数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
华科数理方程ppt完整版每章都有
12
上午12时3分
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u ( x , y , z , t 1 )u ( x , y , z , t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为：
Q2
V
c u ( x , y , z , t 2 ) u ( x , y , z , t1 ) d V
t2
对第一方程两边取旋度， 得：
H ( E ) t
H t
根据矢量运算：
H
2 H ( H ) H
H
2
) 由此得： H ( t t
2
H
2
即：
H
2
t
J D x
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
15
上午12时3分
质量守恒与扩散方程
扩散过程
16
扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
上午12时3分
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 A x , J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
ds dx
6 上午12时3分
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds m a x x
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2
u ( x dx, t )
u ( x, t )
a
数理方程第一章-2
因此有关系 k
u dS d t h(u u1 )dS d t n
深圳大学电子科学与技术学院
因此有关系
k
u dS d t h (u u1 ) dS d t n
u k h ( u u1 ) n
即
u k h u h u1 n
所以，当物体和外界有 热交换时，相应的边界 条件为
例如：一根均匀杆，原 长为l , 一端固定 , 另一端被拉长e 而静止 .突然松手，任其纵向振 动.
初始速度显然为零，初 始位移若写成
u t 0 e ，就大错特错了。
因为 e 是杆右端的初始位移， 并不是杆上各处的初始 位移。
验证：当 x 0 时， u t 0 0 ; 当 x l 时， u t 0 e .
2
1 a LC
2
2u 2u a 2 2 x t
2
—— 高频传输线方程
三.
电磁场方程
a2(
四.
u u u u ) x2 y2 z2 t2
2 2 2 2
E u H
a2
1
—— 三维波动方程
热传导方程
u u( x, y, z , t ) (场点 t 时刻的温度分布)
u S f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
u n f2
S
第三类边界条件：物理条件规定了 u 与其导数在边界上值之间的某个线性 关系，如 u ( u) f 3
n
S
说明：（ 1）f1 , f 2 , f 3 都定义在边界 S 上，一般也依赖于时间t ; （2）若 f1 f 2 f 3 0 ，称之为齐次边界条件 ，否则称之为非齐次；
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件一
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程-第1章第2章-研究生
2222uxyzttftgdsds48将公式在球坐标下化为累次积分球面的方程为则有sincossinsinsincossinsincossinsincossinsincossinuxyztfxatyatzatddgxatyatzatddttxxyyzzttuauuuxyzsincos2sinsinsinxatyatdd51二三维非齐次波动方程的cauchy问题ttxxyyzzttxxyyzzttxxyyzzttxxyyzz54第五节二维波动方程的cauchy问题一二维齐次波动方程降维法ttxxyyttuauuxyfxyugxyttttxxxxyyyyzzttxxyyzzuxyztuxyt改写方程为55利用三维波动问题的poisson公式上下半球面在坐标平面上的投影为上下半球面的面积元素相同tftgfdsfdsrddrtftg同理所以该公式为二维波动方程的公式
1 , 2 .
用
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。 utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
FT , xdx cos 2 FT , x cos 1 0.
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
, xn ).
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
1 , 2 .
用
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。 utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
FT , xdx cos 2 FT , x cos 1 0.
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
, xn ).
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
数理方程 第一章
uபைடு நூலகம்
1 (u u ) 6( )
20
y 0
Tricomi方程变为
u yy 0
这就是抛物型的标准形式。
21
第三节 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件
定解条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
22
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
2 2u u 2 f ( x, t ), t 0, x R 2 a 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
非奇异
x y 0 x y
5
u ( x, y )
复合求导
( x, y ) ( x, y )
u ( , )
u u u x x x u u u y y y
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) y 2 2 y y y 2 y y 2 y 2
数学物理方程 第一章
第一节 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x2 ,, xn )
u( x) u( x1, x2 ,, xn )
2
自变量
未知函数
u u u F ( x, u, ,, , 2 ,) 0 x1 xn x1
西安理工大学研究生数理方程课件及复习题
A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别 为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简 下面我们通过自变量的变换，对方程在区域 内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第 章 典型方程和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件
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张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数学物理方程
长春理工大学 理学院 2014.09
1
基本内容
方程的建立与一般概念 行波法 固有值问题与特殊函数 分离变量法 积分变换法 Green函数
2
需要的先修内容
高等数学：一元和多元微分学 积分学 常微分方程 无穷级数 广义积分 含参变量的广义积分
3
第一章 方程的建立与 方程的一般概念
8
定义:(1)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 )处为双曲型方程；
(2)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为抛物型方程；
(3)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为椭圆型方程。
4
第一节 方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式： F ( x 1 ,x 2 ,,x n ,u ,u x 1 ,u x 2 ,,u x n ,u x 1 x 1 , ) 0
其中u 为多元未知函数，F是 x1,x2, ,xn,u以及u的 有限个偏导数的已知函数。 注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有
设这两个特征线方程的特征线为 (x ,y ) c 1 ,(x ,y ) c 2 .
令 (x ,y ), (x ,y ).
12
第三步(1)当 0 时，令 (x ,y ), (x ,y ). 以 , 为
新变量，方程(1)化为标准形 uA uB uC uD , 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 (x,y)c. 令 (x ,y ), (x ,y ).
其中 ( x, y)是与 (x, y) 线性无关的任意函数，这样以 ,
为新变量方程(1)化为标准形 u A uB u C uD ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1(),1(). 以 , 为新
对微小振动， 1 , 2 . 都很小，故 cos1cos21.
即 并且 FT,xdx FT,x, F T 的值不随时间变化，为常数。
同样 1 , 2 . 都很小，有 s in1 tg 1 ,s in2 tg2 .
根据导数的几何意义: t g 1 u x ( x , t ) , t g 2 u x ( x d x , t ) .
设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给 出，此时x点弦的位移为u(x,t).
考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段 弦的长度为
s x x d x( d u ) 2 ( d x ) 2 x x d x1 ( u x ) 2 d x .
15
由于只考虑微小振动，略去 ( u x ) 2 ，所以 sdx. 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的
a 1 1 u x x 2 a 1 2 u x y a 2 2 u y y b 1 u x b 2 u y c u f( 1 )
其中u(x,y)是未知函数， a 1 1,a 1 2,a 2 2,b 1,b 2,c,f 都是x,y的已知函数，且 a11,a12,a22 不同时为零。
称 a122a11a22 为方程的判别式。
6
波动方程
utt a2uxxf(x,t)
热传导方程 ut a2uxxf(x,t)
位势方程
f(x ,y ) 0 ,L a p la c e 方 程 u x x u y yf(x ,y ) f(x ,y ) 0 ,P o is s o n 方 程
7
第二节二阶线性偏微分方程的分类
一、方程的分类 一般形式
9
例：波动方程 u tt a 2 u x x f(x ,t) a 2 0 双曲型
热传导方程 u t a 2 u x x f(x ,t) 0 抛物型
位势方程 u x x u y y f(x ,y ) 1 椭圆型
10
二、方பைடு நூலகம்的标准形式
定义：方程
uxyA1uxB1uyC1uD1,
分别称为
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122a11a22，根据判别式判
断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a 1 1(d d y x)22a 1 2d d y xa 2 20 (2 )称为方程（1）的特征方程。 方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数学物理方程
长春理工大学 理学院 2014.09
1
基本内容
方程的建立与一般概念 行波法 固有值问题与特殊函数 分离变量法 积分变换法 Green函数
2
需要的先修内容
高等数学：一元和多元微分学 积分学 常微分方程 无穷级数 广义积分 含参变量的广义积分
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第一章 方程的建立与 方程的一般概念
8
定义:(1)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 )处为双曲型方程；
(2)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为抛物型方程；
(3)若在( x0 , y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 ( x0 , y0 ) 处为椭圆型方程。
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第一节 方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式： F ( x 1 ,x 2 ,,x n ,u ,u x 1 ,u x 2 ,,u x n ,u x 1 x 1 , ) 0
其中u 为多元未知函数，F是 x1,x2, ,xn,u以及u的 有限个偏导数的已知函数。 注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有
设这两个特征线方程的特征线为 (x ,y ) c 1 ,(x ,y ) c 2 .
令 (x ,y ), (x ,y ).
12
第三步(1)当 0 时，令 (x ,y ), (x ,y ). 以 , 为
新变量，方程(1)化为标准形 uA uB uC uD , 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 (x,y)c. 令 (x ,y ), (x ,y ).
其中 ( x, y)是与 (x, y) 线性无关的任意函数，这样以 ,
为新变量方程(1)化为标准形 u A uB u C uD ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1(),1(). 以 , 为新
对微小振动， 1 , 2 . 都很小，故 cos1cos21.
即 并且 FT,xdx FT,x, F T 的值不随时间变化，为常数。
同样 1 , 2 . 都很小，有 s in1 tg 1 ,s in2 tg2 .
根据导数的几何意义: t g 1 u x ( x , t ) , t g 2 u x ( x d x , t ) .
设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给 出，此时x点弦的位移为u(x,t).
考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段 弦的长度为
s x x d x( d u ) 2 ( d x ) 2 x x d x1 ( u x ) 2 d x .
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由于只考虑微小振动，略去 ( u x ) 2 ，所以 sdx. 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的
a 1 1 u x x 2 a 1 2 u x y a 2 2 u y y b 1 u x b 2 u y c u f( 1 )
其中u(x,y)是未知函数， a 1 1,a 1 2,a 2 2,b 1,b 2,c,f 都是x,y的已知函数，且 a11,a12,a22 不同时为零。
称 a122a11a22 为方程的判别式。
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波动方程
utt a2uxxf(x,t)
热传导方程 ut a2uxxf(x,t)
位势方程
f(x ,y ) 0 ,L a p la c e 方 程 u x x u y yf(x ,y ) f(x ,y ) 0 ,P o is s o n 方 程
7
第二节二阶线性偏微分方程的分类
一、方程的分类 一般形式
9
例：波动方程 u tt a 2 u x x f(x ,t) a 2 0 双曲型
热传导方程 u t a 2 u x x f(x ,t) 0 抛物型
位势方程 u x x u y y f(x ,y ) 1 椭圆型
10
二、方பைடு நூலகம்的标准形式
定义：方程
uxyA1uxB1uyC1uD1,
分别称为
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122a11a22，根据判别式判
断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a 1 1(d d y x)22a 1 2d d y xa 2 20 (2 )称为方程（1）的特征方程。 方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。