不在第一象限共有6种情况，∴小红获胜的概率为：61122=． ∴两人获胜的概率相等，故这个游戏是公平的．【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．同时也考查了列表法与画树状图法．22.如图，在电线杆上的点C 处引同样长度的拉线CE ，CF 固定电线杆CD ，在离电线杆6米处安置测角仪AB （其中点B 、E 、D 、F 在同一条直线上），在A 处测得电线杆上点C 处的仰角为30°，测角仪AB（1）求电线杆上点C 离地面的距离CD ；（2）若拉线CE ，CF 的长度之和为18米，求固定点E 和F 之间的距离．【答案】（1）2）米【解析】 【分析】（1）过点A 作AH ⊥CD 于点H ，可得四边形ABDH 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为30°，在△ACH 中求出CH 的长度，从而得出CD 的长；（2）然后在Rt △CDE 中求出DE 的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE ，从而得出EF 的长． 【详解】解：（1）过A 作AH CD ⊥于H ，由条件知，ABDH 为矩形，，DH AB ==6BD AH ==．在Rt ACH ∆中，tan CH CAH AH ∠=6CH=，，CH =，CD ==．，CD 为（2），CE CF =，18CE CF +=，，9CE =，在Rt CED ∆中，CD =9CE =，，DE ==，CE CF =，CD EF ⊥，，DF DE ==，EF =，E 、F 之间的距离为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．23.如图1，小明用一张边长为6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm 的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为3ycm ．（1）y 关于x 的函数表达式是__________，自变量x 的取值范围是___________．（2）为探究y 随x 的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究： ，列表：请你补充表格中的数据：，描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ，连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过312cm ，估计正方形边长x 的取值范围．（保留一位小数） 【答案】（1）3242436y x x x =-+，03x <<；（2），16，8；，见解析；，见解析；（3）0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）【解析】 【分析】（1）先根据已知条件用含x 的式子表示出长方体底面边长，再乘以长方体的高即可；（2）①根据（1）得出的关系式求当x=1、2时对应的y 的值补充表格；②③根据描点法画出函数图像即可；（3）根据图像知y=12时，x 的值由两个，再估算x 的值，再根据图像由y ＞12，得出x 的取值范围即可． 【详解】解：（1）由题意可得，无盖纸盒的底面是一个正方形，且边长为（6-2x ）cm ， ∴232(62)42436y x x x x x =-=-+， x 的取值范围为：0＜6-2x ＜6，解得03x <<． 故答案为：3242436y x x x =-+；03x <<；（2），当x=1时，y=4-24+36=16；当x=2时，y=4×8-24×4+36×2=8； 故答案为：16，8； ②③如图所示：（3）由图像可知，当y=12时，0＜x ＜1，或1＜x ＜2， ①当0＜x ＜1时，当x=0.4时，y=10.816，当x=0.5时，y=12.5，∴当y=12时，x ≈0.5（或0.4）；②当1＜x ＜2时，当x=1.6时，y=12.544，当x=1.7时，y=11.492，∴当y=12时，x ≈1.6（或1.7），∴当y ＞12时，x 的取值范围是0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）．【点睛】本题主要考查列函数关系式、函数图像的画法、根的估算以及函数的性质，解题的关键是掌握基本概念和性质．24.已知：如图，在半圆O 中，直径AB 的长为6，点C 是半圆上一点，过圆心O 作AB 的垂线交线段AC 的延长线于点D ，交弦BC 于点E ．（1）求证：D ABC ∠=∠；（2）记OE x =，OD y =，求y 关于x 的函数表达式；（3）若OE CE =，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）9y x =；（334π 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得∠CAB+∠ABC=90°，根据DO ⊥AB ，得出∠D+∠DAO=90°，进而可得出结果；（2）先证明OCE ODC ∆∆∽，得出OE OC OC OD=，从而可得出结果； （3）设OD 与圆弧的交点为F ，则根据S 阴影=S △AOD -S △AOC -S 扇形COF 求解．【详解】（1）证明：，AB 是直径，，90ACB ∠=︒，，90A ABC ∠+∠=︒．，⊥DO AB ，，90A D ∠+∠=︒．，D ABC ∠=∠．（2）解：，OB OC =，，OBC OCE ∠=∠．，OCE D ∠=∠．而COE COD ∠=∠，，OCE ODC ∆∆∽， ，OE OC OC OD =即33x y=， ，9y x =． （3）解：设OD 与圆弧的交点为F ，设B α∠=，则BCO α∠=，，OE CE =，，EOC BCO α∠=∠=．BCO ∆中，90180a αα++︒+=︒，，30α=︒．∴∠AOC=60°，∴又AO=CO ，∴△ACO 为等边三角形，S阴影=S △AOD -S 扇形COF -S △AOC =230133π33π23602412⨯⨯⨯-⨯⨯=-．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论、圆中不规则图形面积的求法、等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定等知识，掌握基本性质与判定方法是解题的关键．注意求不规则图形的面积时，结合割补法求解．25.定义：若函数()20y x bx c c =++≠与x 轴的交点,A B 的横坐标为A x ，B x ，与y 轴交点的纵坐标为C y ，若A x ，B x 中至少存在一个值，满足A C x y =（或B C x y =），则称该函数为友好函数．如图，函数223y x x =+-与x 轴的一个交点A 的横坐标为-3，与y 轴交点C 的纵坐标为-3，满足A C x y =，称223y x x =+-为友好函数．（1）判断243y x x =-+是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数2y x bx c =++表达式中的b 与c 之间的关系；（3）若2y x bx c =++是友好函数，且ACB ∠为锐角，求c 的取值范围．【答案】（1），理由见解析；（2）1b c +=-；（3）1c <-或0c >，且1c ≠【解析】【分析】 （1）根据友好函数的定义，求出函数与x 轴交点的横坐标以及与y 轴交点的纵坐标，即可进行判断； （2）先求出函数与y 轴交点的纵坐标为c ，再根据定义，可得当x=c 时，y=0，据此可得出结果； （3）分一下三种情况求解：（，）当C 在y 轴负半轴上时，由（2）可得：1c b =-，进而可得出结果；（，）当C 在y 轴正半轴上时，且A 与B 不重合时，画出图像可得出结果；（，）当C 与原点重合时，不符合题意．【详解】解：（1）243y x x =-+是友好函数．理由如下：当0x =时，3y =；当0y =时，1x =或3，，243y x x =-+与x 轴一个交点的横坐标和与y 轴交点的纵坐标都是3． 故243y x x =-+是友好函数．（2）当0x =时，y c =，即与y 轴交点的纵坐标为c ．，2y x bx c =++是友好函数．，x c =时，0y =，即(),0c 在2y x bx c =++上．代入得：20c bc c =++，而0c ≠，，1b c +=-． （3）（，）当C 在y 轴负半轴上时，由（2）可得：1c b =-，即21y x bx b =+--，显然当1x =时，0y =，即与x 轴的一个交点为(1,0)．则45ACO ∠=︒，，只需满足45BCO ∠<︒，即BO CO <．是∴1c <-．（，）当C 在y 轴正半轴上时，且A 与B 不重合时，，显然都满足ACB ∠为锐角．∴0c >，且1c ≠．（，）当C 与原点重合时，不符合题意．综上所述，1c <-或0c >，且1c ≠．【点睛】本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意． 26.如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．（1）求证：AC 是O e 的切线；（2）若点E 恰好是AO 的中点，求»BF的长； （3）若CF 的长为34． ，求O e 的半径长；，点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．【答案】（1）见解析；（2）59π；（3），1或158；，16或95 【解析】【分析】 （1）连接DO ，如图，先根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠1=∠3，从而得到DO ∥BC ，再根据∠C=90°，可得出结果；（2）连接FO ，根据E 为中点，可以得出53AE EO DO BO ====，在Rt △AOD 中，可以求出sinA 的值，从而得出∠A 的度数，再证明△BOF 为等边三角形，从而得出∠BOF 的度数，根据弧长公式可得出结果；（3）①设圆的半径为r ，过O 作OM BC ⊥于M ，则BM FM =，四边形CDOM 是矩形．再证明ADO OMB ∆∆∽，得出AO BO DO BM=，据此列方程求解； ②作出点F 关于BD 的对称点F ′，连接DE ，DF ，DF ′，FF ′，再证明DEF BF F ''∆∆∽，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：连结DO ，，BD 平分ABC ∠，，12∠=∠，，DO BO =，，23∠∠=．，13∠=∠．，DO BC P ．，90C ∠=︒，，90ADO ∠=︒．∴AC 是O e 的切线．（2）解：，E 是AO 中点，，53AE EO DO BO ====． ，1sin 2OD A AO ==，，30A ∠=︒，60ABC ∠=︒． 连接FO ，又BO=OF ，∴△BOF 为等边三角形，∴60BOF ∠=︒．，»6055ππ18039BF =⨯⨯=．（3）解：，过O 作OM BC ⊥于M ，则BM FM =，四边形CDOM 是矩形．设圆的半径为r ，则5AO r =-，34BM FM r ==-． ，DO BC P ，，AOD OBM ∠=∠．而90ADO OMB ∠=︒=∠，，ADO OMB ∆∆∽． ，AO BO DO BM =即534r r r r -=-， 解之得11r =，2158r =．，作出点F 关于BD 的对称点F ′，连接FF ′，DE ，DF ，DF ′，，∠EBD=∠FBD ，，DE DF =．，BE 是直径，，90BDE ∠=︒，而F 、F '关于BD 轴对称，，BD FF '⊥，BFBF '=，DF=DF ′，，DE ∥FF ′，DE=DF ′，∠DEF ′=∠DF ′E ，，=DEF DF E BF F BFF ''''∠==∠∠∠，，DEF BF F ''∆∆∽.当1r =时，4AO =，1DO =，1BO =，由①知3544BC r BM r r =+=+-=，而34CF =， ，12BF =. 又易得△BCD ∽△BDE,∴54=,=2BC BD BD BD BE BD ∴，∴BD 2=52. 在Rt △BED 中，DE 2=BE 2-BD 2=4-52=32，∴DE=2′. ，BFF '∆与DEF '∆的面积比2116BF DF ⎛⎫ ⎪==′． 同理可得，当158r =时，BFF '∆与DEF '∆的面积比95=． ，BFF '∆与DEF '∆的面积比为16或95．【点睛】本题是圆与相似的综合题，主要考查切线的判定，弧、弦长与圆周角的关系，弧长的求法，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线再求解．。
2019-2020学年宁波市九年级上期末数学测试卷(含答案)
浙江省宁波市江北区九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）若，则的值为（）A．B．C．D．42．（4分）下列成语表示随机事件的是（）A．水中捞月B．水滴石穿C．瓮中捉鳖D．守株待兔3．（4分）下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．（4分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（）A．.直线x=1 B．直线x=﹣1C．直线x=3 D．直线x=﹣37．（4分）圆锥的底面半径为10cm，母线长为15cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πcm2B．150πcm2C．200πcm2 D．250πcm28．（4分）如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°9．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y110．（4分）已知∠ADB，作图．步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点E，画射线DE．步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于点P、Q、C；步骤3：连结PQ、OC．则下列判断：①=；②OC∥DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ，其中正确的结论有（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④11．（4分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB=90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（）A．2B．2C．4 D．312．（4分）已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是．14．（4分）已知⊙O的半径为r，点O到直线1的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线1与⊙O的位置关系是．（填“相切、相交、相离”中的一种）15．（4分）在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是．16．（4分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是．17．（4分）将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x﹣1，则a+b+c= ．18．（4分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（6分）计算：3tan30°+（﹣1）2018﹣（π﹣3）020．（8分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC=22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）21．（8分）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．22．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．23．（10分）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1=0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？24．（10分）如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，设AE=x．将△ABE沿BE翻折得到△ABE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G=90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，求x的值．26．（14分）【给出定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．【理解概念】（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是命题（填“真”或“假”）．（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四边形ABCD的周长．【实际应用】已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b交于A，B两点．（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．A．2．D．3．A．4．A．5．C．6．A．7．B．- 8．C．9．C．10．B．11．A．12．B．二、填空13．0或6．14．相切．15．．16．．17．1．18．4或x=4或x=2．三、解答题19．【解答】解：原式=3×+1﹣1=．-20．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥l ，设AD=x ，则BD===x ，∴tan63°==2，∴AD=x=8+4， ∴气球A 离地面的高度约为18m ． 21．【解答】解：（1）根据题意，得： =，解得n=2；（2）画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10，∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为=．22．∴∠ACO=∠OCD，∵∠A=∠D=∠ACO，∴∠D=∠OCD，∴OC∥DE，∵DE⊥CF，∴OC⊥CF，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD，∵BE∥OC，∴△FEB∽△FCO，∴，解得：r=2，∴AB=4，∵∠ABD=60°，∴BD=2．23．【解答】解：（1）∵函数y2=ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2=﹣x2+x．（2）w=（8﹣t）﹣t2+=﹣（t﹣4）2+6，∴t=4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．24．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S=2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8=6.525．【解答】解：①如图①，∠GA'C=90°，∵∠AA'G=90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE=∠ADC=90°，∠ABE=∠DAC，∴△ABE∽△ADC，∴，即解得：x=1；②如图②，∠A'GC=90°，∴∠DGC=∠GAA'=∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∵AE=EA'=EG=x，∴，解得：（舍去），综上所述，x=1或1.5．26．【解答】解：【理解概念】：（1）∵矩形的对角线所分的两个三角形全等∴凡是矩形都是跳跃四边形是真命题故答案为真（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4∴AC=2，BC=6当∠CAD=90°时，如图1：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴=或∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8若∠ADC=90°如图2：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴或∴AD=，CD=3或A D=3，CD=∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5综上所述：四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5【实际应用】（3）∵抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点∴顶点坐标为（0，m），对称轴为y轴，点B，点C关于对称轴对称∴点C（2，0）∵抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A，点B∴∴m=b=4，a=﹣1∴抛物线解析式y=﹣x2+4∵P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度∴设运动时间为t∴BP=t，BQ=5t∵点A（0，4），点B（﹣2，0）∴OA=4，OB=2∴AB=2∵且∠ABO=∠PBQ∴△ABO∽△PBQ∴∠AOB=∠BPQ=90°∵四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形∴△BPQ∽△PQM∴△PQM是直角三角形①若∠PQM=90°时，且BP与QM是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图3∵△BPQ∽△PQM∴=1∴BP=QM，PM=BQ∴四边形BPMQ是平行四边形∴BP∥QM∴∠PBD=∠MQE∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ ∴△BPD≌△MQE∴PD=ME，BD=QE∵PD∥AO∴∴=∴BD=t，PD=2t∴QE=t，ME=2t∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2∴M（6t﹣2，2t），且点M在抛物线上∴2t=﹣（6t﹣2）2+4∴t=②若∠PQM=90°时，且BP与PQ是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图4∵△BPD∽△MQE∴即∴QM=4t∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°∴△BPQ∽△MEQ∴∴ME=8t，QE=4t∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2∴M（9t﹣2，8t），且点M在抛物线上∴8t=﹣（9t﹣2）2+4∴t=③若∠PMQ=90°，BP与MQ是对应边，过点P作PD⊥BC∵△BPQ∽△MQP∴∠PQB=∠MPQ∴PM∥BC∵MQ⊥PM∴MQ⊥BC，且PD⊥BC∴MQ∥PD∴四边形PDQM是平行四边形且PD⊥BC∴四边形PDQM是矩形∴PD=MQ∵BD=t，PD=2t，BQ=5t∴QM=2t∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2∴M（5t﹣2，2t）且点M在抛物线上∴2t=﹣（5t﹣2）2+4∴t=若若∠PMQ=90°，BP与MP是对应边，过点M作EF∥BC，过点P作PD⊥BC，延长DP交EF于F，过点Q作EQ⊥EF于F．∵△BPQ∽△PMQ∴∠MQP=∠BQP又∵PD⊥BC，PM⊥MQ∴PD=PM=2t∵PD=PM，PQ=PQ∴△PDQ≌△PQM∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC∴DF⊥EF，EQ⊥BC∴四边形EFDQ是矩形∴EF=DQ=4t∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°∴△FMP∽△MEQ∴∴EQ=2FM在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2∴FM=t∴EQ=t∴M（t﹣2， t），且点M在抛物线上∴t=﹣（t﹣2）2+4∴t=综上所述：使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=，t=，t=，t=。
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）抛物线y＝2x2的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右2．（4分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位后所得的解析式为（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2 4．（4分）下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币正面向上B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃AC．今天太阳从西边升起D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服5．（4分）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：166．（4分）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（）A．3B．3C．3D．67．（4分）对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）501001502005008001000抽取件数（件）合格频数4898144193489784981 A．12B．24C．1188D．11768．（4分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，OB∥AC，连结BC交OA于点D，若∠ADB ＝60°，则∠AOB的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．1611．（4分）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2019的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（）A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c12．（4分）如图，矩形ABCD∽矩形F AHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（）A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝4，则AB的长是．15．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE 的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．16．（4分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB＝46°，则α的度数是．17．（4分）如图，点B（﹣1，a）、C（b，﹣4）在⊙A上，点A在x轴的正半轴上，点D 是⊙A上第一象限内的一点，若∠D＝45°，则圆心A的坐标为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的值为．三、解答题（第19题6分，第20、21题8分，第22～24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．20．（8分）如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC 的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．（1）在图1网格中找格点D，作直线AD，使直线AD平分△ABC的面积；（2）在图2网格中找格点E，作直线AE，使直线AE把△ABC的面积分成1：2两部分．21．（8分）在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）．（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若M在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．22．（10分）如图，在电线杆上的点C处引同样长度的拉线CE，CF固定电线杆CD，在离电线杆6米处安置测角仪AB（其中点B、E、D、F在同一条直线上），在A处测得电线杆上点C处的仰角为30°，测角仪AB的高为米．（1）求电线杆上点C离地面的距离CD；（2）若拉线CE，CF的长度之和为18米，求固定点E和F之间的距离．23．（10分）如图1，小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm．（1）y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：①列表：请你补充表格中的数据：x00.51 1.52 2.53y012.513.5 2.50②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图3）描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12cm3，估计正方形边长x的取值范围．（保留一位小数）24．（10分）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O 作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．25．（12分）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．26．（14分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；（3）若CF的长为①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．。
浙江省宁波市余姚市九年级(上)期末数学试卷-教师用卷
浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷1.下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．直接利用旋转的定义得出答案即可．本题考查了旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．2.气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是()A. 明天30%的地区不会下雨B. 明天下雨的可能性较大C. 明天70%的时间会下雨D. 明天下雨是必然事件【答案】B【解析】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．根据概率的意义找到正确选项即可．此题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．3.把二次函数y=(x−1)2−3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为()A. y=(x+2)2+1B. y=(x−2) 2+1C. y=(x+4) 2+1D. y=(x−4) 2+1【答案】A【解析】解：把二次函数y=(x−1)2−3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y=(x−1+3)2−3+4，即y=(x+2)2+ 1．故选：A．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为()A. 3：2B. 1：√3C. 1：√2D. √2：√3【答案】C【解析】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为√2R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：√2R=1：√2．故选：C．设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．5.如图，直线l1//l2//l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于()A. 18B. 20C. 25D. 30【答案】C【解析】解：∵l1//l2//l3，∴ABAC =DEDF，即25=DF−15DF，∴DF=25．故选：C．利用平行线分线段成比例定理得到ABAC =DEDF，然后把已知条件代入计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6. 在4×5网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点(正方形的顶点)，则下列等式正确的是( )A. sinA =√32B. cosA =12C. tanA =√33D. cosA =√22【答案】D【解析】解：由网格构造直角三角形可得，AB 2=12+32=10，AC 2=12+22=5，BC 2=12+22=5， ∵AB 2=AC 2+BC 2， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A =∠B =45°， ∴sinA =sin45°=√22，cosA =cos45°=√22，tanA =tan45°=1，∴选项D 是正确的， 故选：D ．根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC 的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．本题考查勾股定理及逆定理，特殊锐角三角函数值，掌握勾股定理及逆定理和特殊锐角三角函数值是正确判断的前提．7. 如图，已知⊙O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，∠A =30°，则BD⏜的长为( )A. πB. 2πC. 3πD. 6π【答案】B【解析】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴AC⏜=BC⏜，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∴∠AOB=180°−30°−30°=120°，∴∠COB=1∠AOB=60°，2∴∠DOB=180°−60°=120°，=2π，∴BD⏜的长=120⋅π⋅3180∘故选：B．连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．本题考查弧长公式，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需()(精确到0.1米.参考值：sin10°=0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)A. 8.5米B. 8.8米C. 8.3米D. 9米【答案】A【解析】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，≈8.5(米)．斜坡的水平宽度AB至少为AB= 1.53 tan10∘故选：A．根据坡度坡角定义即可求出结果．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．9.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm.则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为()A. x=yB. 3x=2yC. x=1，y=2D. x=3，y=2【答案】B【解析】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有ABEF =ADEH，∴88−2x =1212−2y，可得3x=2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有ABEH =ADEF，∴812−2y =128−2x，推不出：x=y或3x=2y或x=1，y=2或x=3，y=2.故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x=2y，故选：B．分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a，b，c为常数)与二次函数y=12x2+ex+f(e,f为常数)的图象的顶点分别为A、B，且相交于C(m,n)和D(m+8,n)，若∠ACB=90°，则a的值为()A. −12B. −14C. −18D. −116【答案】C【解析】解：∵C(m,n)和D(m+8,n)，∴CD//x轴，且二次函数的对称轴x=m+4，∴AB⊥CD，x2+ex+∵点C，D在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a，b，c为常数)与二次函数y=12f(e,f为常数)的图象上，(x−m)(x−m−8)+n，∴y=ax2+bx+c=a(x−m)(x−m−8)+n，y=12∴A(m+4,n−16a)，B(m+4,n−8)，设AB与CD的交点为E，则E(m+4,n)，则CE=4，AE=−16a，BE=8；在△ABC中，∠ACB=90°，且AB⊥CD，则CE2=AE⋅BE，∴42=−16a×8，解得，a=−1．8故选：C．根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握并运用二次函数的性质是解决本题的关键．11.如图，已知角α的终边经过点P(4,3)，则cosα=______ ．【答案】45【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A，∵点P的坐标为(4,3)，∴PA=3，OA=4，由勾股定理得，OP=√PA2+OA2=5，∴cosα=OAOP =45，故答案为：45．过点P作PA⊥x轴于点A，根据勾股定理求出OP，根据余弦的定义计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．12.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6.则这两个判断正确的是______ (若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”)．【答案】②【解析】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．13. 已知，点A(−1,y 1)，B(−0.5,y 2)，C(4,y 3)都在二次函数y =ax 2−2ax −1(a >0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是______ ． 【答案】y 2<y 1<y 3【解析】解：当x =−1时，y 1=a ×(−1)2−2a ×(−1)−1=3a −1； 当x =−0.5时，y 2=a ×(−0.5)2−2a ×(−0.5)−1=1.25a −1； 当x =4时，y 3=a ×42−2a ×4−1=8a −1． ∵a >0，∴1.25a −1<3a −1<8a −1， ∴y 2<y 1<y 3．故答案为：y 2<y 1<y 3．利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出y 1，y 2，y 3的值，比较后即可得出结论． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，求出y 1，y 2，y 3的值是解题的关键．14. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC⏜=2BC ⏜，M 为BC ⏜的中点，过M 作MN//OC 交AB 于N ，连接BM ，则∠BMN 的度数为______ ． 【答案】45°【解析】解：连接OM ．∵AB 是直径，AC⏜=2BC ⏜， ∴∠BOC =13×180°=60°，∵CM ⏜=BM⏜， ∴∠MOB =∠COM =30°， ∵OM =OB ，∴∠B =∠OMB =12(180°−30°)=75°， ∵OC//MN ，∴∠MNB =∠COB =60°，∴∠BMN=180°−∠BNM−∠NBM=180°−60°−75°=45°，故答案为：45°．连接OM.想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为______ ．【答案】245【解析】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC=12BC⋅AM=10，BC=5，∴AM=4．∵DE//BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴ANAM =DEBC，即AN4=25，∴AN=85，∴平行四边形DEGF的高MN=AM−AN=4−85=125，∴平行四边形纸片的面积=2×125=245．故答案为：245．如图，由DE//BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，三角形的面积等知识，需要熟练掌握相关性质及其应用．16.如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明.同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：______ ；②m=______ (用含S1，S3的代数式表示m)．【答案】S2=12(S1+S3)2S1S3S1+S3．【解析】解：①观察图像(2)可知，S1=8S△AEH+S3，4S△AEH=S2−S3，∴S1=2(S2−S3)+S3，∴2S2=S1+S3，∴S2=12(S1+S3)，故答案为：S2=12(S1+S3).②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK//EF，同理：BL//GF，DJ//HE，CI//GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN//GF//EH，∴∠LMK=∠EKH=90°，∠MLK=∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴ML KE =MK KH =LK EH ， 设AE =x ，PE =y ，则：ML x =MK y =22， ∴ML =22，MK =22=LN ， ∴MN =√x 2+y 2√x 2+y 2=22√x 2+y 2， ∴m =MN 2=(2222)2=(x+y)2(x−y)2x 2+y 2， ∵S 1=(x +y)2，S 2=x 2+y 2，S 3=(x −y)2，∴m =S 1S 3S 2=S 1S 312(S 1+S 3)=2S 1S 3S 1+S 3． 故答案为：2S 1S 3S 1+S 3．①由题意可得：S 1=8S △AEH +S 3，4S △AEH =S 2−S 3，代入化简即可得到答案； ②先证明△MLK∽△KEH ，设AE =x ，PE =y ，结合四边形MNOP 的面积为m ，可得答案．本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等重要知识，属于基础题，解答本题的关键在于熟练运用相似三角形的判定和性质及勾股定理．17. 计算求值：(1)已知a b =34，求a−ba 的值；(2)2sin30°−tan60°⋅cos30°． 【答案】解：(1)∵a b =34，∴设a =3x ，则b =4x ，∴a−b a =3x−4x 3x =−13；(2)原式=2×12−√3×√32=1−32=−12．【解析】(1)直接利用一个未知数表示出a ，b ，进而代入化简得出答案；(2)直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．此题主要考查了比例的性质以及特殊角的三角函数值，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC(正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形)，在图1、图2中分别画一个格点三角形(所画的两个三角形不全等)，使其同时符合下列两个条件．(1)与△ABC有一公共角；(2)与△ABC相似但不全等．【答案】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．【解析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．本题考查了作图−应用与设计作图，全等三角形的判定，相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定．19.某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道.一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．(1)求小丽通过A通道进入校园的概率；(2)利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率(要求画出树状图或表格)．【答案】解：(1)小丽通过A通道进入校园的概率为1；3(2)列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为69=23．【解析】(1)直接利用概率公式求解可得答案；(2)先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD=α，AO=70cm，BO=DO=80cm，CO=40cm．(1)若α=56°，求点A离地面的高度AE；(参考值：sin62°=cos28°≈0.88，sin28°=cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53.)(2)调节α的大小，使A离地面高度AE=125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【答案】解：(1)如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG//AE，∵BO=DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG=12∠BOD=12×56°=28°，∴∠EAB=∠BOG=28°，在Rt△ABE中，AB=AO+BO=70+80=150(cm)，∴AE=AB⋅cos∠EAB=150×cos28°≈150×0.88=132(cm)，答：点A离地面的高度AE约为132cm；(2)∵OG//AE，∴∠EAB=∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF//OG，∴∠DCF=∠DOG，∵∠BOG=∠DOG，∴∠BAE=∠DCF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB∽△CFD，∴CFAE =CDAB，∴CF=CD⋅AEAB =120×125150=100(cm)，答：C点离地面的高度CF为100cm．【解析】(1)过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB=∠BOG=28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；(2)根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．21.如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场(靠墙一面不用篱笆)．(1)求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a=15；②a=10．(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【答案】解：(1)设矩形的长为x米，则宽为24−x2米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S=x×24−x2=−12x2+12x=−12(x−12)2+72，∵−12<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=12，∴当0<x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a=15时，x≤a即x≤15；∴当x=12时，S有最大值为72平方米；②a=10时，x≤a即x≤10，∴当x=10时，面积的最大值为−12×(10−12)2+72=70(平方米)．(2)令S=67.5得：−12(x−12)2+72=67.5，解得x=9或x=15，由x≤a可知，当x=15时，a≥15，由(1)知，此时矩形最大值在x=12时取得，面积最大值为72平方米，故x=15舍去．∴a=9．【解析】(1)设矩形的长为x米，则宽为24−x米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，2根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a=15；②a=10计算求得相应的最大值即可．(2)令S=67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由(1)的结论可得答案．本题考查了二次函数与一元二次方程在几何图形问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22.如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接PA，PB，分别交⊙O于点C，D，AC⏜=BD⏜．(1)求证：PA=PB；(2)若∠P=60°，CD⏜=3AC⏜.△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵AC⏜=BD⏜，∴AC=BD，∵OA=OC=OB=OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM=AM，BN=DN，∠OMC=∠OND=90°，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，{CM=DNOC=OD，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴OM=ON，在Rt△POM和Rt△PON中，{OP=OPOM=ON，∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，∴PM=PN，∵AM=BN，∴PA=PB．(2)解：∵∠APB=60°，∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MON=120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM=∠PON=60°，∵CD⏜=3AC⏜，∴∠COE=3∠COM，∴∠COM=15°，∴∠AOC=2∠COM=30°，过点A作AJ⊥OC于J.设OA=OB=R，则AJ=12R ∴S△AOC=9，∴12⋅R⋅12⋅R=9，∴R=6，∴S阴=S阴=S阴−S△AOC=30×π×62360−9=3π−9．【解析】(1)连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E.证明Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，推出OM=ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON(HL)，可得结论．(2)过点A作AJ⊥OC于J.设OA=OB=R，则AJ=12R，首先证明∠AOC=30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．本题考查扇形的面积公式，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，E(1,3)，与y轴交于点C．(1)求该二次函数表达式；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ//AC ，交直线BC 于点Q ，作PM//y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM∽△COA ；②求线段PQ 的长度的最大值．【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，E(1,3)， ∴{0=a −b +c 0=16a +4b +c 3=a +b +c，解得：{a =−12b =32c =2，∴二次函数表达式为y =−12x 2+32x +2；(2)△ABC 是直角三角形，理由如下：∵抛物线y =−12x 2+32x +2与y 轴交于点C ，∴点C(0,2)，又∵点A(−1,0)，B(4,0)，∴AB =5，AC =√OA 2+OC 2=√1+4=√5，BC =√OC 2+OB 2=√4+16=2√5， ∵AB 2=25，AC 2+BC 2=25，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形；(3)①∵∠ACB =∠AOC =90°，∴∠ACO +∠BCO =90°=∠ACO +∠CAO ，∴∠BCO =∠CAO ，∵PQ//AC ，PM//y 轴，∴∠ACB =∠CQP =∠PQM =90°，∠PMQ =∠BCO =∠CAO ，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ=∠BMH，∠PQM=∠PHB=90°，∴∠QPM=∠CBA，∵B(4,0)，点C(0,2)，∴直线BC解析式为y=−12x+2，设P(m,−12m2+32m+2)，则点M(m,−12m+2)，∴PM=−12m2+32m+2−(−12m+2)=−12(m−2)2+2，∵cos∠CBA=cos∠QPM，∴BCAB =PQPM，∴2√55=PQ−12(m−2)2+2，∴PQ=−√55(m−2)2+4√55，∴当m=2时，PQ有最大值为4√55．【解析】(1)利用待定系数可求解析式；(2)先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；(3)①由平行线的性质可得∠ACB=∠CQP=∠PQM=90°，∠PMQ=∠BCO=∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P(m,−12m2+32m+2)，则点M(m,−12m+2)，由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24.如图，⊙O的半径为5，弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．⏜的中点；(1)如图1.①求证：点P为BAC②求sin∠BAC的值；(2)如图2，若点A为PC⏜的中点，求CE的长；(3)若△ABC为非锐角三角形，求PA⋅AE的最大值．【答案】(1)①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF=∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∵∠BAP=∠PCB，∴∠PCB=∠PBC，∴PB=PC，∴PC⏜=PB⏜，⏜的中点；∴点P为BAC②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴PB⏜=PC⏜，∴PH是直径，∵∠BPC=∠BAC，∠BOG=12∠BPG=∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG=12BC=3，Rt△BOG中，∵OB=5，∴sin∠BAC=sin∠BOG=BGOB =35；(2)解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由(1)知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5，∴OG=4，∴PG=4+5=9，∴PC=√CG2+PG2=√32+92=3√10，设∠APC=x，∵A是PC⏜的中点，∴AP⏜=AC⏜，∴∠ABC=∠ABP=x，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=2x，△PCE中，∠PCB=∠CPE+∠E，∴∠E=2x−x=x=∠CPE，∴CE=PC=3√10；(3)解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴PAAC =ABAE，∴PA⋅AE=AC⋅AB，∵sin∠BAC=CQAC，∴CQ=AC⋅sin∠BAC=35AC，∴S△ABC=12AB⋅CQ=310AB⋅AC，∴PA⋅AE=103S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=8，此时PA⋅AE=103×12×6×8=80．【解析】(1)①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB=∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG=3，∠BOG=∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；(2)如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC=∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；(3)如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：PA⋅AE=AC⋅AB，根据三角形面积公式得PA⋅AE=103S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
浙江省宁波市南三县2020届九年级上学期期末考试数学考试试题
2019学年第一学期期末抽测九年级数学试题卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.正五边形的每个内角度数为（ ）A ．36°B ．72°C ．108°D ．120°2.在同一平面上，⊙O 外有一点P 到圆上的最大距离是10，最小距离为2，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．3 C ．6 D ．43.由抛物线2x y =平移的到抛物线()23+=x y ，则下列平移方式可行的是（ ）A ．向上平移3个单位长度B ．向下平移3个单位长度C ．向左平移3个单位长度D ．向右平移3个单位长度4.一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为（ ）A ．8B ．10C ．20D ．405.二次函数c bx ax y ++=2部分图象如图所示，有以下结论：①0>abc ；②042<-ac b ；③03=-b a ，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①②D ．①③6.如图，在ABC ∆中，点F E D ，，分别在边BC AC AB 、、上，且BC DE ∥，AB EF ∥，若BD AB 3=，则EFC ADE S S ∆∆:的值为（ ）A ．4 : 1B ．3 : 2C ．2 : 1D ．3 : 17.已知点()11y A ，，()222y B ，，()34y C ，在二次函数c x x y +-=62的图象上，则321y y y ，，的大小关系是（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．132y y y <<8.在圆内接四边形ABCD 中，¼ADC 与¼ABC 的比为3:2，则B ∠的度数为（ ） A ．36° B ．72° C ．108° D ．216°9.如图，在菱形ABCD 中，已知4=AB ，ο60=∠B ，以AC 为直径的⊙O 与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π+34B ．π+32C ．π3432+D ．π3434+ 10.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于点E ，B A CPD ∠=∠=∠，BC 交PD 于点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．CBP CGE ∆∆∽B ．PGD APD ∆∆∽C ．BFP APG ∆∆∽D ．BCP PCF ∆∆∽11.如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向传入进另一把三角尺（含有45°角）的孔洞中.已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）A ．2332cm B ．23cm C ．232cm D ．()232cm + 12.如图，平行四边形HEFG 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上.AD NE ∥，分别交AB HG DC ，，于点E M N ，，，且MN CD =.要求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度.这条线段可以是（ ）A ．EHB ．AEC ．EBD ．DH第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分24分）13.若35b a =，则ba b a 233--的值为 ． 14.从-1，0，π，2，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是 ．15.如图，某河堤的横截面是梯形ABCD ，AD BC ∥，迎水面AB 长26m ，且斜坡AB 的坡比（即AEBE）为12:5，则河堤的高BE 为 ．16.如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3=CE ，7=DE ，则弦AB 的长为 ．17.如图，已知点()b a M ，是函数22++-=x x y 的图象上的一个动点.若1<a ，则b 的取值范围是 ．18.如图，已知等边ABC ∆的边长为4，AB BD ⊥，且332=BD ，连结CD 并延长交AB 的延长线于点E ，则线段BE 的长度为 ．三、解答题：第19题6分，第20、21题各8分，第22-24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分.19.计算：οοο45cos 60cos 30sin 22-+.20.小王准备给小你打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号码中，有两个数字已经模糊不清，如果用Y X ，表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为1877X817Y52（手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍. （1）求Y X +的值；（2）求出小王一次拨对小李手机号码的概率.21.某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，cm DE BD AD 30===，cm CE 40=，车杆AB 与BC 所成的ο53=∠ABC ，图1中C E B 、、三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行.问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：5453sin ≈ο，5353cos ≈ο，3453tan ≈ο）22.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4=PN m 时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.23.如图二次函数的图象与x 轴交于点()03，-A 和()01，B 两点，与y 轴交于点()30，C ，点D C 、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过D B 、. （1）求二次函数的表达式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）如直线BD 与y 轴的交点为E 点，连结AE AD 、，求ADE ∆的面积.24.某商店经销一种垃圾桶，已知这种垃圾桶的成本价为每个30元，市场调查发现，这种垃圾桶每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()603060≤≤+-=x x y . 设这种垃圾桶每天的销售利润为w 元. （1）求w 与x 的函数表达式；（2）这种垃圾桶销售单价定位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种垃圾桶的销售单价不高于42元，该商店销售这种垃圾桶每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25.定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为对半四边形，这两个相邻内角的夹边称为对半线.（1）如图1，在对半四边形ABCD 中，()D C B A ∠+∠=∠+∠21，求A ∠与B ∠的度数之和； （2）如图2，O 为锐角ABC ∆的外心，过点O 的直线交BC AC ，于点E D ，，ο30=∠OAB ， 求证：四边形ABED 是对半四边形；（3）如图3，在ABC ∆中，E D ，分别是BC AC ，上一点，3==CE CD ，EB CE 3=，F 为DE 的中点，ο120=∠AFB ，当AB 为对半四边形ABED 的对半线时，求AC 的长.26.如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为（3，0），⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于B A ，两点，点C 是¼ADB 上的一点（不与B D A 、、重合），连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD .（1）求点A 的坐标；（2）当点C 在»AD 上时 ①求证：HCD BCD ∠=∠；②如图2，在CB 上取一点G ，使CG CA =，连结AG .求证：ADC ABG ∆∆∽；（3）如图3，当点C 在»BD上运动的过程中，试探究CDBC AC -的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.2019学年第一学期期末抽测九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每题4分，共48分）二、填空题（每题4分，共24分）13.34 14. 5215. 24 16. 212 17. 0＜b ≤4918. 1 三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22～24题各10分，第25题12分， 第26题14分，共78分）19.︒-︒+︒45cos 60cos 30sin 22=2×21+21-2)22( = 1+21-21 =1 20.（1）14=+Y X（2）X 、Y 的可能值为9和5,8和6,7和7,6和8,5和9， 小王一次拨对小李手机号码的概率5121.图1：BC ≈18+18+40=76cm图2：BC ≈18+30+32=80 cm 答：BC 的长度发生了改变，增加了4cm22.设圆弧所在圆的圆心为O ，连结OA,OA ’，如图所示 设半径为x （m ）则OA=OA ’=OP=x （m ） 由垂径定理可知AM=BM,A ’N=B ’NΘAB=60m ，∴AM=30m ，且OM=OP-PM=（x-18）m在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AM OM AO +=即22230)18(+-=x x ，解得x=34∴)(30434m PN OP ON =-=-=在ON A '∆中，由勾股定理可得)(1630342222''m ON OA N A =-=-=∴A ’B ’=32m>30m ∴不需要采取紧急措施。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚市九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．（4分）若13a b =，则a bb+的值为( ) A ．53B ．43 C ．35D ．342．（4分）下列事件属于必然事件的是( ) A ．足球比赛中梅西罚进点球B ．小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C ．今年宁波的冬天不下雪D ．实心的铁球会在水中下沉3．（4分）抛物线224y x =+的顶点坐标是( ) A ．(0,4)B ．(2,4)C ．(2,2)D ．(0,2)4．（4分）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是( ) A ．1B ．2.4C ．2.5D ．55．（4分）如果一个扇形的半径是2，弧长是2π，则此扇形的圆心角的度数为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．（4分）已知点1(2,)A y -，2(1,)B y 在二次函数22y x x m =+-的图象上，则下列有关1y 和2y 的大小关系的结论中正确的是( )A ．12y y =B ．12y y <C ．12y y >D ．与m 的值有关7．（4分）如图，等边ABC ∆内接于O ，点D 在AC 上，15CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒8．（4分）抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ，则m的值为()A．5-B．1-C．3D．不能确定9．（4分）在锐角等腰ABC∆中，AB AC=，4sin5A=，则cosC的值是() A．12B．2C．255D．5510．（4分）如图，ABC∆的中线AD，BE相交于点F，过点E作//EG AD交BC于点G，则:EG AF的值是()A．12B．23C．34D．4511．（4分）如图，已知O的半径为1，按如下步骤作图：①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；④以点A为圆心，OE长为半径画弧交O于点F．则以下说法不正确的是()A．3AC=B．2AF=C．45ACF∠=︒D．30BEO∠=︒12．（4分）如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么BEFGABCDSS矩形矩形的值为()A ．12B ．13C ．14 D ．15二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）正六边形的每个内角的度数是 度．14．（4分）比较sin80︒与tan 46︒的大小，其中值较大的是 ．15．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 ．16．（4分）将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 ．17．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30ABC ∠=︒，点P 在ABC ∆内，连结PA ，PB ，PC ，若123∠=∠=∠，且1PA =，则PB 的长是 ．18．（4分）如图，O 的直径AB 长为12，点E 是半径OA 的中点，过点E 作CD AB ⊥交O 于点C ，D ，点P 在CBD 上运动，点Q 在线段CP 上，且2PQ CQ =，则EQ 的最大值是 ．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22、23、24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：23tan 30cos 302sin 60︒+︒-︒20．（8分）一个不透明的袋子中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球．（1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果． （2）求两次摸到不同颜色的球的概率．21．（8分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘是两个同心圆，旗杆在圆心O 的位置且与地面垂直．（1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1:4，求两个同心圆的半径之比．（2）如图，若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC ，小桥所在的直线经过圆心O ，上午8:00时太阳光线与地面成30︒角，旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘；上午9:00时太阳光线与地面成45︒角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高OA 长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a =+-≠交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，顶点为D ． （1）求抛物线的对称轴和点C 的坐标．（2）若4AB =，求抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围．23．（10分）如图1，ABC ∆内接于O ，点D 是AB 的中点，且与点C 位于AB 的异侧，CD 交AB 于点E ．（1）求证：ADE CDA∆∆∽．（2）如图2，若O的直径46AB=，2CE=，求AD和CD的长．24．（10分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售．果园的杨梅价格如下：购买数量不超过20筐，每筐进价20元；购买数量超过20筐，每筐进价18元．小颖在观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐30元时，每天可销售30筐；每筐售价提高1元，每天销量减少1筐；每筐售价降低1元，每天销量增加1筐．若每天购进的杨梅能全部售出，且售价不低于进价，从果园进货的运费为每天100元．（1）设售价为每筐x元，则每天可售出筐．（2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？25．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC∆中，点D 是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=，则称点D是ABC∆中BC边上的“好点”．（1）如图2，ABC∆的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）ABC∆中，9BC=，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，ABC∆是O的内接三角形，OH AB⊥于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是BCD∆中CD边上的“好点”．②若O的半径为9，90ABD∠=︒，6OH=，请直接写出CHDH的值．26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(8,0)A和(0,6)B，点P 为x轴负半轴上的一个动点，画ABP∆的外接圆，圆心为M，连结BM并延长交圆于点C，连结CP．（1）求证：OBP ABC∠=∠．（2）当M的直径为14时，求点P的坐标．（3）如图2，连结OC，求OC的最小值和OC达到最小值时ABP∆的外接圆圆心M的坐标．参考答案一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）若13a b =，则a bb+的值为( ) A ．53B ．43 C ．35D ．34解：13a b =， 3b a ∴=， ∴3433a b a a b a ++==； 故选：B ．2．（4分）下列事件属于必然事件的是( ) A ．足球比赛中梅西罚进点球B ．小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C ．今年宁波的冬天不下雪D ．实心的铁球会在水中下沉解：A 、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；B 、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒，属于不可能事件，选项不合题意；C 、今年宁波的冬天不下雪，是随机事件，选项不合题意；D 、实心的铁球会在水中下沉，属于必然事件，选项符合题意；故选：D ．3．（4分）抛物线224y x =+的顶点坐标是( ) A ．(0,4)B ．(2,4)C ．(2,2)D ．(0,2)解：抛物线224y x =+， ∴该抛物线的顶点坐标为(0,4)，故选：A ．4．（4分）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是( ) A ．1B ．2.4C ．2.5D ．5解：三角形的三边长分别为3，4，5，又222345+=，∴这个三角形是直角三角形，∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是2.5．故选：C ．5．（4分）如果一个扇形的半径是2，弧长是2π，则此扇形的圆心角的度数为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒解：扇形的弧长为2π，半径为2，∴22180n ππ⨯=， 解得：45n =︒． 故选：B ．6．（4分）已知点1(2,)A y -，2(1,)B y 在二次函数22y x x m =+-的图象上，则下列有关1y 和2y 的大小关系的结论中正确的是( )A ．12y y =B ．12y y <C ．12y y >D ．与m 的值有关解：222(1)1y x x m x m =+-=+--，点1(2,)A y -是二次函数2(1)1y x m =+--图象上的点，21(21)111y m m m ∴=-+--=--=-；点2(1,)B y 是二次函数2(1)1y x m =+--图象上的点，22(11)1413y m m m ∴=+--=--=-．12y y ∴<．故选：B ．7．（4分）如图，等边ABC ∆内接于O ，点D 在AC 上，15CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒解：连接CD ， ABC ∆是等边三角形， 60B ∴∠=︒， 120D ∴∠=︒， 15CAD ∠=︒，1801512045ACD ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．8．（4分）抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ，则m 的值为( ) A ．5-B ．1-C ．3D ．不能确定解：抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ， ∴64022m m ++-+=， 解得，5m =-， 故选：A ．9．（4分）在锐角等腰ABC ∆中，AB AC =，4sin 5A =，则cos C 的值是( ) A ．12B ．2C 25D 5 解：如图，过B 作BD AC ⊥于D ，4sin 5BD A AB ==， ∴设4BD k =，5AB k =，223AD AB BD k ∴=-=，5AB AC k ==， 2CD k ∴=，2225BC BD CD k ∴=+=，25cos 525CD k C BC k ∴===， 故选：D ．10．（4分）如图，ABC ∆的中线AD ，BE 相交于点F ，过点E 作//EG AD 交BC 于点G ，则:EG AF 的值是( )A ．12B ．23C ．34D ．45解：ABC ∆的中线AD ，BE 相交于点F ， AE EC ∴=，BD CD =，2BE AFEF DF==， 即23AF AD =， //DE AD ，AE CE =， DG CG ∴=，12EG AD ∴=，∴132243ADEGAF AD==，故选：C ．11．（4分）如图，已知O的半径为1，按如下步骤作图：①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；④以点A为圆心，OE长为半径画弧交O于点F．则以下说法不正确的是()A．3AC=B．2AF=C．45ACF∠=︒D．30BEO∠=︒解：如图所示，①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；∴点A、B、C、D为圆的六等分点，③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；3AC AE∴==④以点A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点F ． 2AF OE ∴==，1OA OF ==90AOF ∴∠=︒，45ACF ∴∠=︒．说法不正确的是D ．故选：D ．12．（4分）如图，矩形ABCD 被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG ∽矩形ABCD ，那么BEFGABCD S S 矩形矩形的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解：设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，则AG b =，BG b a =+，2BE b a =-，2CE b =，2AB b a ∴=+，224BC b b a b a =+-=-，矩形BEFG ∽矩形ABCD ，∴BG BE AD AB =，即242b a b a b a b a+-=-+， 32b a ∴=， 52BG b a a ∴=+=，45AD b a a =-=， 矩形BEFG ∽矩形ABCD ，∴22512()()54BEFGABCD a S BG S AD a ===矩形矩形． 故选：C ．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）正六边形的每个内角的度数是 120 度． 解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数(62)1806120=-⨯︒÷=︒．14．（4分）比较sin80︒与tan 46︒的大小，其中值较大的是 tan 46︒ ．解：sin α随α的增大而增大，且sin80sin 90︒<︒，sin801∴︒<，tan α随α的增大而增大，且tan 46tan 45︒>︒，tan 461∴︒>，则tan 46sin80︒>︒，故答案为：tan 46︒．15．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 25． 解：从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为25， 故答案为：25． 16．（4分）将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 25(1)2y x =++ ．解：将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为：25(12)31y x =-++-，即25(1)2y x =++．故答案为：25(1)2y x =++．17．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30ABC ∠=︒，点P 在ABC ∆内，连结PA ，PB ，PC ，若123∠=∠=∠，且1PA =，则PB 的长是 3 ．解：AB AC =，30ABC ACB∴∠=∠=︒，123∠=∠=∠，PBC ACP∴∠=∠，APC CPB∴∆∆∽，∴AP AC PC CP BC PB==，在等腰ABC∆中，33 ACBC=，1AP=，3PC∴=，3PB∴=，故答案为3．18．（4分）如图，O的直径AB长为12，点E是半径OA的中点，过点E作CD AB⊥交O 于点C，D，点P在CBD上运动，点Q在线段CP上，且2PQ CQ=，则EQ的最大值是132+．解：延长CD到F，使得DE CE=，连接OF，PF，OP，OD．AB CD⊥，CE DE∴=，DE DF =，2EF CE ∴=，2PQ CQ =， ∴12CE CQ EF QP ==， ECQ FCP ∠=∠，ECQ FCP ∴∆∆∽， ∴13EQ CE PF CF ==， 13EQ PF ∴=， 3AE OE ==，6OD =，90OED ∠=︒，DE ∴===，在Rt OED ∆中，2EF DE ==，3OE =，OF ∴===，PF OP OF +，6313PF ∴+PF ∴的最大值为6，EQ ∴2+．2+．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22、23、24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：23tan 30cos 302sin 60︒+︒-︒解：原式232=+- 34= 34=． 20．（8分）一个不透明的袋子中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球．（1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果．（2）求两次摸到不同颜色的球的概率．解：（1）画树状图如下：画树状图得：由图可知，共有12种等可能的结果；（2）共有12种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的球有8种，∴两次摸到不同颜色的球的概率是82123=． 21．（8分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘是两个同心圆，旗杆在圆心O 的位置且与地面垂直．（1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1:4，求两个同心圆的半径之比．（2）如图，若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC ，小桥所在的直线经过圆心O ，上午8:00时太阳光线与地面成30︒角，旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘；上午9:00时太阳光线与地面成45︒角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高OA 长．解：（1）由题意得2215OB OC ππ=， ∴155OB OC ==， 5； （2）设OA x =，由45ABO ∠=︒，30ACO ∠=︒知，tan tan 45OA OA OB x ABO ===∠︒，3tan tan 30OA OA OC ACO ===∠︒， 10OC OB BC -==，∴310x x -=， 解得5(31)535x =+=+．∴旗杆的高OA 长为535+米．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a =+-≠交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的对称轴和点C 的坐标．（2）若4AB =，求抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围．解：（1）抛物线2223(1)3y ax ax a x a =+-=+--，∴该抛物线的对称轴是直线1x =-，当0x =时，3y =-，即抛物线的对称轴是直线1x =-，点C 的坐标是(0,3)-；（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线1x =-，4AB =，(3,0)A ∴-，(1,0)B ，∴抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围是1x <-或1x >．23．（10分）如图1，ABC ∆内接于O ，点D 是AB 的中点，且与点C 位于AB 的异侧，CD 交AB 于点E ．（1）求证：ADE CDA ∆∆∽．（2）如图2，若O 的直径6AB =，2CE =，求AD 和CD 的长．解：（1）点D 是ADB 的中点，∴AD BD =ACD BAD ∴∠=∠，ADE CDA ∠=∠ADE CDA ∴∆∆∽（2）连结BD ，点D 时ADB 的中点，AD BD ∴= AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形， ∴464322AD ===，由（1）得ADE CDA ∆∆∽， ∴AD ED CD AD=，即2AD CD ED =， ∴2(43)(2)CD CD =-，22480CD CD ∴--=，解得8CD =或6-．8CD ∴=．24．（10分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售．果园的杨梅价格如下：购买数量不超过20筐，每筐进价20元；购买数量超过20筐，每筐进价18元．小颖在观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐30元时，每天可销售30筐；每筐售价提高1元，每天销量减少1筐；每筐售价降低1元，每天销量增加1筐．若每天购进的杨梅能全部售出，且售价不低于进价，从果园进货的运费为每天100元．（1）设售价为每筐x 元，则每天可售出 (60)x - 筐．（2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？ 解：（1）根据题意得：每天可售出30(30)60[x x --=-或30(30)60]x x +-=-， 故答案为：(60)x -．（2）设每筐杨梅的售价为x 元，每天的杨梅销售利润为y ，①当6020x -，即40x 时，22(20)(60)100801300(40)300y x x x x x =---=-+-=--+ 此时售价为40元，最大利润为300元；②当6020x ->，即40x <时22(18)(60)100781060(39)341y x x x x x =---=-+-=--+ 此时售价为39元，最大利润为341元；341300>∴当每筐杨梅的售价定为39元时，每天的杨梅销售利润最大，最大利润为341元．25．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC ∆中，点D 是BC 边上一点，连结AD ，若2AD BD CD =，则称点D 是ABC ∆中BC 边上的“好点”．（1）如图2，ABC ∆的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB 边上的一个“好点”．（2）ABC ∆中，9BC =，4tan 3B =，2tan 3C =，点D 是BC 边上的“好点”，求线段BD 的长．（3）如图3，ABC ∆是O 的内接三角形，OH AB ⊥于点H ，连结CH 并延长交O 于点D ． ①求证：点H 是BCD ∆中CD 边上的“好点”．②若O 的半径为9，90ABD ∠=︒，6OH =，请直接写出CH DH 的值． 解：（1）如答图1，当CD AB ⊥或点D 是AB 的中点是，2CD AD BD =；（2）作AE BC ⊥于点E ，由4tan 3B =，2tan 3C =可设4AE x =， 则3BE x =，6CE x =，99BC x ∴==，1x ∴=，3BE ∴=，6CE =，4AE =， 设DE a =，①如答图2，若点D 在点E 左侧，由点D 是BC 边上的“好点”知，2AD BD CD =， 224(3)(6)a a a ∴+=-+，即22320a a +-=， 解得112a =，22a =-（舍去）， ∴153322BD a =-=-=．②如答图3，若点D 在点E 右侧，由点D 是BC 边上的“好点”知，2AD BD CD =， 224(3)(6)a a a ∴+=+-，即22320a a --=，解得12a =，212a =-（舍去） 3325BD a ∴=+=+=．∴52BD =或5．（5）①CHA BHD ∠=∠，ACH DBH ∠=∠ AHC DHB ∴∆∆∽，∴AH CH DH BH=，即AH BH CH DH =， OH AB ⊥，AH BH ∴=，2BH CH DH ∴=∴点H 是BCD ∆中CD 边上的“好点”． ②521CH DH =． 理由如下：如答图4，连接AD ，BD ，90ABD ∠=︒，AD ∴是直径，18AD ∴=．又OH AB ⊥，//OH BD ∴．点O 是线段AD 的中点，OH ∴是ABD ∆的中位线，212BD OH ∴==．在直角ABD ∆中，由勾股定理知：222218125AB AD BD =-=-= ∴由垂径定理得到：1352BH AB ==． 在直角BDH ∆中，由勾股定理知：2245144321DH BH BD =+=+= 又由①知，2BH CH DH =，即45321CH =，则521CH = ∴5215721321CH DH ==，即521CH DH =． 26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(8,0)A 和(0,6)B ，点P 为x 轴负半轴上的一个动点，画ABP ∆的外接圆，圆心为M ，连结BM 并延长交圆于点C ，连结CP ．（1）求证：OBP ABC ∠=∠．（2）当M 的直径为14时，求点P 的坐标．（3）如图2，连结OC ，求OC 的最小值和OC 达到最小值时ABP ∆的外接圆圆心M 的坐标．解：（1）如图1，连结AC ， BC 为M 的直径， 90BAC BOP ∴∠=∠=︒，ACB APB ∠=∠，90OBP APB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， OBP ABC ∴∠=∠．（2）90BAC ∠=︒，(8,0)A ，(6,0)B 6OB ∴=，8OA =，10AB ∴= ∴222214106AC BC AB -=-= BOP BAC ∠=∠，OBP ABC ∠=∠， OBP ABC ∴∆∆∽， ∴OP OB AC AB=， ∴612466105OB OP AC AB ===， ∴点P 的坐标为12(6,0)5；（3）如图2，记直线AC 与y 轴的交点为E ， AC AB ⊥，则90OAE OBA BAO ∠=∠=︒-∠， 当OC 最小时，OC AE ⊥，此时，432sin sin 855OC OA OAE OA OBA =∠=∠=⨯=．求得点C的坐标为12896 (,) 2525-．又点M为BC的中点∴64225B CMx xx+==，27225B CMy yy+==，∴点M的坐标为6427 (,) 2525．。
2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若2x=3y，则x y的值为( )A. 25B. 23C. 32D. 532.抛物线y=(x−2)2−4的对称轴是( )A. 直线x=−2B. 直线x=2C. 直线x=−4D. 直线x=43.已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )A. 2B. 3C. 4D. 54.一个袋子中装有20个黑球和1个白球，它们除颜色外其它都相同，随机从袋子中摸出一个球，则下列结论正确的是( )A. 摸到黑球是必然事件B. 摸到白球是不可能事件C. 摸到黑球的可能性大D. 摸到白球的概率比摸到黑球的概率大5.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d( )A. d<5B. d=5C. d>5D. 0≤d<56.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则此Rt△ABC的重心P与外心Q之间的距离为( )A. 132B. 133C. 134D. 1367.如图，点P是⊙O外一点，PA交⊙O于点C，A，PB交⊙O于点D，B，若AB⏜=80°，∠P=28°，则∠CAD的度数为( )A. 10°B. 12°C. 14°D. 20°8. 如图，直线l 1//l 2//l 3，直线AC ，DF 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，连结AF ，作BG//AF ，若DE EF=23，BG =6，则AF 的长为( )A. 8B. 9C. 10D. 119. 点P(x,y)是二次函数y =−x(x −8)的图象上的点，当1≤x <a(a 为整数)时，点P 到x 轴的距离小于15，则a 的值可以的是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. 如图，矩形A 1B 1C 1D 1在矩形ABCD 的内部，且B 1C 1⊥BC ，点B 1，D 1在对角线BD 的异侧．连结BB 1，DB 1，BD 1，DD 1，若矩形ABCD ∼矩形A 1B 1C 1D 1，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形B 1BD 1D 的面积( )A. 矩形ABCD 的面积B. ∠B 1BD 1的度数C. 四边形B 1BD 1D 的周长D. BB 1的长度二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =60°，则∠C 的度数为______． 12. 已知线段a =8，b =2，线段c 是线段a ，b 的比例中项，则c =______． 13. 下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果． 移植总数n 5 50 200 500 1000 3000 成活数m4 45 188 476 951 2850成活的频率mn 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为______．14. 如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为8米，半径为5米，则圆心O 到水面AB 的距离为______米．15.平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”.现将二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为(1,2)，则新抛物线的函数表达式为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，∠BED+∠C=90°，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。
浙江省宁波市南三县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
浙江省宁波市南三县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一、选择题：1.正五边形的每个内角度数为（ ）A. 36°B. 72°C. 108°D. 120° 【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式：()1802n ︒⨯-，得出正五边形的内角和，再根据正五边形的性质：五个角的角度都相等，即可得出每个内角的度数.【详解】解：()180525=108︒⨯-÷︒故选：C【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式以及正五边形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键. 2.在同一平面上，O e 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O e 的半径是（ ）A. 5B. 3C. 6D. 4 【答案】D【解析】【分析】由点P 在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.【详解】解：∵点P 在圆外∴圆的直径为10-2=8∴圆的半径为4故答案为D.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.3.若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ）A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位【答案】A【解析】【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.一个不透明的盒子装有m个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m的值约为（）A. 8B. 10C. 20D. 40【答案】C【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，4m＝0.2，解得，m＝20，经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，故选：C．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．5.二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac -<；③30a b -=，其中正确的是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③【答案】D【解析】【分析】 根据函数图像即可得出a 、b 、c 与0的大小关系，从图中可以看出函数与x 轴有2个交点，所以当y=0时，一元二次方程有两个根，对称轴为32x =-，代入对称轴公式即可得出结果. 【详解】解：根据图像可知：ab ＞0，c ＞0，所以abc ＞0，故①正确；函数与x 轴有2个交点，故240b ac -＞，故②错误； 对称轴为32x =-，所以322b a -=-，30a b -=，故③正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次函数图像与系数的关系，熟练的掌握函数的基本性质，函数与坐标轴的交点以及对称轴是解题的关键.6.如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为（ ）A. 4:1B. 3:2C. 2:1D. 3:1【答案】A【解析】【分析】 根据3AB BD =，//DE BC 得到AC=3EC ，则AE=2EC ，再根据//DE BC ，//EF AB 得到△ADE△△EFC ，再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.【详解】△//DE BC ，∴AB ：BD=AC ：EC ，又△3AB BD =△AC=3EC ，△AE=2EC ，△//DE BC ，//EF AB△△AED=△C ，△ADE=△B=△EFC ，△△ADE△△EFC又AE=2EC△:ADE EFC S S ∆∆=（2：1）2=4:1故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.已知点()11A y ，，()2B y ，()34C y ，在二次函数26y x x c =-+的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（ ）A. 213y y y <<B. 123y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的解析式，能得出二次函数的图形开口向上，通过对称轴公式得出二次函数的对称轴为x=3，由此可知离对称轴水平距离越远，函数值越大即可求解.【详解】解：∵二次函数26y x x c =-+中a ＞0∴抛物线开口向上，有最小值. ∵32b x a=-= ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵由二次函数图像的对称性可知x=4对称点x=2∴231y y y <<故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次函数图像上点的坐标特点，解此题的关键是掌握二次函数图像的性质. 8.在圆内接四边形ABCD 中，¼ADC 与¼ABC 的比为3:2，则B Ð的度数为（ ）A. 36︒B. 72︒C. 108︒D. 216︒ 【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．【详解】△在圆内接四边形ABCD 中，¼ADC ：¼ABC ＝3：2，△△B ：△D ＝3：2，△△B ＋△D ＝180°，△△B ＝180°×35＝108︒． 故选C.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．9.如图，在菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，以AC 为直径的O e 与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为（ ）A. πB. πC. 43πD. 43π 【答案】D【解析】【分析】 根据菱形与的圆的对称性到△AOE 为等边三角形，故可利用扇形AOE 的面积减去△AOE 的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.【详解】∵菱形ABCD 中，已知4AB =，60ABC ∠=︒，连接AO,BO ，∴△ABO=30°，∠AOB=90°，∴△BAO=60°，又AO=EO,∴△AOE 为等边三角形,故AE=EO=12AB=2 ∴r=2△S 扇形AOE =2126π⨯⨯=23πS △AOE 2a 22∴图中阴影部分的面积=π×22-4（23π）=43π 故选D.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．10.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，CPD A B ∠=∠=∠，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 与点G ，则下列结论中错误的是（ ）A. CGE CBP ∆∆:B. APD PGD ∆∆:C. APG BFP ∆∆:D. PCF BCP ∆∆:【答案】A【解析】【分析】 先根据条件证明△PCF ∽△BCP ，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD ∽△PGD ，进而证明△APG ∽△BFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.【详解】∵∠CPD=∠B ，∠C=∠C ，∴△PCF ∽△BCP.∵∠CPD=∠A ，∠D=∠D ，∴△APD ∽△PGD.∵∠CPD=∠A=∠B ，∠APG=∠B+∠C ，∠BFP=∠CPD+∠C∴∠APG=∠BFP ，∴△APG ∽△BFP.故结论中错误的是A ，故选A.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.11.如图，小江同学把三角尺含有60︒角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45︒角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）A. 2B. 2C. 2D. (22cm 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，∵孔洞的最长边为2cm=∴2a=224故选B.【点睛】此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.NE AD，分别交DC，HG，12.如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上.//=.要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度.这条AB于点N，M，E，且CG MN线段可以是（）A. EHB. AEC. EBD. DH【答案】C【解析】【分析】根据图形证明△AOE△△COG，作KM△AD，证明四边形DKMN为正方形，再证明Rt△AEH△Rt△CGF，Rt△DHG△Rt△BFE，设正方形ABCD边长为a，CG=MN=x，根据正方形的性质列出平行四边形HEFG的面积的代数式，再化简整理，即可判断.【详解】连接AC,EG，交于O点，∵四边形HEFG是平行四边形，四边形ABCD是正方形，∴GO=EO,AO=CO,又△AOE=△COG△△AOE△△COG，∴GC=AE,△NE△AD，∴四边形AEND为矩形，△AE=DN,△DN=GC=MN作KM△AD ，△四边形DKMN 为正方形，在Rt△AEH 和Rt△CGF 中，AE CG HE FG =⎧⎨=⎩∴Rt△AEH△Rt△CGF ，△AH=CF,△AD -AH=BC -CF△DH=BF,同理Rt△DHG△Rt△BFE ，设CG=MN=x ，设正方形ABCD 边长为a则S △HDG =12DH×x+12DG×x=S △FBE S △HAE =12AH×x =S △GCF S 平行四边形EFGH =a 2-2S △HDG -2S △HAE = a 2-(DH+DG+AH)×x,∵DG=a -x△S 平行四边形EFGH = a 2-(a+a -x)×x= a 2-2ax+x 2= (a -x)2故只需要知道a -x 就可以求出面积BE=a -x ，故选C.【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据题意设出字母，表示出面积进行求解.二、填空题:13.若53a b =，则332a b a b--的值为__________．【答案】43【解析】【分析】 直接利用已知得出53b a =，代入332a b a b --进而得出答案． 【详解】∵53a b = ∴53b a = ∴332a b a b --=552b b b b --=43故填：43. 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．14.从1-，0，π，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________． 【答案】25【解析】【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：π共2种情况，则可利用概率公式求解．【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：π共2种情况，∴取到无理数概率是：25． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15.如图，某河堤的横截面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水面AB 长26m ，且斜坡AB 的坡比（即BE AE ）为12:5，则河堤的高BE 为__________．【答案】24cm 的【解析】【分析】 根据坡比（即BE AE）为12:5，设BE=12x ，AE=5x ，因为AB=26cm ，根据勾股定理列出方程即可求解. 【详解】解：设BE=12x ，AE=5x ，∵AB=26cm ，222AE BE AB +=∴()()22212526x x += 2x =∴BE=2×12=24cm故答案为：24cm.【点睛】本题主要考查的是坡比以及勾股定理，找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解.16.如图，O e 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3cm CE =，7cm DE =，则弦AB =__________cm ．【答案】【解析】【分析】先根据题意得出⊙O 的半径，再根据勾股定理求出BE 的长，进而可得出结论．【详解】连接OB ，∵3cm CE =，7cm DE =，∴OC ＝OB ＝12（CE ＋DE ）＝5， ∵CE ＝3，∴OE ＝5−3＝2，∵CD ⊥AB ，∴BE =∴AB ＝2BE ＝故答案为：【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．17.如图，已知点(),M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点.若1a <，则b 的取值范围是__________.【答案】904b <≤【解析】【分析】 根据1a <得-1＜a ＜1，再根据二次函数的解析式求出对称轴，再根据函数的图像与性质即可求解. 【详解】∵1a <∴-1＜a ＜1，∵函数22y x x =-++对称轴x=221b a = ∴当a=12，y 有最大值94 当a=-1时，2(1)120y =---+=∴则b 的取值范围是904b <≤故填：904b <≤. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意函数图像进行求解.18.如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且3BD =.连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为__________.【答案】1【解析】【分析】作CF ⊥AB ，根据等边三角形的性质求出CF ，再由BD ⊥AB ，由CF ∥BD ，得到△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，再根据对应线段成比例即可求解.【详解】作CF ⊥AB ，垂足为F ，∵△ABC 为等边三角形，∴AF=12AB=2, ∴CF==又∵BD ⊥AB ，∴CF ∥BD ，∴△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ， ∴EF EB CF DB =,3= 解得x=1故填：1.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.三、解答题：19.计算：22sin30cos60cos 45︒+︒-︒；【答案】1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.【详解】22sin30cos60cos 45︒+︒-︒211222=⨯+-⎝⎭ 11122=+- 1=【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20.小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍.（1）求X Y +值；（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率.【答案】（1）14；（2）15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出11个数字之和，再根据和是20的整数倍进行求解；（2）先求出X 、Y 的可能值，再根据概率公式进行求解.【详解】（1）11个数字之和为187781752X Y ++++++++++=46+X Y +=20n ，∵这11个数字之和是20的整数倍，2＜X Y +＜18∴当n=3时，14X Y +=即14X Y +=；（2）∵14X Y +=X 、Y 的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9， 的∴小王一次拨对小李手机号码的概率15 【点睛】此题主要考查概率求解，解题的关键是熟知概率公式.21.某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30cm AD BD DE ===，40cm CE =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=︒，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行.问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈） 【答案】BC 的长度发生了改变，减少了4cm .【解析】【分析】 根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC 与变化后的BC 长度即可求解.【详解】图1：作DF ⊥BC 于F 点，△30cm BD DE ==∴BF=EF=BDcos ABC ∠≈30×35=18 ∴BC=2BF+CE 18184076cm ≈++=图2：作DF ⊥BC 于F 点，由图1可知△DE’F=53°，∴△DE’C=180°-△DE’F=127°∵DE ∥BC ，△△E’DE=△DE’F=53°根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,连接CD ，△△DCE ≌△DCE’∴△DEC=△DE’C=127°∴△ECB=360°-△DEC -△DE’C -△E’DE=53°，作EG ⊥BC 于G 点∴BC=BF+FG+GC= BDcos ABC ∠+DE+CE cos △ECB ≈30×35+30+40×35=18302472cm ++= 的76-72=4cm ，答：BC 的长度发生了改变，减少了4cm .【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.22.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4m PN =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析.【解析】【分析】连接OA ′，OA ．设圆的半径是R ，则ON ＝R−4，OM ＝R−18．根据垂径定理求得AM 的长，在直角三角形AOM 中，根据勾股定理求得R 的值，在直角三角形A ′ON 中，根据勾股定理求得A ′N 的值，再根据垂径定理求得A ′B ′的长，从而作出判断．【详解】设圆弧所在圆的圆心为O ，连结OA ，OA '，如图所示设半径为()m x 则()m OA OA OP x '===由垂径定理可知AM BM =，A N B N ''=△60m AB =，△30m AM =，且()18m OM OP PM x =-=-在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AO OM AM =+即()2221830x x =-+，解得34x =△()34430m ON OP PN =-=-=在A ON '∆中，由勾股定理可得()16m A N '===△32m 30m A B ''=>△不需要采取紧急措施.【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.23.如图二次函数的图象与x 轴交于点()30A -,和()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B 、D（1）求二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线BD 与y 轴的交点为E 点，连结AD 、AE ，求ADE ∆的面积；【答案】（1）()()31y x x =-+-；（2）2x <-或1x >；（3）4.【解析】【分析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）分别得出EO ，AB 的长，进而得出面积．【详解】（1）△二次函数与x 轴的交点为()30A -,和()10B ,△设二次函数的解析式为：()()31y a x x =+-△()0,3C 在抛物线上，△3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1，所以解析式为：()()31y x x =-+-；（2）()()31y x x =-+-=−x 2−2x ＋3，△二次函数的对称轴为直线1x =-；△点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点；()0,3C△()2,3D -；△使一次函数大于二次函数的x 的取值范围为2x <-或1x >；（3）设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n ⎧⎨-⎩＋＝＋＝， 解得：11m n -⎧⎨⎩＝＝， 故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1，把x ＝0代入()()31y x x =-+-得，y=3，所以E （0，1），△OE ＝1，又△AB ＝4，△S △ADE ＝12×4×3−12×4×1＝4． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．24.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【解析】【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.25.定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.（1）如图1，在对半四边形ABCD 中，()12A B C D ∠+∠=∠+∠，求A ∠与B Ð的度数之和； （2）如图2，O 为锐角ABC ∆的外心，过点O 的直线交AC ，BC 于点D ，E ，30OAB ∠=︒，求证：四边形ABED 是对半四边形；（3）如图3，在ABC ∆中，D ，E 分别是AC ，BC 上一点，3CD CE ==，3CE EB =，F 为DE 的中点，120AFB ∠=︒，当AB 为对半四边形ABED 的对半线时，求AC 的长.【答案】（1）120A B ∠+∠=︒；（2）详见解析；（3）5.25.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和与对半四边形的定义即可求解；（2）根据三角形外心的性质得OA OB OC ==，得到30OAB OBA ==︒∠∠，从而求出ACB ∠=60°，再得到120CAB CBA ∠+∠=︒，根据对半四边形的定义即可证明；（3）先根据AB 为对半四边形ABED 对半线得到120CAB CBA ∠+∠=︒，故可证明CDE ∆为等边三角形，再根据一线三等角得到DAF EFB ∠=∠，故FDA BEF ∆∆:，列出比例式即可求出AD ，故可求解AC 的长.【详解】（1）∵四边形内角和为360︒∴360A B C D ∠+∠+∠+∠=， ∵()12A B C D ∠+∠=∠+∠ ∴C D ∠+∠=()2A B ∠+∠则()2360A B A B ∠+∠+∠+∠=，∴120A B ∠+∠=︒（2）连结OC ，由三角形外心的性质可得OA OB OC ==，所以30OAB OBA ==︒∠∠，OCA OAC ∠=∠，OCE OBC ∠=∠所以()1803030260ACB ∠=︒-︒-︒÷=︒，的则120CAB CBA ∠+∠=︒在四边形ABED 中，120CAB CBA ∠+∠=︒，则另两个内角之和为240︒，所以四边形ABED 为对半四边形；（3）若AB 为对半线，则120CAB CBA ∠+∠=︒，△60C ∠=°所以CDE ∆为等边三角形△120AFB ∠=︒∴60AFD BFE ∠+∠=︒又60AFD DAF ∠+∠=︒△DAF EFB ∠=∠∵120ADF FEB ∠=∠=︒△FDA BEF ∆∆:， ∴DF AD BE EF= ∵F 为DE 中点，3CE EB = 故1.51 1.5AD = ∴2.25AD =△ 2.253 5.25CA =+=【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知根据题意弄懂对半四边形，利用相似三角形的性质进行求解.26.如图1，在平面直角坐标系中，已知M e 的半径为5，圆心M 的坐标为()3,0，M e 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是¼ADB 上的一点（不与点A 、D 、B 重合），连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD .（1）求点A 的坐标；（2）当点C 在»AD 上时.△△△△BCD HCD ∠=∠；△△△2，在CB 上取一点G ，使CA CG =，连结AG .求证：ABG ADC ∆∆:；（3）如图3，当点C 在»BD 上运动的过程中，试探究AC BC CD-的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.【答案】（1）（0，4）；（2）①详见解析；②详见解析；（3. 【解析】【分析】 （1）连结MA ，在Rt OMA ∆中，AM 为圆的半径5，3OM =，由勾股定理得4OA =（2）△根据圆的基本性质及圆周角定理即可证明；△根据等腰三角形的性质得到CAG CGA ∠=∠，根据三角形的外角定理得到AGC CAG HCB ∠+∠=∠，由△证明HCD BCD ∠=∠得到AGB ACD ∠=∠，即可根据相似三角形的判定进行求解；（3）分别求出点C 在B 点时和点C 为直径AC 时，AC BC CD-的值，即可比较求解. 【详解】（1）连结MA ，在Rt OMA ∆中，AM =5，3OM =，△4OA =△A （0,4）.（2）连结AB ，BD故AD BD =，则BAD DBA ∠=∠∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，∴ABD HCD ∠=∠∵BAD ∠与BCD ∠是弧BD 所对的圆周角∴BAD ∠=BCD ∠又BAD DBA ∠=∠△BCD BAD ABD HCD ∠=∠=∠=∠即BCD HCD ∠=∠△△AC CG =△CAG CGA ∠=∠△AGC CAG HCB ∠+∠=∠，且由（2）得HCD BCD ∠=∠△AGC BCD ∠=∠△AGB ACD ∠=∠AGB ∆与ACD ∆中ABG ADC AGB ACI ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩△AGB ACD ∆∆:（3）△点C 在B 点时，如图，AC=2AO=8,BC=0,==△AC BCCD-； 当点C 为直径AC 与圆的交点时，如图△AC=2r=10△O,M 分别是AB 、AC 中点，△BC=2OM=6，△C （6，-4）△D （8,0）=△AC BC CD-故AC BC CD. 【点睛】此题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟知圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定.。
浙江省宁波市南三县2019-2020学年上学期九年级数学期末试题(扫描版,含答案)
2019学年第一学期期末抽测九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每题4分，共48分） 二、填空题（每题4分，共24分）13.34 14. 5215. 24 16. 212 17. 0＜b ≤4918. 1三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22～24题各10分，第25题12分， 第26题14分，共78分）19.（本题6分） ︒-︒+︒45cos 60cos 30sin 22=2×21+21-2)22( --------------------4分 = 1+ 21-21--------------------5分=1 --------------------6分 20.（本题8分）（1）14=+Y X --------------------3分（2）X 、Y 的可能值为9和5,8和6,7和7,6和8,5和9，-------------------5-分 小王一次拨对小李手机号码的概率51------- -- ---------8分 21.（本题8分）图1：BC ≈18+18+40=76cm------------------2分图2：BC ≈18+30+32=80 cm ------------------5分 答：BC 的长度发生了改变，增加了4cm-------------------8分 22.（本题10分）设圆弧所在圆的圆心为O ，连结OA,OA’，如图所示 设半径为x （m ）则OA=OA ’=OP=x （m ） 由垂径定理可知AM=BM,A ’N=B ’NAB=60m ，∴AM=30m ，且OM=OP-PM=（x-18）m -------------------4分 在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AM OM AO += 即22230)18(+-=x x ，解得x=34-------------------7分∴)(30434m PN OP ON =-=-=在ON A '∆中，由勾股定理可得)(1630342222''m ON OA N A =-=-=∴A ’B ’=32m>30m -------------------10分 ∴不需要采取紧急措施。
浙江省宁波市国际学校2019-2020九年级第一学期期末考试数学试卷解析版
浙江省宁波市国际学校2019-2020九年级第一学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A. B. C. D.2.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. B. C. D.3.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、.已知，，，则的长为（）A. 3.6B. 4.8C. 5D. 5，24.如图，在四边形ABCD中，∠°，，，AC与BD交于点E，，则∠的值是（）A. B. C. D.5.如图，在⊙中，半径垂直弦于，点在⊙上，∠＝°，＝，则半径等于（）A. B. C. D.6.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣27.如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A. 2B. 2C. 3D. 48.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A. π﹣6B. πC. π﹣3D. +π9.如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O 是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ ﹣1；④ △＝2﹣，其中正确的结论是（）△A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M.设BF＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）11.在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝________.12.一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是________.13.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，∠∠°，与交于点，连接，若，，则________.14.如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为________.15.如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠的大小为________度.16.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是________（填写序号）.三、解答题（共8题；共66分）17.（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．18.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量，位于的北偏东°的方向上，的北偏东°的方向上，且.（1）求景点与的距离.（2）求景点与的距离.(结果保留根号)19.如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B。
浙江省宁波市江北区2019-2020年人教版九年级(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．成语“水中捞月”所描述的事件是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定2．若2a＝5b，则＝（）A．B．C．2 D．53．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．5．在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（）A．2 B．C．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：58．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜09．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（）A．（5，2）B．（2，4）C．（1，4）D．（6，2）11．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（）A．9πB．16πC．25πD．64π12．已知二次函数y＝﹣x2﹣bx+1（﹣5＜b＜2），则函数图象随着b的逐渐增大而（）A．先往右上方移动，再往右平移B．先往左下方移动，再往左平移C．先往右上方移动，再往右下方移动D．先往左下方移动，再往左上方移动二．填空题（共6小题）13．比较三角函数值的大小：sin30°cos30°（填入“＞”或“＜”）．14．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于．15．抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）的对称轴是直线x＝．16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则的度数是度．17．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为．18．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧上动点，点为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为．三．解答题（共8小题）19．计算：|﹣|+20200﹣2sin30°+20．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m＝，n＝，C等级对应的圆心角为度；（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．21．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接回答：当y＜0时，求x的取值范围；当y＞﹣3时，求x的取值范围．22．如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，即AQ是⊙O的切线，若∠QAP＝α，地球半径为R，求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP的长；（2）P、Q两点间的地面距离，即的长．（注：本题最后结果均用含α，R的代数式表示）23．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．24．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，点E1，E2是AB三等分点，点F1，F2是CD三等分点，E1F1，E2F2分别交AC于点G1，G2，求证：AG1＝G1G2＝G2C．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．（保留作图痕迹）25．每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式；（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？26．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP 的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．成语“水中捞月”所描述的事件是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：水中捞月是不可能事件，故选：C．2．若2a＝5b，则＝（）A．B．C．2 D．5【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以2b，得＝，故选：B．3．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：它的主视图是：故选：C．4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．5．在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算得出答案．【解答】解：由题意可得：9出现3次，故在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为：．故选：B．6．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（）A．2 B．C．D．【分析】根据直角三角形解决问题即可．【解答】解：作AE⊥BC．∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，∴tan∠ABC＝＝＝2，故选：A．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD＝∠A＝30°，那么BC＝2BD，即△BCD与△BAC 的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．【解答】解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD＝∠A＝30°；Rt△BCD中，∠BCD＝30°，则BC＝2BD；由①得：C△BCD：C△BAC＝BD：BC＝1：2；故选：A．8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线的开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对C进行判断；根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进行判断．【解答】解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；C、抛物线与x轴有2个交点，则△＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；D、当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．故选：D．9．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（）A．（5，2）B．（2，4）C．（1，4）D．（6，2）【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．【解答】解：如图，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．故选：D．11．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（）A．9πB．16πC．25πD．64π【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE 即可解决问题．【解答】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ．∵OE⊥PQ，∴EQ＝PQ＝4，∵OQ＝5，∴OE＝＝＝3，∴线段PQ扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，故选：B．12．已知二次函数y＝﹣x2﹣bx+1（﹣5＜b＜2），则函数图象随着b的逐渐增大而（）A．先往右上方移动，再往右平移B．先往左下方移动，再往左平移C．先往右上方移动，再往右下方移动D．先往左下方移动，再往左上方移动【分析】先分别求出当b＝﹣5、0、2时函数图象的顶点坐标即可得结论．【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣bx+1（﹣5＜b＜2），当b＝﹣5时，y＝﹣x2+5x+1＝﹣（x﹣）2+顶点坐标为（，）；当b＝0时，y＝﹣x2+1顶点坐标为（0，1）；当b＝2时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2顶点坐标为（﹣1，2）．故函数图象随着b的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．故选：D．二．填空题（共6小题）13．比较三角函数值的大小：sin30°＜cos30°（填入“＞”或“＜”）．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入比较得出答案．【解答】解：∵sin30°＝，cos30°＝．∴sin30°＜cos30°．故答案为：＜．14．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于2π．【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．【解答】解：圆锥的侧面积＝2×2π÷2＝2π．故答案为：2π．15．抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）的对称轴是直线x＝ 2 ．【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，故答案为：2．16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则的度数是140 度．【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD＝∠CAD＝20°，即可得∠ABD＝70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．【解答】解：连接AD、OD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，BD＝DC，∴∠ABD＝70°，∴∠AOD＝140°∴的度数为140°；故答案为140．17．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为10 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，又∠AED＝∠C，∴△AED∽△ECF，∴＝＝，即＝，解得，DE＝10，故答案为：10．18．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧上动点，点为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为π．【分析】连接OB，OA，过O作OD⊥AB，得到AD＝BD＝AB＝，求得∠P＝∠AOB＝60°，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到∠IAB＝∠PAB，∠IBA＝∠PBA，根据三角形的内角和得到∠AIB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝120°，设A，B，I三点所在的圆的圆心为O′，连接O′A，O′B，得到∠AO′B＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠O′AB＝′O′BA＝30°，连接O′D，解直角三角形得到AO′＝＝2，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，OA，过O作OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝，∵OA＝OB＝2，∴OD＝1，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠P＝∠AOB＝60°，连接IA，IB，∵点I为△PAB的内心，∴∠IAB＝∠PAB，∠IBA＝∠PBA，∵∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠AIB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝120°，∵点P为弧AB上动点，∴∠P始终等于60°，∴点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为120°的一段劣弧上运动，设A，B，I三点所在的圆的圆心为O′，连接O′A，O′B，则∠AO′B＝120°，∵O′A＝O′B，∴∠O′AB＝′O′BA＝30°，连接O′D，∵AD＝BD，∴O′D⊥AB，∴AO′＝＝＝2，∴点I移动的路径长＝＝π．故答案为：π．三．解答题（共8小题）19．计算：|﹣|+20200﹣2sin30°+【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|﹣|+20200﹣2sin30°+＝+1﹣2×+2＝320．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有40 人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m＝10 ，n＝40 ，C等级对应的圆心角为144 度；（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．【分析】（1）从两个统计图可得，“D级”的有12人，占调查人数的30%，可求出调查人数；进而求出“B级”的人数，即可补全条形统计图；（2）计算出“A级”所占的百分比，“C级”所占的百分比，进而求出“C级”所对应的圆心角的度数；（3）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．【解答】解：（1）12÷30%＝40人，40×20%＝8人，故答案为：40，补全条形统计图如图所示：（2）4÷40＝10%，16÷40＝40%，360°×40%＝144°．故答案为：10，40，144；（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为＝．21．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接回答：当y＜0时，求x的取值范围；当y＞﹣3时，求x的取值范围．【分析】（1）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，从而得到抛物线的顶点坐标，再计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，然后利用描点法画函数图象；（2）结合函数图象，当y＜0时，写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围；当y＞﹣3时，写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），如图，（2）当﹣1＜x＜3时，y＜0；当x＜0或x＞1时，y＞﹣3．22．如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，即AQ是⊙O的切线，若∠QAP＝α，地球半径为R，求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP的长；（2）P、Q两点间的地面距离，即的长．（注：本题最后结果均用含α，R的代数式表示）【分析】（1）连接OQ，根据题意可得：AQ是⊙O的切线，然后由切线的性质，可得OQ ⊥AQ，又由∠QAP＝α，地球半径为R，即可求得OA的长，继而求得航天飞船距离地球表面的最近距离AP的值；（2）在直角△OAQ中，可求出∠O的度数，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）由题意，从A处观测到地球上的最远点Q，∴AQ是⊙O的切线，切点为Q，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图则在直角△OAQ中有＝sinα，即AP＝﹣R；（2）在直角△OAQ中则∠O＝90°﹣α，由弧长公式得的长＝．23．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠3＝∠2，∵AD平分∠CAM，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠3，∴MN∥OD，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝3（cm），∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠AED，又∵∠2＝∠1，∴△ADC∽△AED，∴＝，即＝，∴AC＝15（cm），∴OA＝AC＝cm，即⊙O的半径为cm．24．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，点E1，E2是AB三等分点，点F1，F2是CD三等分点，E1F1，E2F2分别交AC于点G1，G2，求证：AG1＝G1G2＝G2C．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．（保留作图痕迹）【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理证明即可．（2）利用（1）中结论，构造平行四边形解决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∵DF1＝CD，AE1＝AB，∴DF1＝AE1，∴四边形ADF1E1是平行四边形，∴AD∥E1F1，∴E1G1∥BC，∴＝＝，同法可证：＝＝，∴AG1＝CG2＝AC，∴AG1＝G1G2＝G2C．（2）如图，点P，Q即为所求．25．每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式；（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得；（2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．【解答】解：（1）设售价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：y＝（x﹣30）[200+10（80﹣x）]＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．26．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP 的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠BCP△PCD∽△BCP∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为2．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；（2）在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定＝＝，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝，∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝＝∴AP+BP的最小值为；故答案为：；（2）如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴＝＝，∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝2，∴，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；（3）如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴＝＝，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2PA+PB的最小值为．。
【精选3份合集】2019-2020年宁波市九年级上学期数学期末调研试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的是几个完全相同的小正方体搭建成的几何体的俯视图，其中小正方形内的数字为对应位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图为()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1．【详解】因为左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1故选：A．【点睛】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，解题关键是根据俯视图确定左视图的列数和各列最高处的正方形个数．2．一次函数y=ax+b与反比例函数a byx-=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴反比例函数y=a b x- 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a b x-的图象过二、四象限， 所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小3．已知关于x 的一元二次方程2230x x k --=有一个根为1,则另一个根为（ ）A ．52-B ．12C ．12-D ．1-【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，x ₁+x ₂=32,把x ₁=1代入即可求出. 【详解】解：方程2230x x k --=有一个根是11x =,另-一个根为2x ，∴由根与系数关系122312x x x +=+=，即212x = 即方程另一根2x 是12故选:B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，还可根据一元二次方程根的定义先求出k 的值，再解方4．函数ayx=与20()y ax a a=--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o时，函数ayx=的图象位于一、三象限，20()y ax a a=--≠的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合；当a<o时，函数ayx=的图象位于二、四象限，20()y ax a a=--≠的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键. 5．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x+1x＝4 D．x2＝3x﹣2【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C、原式为分式方程，不符合题意；D、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.6．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选C．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x1，y1），（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜x1＜x2，那么（）A．a＞0，y1＞y2B．a＞0，y1＜y2C．a＜0，y1＞y2D．a＜0，y1＜y2【答案】C【解析】由当x=2时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以由2＜x2＜x2得到y2＞y2．【详解】∵当x=2时，函数y有最大值，∴a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2．∵2＜x2＜x2，∴y2＞y2．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．8．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）A ．◎代表B ．@代表同位角C ．▲代表D ．※代表 【答案】C【解析】根据图形可知※代表CD ，即可判断D ；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC ，即可判断A ；利用等量代换得出▲代表∠EFC ，即可判断C ；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【详解】延长BE 交CD 于点F ，则∠BEC=∠EFC+∠C （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC=∠B+∠C ，得∠B=∠EFC ．故AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．故选C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．9．设32a b =，下列变形正确的是（ ） A ．32b a = B ．23a b = C ．32a b = D ．23a b =【答案】D【分析】根据比例的性质逐个判断即可． 【详解】解：由32a b =得，2a=3b, A 、∵32b a =，∴2b=3a ，故本选项不符合题意； B 、∵23a b =，∴3a=2b ，故本选项不符合题意； C 、32a b =，故本选项不符合题意；D 、23a b =，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果a cb d，那么ad=bc．10．若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是( )A．﹣12或﹣2 B．﹣2或12 C．12或2 D．2或﹣12【答案】C【分析】根据题意，利用绝对值的意义求出m与n的值，再代入所求式子计算即可.【详解】解：∵|m|＝5，|n|＝7，且m+n＜0，∴m＝5，n＝﹣7；m＝﹣5，n＝﹣7，可得m﹣n＝12或2，则m﹣n的值是12或2.故选：C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义求值是关键.11．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根【答案】C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 12．已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=47，③AF=307，④S △MEF =32175中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF 的面积即可【详解】解: ∵AG=AE, ∠FAE=∠FAG=45°,AF=AF,∴△AFE ≅ △AFG,∴EF=FG∵DE=BG∴EF=FG=BG+FB=DE+BF 故①正确∵BC=CD=AD=4，EC=1∴DE=3，设BF=x ，则EF=x+3,CF=4-x, 在Rt △ECF 中，（x+3）2=（4-x ）2+12 解得x=47∴BF=47 2242024()7+=故②正确，③错误， ∵BM ∥AG ∴△FBM ~△FGA∴2()FBMFGA S FB S FG= ∴S △MEF =32175，故④正确， 故选D ．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，过圆O 外一点P 作圆的一条割线PB 交O 于点A ，若4sin 5OAB ∠=，30OPA ∠=︒，且3PC =，则AB =_______．【答案】1【分析】作OD ⊥AB 于D ，由垂径定理得出AD ＝BD ，由三角函数定义得出sin ∠OAB ＝45OD AO=，设OD ＝4x ，则OC ＝OA ＝5x ，OP ＝3＋5x ，由勾股定理的AD ＝3x ，由含30︒角的直角三角形的性质得出OP ＝2OD ，得出方程3＋5x ＝2×4x ，解得x ＝1，得出BD ＝AD ＝3即可．【详解】作OD ⊥AB 于D ，如图所示：则AD ＝BD ，∵sin ∠OAB ＝45OD AO=， ∴设OD ＝4x ，则OC ＝OA ＝5x ，OP ＝3＋5x ，AD ()()222254OA OD x x =--＝3x ，∵∠OPA ＝30︒，∴OP ＝2OD ，∴3＋5x ＝2×4x ，解得：x ＝1，∴BD ＝AD ＝3，∴AB ＝1；故答案为：1．【点睛】本题看了垂径定理、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，点C 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为__________m ．【答案】25m【分析】根据垂径定理可得△BOD 为直角三角形，且BD=12AB ，之后利用勾股定理进一步求解即可. 【详解】∵点C 是AB 的中点， ∴OC 平分AB ，∴∠BOD=90°，BD=12AB=20m ， 设OB=x ，则：OD=(x-10)m ，∴()2221020x x =-+，解得：25x =，∴OB=25m ，故答案为：25m.【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.15．如图，已知矩形ABCD 的两条边AB ＝1，AD ＝3，以B 为旋转中心，将对角线BD 顺时针旋转60°得到线段BE ，再以C 为圆心将线段CD 顺时针旋转90°得到线段CF ，连接EF ，则图中阴影部分面积为_____．【答案】153212π+ 【分析】矩形ABCD 的两条边AB ＝1，AD 3DBC ＝30°，由旋转的性质得到BD ＝BE ，∠BDE ＝60°，求得∠CBE ＝∠DBC ＝30°，连接CE ，根据全等三角形的性质得到∠BCE ＝∠BCD ＝90°，推出D ，C ，E 三点共线，得到CE ＝CD ＝1，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】∵矩形ABCD 的两条边AB ＝1，AD 3∴3tan CD DBC BC ∠==∴∠DBC ＝30°，∵将对角线BD 顺时针旋转60°得到线段BE ，∴BD ＝BE ，∠BDE ＝60°，∴∠CBE ＝∠DBC ＝30°，连接CE ，∴△DBC ≌△EBC （SAS ），∴∠BCE ＝∠BCD ＝90°，∴D ，C ，E 三点共线，∴CE ＝CD ＝1，∴图中阴影部分面积＝S △BEF +S △BCD +S 扇形DCF ﹣S 扇形DBE ＝11(13)11322⨯+⨯+⨯⨯+901360π⋅⨯﹣604360π⨯ ＝153212π+-， 故答案为：153212π+-．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．16．已知关于x 的方程230x x m +-=的一个解为3-，则m=_______．【答案】0【分析】把3x =-代入原方程得到关于m 的一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：把3x =-代入原方程得：()()23330,m ∴-+⨯--= 0.m ∴=故答案为：0.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程的解的含义是解题的关键．17．分解因式：4x 3﹣9x ＝_____．【答案】x （2x+3）（2x ﹣3）【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】原式＝x（4x2﹣9）＝x（2x+3）（2x﹣3），故答案为：x（2x+3）（2x﹣3）【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．【答案】下直线x＝1 （1，2）【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案【详解】∵-3<0，∴抛物线的开口向下，∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），故答案为：下，直线x＝1，（1，2）【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中任意抽取牛奶饮用，抽取任意一瓶都是等可能的.（1）若小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是；（2）若小芳任意抽取2瓶，请用画树状图或列表法求，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.【答案】（1）14；（2）抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为12．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）：（1）小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是14，故答案为：14.（2）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A 画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果；由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为61 122=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图，AB是O的弦，D为半径OA上的一点，过D作CD OA⊥交弦AB于点E，交O于点F，且.CE CB=求证：BC是O的切线．【答案】见解析【解析】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.试题解析：证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，∴∠OBA+∠ABC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线.点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是边BC上一点，2AB BD BC=,E为线段AD的中点，连结CE 并延长交AB于点F.(1)求证：AD ⊥BC.(2)若AF:BF ＝1:3，求证:CD:DB ＝1:2.【答案】 (1)见解析；（2）见解析.【分析】（1）由等积式转化为比例式，再由相似三角形的判定定理，证明△ABD ∽CBA,从而得出∠ADB=∠CAB=90°；（2）过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G,由E 为AD 的中点，可得△DGE ≌△AFE ，得出AF=DG ，再由平行线分线段成比例可得出结果.【详解】证明：（1）∵AB 2=BD ·BC ， ∴,AB BC BD AB又∠B=∠B,∴△ABD ∽CBA ，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴AD ⊥BC.（2）过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G,∵E 为AD 的中点，∴易得△DGE ≌△AFE ，∴AF=DG ，又AF:BF ＝1:3,∴DG:BF ＝1:3.∵DG ∥BF ，∴DG ：BF=CD:BC=1：3，∴CD:DB ＝1:2.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，遇到比例式或等积式就要考虑转化为三角形相似来解决问题.22．如图，在圆O 中，弦8AB =，点C 在圆O 上（C 与A ，B 不重合），联结CA 、CB ，过点O 分别作OD AC ⊥，OE BC ⊥，垂足分别是点D 、E ．（1）求线段DE 的长；（2）点O 到AB 的距离为3，求圆O 的半径．【答案】（1）4DE =；（2）圆O 的半径为1．【分析】（1）利用中位线定理得出12DE AB =，从而得出DE 的长． （2）过点O 作OH AB ⊥，垂足为点H ，3OH =，联结OA ，求解出AH 的值，再利用勾股定理，求出圆O 的半径．【详解】解（1）∵OD 经过圆心O ，OD AC ⊥∴AD DC =同理：CE EB =∴DE 是ABC ∆的中位线 ∴12DE AB = ∵8AB =∴4DE =（2）过点O 作OH AB ⊥，垂足为点H ，3OH =，联结OA∵OH 经过圆心O ∴12AH BH AB ==∵8AB =∴4AH =在Rt AHO ∆中，222AH OH AO +=∴5AO =即圆O 的半径为1．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及勾股定理的运用，是较为典型的圆和三角形的例题．23．如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8.（1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）在（1）的条件下，求ED的长.【答案】（1）作图见解析；（2）3.【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，在□ABCD内交于一点，过点B以及这个交点作射线，交AD于点E即可；（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE=∠AEB，从而得AE=AB，再根据AB、BC的长即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示，BE为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC=8，∴∠AED=∠EBC ，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC ，∴∠ABE=∠AEB ，。
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2019-2020学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．（4分）若13a b =，则a bb+的值为( ) A ．53B ．43 C ．35D ．342．（4分）下列事件属于必然事件的是( ) A ．足球比赛中梅西罚进点球B ．小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C ．今年宁波的冬天不下雪D ．实心的铁球会在水中下沉3．（4分）抛物线224y x =+的顶点坐标是( ) A ．(0,4)B ．(2,4)C ．(2,2)D ．(0,2)4．（4分）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是( ) A ．1B ．2.4C ．2.5D ．55．（4分）如果一个扇形的半径是2，弧长是2π，则此扇形的圆心角的度数为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．（4分）已知点1(2,)A y -，2(1,)B y 在二次函数22y x x m =+-的图象上，则下列有关1y 和2y 的大小关系的结论中正确的是( )A ．12y y =B ．12y y <C ．12y y >D ．与m 的值有关7．（4分）如图，等边ABC ∆内接于O ，点D 在AC 上，15CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒8．（4分）抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ，则m的值为()A．5-B．1-C．3D．不能确定9．（4分）在锐角等腰ABC∆中，AB AC=，4sin5A=，则cosC的值是() A．12B．2C．255D．5510．（4分）如图，ABC∆的中线AD，BE相交于点F，过点E作//EG AD交BC于点G，则:EG AF的值是()A．12B．23C．34D．4511．（4分）如图，已知O的半径为1，按如下步骤作图：①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；④以点A为圆心，OE长为半径画弧交O于点F．则以下说法不正确的是()A．3AC=B．2AF=C．45ACF∠=︒D．30BEO∠=︒12．（4分）如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么BEFGABCDSS矩形矩形的值为()A ．12B ．13C ．14 D ．15二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）正六边形的每个内角的度数是 度．14．（4分）比较sin80︒与tan 46︒的大小，其中值较大的是 ．15．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 ．16．（4分）将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 ．17．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30ABC ∠=︒，点P 在ABC ∆内，连结PA ，PB ，PC ，若123∠=∠=∠，且1PA =，则PB 的长是 ．18．（4分）如图，O 的直径AB 长为12，点E 是半径OA 的中点，过点E 作CD AB ⊥交O 于点C ，D ，点P 在CBD 上运动，点Q 在线段CP 上，且2PQ CQ =，则EQ 的最大值是 ．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22、23、24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：23tan 30cos 302sin 60︒+︒-︒20．（8分）一个不透明的袋子中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球．（1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果． （2）求两次摸到不同颜色的球的概率．21．（8分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘是两个同心圆，旗杆在圆心O 的位置且与地面垂直．（1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1:4，求两个同心圆的半径之比．（2）如图，若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC ，小桥所在的直线经过圆心O ，上午8:00时太阳光线与地面成30︒角，旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘；上午9:00时太阳光线与地面成45︒角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高OA 长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a =+-≠交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，顶点为D ． （1）求抛物线的对称轴和点C 的坐标．（2）若4AB =，求抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围．23．（10分）如图1，ABC ∆内接于O ，点D 是AB 的中点，且与点C 位于AB 的异侧，CD 交AB 于点E ．（1）求证：ADE CDA∆∆∽．（2）如图2，若O的直径46AB=，2CE=，求AD和CD的长．24．（10分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售．果园的杨梅价格如下：购买数量不超过20筐，每筐进价20元；购买数量超过20筐，每筐进价18元．小颖在观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐30元时，每天可销售30筐；每筐售价提高1元，每天销量减少1筐；每筐售价降低1元，每天销量增加1筐．若每天购进的杨梅能全部售出，且售价不低于进价，从果园进货的运费为每天100元．（1）设售价为每筐x元，则每天可售出筐．（2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？25．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC∆中，点D 是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=，则称点D是ABC∆中BC边上的“好点”．（1）如图2，ABC∆的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）ABC∆中，9BC=，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，ABC∆是O的内接三角形，OH AB⊥于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是BCD∆中CD边上的“好点”．②若O的半径为9，90ABD∠=︒，6OH=，请直接写出CHDH的值．26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(8,0)A和(0,6)B，点P 为x轴负半轴上的一个动点，画ABP∆的外接圆，圆心为M，连结BM并延长交圆于点C，连结CP．（1）求证：OBP ABC∠=∠．（2）当M的直径为14时，求点P的坐标．（3）如图2，连结OC，求OC的最小值和OC达到最小值时ABP∆的外接圆圆心M的坐标．参考答案一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）若13a b =，则a bb+的值为( ) A ．53B ．43 C ．35D ．34解：13a b =， 3b a ∴=， ∴3433a b a a b a ++==； 故选：B ．2．（4分）下列事件属于必然事件的是( ) A ．足球比赛中梅西罚进点球B ．小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒C ．今年宁波的冬天不下雪D ．实心的铁球会在水中下沉解：A 、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；B 、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒，属于不可能事件，选项不合题意；C 、今年宁波的冬天不下雪，是随机事件，选项不合题意；D 、实心的铁球会在水中下沉，属于必然事件，选项符合题意；故选：D ．3．（4分）抛物线224y x =+的顶点坐标是( ) A ．(0,4)B ．(2,4)C ．(2,2)D ．(0,2)解：抛物线224y x =+， ∴该抛物线的顶点坐标为(0,4)，故选：A ．4．（4分）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是( ) A ．1B ．2.4C ．2.5D ．5解：三角形的三边长分别为3，4，5，又222345+=，∴这个三角形是直角三角形，∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是2.5．故选：C ．5．（4分）如果一个扇形的半径是2，弧长是2π，则此扇形的圆心角的度数为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒解：扇形的弧长为2π，半径为2，∴22180n ππ⨯=， 解得：45n =︒． 故选：B ．6．（4分）已知点1(2,)A y -，2(1,)B y 在二次函数22y x x m =+-的图象上，则下列有关1y 和2y 的大小关系的结论中正确的是( )A ．12y y =B ．12y y <C ．12y y >D ．与m 的值有关解：222(1)1y x x m x m =+-=+--，点1(2,)A y -是二次函数2(1)1y x m =+--图象上的点，21(21)111y m m m ∴=-+--=--=-；点2(1,)B y 是二次函数2(1)1y x m =+--图象上的点，22(11)1413y m m m ∴=+--=--=-．12y y ∴<．故选：B ．7．（4分）如图，等边ABC ∆内接于O ，点D 在AC 上，15CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒解：连接CD ， ABC ∆是等边三角形， 60B ∴∠=︒， 120D ∴∠=︒， 15CAD ∠=︒，1801512045ACD ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．8．（4分）抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ，则m 的值为( ) A ．5-B ．1-C ．3D ．不能确定解：抛物线2y ax bx c =++经过4个点(,)A m n ，(6,)B m n +，(4,2)C -，(0,2)D ， ∴64022m m ++-+=， 解得，5m =-， 故选：A ．9．（4分）在锐角等腰ABC ∆中，AB AC =，4sin 5A =，则cos C 的值是( ) A ．12B ．2C 25D 5 解：如图，过B 作BD AC ⊥于D ，4sin 5BD A AB ==， ∴设4BD k =，5AB k =，223AD AB BD k ∴=-=，5AB AC k ==， 2CD k ∴=，2225BC BD CD k ∴=+=，25cos 525CD k C BC k ∴===， 故选：D ．10．（4分）如图，ABC ∆的中线AD ，BE 相交于点F ，过点E 作//EG AD 交BC 于点G ，则:EG AF 的值是( )A ．12B ．23C ．34D ．45解：ABC ∆的中线AD ，BE 相交于点F ， AE EC ∴=，BD CD =，2BE AFEF DF==， 即23AF AD =， //DE AD ，AE CE =， DG CG ∴=，12EG AD ∴=，∴132243ADEGAF AD==，故选：C ．11．（4分）如图，已知O的半径为1，按如下步骤作图：①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；④以点A为圆心，OE长为半径画弧交O于点F．则以下说法不正确的是()A．3AC=B．2AF=C．45ACF∠=︒D．30BEO∠=︒解：如图所示，①以O上的点A为圆心，1为半径画弧交O于点B；②依次在O上取点C和D，使得BC CD AB==；∴点A、B、C、D为圆的六等分点，③分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；3AC AE∴==④以点A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点F ． 2AF OE ∴==，1OA OF ==90AOF ∴∠=︒，45ACF ∴∠=︒．说法不正确的是D ．故选：D ．12．（4分）如图，矩形ABCD 被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG ∽矩形ABCD ，那么BEFGABCD S S 矩形矩形的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解：设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，则AG b =，BG b a =+，2BE b a =-，2CE b =，2AB b a ∴=+，224BC b b a b a =+-=-，矩形BEFG ∽矩形ABCD ，∴BG BE AD AB =，即242b a b a b a b a+-=-+， 32b a ∴=， 52BG b a a ∴=+=，45AD b a a =-=， 矩形BEFG ∽矩形ABCD ，∴22512()()54BEFGABCD a S BG S AD a ===矩形矩形． 故选：C ．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）正六边形的每个内角的度数是 120 度． 解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数(62)1806120=-⨯︒÷=︒．14．（4分）比较sin80︒与tan 46︒的大小，其中值较大的是 tan 46︒ ．解：sin α随α的增大而增大，且sin80sin 90︒<︒，sin801∴︒<，tan α随α的增大而增大，且tan 46tan 45︒>︒，tan 461∴︒>，则tan 46sin80︒>︒，故答案为：tan 46︒．15．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 25． 解：从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为25， 故答案为：25． 16．（4分）将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 25(1)2y x =++ ．解：将二次函数25(1)3y x =-+的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为：25(12)31y x =-++-，即25(1)2y x =++．故答案为：25(1)2y x =++．17．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30ABC ∠=︒，点P 在ABC ∆内，连结PA ，PB ，PC ，若123∠=∠=∠，且1PA =，则PB 的长是 3 ．解：AB AC =，30ABC ACB∴∠=∠=︒，123∠=∠=∠，PBC ACP∴∠=∠，APC CPB∴∆∆∽，∴AP AC PC CP BC PB==，在等腰ABC∆中，33 ACBC=，1AP=，3PC∴=，3PB∴=，故答案为3．18．（4分）如图，O的直径AB长为12，点E是半径OA的中点，过点E作CD AB⊥交O 于点C，D，点P在CBD上运动，点Q在线段CP上，且2PQ CQ=，则EQ的最大值是132+．解：延长CD到F，使得DE CE=，连接OF，PF，OP，OD．AB CD⊥，CE DE∴=，DE DF =，2EF CE ∴=，2PQ CQ =， ∴12CE CQ EF QP ==， ECQ FCP ∠=∠，ECQ FCP ∴∆∆∽， ∴13EQ CE PF CF ==， 13EQ PF ∴=， 3AE OE ==，6OD =，90OED ∠=︒，DE ∴===，在Rt OED ∆中，2EF DE ==，3OE =，OF ∴===，PF OP OF +，6313PF ∴+PF ∴的最大值为6，EQ ∴2+．2+．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22、23、24题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：23tan 30cos 302sin 60︒+︒-︒解：原式232=+- 34= 34=． 20．（8分）一个不透明的袋子中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球．（1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果．（2）求两次摸到不同颜色的球的概率．解：（1）画树状图如下：画树状图得：由图可知，共有12种等可能的结果；（2）共有12种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的球有8种，∴两次摸到不同颜色的球的概率是82123=． 21．（8分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘是两个同心圆，旗杆在圆心O 的位置且与地面垂直．（1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1:4，求两个同心圆的半径之比．（2）如图，若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC ，小桥所在的直线经过圆心O ，上午8:00时太阳光线与地面成30︒角，旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘；上午9:00时太阳光线与地面成45︒角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高OA 长．解：（1）由题意得2215OB OC ππ=， ∴155OB OC ==， 5； （2）设OA x =，由45ABO ∠=︒，30ACO ∠=︒知，tan tan 45OA OA OB x ABO ===∠︒，3tan tan 30OA OA OC ACO ===∠︒， 10OC OB BC -==，∴310x x -=， 解得5(31)535x =+=+．∴旗杆的高OA 长为535+米．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a =+-≠交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的对称轴和点C 的坐标．（2）若4AB =，求抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围．解：（1）抛物线2223(1)3y ax ax a x a =+-=+--，∴该抛物线的对称轴是直线1x =-，当0x =时，3y =-，即抛物线的对称轴是直线1x =-，点C 的坐标是(0,3)-；（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线1x =-，4AB =，(3,0)A ∴-，(1,0)B ，∴抛物线图象位于直线BD 上方部分的自变量x 的取值范围是1x <-或1x >．23．（10分）如图1，ABC ∆内接于O ，点D 是AB 的中点，且与点C 位于AB 的异侧，CD 交AB 于点E ．（1）求证：ADE CDA ∆∆∽．（2）如图2，若O 的直径6AB =，2CE =，求AD 和CD 的长．解：（1）点D 是ADB 的中点，∴AD BD =ACD BAD ∴∠=∠，ADE CDA ∠=∠ADE CDA ∴∆∆∽（2）连结BD ，点D 时ADB 的中点，AD BD ∴= AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形， ∴464322AD ===，由（1）得ADE CDA ∆∆∽， ∴AD ED CD AD=，即2AD CD ED =， ∴2(43)(2)CD CD =-，22480CD CD ∴--=，解得8CD =或6-．8CD ∴=．24．（10分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售．果园的杨梅价格如下：购买数量不超过20筐，每筐进价20元；购买数量超过20筐，每筐进价18元．小颖在观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐30元时，每天可销售30筐；每筐售价提高1元，每天销量减少1筐；每筐售价降低1元，每天销量增加1筐．若每天购进的杨梅能全部售出，且售价不低于进价，从果园进货的运费为每天100元．（1）设售价为每筐x 元，则每天可售出 (60)x - 筐．（2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？ 解：（1）根据题意得：每天可售出30(30)60[x x --=-或30(30)60]x x +-=-， 故答案为：(60)x -．（2）设每筐杨梅的售价为x 元，每天的杨梅销售利润为y ，①当6020x -，即40x 时，22(20)(60)100801300(40)300y x x x x x =---=-+-=--+ 此时售价为40元，最大利润为300元；②当6020x ->，即40x <时22(18)(60)100781060(39)341y x x x x x =---=-+-=--+ 此时售价为39元，最大利润为341元；341300>∴当每筐杨梅的售价定为39元时，每天的杨梅销售利润最大，最大利润为341元．25．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC ∆中，点D 是BC 边上一点，连结AD ，若2AD BD CD =，则称点D 是ABC ∆中BC 边上的“好点”．（1）如图2，ABC ∆的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB 边上的一个“好点”．（2）ABC ∆中，9BC =，4tan 3B =，2tan 3C =，点D 是BC 边上的“好点”，求线段BD 的长．（3）如图3，ABC ∆是O 的内接三角形，OH AB ⊥于点H ，连结CH 并延长交O 于点D ． ①求证：点H 是BCD ∆中CD 边上的“好点”．②若O 的半径为9，90ABD ∠=︒，6OH =，请直接写出CH DH 的值． 解：（1）如答图1，当CD AB ⊥或点D 是AB 的中点是，2CD AD BD =；（2）作AE BC ⊥于点E ，由4tan 3B =，2tan 3C =可设4AE x =， 则3BE x =，6CE x =，99BC x ∴==，1x ∴=，3BE ∴=，6CE =，4AE =， 设DE a =，①如答图2，若点D 在点E 左侧，由点D 是BC 边上的“好点”知，2AD BD CD =， 224(3)(6)a a a ∴+=-+，即22320a a +-=， 解得112a =，22a =-（舍去）， ∴153322BD a =-=-=．②如答图3，若点D 在点E 右侧，由点D 是BC 边上的“好点”知，2AD BD CD =， 224(3)(6)a a a ∴+=+-，即22320a a --=，解得12a =，212a =-（舍去） 3325BD a ∴=+=+=．∴52BD =或5．（5）①CHA BHD ∠=∠，ACH DBH ∠=∠ AHC DHB ∴∆∆∽，∴AH CH DH BH=，即AH BH CH DH =， OH AB ⊥，AH BH ∴=，2BH CH DH ∴=∴点H 是BCD ∆中CD 边上的“好点”． ②521CH DH =． 理由如下：如答图4，连接AD ，BD ，90ABD ∠=︒，AD ∴是直径，18AD ∴=．又OH AB ⊥，//OH BD ∴．点O 是线段AD 的中点，OH ∴是ABD ∆的中位线，212BD OH ∴==．在直角ABD ∆中，由勾股定理知：222218125AB AD BD =-=-= ∴由垂径定理得到：1352BH AB ==． 在直角BDH ∆中，由勾股定理知：2245144321DH BH BD =+=+= 又由①知，2BH CH DH =，即45321CH =，则521CH = ∴5215721321CH DH ==，即521CH DH =． 26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(8,0)A 和(0,6)B ，点P 为x 轴负半轴上的一个动点，画ABP ∆的外接圆，圆心为M ，连结BM 并延长交圆于点C ，连结CP ．（1）求证：OBP ABC ∠=∠．（2）当M 的直径为14时，求点P 的坐标．（3）如图2，连结OC ，求OC 的最小值和OC 达到最小值时ABP ∆的外接圆圆心M 的坐标．解：（1）如图1，连结AC ， BC 为M 的直径， 90BAC BOP ∴∠=∠=︒，ACB APB ∠=∠，90OBP APB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， OBP ABC ∴∠=∠．（2）90BAC ∠=︒，(8,0)A ，(6,0)B 6OB ∴=，8OA =，10AB ∴= ∴222214106AC BC AB -=-= BOP BAC ∠=∠，OBP ABC ∠=∠， OBP ABC ∴∆∆∽， ∴OP OB AC AB=， ∴612466105OB OP AC AB ===， ∴点P 的坐标为12(6,0)5；（3）如图2，记直线AC 与y 轴的交点为E ， AC AB ⊥，则90OAE OBA BAO ∠=∠=︒-∠， 当OC 最小时，OC AE ⊥，此时，432sin sin 855OC OA OAE OA OBA =∠=∠=⨯=．求得点C的坐标为12896 (,) 2525-．又点M为BC的中点∴64225B CMx xx+==，27225B CMy yy+==，∴点M的坐标为6427 (,) 2525．。