数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件

a 1 1 u x x 2 a 1 2 u x y a 2 2 u y y b 1 u x b 2 u y c u f( 1 )
其中u(x,y)是未知函数， a 1 1,a 1 2,a 2 2,b 1,b 2,c,f 都是x,y的已知函数，且 a11,a12,a22 不同时为零。
称 a122a11a22 为方程的判别式。
设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给 出，此时x点弦的位移为u(x,t).
考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段 弦的长度为
s x x d x( d u ) 2 ( d x ) 2 x x d x1 ( u x ) 2 d x .
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由于只考虑微小振动，略去 ( u x ) 2 ，所以 sdx. 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的
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变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
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第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
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弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
设这两个特征线方程的特征线为 (x ,y ) c 1 ,(x ,y ) c 2 .
令 (x ,y ), (x ,y ).
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第三步(1)当 0 时，令 (x ,y ), (x ,y ). 以 , 为
新变量，方程(1)化为标准形 uA uB uC uD , 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122a11a22，根据判别式判
断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a 1 1(d d y x)22a 1 2d d y xa 2 20 (2 )称为方程（1）的特征方程。 方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
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则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
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例：波动方程 u tt a 2 u x x f(x ,t) a 2 0 双曲型
热传导方程 u t a 2 u x x f(x ,t) 0 抛物型
位势方程 u x x u y y f(x ,y ) 1 椭圆型
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二、方程的标准形式
定义：方程
uxyA1uxB1uyC1uD1,
分别称为
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波动方程
utt a2uxxf(x,t)
热传导方程 ut a2uxxf(x,t)
位势方程
f(x ,y ) 0 ,L a p la c e 方 程 u x x u y yf(x ,y ) f(x ,y ) 0 ,P o is s o n 方 程
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第二节二阶线性偏微分方程的分类
一、方程的分类 一般形式
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第一节 方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式： F ( x 1 ,x 2 ,,x n ,u ,u x 1 ,u x 2 ,,u x n ,u x 1 x 1 , ) 0
其中u 为多元未知函数，F是 x1,x2, ,xn,u以及u的 有限个偏导数的已知函数。 注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有
对微小振动， 1 , 2 . 都很小，故 cos1cos21.
即 并且 FT,xdx FT,x, F T 的值不随时间变化，为常数。
同样 1 , 2 . 都很小，有 s in1 tg 1 ,s in2 tg2 .
根据导数的几何意义: t g 1 u x ( x , t ) , t g 2 u x ( x d x , t ) .
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。Hale Waihona Puke Baidu
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
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数学物理方程
长春理工大学 理学院 2014.09
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基本内容
方程的建立与一般概念 行波法 固有值问题与特殊函数 分离变量法 积分变换法 Green函数
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需要的先修内容
高等数学：一元和多元微分学 积分学 常微分方程 无穷级数 广义积分 含参变量的广义积分
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第一章 方程的建立与 方程的一般概念
未知函数u的偏导数。
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定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
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定义:(1)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 )处为双曲型方程；
(2)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为抛物型方程；
(3)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为椭圆型方程。
(2)当 0 时，特征线 (x,y)c. 令 (x ,y ), (x ,y ).
其中 ( x, y)是与 (x, y) 线性无关的任意函数，这样以 ,
为新变量方程(1)化为标准形 u A uB u C uD ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1(),1(). 以 , 为新