§2.6 二次曲面、习题课.
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第八节二次曲面
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
2-6_二次曲面
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6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
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6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
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6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
简单的二次曲面
1 2 1 v 0 r dz 0 ( x 2 y 2 )dz
2 1 0 [ z
2 (1 z ) ]dz . 3
2
（4）锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动 所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称 为顶点，固定曲线称为准线。
圆锥方程（半顶角a)
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
半径为2 的圆
斜率为1的直线
以z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
（5）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 , a b z 0
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 1 代入 f ( y1 , z1 ) 0 1
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
柱面方程：F(x,y)=0
F ( x , y ) 0, 准线方程 z 0.
《I二次曲面介绍》PPT课件_OK
z' 1 (x'2- 2x') 1 y'2-2
2
2
O' =O
= 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3.
2
2
这仍不是标准方程，它在新的坐标系中
所表示的曲面仍不显然.
e1
e2'
e2
e1'
18
z' = 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3. 这是从[O', e1' , e2' , e3' ]到[O'', e1'', e2'' , e3'' ]
x 0.
椭圆抛物面可以看成是一个顶点x在两条抛物线上的
椭圆运动产生。
y
13
5 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 a2
y2 b2
所表示的曲面.
对称性：对称于 xz, yz
平面和 z轴.
z
用z = h截曲面得
到
x2 a2
y2 b2
h,
z h.
用y = 0截曲面得到
x2 a2z,
y 0.
用x = k截曲面得到
y
2
b2 (z
k2 a2
)
x k
x
0
y
双曲抛物面可以看成是顶点在 14 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x y
0
0
.
y
x
椭圆抛物面
双曲抛物面 15
§3 二次方程的化简
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.
最新二次曲面的定义教学课件
25表示怎样的曲线？
x3
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结束语
谢谢大家聆听！！！
20
xo
y
p0, q0
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特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz面上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
平面 xa的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
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x2 a2
by22
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
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二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
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思考题
方程
x2 4y2 z2
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与平面 y y1 (y1b)的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y1 2b2,实轴与 x轴平行, 虚轴与 z轴平行.
(2) y1 2b2,实轴与 z轴平行, 虚轴与 x轴平行.
(3) y1b,截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
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x a
z c
0
,
y b
x a
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
xOz面上的射影柱面，曲线
为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线
x2 z 2 4z y0
从方程组
2 x2 z 2 4 y 4z L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
消去z，得 ，这就是空间曲线L在 2 x xOy面上的射影柱面，曲线 4 y 0
F 1 ( x, y ) 0 z 0
称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。 同理，曲面 F2 ( x, z) 0 与曲面 F3 ( y, z) 0 分别叫做 方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面
而曲线
F2 ( x, z ) 0 y0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x 2 z 2 0.
规律：
当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标 轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在 坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其 它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐 标。
2
2
2
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
观察柱面的 形成过程:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
第八节二次曲面
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a
第讲二次曲面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
x2y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
yx1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习 2、画图: x1 (1)
y2
z
oo
1
x
z 4x2y2
(2)
yx0
z
2y
o
2y
x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习
3.作 x2 出 y2 a 2 曲 ， x2 z 面 2 a 2 ,x 0 ,y 0 ,z 0 所围立
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
(2) 双叶双曲面
z
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数
oy x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
二次曲面2009
x +y z − 2 =1 2 b c
2 2 2
z
y x +z − =1 2 2 b c
2 2 2
z o x y
o x 旋转双叶双曲面
y
17 2011-1-14
旋转单叶双曲面
五、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 如球面、圆 如球面 锥面等.下面利用 截痕法” 下面利用“ 锥面等 下面利用“截痕法”再研究几种特殊的二次曲 面. 1、椭球面 、 z
因此该柱面方程中不含有z 可设柱面方程为: 因此该柱面方程中不含有 , 可设柱面方程为
f ( x, y ) = 0
8 2011-1-14
一般地,在空间直角坐标系中 方程 不含z), 一般地 在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含 表 在空间直角坐标系中 不含 示母线平行于z轴的柱面 轴的柱面,它的一条准线为 示母线平行于 轴的柱面 它的一条准线为 f ( x, y ) = 0
6 2011-1-14
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。 由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。 柱面 T: 空间一条定曲线 ，称为柱面的准线。 称为柱面的准线。 C: 空间一条定直线 ，确定了柱面的方向。 确定了柱面的方向。 动直线L始终平行于直线 并沿着曲线T移动而形成 始终平行于直线C并沿着曲线 动直线 始终平行于直线 并沿着曲线 移动而形成 的轨迹。动直线 称为柱面的母线。 称为柱面的母线 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。 和定直线C的方向唯一确定 注：柱面由准线T和定直线 的方向唯一确定。 柱面由准线 和定直线 的方向唯一确定。 反之，柱面的准线不唯一。 反之，柱面的准线不唯一。
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
微积分课件第4节 二次曲面
第四节 二次曲面
思考题1解答
4 y 2 z 2 16 x 4 y z 25 . x 3 x 3
2 2 2
表示双曲线.
练 习 题
一、 填空题： 1. 与 z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是 _____________； 2. 以点 O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面方程 是_______________； 3. 球面： x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 的球心是点 ___________，半径 R __________； 4. 方程 x 2 在平面解析几何中表示___________，在空 间解析几何中表示___________________； 5. 方 程 x 2 y 2 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 _______________.
同理与平面 x x1 和y y1 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
x2 y2 z2 2 2 1 椭球面 2 a b c
x y z 2.椭球面 (Ellipsoid) 2 2 2 1 a b c
椭球面的几种特殊情况：
2
2
2
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c 2 2 2 x y z 方程可写为 2 1 2 a c
5.椭圆抛物面
第四节 二次曲面
6.双曲抛物面（马鞍面）
(hyperbolic paraboloid)
二次曲面习题课
方程：
x2 a2
y2 b2
2z
(a,b 0)
性质：
o
y
x
（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，
对称于z轴，无对称中心。
（2）与对称轴交于原点（0，0，0）， 叫做椭圆抛物面的顶点。
（3）形状：x 2 2a 2 z
z
y0
y 2 2b 2 z
x0
（1） 是抛物线 (parabola) 主 抛 物 线 （2） 是抛物线
曲线： r(u) {x(u), y(u), z(u)}绕z轴旋转一周得到
r(u, v) x2 (u) y2 (u) cos v, x2 (u) y2 (u) sin v, z(u) .
4、椭 球 面 (ellipsoid)
（1）椭球面的方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
c2
1
（3）
x 0
是双曲线
x 2 a2
y2 b2
1
h 2 （4） c2
zh
是一个椭圆
II．双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets)
方程：
x2 y2 z2 a 2 b 2 c 2 1
性质：
(a,b, c 0)
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有两个顶点 ( 0,0, c)
定理 一个关于 x, y, z 的齐次方程表示的曲面一定是
以原点为顶点的锥面。 推论 一个关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在
(x0 , y0 , z0 ) 的锥面。
二次曲面(北大版)
这是椭球面在二次曲面中最突出的特点. 这是椭球面在二次曲面中最突出的特点
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称。 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称。
(3) 顶点
与 x 轴，y 轴，z 轴都相交，交点分别为 轴都相交 相交，
(± a,0,0), (0,±b,0), (0,0,± c)
②当 h > b 时 截线为双曲线
考虑旋转单叶双曲面 考虑旋转单叶双曲面
x2 y2 z 2 + 2 − 2 =1 2 a a c
y2 z2 − =1 Γ : a2 c2 此曲面是双曲线 x = 0
z
o
b
y
.
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的. 旋转形成的. 绕虚轴（ x
单叶旋转双曲面
Back
1.单叶双曲面的概念 单叶双曲面的概念
y2 z2 + =1 yOz面: b2 c2 x = 0
x
y
椭球面的主截线（主椭圆） 椭球面的主截线（主椭圆） 主截线
z
3.用平面截线法研究椭球面的形状 用平面截线法研究椭球面的形状
用z = h(h<c)截曲面 截曲面
x2 y2 h2 + =1- 2 , Cz=h：a2 b2 c ( 椭圆) z = h.
o
b
y
a
x
用x = m截曲面 截曲面
y z m 2 + 2 =1− 2 ， Cx=m：b c a x = m.
2 2 2
Contents
二、单叶双曲面
1.单叶双曲面的概念 单叶双曲面的概念 2.单叶双曲面的性质 2.单叶双曲面的性质 3.单叶双曲面的图形 3.单叶双曲面的图形
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1. 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
2 2
z
x
y
y12 2
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
t1 0 , t 2 2
L1
L2
M0
M1 (0 , 0 , 1) , M 2 (2 , 2 , 3) M 1 L x 1 y 1 z 1 L: 1 1 2
M2
3. 直线 转曲面的方程. 提示: 在 L 上任取一点
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
z
x2 y2
得旋转曲面方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
( p, q 同号)
例题
1. 已知向量 a , b 的夹角 解：
旋转轨迹上任一点, 则有
z
r
M
L
r
M0
o x
x2 y2 z 2 1
y
4. 画出下列各曲面所围图形:
x y z (1) 抛物柱面 2 y 2 x, 平面 z 0 及 1; 4 2 2 2 (2) 抛物柱面 x 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
(3) 旋转抛物面 x 2 y 2 z, 柱面 y 2 x, 平面 z 0
及 x 1.
解答:
(1) 抛物柱面 2 y 2 x, 平面 z 0 x y z 及 1; 4 2 2
z
2 o
y
(8 , 2 , 0) x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
4. 椭圆锥面
z
z
பைடு நூலகம்
x2 y2 2 z ( a, b 为正数 ) 2 2 a b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 (at ) (bt )
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
• 柱面
f ( x y , z ) 0
2
2
如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
xx
o
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
x
y
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
3. 双曲面 (1)单叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
2
2
2
x
a c2
2
2 2
(c z1 )
2
y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1
3 , 且 | a | 2, | b | 3, 4
( a b )( a b )
aa
2
bb
2
a 2 a b cos b 3 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 32 4 17
a b 17
2. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
§2.6二次曲面
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ; 再写直线方程.
L1 M1
L2
M0
M2
的方程化为参数方程
L
设 L 与它们的交点分别为
M1 (t1 , 2 t1 , t1 1),
M 2 (t 2 , 3t 2 4 , 2t 2 1) .
M 0 , M1 , M 2 三点共线
M 0 M1 // M 0 M 2