空间几何体的表面积与体积PPT演示课件
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空间几何体的表面积和体积课件-ppt
解: 每一个螺帽的体积为 V V棱柱V圆柱
≈2956 (mm3) 2.956 (cm3), 7.82.95623.0568 (g) 0.0230568 (kg), 5.80.0230568≈252 (个). 答: 这堆螺帽大约有252个.
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积 柱体体积: V柱 Sh. 锥体体积: 台体体积:
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面
半径为R，高为2R.
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练习: (课本30页) 1. 将一个气球的半径扩大 1 倍, 它的体积增大 到原来的几倍? 解: 设原来气球的半径为R, 则扩大后的半径 为2R,
610
4 (6 10)8 256(cm2) 2
S表 S侧 S底
256 66 1010
392(cm2 )
12
rO
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底 S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
S r2 rl r(r l)
所以原来气球的体积为
扩大后气球的体积为
答: 气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍.
2. 一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是 a cm, 求球的体积.
解: 如图, 由正方体与球的对称性, 正方体的对角线长就是球的直径. ∵正方体的棱长为a cm,
∴球的半径 R
· A·1D·1
·C1 ·B1
≈2956 (mm3) 2.956 (cm3), 7.82.95623.0568 (g) 0.0230568 (kg), 5.80.0230568≈252 (个). 答: 这堆螺帽大约有252个.
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积 柱体体积: V柱 Sh. 锥体体积: 台体体积:
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面
半径为R，高为2R.
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练习: (课本30页) 1. 将一个气球的半径扩大 1 倍, 它的体积增大 到原来的几倍? 解: 设原来气球的半径为R, 则扩大后的半径 为2R,
610
4 (6 10)8 256(cm2) 2
S表 S侧 S底
256 66 1010
392(cm2 )
12
rO
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底 S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
S r2 rl r(r l)
所以原来气球的体积为
扩大后气球的体积为
答: 气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍.
2. 一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是 a cm, 求球的体积.
解: 如图, 由正方体与球的对称性, 正方体的对角线长就是球的直径. ∵正方体的棱长为a cm,
∴球的半径 R
· A·1D·1
·C1 ·B1
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
6π [S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
人教A版数学课件 必修二 1.3 空间几何体的表面积与体积2
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3 ) 2.956(cm3)
10mm
所以螺帽的个数为 5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个) 答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结:
22
V旋转体
V圆锥CO
V圆锥BO
3
2
变式：如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、
俯视图为全等的等腰直角三角形，如 果直角三角形
的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ D ）
A．1
B． 1
2
C． 1
3
D． 1 6 [来
图(1)
例2:一堆规格相同的铁制六角螺帽，共重5.8 kg,已知 底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为 10mm,问这堆六角螺帽大约有多少个？ 12mm
柱体、锥体与台体的体积
V柱体 Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体
1 3
Sh(S是底面积, h是高)
V台体
1 (S' 3
S'S S)h
(S', S分别是上下底面面积 , h是台体高 )
思考:你能发现三者之间的关系吗？
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
C 2．如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为 3 ，则圆锥的表面积为（ ）
A．
B． 2 C．3 D． 4
3．正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3 ，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． 27 4
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
苏教版高三数学复习课件7.2 空间几何体的表面积和体积
S直棱柱侧＝ ch 直棱柱的侧面展开图是矩形
正棱锥
底面是正多边形， 并且顶点在底面的 正投影是底面中心 的棱锥叫做 正棱锥
S正棱锥侧 正棱锥的侧面展开图是一些全 等的等腰三角形
＝
正棱台
正棱锥被平行于底 面的平面所截，截 面和底面之间的部 分叫做 正棱台
S正棱台侧
正n棱台的侧面展开图是n个全 等的等腰梯形.
1．多面体的展开图：(1)直棱柱的侧面展开图是矩形．(2)正棱锥的侧
面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形．(3)正
棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边 形． 2．旋转体的展开图：(1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面 圆周长，宽是圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半 径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长．(3)圆台的侧面展开图是 扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
1．(2010·栟茶中学学情分析)正方体中，连接相邻两个面的中心的连 线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的 几何体的体积为________．
答案：
2．圆柱的侧面展开图是边长为 6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为 ________． 答案：6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
(其中R为球半径)．
3．几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式V＝ (2)锥体的体积公式V＝ (3)台体的体积公式V＝ 面面积，h为高)． (4)球的体积公式V＝ (其中R为球半径)．
Sh
(其中S为底面面积，h为高)． (其中S为底面面积，h为高)． (其中S′，S为上、下底
探究：对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知 体积 公式的几何体进行解决．虽说在某些情况下，割补法优于整体法，但
空间几何体的表面积与体积PPT课件
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 52 150 cm2
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=—a—2
。
2 a2
变关题键2.如：果找球正O方和体这的个正棱方长体a的与各球条半棱径都R相之切间，的则关有S系=——
。
例5.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多大的纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
关
2.球的体积：球的半径为 R，那么它的体积 V＝ 43πR3 .
3.球的表面积：球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 4πR2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
本 课
上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图
时
形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研
栏
目
究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题．
1、3 空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的 表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法：
侧棱长为5cm
S侧 6 52 150 cm2
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=—a—2
。
2 a2
变关题键2.如：果找球正O方和体这的个正棱方长体a的与各球条半棱径都R相之切间，的则关有S系=——
。
例5.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多大的纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
关
2.球的体积：球的半径为 R，那么它的体积 V＝ 43πR3 .
3.球的表面积：球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 4πR2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
本 课
上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图
时
形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研
栏
目
究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题．
1、3 空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的 表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法：
高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件
21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．
《空间几何体》课件
02
空间几何体的定义包括多面体、 旋转体和组合体等。
空间几何体的分类
1 2
3
多面体
由多个平面围成的立体图形，如长方体、正方体、三棱锥等 。
旋转体
由一个平面图形围绕其一条边旋转形成的立体图形，如圆柱 、圆锥、圆台等。
组合体
由两个或多个简单几何体组合而成的立体图形，如房屋、机 械零件等。
空间几何体的性质
数学建模
教学辅助
在中学数学教学中，通过《空间几何 体》ppt课件可以帮助学生更好地理 解空间几何体的表面积和体积的计算 方法，提高学习效果。
表面积和体积的计算是数学建模的基 础，通过解决几何问题可以培养数学 思维和解决问题的能力。
04
空间几何体的画法
投影法的基本原理
01
02
03
投影法定义
通过光线将物体投影到平 面上，以呈现物体的轮廓 和形状。
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间几何体应用广泛， 如建筑物的外观、内部结构和装饰等 。
建筑设计中的空间几何体可以通过与 自然环境的融合，实现建筑与环境的 和谐统一。
建筑设计中的空间几何体可以创造出 独特的视觉效果，增强建筑的艺术性 和实用性。
建筑设计中的空间几何体可以通过合 理的布局和设计，提高建筑物的空间 利用率和使用舒适度。
主视图、俯视图和左视图相互垂 直，且主视图和俯视图长度相等 ，主视图和左视图高度相等。
空间几何体的画法步骤
确定观察角度
选择合适的角度，以便清晰地呈现几何体的特 征。
绘制投影线
根据投影法的基本原理，确定投影线的方向和 位置。
绘制轮廓线
根据几何体的形状，使用平滑的曲线或直线绘 制轮廓线。
05
空间几何体的实际应用
空间几何体的定义包括多面体、 旋转体和组合体等。
空间几何体的分类
1 2
3
多面体
由多个平面围成的立体图形，如长方体、正方体、三棱锥等 。
旋转体
由一个平面图形围绕其一条边旋转形成的立体图形，如圆柱 、圆锥、圆台等。
组合体
由两个或多个简单几何体组合而成的立体图形，如房屋、机 械零件等。
空间几何体的性质
数学建模
教学辅助
在中学数学教学中，通过《空间几何 体》ppt课件可以帮助学生更好地理 解空间几何体的表面积和体积的计算 方法，提高学习效果。
表面积和体积的计算是数学建模的基 础，通过解决几何问题可以培养数学 思维和解决问题的能力。
04
空间几何体的画法
投影法的基本原理
01
02
03
投影法定义
通过光线将物体投影到平 面上，以呈现物体的轮廓 和形状。
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间几何体应用广泛， 如建筑物的外观、内部结构和装饰等 。
建筑设计中的空间几何体可以通过与 自然环境的融合，实现建筑与环境的 和谐统一。
建筑设计中的空间几何体可以创造出 独特的视觉效果，增强建筑的艺术性 和实用性。
建筑设计中的空间几何体可以通过合 理的布局和设计，提高建筑物的空间 利用率和使用舒适度。
主视图、俯视图和左视图相互垂 直，且主视图和俯视图长度相等 ，主视图和左视图高度相等。
空间几何体的画法步骤
确定观察角度
选择合适的角度，以便清晰地呈现几何体的特 征。
绘制投影线
根据投影法的基本原理，确定投影线的方向和 位置。
绘制轮廓线
根据几何体的形状，使用平滑的曲线或直线绘 制轮廓线。
05
空间几何体的实际应用
空间几何体的表面积和体积教学ppt课件
2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何
第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积46页PPT文档
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为1，
∴正方体棱长为
∴外接球直径2R=
第二节 空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
面积 S侧＝ 2πrh S侧＝ πrl
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
体积
面积
直棱柱 S侧＝
正棱锥 S侧＝
正棱台 S侧＝
球
S球面＝
体积
对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割 补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.
结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.
【解析】 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠BAC＝120°，∠ABC＝ (180°－120°)＝30°，AM＝
＝2.因此，R2＝22＋
＝5，此球的表面积等于
4πR2＝20π.
【答案】 20π
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z， 则
∴体积V＝xyz＝24. 答案：24
5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么 这个圆柱的侧面积是________．
解析：底面半径是
所以正方形的边长是2π ＝2
2 S 故圆柱的侧面积是(2 )2＝4πS.
答案：4πS
1．多面体的表面积是各个面的面积之和． 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这 个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．
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25
种零件需要用锌, 已知每平方米用
锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需
5
要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg)
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
= 2[6 3(24+12)]+ 6125+ 6p 25
0.11≈11557.799.458≈51(.m73m72()k, g),
= 2[6 3(24+12)]+ 6125+ 6p 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
14
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
6
面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱
(尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这
=
1 2
l(c
+
c)
=p
l
(r+r).
9
例2. 如图, 一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm,
盆底直径为 15 cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5 cm, 盆
壁长 15 cm, 为了美化花盆外观, 需要涂油漆. 已知
每平方米用100毫升油漆, 涂100个这样的花盆需要多
少油漆 (p 取3.14, 结果精确到 1 毫升, 可用计算器)?
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
6
面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱
(尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这
25
种零件需要用锌, 已知每平方米用
锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需
5
要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg)
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
解: 此棱台的表面由上底、下底
和侧面的 4 个梯形组成, 它的表面
积为:
S = S上底 + S下底 + 4S梯形
=
62
+
102
+
4
1 2
8
(10
+
6)
= 392 (cm2),
即这个棱台的表面积为392平方厘米.
12
练习: (课本27页) 1. 已知圆锥的表面积为 a m2, 且它的侧面展开 图是一个半圆, 求这个圆锥的底面直径.
1
本章内容
1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积
第一章小结
2
1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
3
1.3.1
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
返回目4录
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算? 2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算? 3. 柱体、锥体、台体的体积怎样计算? 4. 组合体的体积怎样计算?
解: 因为花盆的盆口是空的,
所以外观表面积是侧面积加盆底
面积, 再减去渗水孔的面积.
S = S侧 + S底 S小孔
=15p[(220)+ (125)]+p (125)2 p (12.5)2
≈999.1 (cm2) = 0.09991 (m2),
1000.09991100≈999.1 (毫升).
1. 柱体、锥体、台体的表面积 问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积 怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么 样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计 算它们的表面积吗? 圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组 成. 将侧面展开成平面, 就能求侧面积.
7
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面
1答00:00电个镀零件10的00表0个面零积件约约为需15要79锌4815.704m体与台体的体积
问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求?
柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高).
答: 大约需要1000毫升油漆.
10
练习: (补充) 如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为10 cm 的正方形, 上底是边长为 6 cm 的正方形, 侧面是 全等的梯形, 梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积.
练习: (课本27页) 第 1、2 题.
11
练习: (补充)
如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为10 cm 的正方形, 上底是边长为 6 cm 的正方形, 侧面是 全等的梯形, 梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积.
解: 设圆锥的底面半径为 r, 母线长为 l,
因为侧面展开图是一个半圆, 所以有
2p r = p l,
得
l = 2r,
又由表面积得
pr 2
+
1 2
pl
2
=
a,
pr
2
+
1 2
p
(2r
)2
=
a,
l
解得 r =
3pa 3p
,
r
则直径
2r
=
2
3p
3ap ,
答: 这个圆锥的底面直径是
2
3p
3ap cm.
13
2. 如图是一种机器零件, 零件
体 S-ABC, 求它的表面积.
S
解: 这四面体的表面是由 4 个全等
的等边三角形组成,
所以它的表面积 S = 4S△SBC 在△SBC中, 边长为 a,
A
B
D
C
SD为BC边上的高.
则 SD =
SB2 BD2 =
a2
(
a 2
)2
=
3 2
a,
于是得 S△SBC=
1 2
BC
SD
=
1 2
a
3 2
5
1. 柱体、锥体、台体的表面积 问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积 怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么 样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计 算它们的表面积吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各 个多边形组成, 各多边形的面积之和即为它们的表 面积.
6
锥体体积:
V锥
=
1 3
Sh
(S 为底面面积,
h为柱体高).
台体体积: V台 = V大锥体V小锥体 (S为下底面积,
=
1 3
(
Sh大
S S
=
(
h小 h大
)2,
Sh小), h大 h小
=
S为上底面积,
h 为台高). h,
V台
=
1 3
h(
S
+
SS + S).
16
例3. 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是 7.8 g / cm3) 六角螺帽共重 5.8 kg, 已知底面是正六边形, 边 长为 12 mm, 内孔直径为 10 mm, 高为 10 mm, 问 这堆螺帽大约有多少个 (p 取 3.14)?
a
=
3 4
a
2,
所以, 这个四面体的表面积为
S = 4
3 4
a2=
3a2.
8
问题 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面
后各是什么图形? 这些图形的面积你会计算吗? ︵
·O
h
r ·O
S圆柱侧 = 2p rh.
变
S
态
三
l
角
r ·O
形
︶
(变态梯形)
S圆锥侧
=
1 2
cl
=p
rl.
r O
rO
S圆台侧