§2.6 二次曲面、习题课.

x
y
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
3. 双曲面 (1)单叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ; 再写直线方程.
L1 M1
L2
M0
M2
的方程化为参数方程
L
设 L 与它们的交点分别为
M1 (t1 , 2 t1 , t1 1),
M 2 (t 2 , 3t 2 4 , 2t 2 1) .
M 0 , M1 , M 2 三点共线
M 0 M1 // M 0 M 2
旋转轨迹上任一点, 则有
z
r
M
L
r
M0
o x
x2 y2 z 2 1
y
4. 画出下列各曲面所围图形:
x y z (1) 抛物柱面 2 y 2 x, 平面 z 0 及 1; 4 2 2 2 (2) 抛物柱面 x 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
t1 0 , t 2 2
L1
L2
M0
M1 (0 , 0 , 1) , M 2 (2 , 2 , 3) M 1 L x 1 y 1 z 1 L: 1 1 2
M2
3. 直线 转曲面的方程. 提示: 在 L 上任取一点
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
z
x2 y2
得旋转曲面方程
f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
• 柱面
f ( x y , z ) 0
2
2
如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
xx
o
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
(3) 旋转抛物面 x 2 y 2 z, 柱面 y 2 x, 平面 z 0
及 x 1.
解答:
(1) 抛物柱面 2 y 2 x, 平面 z 0 x y z 及 1; 4 2 2
z
2 o
y
(8 , 2 , 0) x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
yຫໍສະໝຸດ Baidu
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
4. 椭圆锥面
z
z
x2 y2 2 z ( a, b 为正数 ) 2 2 a b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 (at ) (bt )
1. 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
( p, q 同号)
例题
1. 已知向量 a , b 的夹角 解：
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
3 , 且 | a | 2, | b | 3, 4
( a b )( a b )
aa
2
bb
2
a 2 a b cos b 3 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 32 4 17
a b 17
2. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
§2.6二次曲面
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2 2
z
x
y
y12 2
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
2
2
2
x
a c2
2
2 2
(c z1 )
2

y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1