IIR数字低通滤波器的设计

数字信号处理课程设计报告书

课题名称 IIR 数字低通滤波器的设计

姓 名

欧阳琴

学 号 0812402-29 院 系 物理与电信工程系

专 业 通信工程 指导教师

赵政春

2011年 6月 24日

※※※※※※※※※ ※※ ※

※ ※

※ ※※

※※※※※※

※

2008级学生数字信号

处理课程设计

设计任务及要求：

设计任务:

通过此次设计加深对《数字信号处理》课程的学习，掌握数字信号处理的基本概念、基本原理、基本方法。调用MATLAB的buttord、butter、impinvar 函数编写程序，设计一个IIR数字低通滤波器。重点掌握用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的基本步骤，分析该设计方法的优缺点。在Matlab环境下对设计进行仿真与调试，实现设计目标。

设计要求：

要求设计一个IIR数字滤波器，低通，采用脉冲响应不变法，用巴特沃斯实现，用matlab软件对其进行仿真与调试。本设计将先说明用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的原理，然后写出基于matlab的软件设计流程。在对设计进行调试，分析实验数据。

指导教师签名：

年月日

二、指导教师评语：

指导教师签名：

年月日三、成绩

验收盖章

年月日

IIR数字低通滤波器的设计

0812402*29 欧阳琴

（湖南城市学院物理与电信工程系通信工程专业,益阳,413000）

1 设计任务

通过此次设计加深对《数字信号处理》课程的学习，掌握数字信号处理的基本概念、基本原理、基本方法。调用MATLAB的buttord、butter、impinvar函数编写程序，设计一个IIR数字低通滤波器。重点掌握用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的基本步骤，分析该设计方法的优缺点。在Matlab环境下对设计进行仿真与调试，实现设计目标。

2 设计原理

设计IIR数字滤波器一般采用间接法（脉冲响应不变法和双线性变换法），该设计采用脉冲响应不变法。IIR的基本设计过程是：首先，将给定的数字滤波器的指标转换成过渡的模拟滤波器的指标；其次，设计过渡模拟滤波器；最后，将过渡模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器的系统函数。

2.1 脉冲响应不变法原理

利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数

Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：

1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。

2、数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响特性，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)，

LT

h

s

H

)

(t

(

[

)]

a

a

LT[.]代表拉氏变换，对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T,得到ha(nT),

将h(n)=ha(nT)作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器器的系统函数H(z)便是h(n)的Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域逼近法，它使h(n)在采样点上等于ha(t)。基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从Ha(s)到H(z)的转换关系。

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：

∑

=-=

N

i i

i a s s A s H 1

)(

式中si 为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：

)

()(1

t u e A t h N

i t

s i a i ∑

==

式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到：

∑==

=N

i nT

s i a nT u e

A nT h n h i 1

)

()()(

对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)，即

∑=--=

N

i T

s i

z

e

A z H i 1

1

1)(

任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想）， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

2.2 脉冲响应不变法的优缺点

优点：

1、脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模 拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好。

2、模拟频率W和数字频率w之间呈线性关系w=WT。因而，一个线性相位的

模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相

位的数字滤波器。

缺点：

有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器

(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。

对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此会产生混叠现象。

3 设计步骤

用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特

性，指标参数如下：

通带边界频率wp=0.2*pi ，通带最大衰减rp=1dB；阻带截止频率

ws=0.3*pi，阻带最小衰减rs=10dB；采样周期T=1s。

首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即w=W*T.调用

Matlab中的buttord、butter、以及impinvar函数实现。

程序如下：

T=1;FS=1/T;

Wp=0.2*pi/T; %T=1s的模拟滤波器指标

Ws=0.3*pi/T;

Rp=1;

Rs=10;

[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%计算模拟滤波器阶数N和3dB截止频率Wc

[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %计算相应的模拟滤波器系统函数

[BZ,AZ]=impinvar(B,A,FS); %用脉冲响应不变法将模拟转换成数字滤波器

freqz(BZ,AZ,512) %画图

以下程序为验证滤波器部分，即一个多频率信号通过滤波器后的变化情况。

fs=1000;f0=50;f1=100;f2=200;f3=300;

t=0:1/fs:1;

s=sin(2*pi*f0*t)+sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t); subplot(2,2,1)