湖南大学信号与系统复习大纲
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Fn = 1 T
T
n = −∞
∑
∞
Fn e j nΩt
∫
T 2 T − 2
f (t )e − j nΩt d t
注意奇偶函数的傅里叶级数！(奇函数、偶函数、奇谐函数) 2 周期信号的频谱（周期信号各频率分量的组成结构） 幅度谱：各频率分量的幅度随频率的变化规律 相位谱：各频率分量的相位随频率的变化规律 周期信号的频谱为离散谱（因为周期信号的频谱只在 ω = nΩ 处不为零， 在其它频率处均为零） ；
Y ( s ) = Yzi ( s ) + Yzs ( s ) =
M ( s) B( s) + F (s) A( s ) A( s )
注意：在对 y(t)的导数求拉氏变换时，用的是初始状态 y(0-)的值， 若已知的是初始条件 y(0+)的值，则需要设法求得初始状态 y(0-)的值。 已知 0+求 0-的方法如下：
注意周期矩形脉冲的频谱特征，会分析脉冲宽度 τ 及脉冲周期 T 对频谱的 影响，会计算脉冲周期信号的频带宽度。 3 非周期信号的频谱（指频谱密度） 傅里叶变换的定义
F (jω ) = lim FnT = ∫
T →∞ ∞ −∞
f (t ) e
dω
− jω t
dt
f (t ) =
1 2π
∫−∞ F (jω ) e
δ (at ) =
1 δ (t ) a
4 系统描述 数学模型：微分方程--------连续系统
差分方程--------离散系统 框图表示：积分器 迟延单元 加法器 数乘器 延时器 5 系统特性 一 线性： （齐次性和可加性） 判断系统是否为线性系统的方法：齐次可加 可分解性：y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零输入线性： 零状态线性： 二、时不变性 根据微分方程：如何判断？—描述系统的微分（差分）方程是常系数的，则该 系统是时不变系统 根据零状态相应：yzs(t)如何判断？ 令 fd (t)= f(t-td)代替 f(t)，得 yzsd(t) 用 t=t-td 代入 yzs(t)得 yzs(t-td)， 若 yzs(t-td)= yzsd(t)，则系统为时不变系统，否则为时变系统 三、因果性—响应不出现于激励之前的系统，成为因果系统。 根据零状态相应 yzs(t)如何判断？—若 t<t0 时， f(t)=0; 可以推导出 t<t0 时， yzs(t)=0；则系统是因果系统。 四、稳定性—有界输入产生有界输出。
第二章 连续系统的时域分析
1 LTI 系统的响应 一、经典求法（全响应=齐次解+特解） 解的基本形式为 Ci eλi t ，其中 λi 为特征根。 二、零输入响应与零状态响应（全响应=零输入响应+零状态相应） 零输入响应：输入为零时的响应，解的形式为齐次解 零状态相应： 初始状态(即 0-时刻)为零时的响应， 解的形式为齐次解+特解， 特别注意确定待定系数时需要利用 0+时刻的初始条件， 当激励中包含冲激 函数及其导数时，0+时刻的初始条件与 0-时刻的初始状态肯定是不同的！ 由 0-求 0+的方法？（奇异函数系数平衡法） 1. 将 f(t)代人微分方程， 根据右端奇异函数的最高阶导数的次数， 假设 y(t) 的最高阶导数的形式； 2. 通过积分，依次求出 y(t)较低阶导数的形式； 3. 将 y(t)及其高阶导数代入微分方程， 根据方程左右两边奇异函数及其高 阶导数系数相等的原则，确定待定系数； 4. 分别对 y(t)的高阶导数从 0-到 0+积分，即可求出 0+时刻的值。 注意几种响应的区别与联系： 自由响应与强迫响应、零输入响应与零状态相应、稳态响应与瞬态响应 2 冲激响应与阶跃响应 冲激响应 h(t)：激励为冲激信号时的零状态响应。微分方程已知时，冲激响应
y (0+) = y zi (0+) + y zs (0+) 根据 y (0−) = y zi (0−) + y zs (0−)
因为零状态响应 y zs (t ) 比较容易求得，因此 y zs (0+) 容易获得，则零输入响应的 初始条件 y zi (0+) 容易求得（ y zi (0+) = y (0+) − y zs (0+) ） 。 对于零输入响应 y zi (t ) ，由于跟输入无关，其 0+ 值与 0- 值是相等的，即 y zi (0−) = y zi (0+) ；而对于零输入响应 y zs (t ) ，由于 0-时刻无输入，则其 0-值为 零，即 y zs (0−) = 0 ； 则由式 y (0−) = y zi (0−) + y zs (0−) 可求得 y (0−) = y zi (0−) = y zi (0+) 理解自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 二、系统函数 系统函数定义 H (s) =
卷积的微积分性质 f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) f ′(t ) = f1′(t ) ∗ f 2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2′(t )
f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2
(1) ( −1)
(t ) = f1
( −1)
(t ) ∗ f 2 (t )
(1)
第三章 系统的频域分析及傅里叶变换
的求法？ 阶跃响应 g(t)： 激励为阶跃信号时的零状态响应。 阶跃响应为冲激响应的积分。 需要注意当微分方程右端激励是一个线性组合时求冲激响应的方法。 3 卷积 卷积的定义： f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫
∞
∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
卷积的应用： y zs (t ) = ∫ −∞ f (τ )h(t − τ ) d τ = f (t ) * h(t ) 卷积的性质：交换律、结合律及分配律 函数与冲激函数的卷积
1 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换定义
Fb ( s ) = ∫ f (t )e − st d t
−∞
∞
f (t ) =
2π j ∫σ
1
σ + j∞
− j∞
Fb ( s ) e st d s
收敛域： 使 f(t)拉氏变换存在 σ 的取值范围称为 Fb(s)的收敛域。 σ 应满足 lim f (t ) e −σt = 0
f (t ) ∗ δ (t ) = δ (t ) ∗ f (t ) = f (t )
f (t ) ∗ δ (t − t1 ) = f (t − t1 )
（其中， f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ）
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
频率响应与冲激响应的关系： h(t ) ←→ H ( jω ) 频域分析方法：
f ( t) ① F(jω)
LTI * h(t) =
②
y(t) ④
×
③
H(jω)
＝
Y(jω)
5 取样定理 连续信号的取样， （时域，频域，图形） 取样信号恢复成连续信号， （时域，频域，图形） 时域取样定理
第四章 连续系统的 s 域分析
《信号与系统》考试目的和要求
信号与系统是通信工程、 计算机及电子信息工程专业的十分重要的专业基础 课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。认识如何建立信 号与系统的数学模型， 通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信 号进行求解与分析。要求考生掌握基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。 内容： （一）概论（约 5%） 1.信号的定义及其分类； 2.信号的运算； 3.系统的定义与分类； 4.线性时不变系统的定义及特征。 （二）连续时间系统的时域分析（约 15%） 1.微分方程的建立与求解； 2.零输入响应与零状态响应的定义和求解； 3.冲激响应与阶跃响应； 4.卷积的定义，性质，计算等。 （三）傅里叶变换（约 20%） 1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱； 2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数； 3.傅里叶变换的性质与运算； 5.周期信号的傅里叶变换； 6.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换； （四）拉普拉斯变换（约 20%） 1.拉普拉斯变换及逆变换； 2.拉普拉斯变换的性质与运算； 3.线性系统拉普拉斯变换求解； 4.系统函数与冲激响应； 5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换； 6.系统零、极点分布与其时域特征的关系； 7.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 8.系统零、极点分布与系统的频率响应； 9.系统稳定性的定义与判断。 （七）离散时间系统的时域分析（约 15%） 1.离散时间信号的分类与运算； 2.离散时间系统的数学模型及求解； 3.单位样值响应； 4.离散卷积和的定义，性质与运算等。 （八）离散时间信号与系统的 Z 变换分析（约 20%）
s 2 s + ω0
2
sin(ω0t )u (t ) ↔
ω0 2 s + ω0
2
2 拉氏变换的性质 基本要求是：结论要熟记，推导能看懂！ 能灵活应用！ 注意：利用终值定理时， s=0 的点应在 sF(s)的收敛域内。 3 拉氏逆变换 掌握部分分式展开法中 F(s)的极点在不同条件下部分分式的形式、求待定系数 的方法。 掌握系统零、极点分布与其时域特征的关系； 4 复频域（s 域）分析 一、在 s 域求微分方程的解 y (t ) ↔ Y ( s ) y′(t ) ↔ sY ( s ) − y (0−) y′′(t ) ↔ s 2Y ( s ) − sy (0−) − y′(0−)
1 傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数的三角形式及指数形式
Leabharlann Baidu
f (t ) =
∞ a0 ∞ + ∑ a n cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
T
2 a n = ∫ 2T f (t ) cos(nΩt ) d t T −2
f (t ) =
2 bn = ∫ 2T f (t ) sin( nΩt ) d t T −2
ωτ
2 )
∞
jω t
一些常见函数及奇异函数的傅里叶变换，比如
gτ (t ) ↔ τ Sa(
e −αt ↔
1 α + jω
δ (t ) ↔ 1
1 ↔ 2πδ (ω )
ε (t ) ↔ πδ (ω ) +
1 jω
傅里叶变换的性质： 基本要求是：结论要熟记，推导能看懂！ 能灵活应用！ 周期信号的傅里叶变换 （可以将周期信号看成是一个周期内的基本信号与冲激 序列的卷积） 傅里叶系数与傅里叶变换的关系： （通过傅里叶变换求周期信号傅里叶级 数） 4 LTI 系统的频域分析 频率响应定义： H ( jω ) = Y ( jω ) F ( jω )
t →∞
我们课本中主要介绍了单边拉氏变换： F ( s ) = ∫ f (t )e − st d t
0−
∞
一些常见函数的单边拉氏变换，比如
δ (t ) ↔ 1
u (t ) ↔
1 s
e − s0t u (t ) ↔
1 s + s0
t nu (t ) ↔
n! s n +1
cos(ω0t )u (t ) ↔
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
f (t )δ (t −t 0 ) = f (t0 )δ (t −t 0 )
f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t )
f (t )δ ′(t − t0 ) = f (t0 )δ ′(t − t0 ) − f ′(t0 )δ (t − t0 )
1.Z 变换的定义与收敛域； 2.典型序列的 Z 变换；逆 Z 变换； 3.Z 变换的性质； 4.Z 变换与拉普拉斯变换的关系； 5.差分方程的 Z 变换求解； 6.离散系统的系统函数； 7.离散系统的频率响应； 。 复习提纲
第一章 信号与系统
1 信号分类 连续（时间）信号与离散（时间）信号 周期信号与非周期信号：周期的求法？ 能量信号与功率信号：如何判断能量信号与功率信号？ 能量信号：能量有限，平均功率为零 功率信号：能量无限，平均功率有限，如周期信号，阶跃信号等 2 信号的基本运算（画图） 加减法、乘法 反转、平移、尺度变换（一般情况下，先做平移，然后做反转和尺度变换） 3 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数和冲激函数的定义 t ) = 0 (t ≠ 0 ) δ ( + ∞δ (t ) d t = 1 ∫−∞ 冲激函数与阶跃函数的关系（导数和微分的关系） t d u (t ) u (t ) = ∫ δ (τ ) d τ δ (t ) = −∞ dt 冲激函数的一些重要性质，比如
T
n = −∞
∑
∞
Fn e j nΩt
∫
T 2 T − 2
f (t )e − j nΩt d t
注意奇偶函数的傅里叶级数！(奇函数、偶函数、奇谐函数) 2 周期信号的频谱（周期信号各频率分量的组成结构） 幅度谱：各频率分量的幅度随频率的变化规律 相位谱：各频率分量的相位随频率的变化规律 周期信号的频谱为离散谱（因为周期信号的频谱只在 ω = nΩ 处不为零， 在其它频率处均为零） ；
Y ( s ) = Yzi ( s ) + Yzs ( s ) =
M ( s) B( s) + F (s) A( s ) A( s )
注意：在对 y(t)的导数求拉氏变换时，用的是初始状态 y(0-)的值， 若已知的是初始条件 y(0+)的值，则需要设法求得初始状态 y(0-)的值。 已知 0+求 0-的方法如下：
注意周期矩形脉冲的频谱特征，会分析脉冲宽度 τ 及脉冲周期 T 对频谱的 影响，会计算脉冲周期信号的频带宽度。 3 非周期信号的频谱（指频谱密度） 傅里叶变换的定义
F (jω ) = lim FnT = ∫
T →∞ ∞ −∞
f (t ) e
dω
− jω t
dt
f (t ) =
1 2π
∫−∞ F (jω ) e
δ (at ) =
1 δ (t ) a
4 系统描述 数学模型：微分方程--------连续系统
差分方程--------离散系统 框图表示：积分器 迟延单元 加法器 数乘器 延时器 5 系统特性 一 线性： （齐次性和可加性） 判断系统是否为线性系统的方法：齐次可加 可分解性：y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零输入线性： 零状态线性： 二、时不变性 根据微分方程：如何判断？—描述系统的微分（差分）方程是常系数的，则该 系统是时不变系统 根据零状态相应：yzs(t)如何判断？ 令 fd (t)= f(t-td)代替 f(t)，得 yzsd(t) 用 t=t-td 代入 yzs(t)得 yzs(t-td)， 若 yzs(t-td)= yzsd(t)，则系统为时不变系统，否则为时变系统 三、因果性—响应不出现于激励之前的系统，成为因果系统。 根据零状态相应 yzs(t)如何判断？—若 t<t0 时， f(t)=0; 可以推导出 t<t0 时， yzs(t)=0；则系统是因果系统。 四、稳定性—有界输入产生有界输出。
第二章 连续系统的时域分析
1 LTI 系统的响应 一、经典求法（全响应=齐次解+特解） 解的基本形式为 Ci eλi t ，其中 λi 为特征根。 二、零输入响应与零状态响应（全响应=零输入响应+零状态相应） 零输入响应：输入为零时的响应，解的形式为齐次解 零状态相应： 初始状态(即 0-时刻)为零时的响应， 解的形式为齐次解+特解， 特别注意确定待定系数时需要利用 0+时刻的初始条件， 当激励中包含冲激 函数及其导数时，0+时刻的初始条件与 0-时刻的初始状态肯定是不同的！ 由 0-求 0+的方法？（奇异函数系数平衡法） 1. 将 f(t)代人微分方程， 根据右端奇异函数的最高阶导数的次数， 假设 y(t) 的最高阶导数的形式； 2. 通过积分，依次求出 y(t)较低阶导数的形式； 3. 将 y(t)及其高阶导数代入微分方程， 根据方程左右两边奇异函数及其高 阶导数系数相等的原则，确定待定系数； 4. 分别对 y(t)的高阶导数从 0-到 0+积分，即可求出 0+时刻的值。 注意几种响应的区别与联系： 自由响应与强迫响应、零输入响应与零状态相应、稳态响应与瞬态响应 2 冲激响应与阶跃响应 冲激响应 h(t)：激励为冲激信号时的零状态响应。微分方程已知时，冲激响应
y (0+) = y zi (0+) + y zs (0+) 根据 y (0−) = y zi (0−) + y zs (0−)
因为零状态响应 y zs (t ) 比较容易求得，因此 y zs (0+) 容易获得，则零输入响应的 初始条件 y zi (0+) 容易求得（ y zi (0+) = y (0+) − y zs (0+) ） 。 对于零输入响应 y zi (t ) ，由于跟输入无关，其 0+ 值与 0- 值是相等的，即 y zi (0−) = y zi (0+) ；而对于零输入响应 y zs (t ) ，由于 0-时刻无输入，则其 0-值为 零，即 y zs (0−) = 0 ； 则由式 y (0−) = y zi (0−) + y zs (0−) 可求得 y (0−) = y zi (0−) = y zi (0+) 理解自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 二、系统函数 系统函数定义 H (s) =
卷积的微积分性质 f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) f ′(t ) = f1′(t ) ∗ f 2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2′(t )
f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2
(1) ( −1)
(t ) = f1
( −1)
(t ) ∗ f 2 (t )
(1)
第三章 系统的频域分析及傅里叶变换
的求法？ 阶跃响应 g(t)： 激励为阶跃信号时的零状态响应。 阶跃响应为冲激响应的积分。 需要注意当微分方程右端激励是一个线性组合时求冲激响应的方法。 3 卷积 卷积的定义： f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫
∞
∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
卷积的应用： y zs (t ) = ∫ −∞ f (τ )h(t − τ ) d τ = f (t ) * h(t ) 卷积的性质：交换律、结合律及分配律 函数与冲激函数的卷积
1 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换定义
Fb ( s ) = ∫ f (t )e − st d t
−∞
∞
f (t ) =
2π j ∫σ
1
σ + j∞
− j∞
Fb ( s ) e st d s
收敛域： 使 f(t)拉氏变换存在 σ 的取值范围称为 Fb(s)的收敛域。 σ 应满足 lim f (t ) e −σt = 0
f (t ) ∗ δ (t ) = δ (t ) ∗ f (t ) = f (t )
f (t ) ∗ δ (t − t1 ) = f (t − t1 )
（其中， f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ）
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
频率响应与冲激响应的关系： h(t ) ←→ H ( jω ) 频域分析方法：
f ( t) ① F(jω)
LTI * h(t) =
②
y(t) ④
×
③
H(jω)
＝
Y(jω)
5 取样定理 连续信号的取样， （时域，频域，图形） 取样信号恢复成连续信号， （时域，频域，图形） 时域取样定理
第四章 连续系统的 s 域分析
《信号与系统》考试目的和要求
信号与系统是通信工程、 计算机及电子信息工程专业的十分重要的专业基础 课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。认识如何建立信 号与系统的数学模型， 通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信 号进行求解与分析。要求考生掌握基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。 内容： （一）概论（约 5%） 1.信号的定义及其分类； 2.信号的运算； 3.系统的定义与分类； 4.线性时不变系统的定义及特征。 （二）连续时间系统的时域分析（约 15%） 1.微分方程的建立与求解； 2.零输入响应与零状态响应的定义和求解； 3.冲激响应与阶跃响应； 4.卷积的定义，性质，计算等。 （三）傅里叶变换（约 20%） 1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱； 2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数； 3.傅里叶变换的性质与运算； 5.周期信号的傅里叶变换； 6.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换； （四）拉普拉斯变换（约 20%） 1.拉普拉斯变换及逆变换； 2.拉普拉斯变换的性质与运算； 3.线性系统拉普拉斯变换求解； 4.系统函数与冲激响应； 5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换； 6.系统零、极点分布与其时域特征的关系； 7.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 8.系统零、极点分布与系统的频率响应； 9.系统稳定性的定义与判断。 （七）离散时间系统的时域分析（约 15%） 1.离散时间信号的分类与运算； 2.离散时间系统的数学模型及求解； 3.单位样值响应； 4.离散卷积和的定义，性质与运算等。 （八）离散时间信号与系统的 Z 变换分析（约 20%）
s 2 s + ω0
2
sin(ω0t )u (t ) ↔
ω0 2 s + ω0
2
2 拉氏变换的性质 基本要求是：结论要熟记，推导能看懂！ 能灵活应用！ 注意：利用终值定理时， s=0 的点应在 sF(s)的收敛域内。 3 拉氏逆变换 掌握部分分式展开法中 F(s)的极点在不同条件下部分分式的形式、求待定系数 的方法。 掌握系统零、极点分布与其时域特征的关系； 4 复频域（s 域）分析 一、在 s 域求微分方程的解 y (t ) ↔ Y ( s ) y′(t ) ↔ sY ( s ) − y (0−) y′′(t ) ↔ s 2Y ( s ) − sy (0−) − y′(0−)
1 傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数的三角形式及指数形式
Leabharlann Baidu
f (t ) =
∞ a0 ∞ + ∑ a n cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
T
2 a n = ∫ 2T f (t ) cos(nΩt ) d t T −2
f (t ) =
2 bn = ∫ 2T f (t ) sin( nΩt ) d t T −2
ωτ
2 )
∞
jω t
一些常见函数及奇异函数的傅里叶变换，比如
gτ (t ) ↔ τ Sa(
e −αt ↔
1 α + jω
δ (t ) ↔ 1
1 ↔ 2πδ (ω )
ε (t ) ↔ πδ (ω ) +
1 jω
傅里叶变换的性质： 基本要求是：结论要熟记，推导能看懂！ 能灵活应用！ 周期信号的傅里叶变换 （可以将周期信号看成是一个周期内的基本信号与冲激 序列的卷积） 傅里叶系数与傅里叶变换的关系： （通过傅里叶变换求周期信号傅里叶级 数） 4 LTI 系统的频域分析 频率响应定义： H ( jω ) = Y ( jω ) F ( jω )
t →∞
我们课本中主要介绍了单边拉氏变换： F ( s ) = ∫ f (t )e − st d t
0−
∞
一些常见函数的单边拉氏变换，比如
δ (t ) ↔ 1
u (t ) ↔
1 s
e − s0t u (t ) ↔
1 s + s0
t nu (t ) ↔
n! s n +1
cos(ω0t )u (t ) ↔
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
f (t )δ (t −t 0 ) = f (t0 )δ (t −t 0 )
f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t )
f (t )δ ′(t − t0 ) = f (t0 )δ ′(t − t0 ) − f ′(t0 )δ (t − t0 )
1.Z 变换的定义与收敛域； 2.典型序列的 Z 变换；逆 Z 变换； 3.Z 变换的性质； 4.Z 变换与拉普拉斯变换的关系； 5.差分方程的 Z 变换求解； 6.离散系统的系统函数； 7.离散系统的频率响应； 。 复习提纲
第一章 信号与系统
1 信号分类 连续（时间）信号与离散（时间）信号 周期信号与非周期信号：周期的求法？ 能量信号与功率信号：如何判断能量信号与功率信号？ 能量信号：能量有限，平均功率为零 功率信号：能量无限，平均功率有限，如周期信号，阶跃信号等 2 信号的基本运算（画图） 加减法、乘法 反转、平移、尺度变换（一般情况下，先做平移，然后做反转和尺度变换） 3 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数和冲激函数的定义 t ) = 0 (t ≠ 0 ) δ ( + ∞δ (t ) d t = 1 ∫−∞ 冲激函数与阶跃函数的关系（导数和微分的关系） t d u (t ) u (t ) = ∫ δ (τ ) d τ δ (t ) = −∞ dt 冲激函数的一些重要性质，比如