系统箭图代数的Hochschild上同调群
同调群的定义以及计算
同调群的定义以及计算同调群是抽象代数中的一个重要概念，它在群论、拓扑学和代数几何中有广泛的应用。
本文将从定义、性质和计算等方面介绍同调群。
一、定义同调群是代数拓扑学的基本概念之一，它描述了拓扑空间的代数性质。
给定一个拓扑空间X，我们可以定义其n维同调群Hn(X)为拓扑空间X的n维同调群。
同调群是通过对拓扑空间的连续映射和边界运算进行代数化处理得到的。
二、性质1. 同调群的维度：同调群的维度表示同调群中非零元的个数。
对于一个n维同调群Hn(X)，其维度为n。
2. 同调群的加法结构：同调群Hn(X)中的元素可以进行加法运算，满足结合律、交换律和存在零元素等性质。
3. 同调群的边界算子：同调群的边界算子是同调群中的一个映射，它描述了拓扑空间X中的边界性质。
边界算子将n维同调群映射为n-1维同调群，表示了拓扑空间中的边界信息。
4. 同调群的正合列：同调群之间存在正合列的关系，即对于拓扑空间X的一组同调群Hn(X)、Hn-1(X)和Hn-2(X)，存在一组映射满足映射的复合为零。
三、计算计算同调群是拓扑学中的重要工作之一，可以通过代数拓扑学中的一些工具和技巧进行。
下面以简单的例子说明同调群的计算方法。
例：计算圆环的同调群考虑一个圆环，可以将其表示为一个二维拓扑空间。
我们希望计算圆环的同调群。
定义圆环的边界为一维同调群，记为H1。
对于圆环而言，边界是一个一维环，即一条圆环上的闭合曲线。
因此，H1即表示了圆环上的环的个数。
我们可以通过边界算子来计算圆环的同调群。
边界算子将一维同调群映射为零维同调群，即H0。
对于圆环而言，边界算子将环的个数映射为点的个数，即将圆环上的环缩成一个点。
我们可以得到圆环的同调群为H0=Z（整数环），H1=Z（整数环）。
这意味着圆环上的点的个数和环的个数都是整数个。
通过这个例子，我们可以看到同调群的计算过程并不复杂，只需要使用合适的工具和方法，就可以得到拓扑空间的同调群。
同调群是拓扑学中的一个重要概念，它描述了拓扑空间的代数性质。
代数满同态下的模一相对Hochschild(上)同调
摘要 关键词
设舻 ： （ Ｂ是代数满 同态 ， 研究 Ｂ和 Ｃ 的丰 莫 ＿ 相 对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ 同态 ； 模一 相对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调 ； 相对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调
中 图分 类 号
Ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｅ － ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ － Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ（ ｃ ｏ ） ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｅ ｐ ｉ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｓ ｍｓ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ
ＣＨ ＥＮ Ｙｕａ ｎ （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ＆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｗ ｕ ｈ ａ ｎ ４ ３ ０ ０ ６ ２，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
设 Ｒ 是交换 环 ， Ａ 和 Ｂ 是 Ｒ一 代数 ， Ａ ＝Ａ＠Ｒ Ａ印 表示 Ａ 的包 络代 数． 给定双模 Ｍ ， 考虑 伴 随函子 ：
Ｂ ： 一Ｍ Ａ 一： Ａ 魄一Ｂ ％ ， ： ＝ ＝ ＝ Ｈｏ ｍＢ （ Ｍ， 一） ： Ｂ ％ 一Ａ ％．
如下 由 一 相对可裂态射构成的类记为 ｅ Ｍ ＝ ＝ ＝ ｛ ∈ ％ｌ Ｈｏ ｎ ｒ 。 （ Ｍ， ＿ 厂 ） 在 ％ 中是可裂满的｝ ． 由文献［ ３ ］ 中定理 １ ． ４ 知， ｅ Ｍ 总 是投射类． 进一步地 ， 若 Ｍ 作为左 Ｂ 一 模是生成子 ， 则ｔ ￣ Ｍ ， Ｂ 是由满态 射构成的投射类（ 参见文献［ １ ， 命题 ３ ． １ ］ ） ． 此时任意的 Ｂ － Ｂ 一 双模都存在 ￣ Ｍ ， Ｂ － 投射分解 ， 且在 同伦意义 下是唯一的． 注意到 ， Ｐ 是￡ Ｍ 投射 的当且仅当 Ｈｏ ｎ （ ｒ Ｐ， 一） 是￣ Ｍ ， Ｂ － 正合 的； 另一个等价条件是存在 某个 Ｘ∈ ‰ 使得 丌 ： Ｔ Ｂ （ Ｘ） 一Ｐ是可裂满 的． 易见 ， 所有的投射 Ｂ － Ｂ 一 双模 以及具有形式 （ Ｘ） （ Ｘ∈
同调和上同调群
1
2
流形上的积分
2
1.2
流形上单形的同调群
现在我们可将 Rr 上定义的 r 单形 σr 推广到流形 M 上去。显然，可
以定义映射 f : σr → M ，将 r 单形映射为流形 M 上的一个子集 Sr ，这个 子集也称为 M 上的 r 单形。实际上就是同胚变换，将直角坐标系中的图形 变换到任意流形上去，如下图：
c ∂c
用内积表示为 (c, dω ) = (∂c, ω ). 可以证明，对 c ∈ Br , ω ∈ Z r , (c, ω ) = 0; c ∈ Zr , ω ∈ B r , (c, ω ) = 0. 由于群代表元的等价性，可以将内积推广为等价类的内积，对 [c] ∈ Hr , [ω ] ∈ H r : ∫ ∧([c], [ω ]) = (c, ω ) =
p+q =r
bp (M1 ) × bq (M2 )
χ(M ) = χ(M1 ) · χ(M2 ) 例如，对 torus T 2 H 0 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = R, H (S 1 ) = 0 H 0 (T 2 ) = H 0 (S 1 ) ⊗ H 0 (S 1 ) = R ⊗ R = R
4.2
上同调群的外积
对 m 维的流形 M，取 ω ∈ H r , η ∈ H m−r ，有：ω ∧ η ∈ Ωm . 可定义内 ∫ 积 ⟨ω, η ⟩ = M ω ∧ η ∈ R.
4
上同调群的性质
7
可以证明庞加莱对偶性：H r ∼ = H m−r . 由此得到推论：betti number br = bm−r , χ(M ) = 若 m 是偶数，则 χ(M ) = 0 ∧ 也有等价类的表示： 对 [ω ] ∈ H q , η ∈ H r , [ω ] ∧ [η ] = [ω ∧ η ] ∈ H q+r (M )
极小Wild系统箭图代数的Hochschild上同调群
作 者 简 介 ： 丹 （９ Ｏ ） 女 ， 师 。 张丹 １８ 一 ， 讲
８４ ６６
科
学
技
术
与
工
程
１ 时 ， 以 当 Ａ
Ｃ ＝｛１ｅ ， ， Ｏ， ， ， 。 ，ｉ ４ ０ ４ ｅ，２ｅ ， ， Ｏ ， ｝ｄｍ Ｆ ＝１ ； ３ Ｌ ｌ
２１ ００年 ９月 ２ 日收 到 ７
国家 自然 科学 基 金 （０ ０ ０５号 ） ６ ９ ４０ 和 湖 北 省 自然科 学基 金 （０ ９ Ｄ ０ ６ 资 助 ２０Ｃ Ｂ ２）
年 引入 。设 是域 上 的有 限维 结 合代 数 ， 是 有 限生成 一双模 ， 系数 在 中 的 Ｈ ｃ ｓｈｌ 同 ｏ ｈｃｉ ｄ上 调 群 为 Ｈ Ａ， “（ Ｍ） ＝ （ Ｍ） Ａ， ，其 中 Ａ ＝
Ｃ ＝｛１ｅ ，３ Ｏ ， ， ， ，ｉ ６ ０ ６ ｅ，２ｅ ， ｌ Ｏ ， Ｏ ｝ ｄｍ Ｆ ：１ ， ， ｔ Ｌ
限维 代数 的表 示 理 论 中扮 演 着 重 要 的角 色 ， 如 ， 例 Ｈ ｃ ｓｈｌ 同调 群 与代 数 的单 连 通 性 、 分 性 质 ｏｈ ｃｉ ｄ上 可 及形 变 理论 有 重 要 联 系［ ７。一 般 情 况 下 ， 算 代 ５］ － 计
极 小 ｗｌ 示型 ｉ ｄ表 极小投射双模分解 Ｈ ｃ ｓｈ ｄ上 同调 群 ｏｈｃｉ ｌ
计 算 了 ｒ 的各 阶 Ｈ ｃ ｓｈｌ 同调 群 的维 数 。 ｆ ｏｈｃｉ ｄ上
关 键 词 系统 箭 图
Ｉ 图法分类号 ｝ Ｉ
０５ ． ； １４ ２
文献标志码
Ａ
微分方 程
所有正 规 点 的 完 全 刻 画 ， 明 了 Ｔ ｎ ｅｂ ｕ 关 于 证 ａ ｎｎ ａｍ
一类零关系d-koszul代数的Hochschild上同调群
出该 类代 数 的二 阶 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调 群维 数 为零 ， ｄ上 即该 类代 数 是 刚 性 的． 们首 先 找 出零关 系代 数 Ａ 我
为 ｄｋ ｓｕ 代数 的充要条 件 ， 而得 出集 合 ｐ的所 有情 形． 次 ， — ｏｚ ｌ 从 其 根据 所得 的集合 ｐ构造 Ａ ｎ ｌ 得 到 Ｐ（ ）１ ， 零关 系代 数 ｄｋ ｓｕ 代数 的极小投 射双模分解 ， 利用平行路 的语 言 ， －ｏｚｌ 再 得到上 同调 复形． 最后 ， 利用 Ｂ ｒｚｌ ａｄｅ ｌ 和 Ｍａｃｓ ｒｏ 的文 献 ［ ８ 的方 法 描 述 出 复形 的边 界 映射 ， 过 计 算 １］ 通 对 应 矩 阵 空 间 的秩 ， 据 公 式 根 ｄｍ ＨＨ”以） ｉ ｋ ｒ￥ 一ｄ ｎｉ ｉｋ （ 一ｄ ｍｋ ｅ ＋ ￣ ｉｋ ｒ ｍ 计算 得到零关 系 ｄｋ ｓｕ 代数 的 Ｈｏｈｈｌ 上 同调群 的维数． ＿ｏｚｌ ｃｓｉ ｄ
第 ３ ３卷 第 ２期 ２ １ 年 ６月 ０１
湖北大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｅ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｂ ｉ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ２ １３ ．
Ｊｎ ｕ ．，２ １ ０ １
文 中通过 对 Ｂ ｒ ｚｌ上 链 复 形 的细 致 分 析 ， 楚 地 计 算 了 零 关 系 代 数 以 为 ｄｋ ｓｕ 代 数 时 的 各 阶 ａｄ ｅｌ 清 —ｏ ｚ ｌ Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调群 的维 数 ， 我们 对该 类零 关系代 数 的上 同调 性质 有 进 一步 的了解 ． 别 地 ， ｄ上 使 特 我们 得
１ 极 小 投 射 双 模 分 析
代数拓扑中的同调群及其应用
代数拓扑中的同调群及其应用在数学领域中，拓扑学是一门重要的分支学科，它主要研究空间的连续性质，这些性质在实际问题研究中是非常有用的。
而代数拓扑则是在拓扑学的基础上，加入了代数的概念，利用代数方法来研究拓扑空间的性质。
同调群就是代数拓扑中的一个基本概念，它可以描述拓扑空间的某种性质，被广泛应用于数学和物理学的研究中。
同调群的定义同调群最初是由意大利数学家普高代(Poincaré)于19世纪末提出的。
同调群是通过一类代数构造从拓扑空间中提取代数信息，并用于研究拓扑空间的性质。
同调群主要描述了拓扑空间在不同维度上所形成的空洞，进而可以描述其“洞”的数量等性质。
对于一个拓扑空间X，其n维同调群记为Hn(X)，是通过下述一组群对象的特定构造所得到的：首先，定义一个n维闭锥体(Cone)为I×Dn/I×S^{n-1}，其中I=[0,1]是一个单位长度的区间，Dn是n维的单位闭球，S^{n-1}是n维单位球面。
在拓扑空间X中，任取一个n维连续映射f，将其扩张为一个连续映射F:I×Dn→X，使得F在S^{n-1}上与f相等，则F(S^{n-1})将沿着拓扑空间X中的一个n-1维子集上绕一个圈。
我们把这个圈称之为f的“边界”，记为∂f。
如果边界∂f=0，那么称f为一个“闭n-链”，否则称f为一个“可缩n-链”。
然后，我们定义Hn(X)是所有闭n-链f的等价类的集合，其中等价关系定义如下：若两个闭n-链f和g之间存在一个可缩n+1-链h，即有∂h=f-g，则称f和g是同一个等价类。
同一个等价类的闭n-链称为“同调类”，每个同调类有一个“同调群元素”，同调群元素之间的加法运算即为作为闭n-链的有理系数的加法运算。
同调群的计算在实际计算中，同调群的计算十分复杂，但有一类特殊的情况，即球面的同调群，它们的计算比较简单。
对于n>1时，S^n的各个同调群如下：H^0(S^n)≅QH^1(S^n)≅0H^k(S^n)≅0(k>1)对于n=1时，S^n的各个同调群如下：H^0(S^1)≅QH^1(S^1)≅ZH^k(S^1)≅0(k>1)这些同调群的计算可以通过定义来计算，当然，也可以通过一些复杂的拓扑技巧来证明。
广义路代数及其hochschild上同调
广义路代数及其hochschild上同调最近，随着数学研究的深入探索，路代数和Hochschild上同调越来越受到重视。
路代数是一种比较新兴的数学理论，它可以扩展经典代数理论，将代数中的数量和空间概念结合起来。
由于它具有多样化的应用能力，它可以被用来解决各种复杂的数学问题。
Hochschild 上的同调理论是一种功能分析的同调子空间的概念，它的千变万化的应用可以解决重要的数学问题，这种理论的强大之处在于它对对象中发生的结构变化所提供的细节描述，这样就可以更好地理解空间中发生的变化以及更好地解决问题。
本文将重点介绍路代数和Hochschild上同调的理论和应用。
首先，我们将介绍路代数的基本概念，路代数是一种由路构成的多维代数，它由一系列连接点和相关弧构成，由此可以绘制出各种不同形状的图像。
路代数可以用来描述物体的空间结构，可以用来表示空间中的点、边、面等特征，可以将物体的多维结构表示出来。
其次，我们将介绍Hochschild上的同调理论，Hochschild上的同调理论可以用来描述和分析多维空间中发生的同调变化，它可以提供实时的分析及精确的描述，可以帮助实现对多维空间的准确建模，从而可以更好地解决各种复杂的数学问题。
接下来，我们将着重讨论路代数和Hochschild上的同调理论的应用。
路代数的应用非常广泛，其中最常见的就是用来解决空间几何学问题。
它可以用来描述空间中的点、边、面等特征，可以用来表示多维空间的几何结构，也可以用来分析空间中发生的变化。
Hochschild上的同调理论则可以用来发现和调查多维空间中发生的变化，可以用来分析空间中发生的同调变换，这样就可以深入探究空间中发生的变化。
此外，路代数和Hochschild上的同调理论还可以应用于其他领域，如金融、物流、电子商务等，以帮助企业的管理决策。
本文综上所述，路代数和Hochschild上的同调理论是一种重要的数学理论，它可以用来解决复杂的数学问题，这些理论也可以用来解决各种金融、物流、电子商务等实际问题。
截面基本圈代数的单点扩张Hochschild上同调群
是 Ｂ 的单 内射模 ， Ａ ＝ Ｂ ＆ ｒｄ ∞ 令 ／ Ｂ，ａＰ （ ）＝ Ｍ ， Ｂ ＝ ＡＩ 。 则 Ｍ］
第 ４期
邓 小 虎 ， 炎 红 ： 面 基 本 圈 代 数 的 单 点 扩 张 Ｈｏ ｈｃ ｉ 鲍 截 ｃｓｈｌ 同 调 群 ｄ上
・４ ・ １
其 中 Ｌ（ ，） 示从 愚 到 量 ｉ 表 最短 路 的长度 。
。
㈣ ａｍ ｉ
一
ａｍ— ｉ
ｃ 一
． Ⅱ Ｌ ． ｌ ｃ 计 ， ｃ ａｒ ／ｆ戮 ｑ八 ｈ ＾ 一 ｆ十 １Ｊ
（ ｄ Ｋ ） ｑ ＋ ｇ １∑优 一 ２ ｉ Ｈ （ ＝｛∑ｍ （＋ ） ； ｓ ）ｍ Ｂ ｍ
ｌ ｆ ｊ ≠
Ｌ（ ，） ｒ ・ ≥ Ｌ（ ． ） ｆ 』 ＜
ｒ ＝１
【 ｍｍ ＋（＋１ ｑ∑ ｇ ）∑ ｍｍ ｒ ｊ ＞１
＊ 收 稿 日期 ：２ １ —０ —３ ００ ５ １ 作者 简 介 ：邓 小 虎 ， ， 男 安徽 合 肥 人 ， 徽 大学 数 学 学 院 研 究 生 。 安
ｃｉ ｈｌ 同调群是 通过 导 出函子 。现 已有 很多重 要代 数 的 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｄ上 ｃ ｓｈｌ 同调 被确 定 ， ｄ上 如遗 传代 数［ ， — ４ ｉ ］ｎ
ｃ ｅｃ ｉ ｎｅ代数 ， ｄ 具有 ｎ ｒｏ ａｒｗ箭 图代数Ⅲ ， 面基 本圈代数 ， 面箭 图代数嘲 等 。 截 截
其 中 ，≥ １ ｆａ ＝ Ｉ ｊ ｏ≤ Ｊ≤ ｚ ２ 三 ｒ竹 ｍｏ ｑ ）Ｉｃ ａＫ 为域 Ｋ 的特 征 。 ｌ ，ｆ， Ｉ ： ｛／ 一 ， （ ｄ ） ，ｈ ｒ
上同调代数
上同调代数什么是同调代数？同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是拓扑空间的代数结构和其同调不变量之间的关系。
同调代数的研究对象可以是各种各样的代数结构，比如群、环、模等，而拓扑空间则可以是曲面、多维空间等。
同调代数的基本概念1. 同调群同调群是同调代数中的核心概念之一。
对于给定的拓扑空间X，我们可以定义一系列同调群，记作Hn(X)，其中n表示维度。
同调群描述了拓扑空间X中的代数结构，可以通过同调群来研究拓扑空间的性质。
2. 上同调代数上同调代数是同调代数中的一种重要扩展。
与普通的同调代数不同，上同调代数中的同调群是通过一种上同调操作定义的。
上同调操作是一种将代数结构映射到更高维度的操作，它可以将一个n维的代数结构映射到一个n+1维的同调群中。
3. 同调环同调环是同调代数中的另一个重要概念。
同调环是一个满足一定条件的环结构，它描述了拓扑空间中的环结构和同调群之间的关系。
同调环的研究可以帮助我们更好地理解拓扑空间的性质。
上同调代数的应用1. 拓扑学上同调代数在拓扑学中有广泛的应用。
通过研究上同调代数，我们可以得到拓扑空间的同调不变量，这些不变量可以帮助我们刻画拓扑空间的性质。
比如，同调不变量可以用来判断两个拓扑空间是否同胚，或者用来计算拓扑空间的欧拉数等。
2. 代数几何上同调代数在代数几何中也有重要的应用。
代数几何研究的是代数结构和几何结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将代数结构映射到几何结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到代数曲线、代数多面体等几何结构的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究几何结构的性质。
3. 数学物理上同调代数在数学物理中也有应用。
数学物理研究的是物理现象和数学结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将物理结构映射到数学结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到物理系统的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究物理系统的性质。
总结上同调代数是同调代数中的一种重要扩展，它通过上同调操作将代数结构映射到更高维度的同调群中。
代数拓扑中的上同调群计算理论
代数拓扑中的上同调群计算理论代数拓扑是数学中重要的分支之一，它研究的是将代数方法应用于拓扑空间的理论。
在代数拓扑中，上同调群的计算理论是一项重要的课题。
本文将介绍上同调群的基本概念和性质，以及其在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的基本概念1.1 定义在代数拓扑中，上同调群是用来描述拓扑空间性质的不变量。
上同调群由上同调群构成的一系列代数结构组成，可以通过对拓扑空间的连续映射进行操作得到。
1.2 上同调的计算方法上同调群的计算方法可以通过奇异上同调、流形上同调等不同的途径进行。
其中，奇异上同调是最常用的计算方法之一，其基本思想是通过定义奇异链复形，并通过链映射和边缘算子的操作来计算上同调群。
二、上同调群的性质2.1 同调同构定理同调同构定理是上同调群理论中的重要定理之一。
该定理表示在某些条件下，两个拓扑空间的上同调群是同构的。
具体而言，如果两个拓扑空间同胚，则它们的上同调群同构。
2.2 长正合列在代数拓扑中，长正合列是用来描述连续映射和上同调群之间关系的一种工具。
通过长正合列可以得到上同调群之间的精确序列，以及一个上同调群到另一个上同调群的自然映射。
三、上同调群的应用3.1 拓扑空间的分类问题上同调群在拓扑空间的分类问题中起着重要的作用。
通过计算上同调群，可以判断两个拓扑空间是否同胚，或者是否具有相似的拓扑结构。
3.2 镜像对称性的研究在代数拓扑中，镜像对称性的研究是一个重要的课题。
上同调群的计算可以用来描述镜像对称性的代数结构，进而研究镜像对称性在拓扑空间中的应用。
3.3 拓扑空间的外延上同调群的计算理论可以用来描述拓扑空间的外延。
通过计算上同调群，可以判断拓扑空间是否有限维、有限生成等性质，从而对拓扑空间进行分类。
四、总结与展望代数拓扑中的上同调群计算理论是一项关键的研究课题，它对于研究和理解拓扑空间的性质具有重要意义。
本文介绍了上同调群的基本概念和性质，并探讨了上同调群在代数拓扑中的应用。
未来，随着代数拓扑的发展，上同调群计算理论将在更广泛的领域中得到应用，并为数学研究提供更多的工具和方法。
关于路余代数及其Hochschild上同调
Ａ（ ）＝ ∑ Ｐ ｐ ， Ｐ ， ｌ
ｐ Ｐ ２ｐｌ
余 单位
ｃ ） ０ ｆ）１ １， （ ≥． Ｃ ｐ ｐ
１８ 年 ， ｏ Ｙ定 义 系数 在左 Ｃ余 模 Ⅳ 中的余 代数 Ｃ的 ／阶 Ｈ ｅｓｈｌ 同调为 ９１ Ｄｉ ． １ ， ｏｈｅｉ ｄ上
／ Ｎ， ）＝ ｘ ．Ｎ， ） Ｆ（ Ｃ Ｅ ｔ （ Ｃ ， ｃ
维普资讯
第２ ２卷第 ２期 ２００７ 年 ６月
洛阳大学学报
Ｊ ＵＲＮＡ ＵＯ Ｏ Ｌ ＯＦ Ｌ ＹＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲ Ｉ ＳＴＹ
Ｖ １２ ． ｏ ． ２ Ｎｏ ２
Ｊ ｎ ｕ．
２ Ｏ Ｏ７
关 于路 余 代 数 及 其 Ｈ ｃｓｈ ｄ上 同调 术 ｏｈｃｉ ｌ
１ 引 言
本 文 中 ，总假 设 是代 数 闭域 ， 上的 向量 空 间称 为 空 间 ， 空间 上的线性 映射 称 为 映射 ．我 域
们把所有 肘 Ⅳ的右 ｃ余模映射组成的集合记为 Ｃｍ ， ．类似地， ． ｏ ． Ⅳ） （ 把所有 一Ⅳ的左 ｃ余模映射 ．
组成 的集合 记为 ＣｍＤ（ Ｎ） ｏ Ｍ， ．一般 地 ，在不形成 混淆 的情 况下 ， 之为 Ｃ ｍ （ Ｎ） 记 ｏ Ｍ， ．用 表示 右 Ｃ － 余 模 范畴 ， 表示左 Ｃ余模 范 畴． ． １９ ９７年 ， ｈｎ和 Ｍｏｔ ｍ ｒ［对 于给定 的 ｑ ｉ ｒ Ｃｉ ｎｇ ｅｙ４ ｏ １ ｕｖ 和域 ， 过对 偶代 数 的构 造得 到 了路 余代 数．设 ｅ 通 Ｋ Ｑ表示 由 Ｑ 中所有 路生 成 的 Ｋ 空间 ， 一 路余代 数 Ｋ 。 空 间 ｒ Ｑ 是 Ｑ上 的余代 数 ， 余乘 定义 为
郭 占清 姚 海楼 ，
（． Ｉ铁道部 信 息技 术中心，北京 １０ ８ ； ． ０ ０４ ２ 北京工业大学 应 用数理 学院，北京 １０ ２ ） ０ ０ ２
【国家自然科学基金】_投射维数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
科研热词 自由模 投射模 弱整体维数 局部整环 二元外代数 zn-galois覆盖代数 hochschild(上)同调群
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词 投射维数 紧致微分分次模 正则微分分次代数 极小投射双模分解 整体维数 微分分次代数 三角 yetter-drinfel'd模 yetter-drinfel'd hopf代数 koszul微分分次代数 hopf代数 hochschild上同调群 gorenstein微分分次代数 gelfand-ponarnarev代数 auslander-reiten amplitude
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2014年 科研热词 推荐指数 遗传环 1 虚拟地球 1 航道监控 1 电子航道图 1 微分模 1 强w-投射模 1 强n-ξ -gorenstein-投射对象 1 多维数字航道 1 复形 1 交通信息工程 1 三角的真类 1 ξ -gorenstein-投射对象 1 gorenstein投射 1 gorenstein内射 1 dw-环 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 维数 特殊双列代数 模范畴的左(右)部分 有限维数 投射(内射)维数 完全可减内射维数 完全可减内射分解 可消半模 交叉积 koszul代数 hochschild同调群 gorenstein投射猜想 gorenstein代数 (投射)分解 (内射)余分解
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
量子外代数的Z2-Galois覆盖的Hochschild上同调环
群代 数 ， ］外代 数 ，ｔｉｇ代数 ］Ｋｏｚｌ ｓｒｎ ， ｓｕ 代数 ， 方零 代 数＿］及 有 限 表示 型 的 自入射 代 数 ＿ 等． 根 １， １ １等 ２ 而且 Ｇｒｅ ｅｎ和 Ｓ ｌｅｇ在文 献 ［３ 中指 出上 同调 环 ＨＨ （ 的乘 法 结构 通 常 是 平 凡 的． ｉｉ 在 文 献 ｏｂ ｒ １］ Ａ） Ｃｂｌ ｓ ［ １ 中证 明 当 以是 Ｑ 不 含定 向 圈的根 方零 代数 时 ， １］ ＨＨ （ 的乘 法结 构也 是平 凡 的． 而 ， 很 多 自人 Ａ） 然 对
射环 而言 ， ＨＨ （ 中存 在乘 积非 零 的元． 以） Ｋｏ ｚ ｌ ｓｕ 代数 在 表示理 论 的研究 中扮演 着重 要 的角 色 ． 子 外代 数 Ａ （ ＞ （ ｘ ＋ ｑ ｘ， 量 一是 ｚ， ／ ｘ ， ｙ ｙ Ｙ ）
是一类有趣的 Ｋ ｓ ｌ ｏｚ 代数ｌ１ ． ｕ ｌ 引 设 为Ａ 的ｚｚ ａ ｉ覆盖 ， Ｇ ｌｓ — ｏ 韩阳在文献 ［６ 中证 明 Ａ 也是 Ｋ ｓ ｌ １］ ｏｚ ｕ 代数 ． 文 中首 先 计 算 出 了 Ａ 本 。的各 阶 Ｈｏｈ ｃｉ ｃｓｈｌ 同 调 群 的 基 ； 次 ， ｄ上 其 由于 Ｂ ｃｗｅ ｚ等 人 用 ｕｈ ｉ ｔ
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Ｈ Ｈ ” 以 ） Ｅｘ ￣ （ ， ） （ ＝ ｔｅ 以 以 ．
Ｈｏｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调是 结合 代数 较精 细 的不变 量 ， Ｍａｉ 等价 不变 量 ， ｉ ｉｇ等 阶不变 量 ， 导 出等价 ｄ上 如 ｒａ ｔ Ｔｌｎ ｔ 及 不 变量 等等 ． 它在 Ａｒｉ 数 的表示 理论 中扮 演着 重要 的角色 ， 如 ， 和代 数 的单 连通 性 ， 分性 质 且 ｔ ｎ代 例 它 可
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同调群的直观解释
同调群的直观解释同调群是在代数学中常见的概念，它在群论中占据着重要的地位。
同调群的概念源于拓扑学和代数学的交叉领域，通过同调群的研究，我们可以深入理解拓扑空间的性质和结构。
同调群的定义可以通过多种方式描述，但最常见的方式是通过复形和链复形的概念来定义。
在拓扑学中，一个复形是由一组顶点和连接这些顶点的边构成的有限空间。
而链复形则是对复形中的边进行线性组合得到的对象，它可以帮助我们描述拓扑空间的结构。
在同调群的概念中，我们将链复形进行一系列的操作，最终得到同调群。
同调群可以理解为链复形的商群，通过同调群的构造，我们可以研究拓扑空间的同调性质。
同调群的研究在代数拓扑学、代数几何学和代数学的其他领域都有着广泛的应用。
同调群的性质和结构对于理解拓扑空间的拓扑性质和几何性质都具有重要的意义。
同调群可以帮助我们刻画拓扑空间的空间结构、连接性质和维数等重要特征。
通过同调群的研究，我们可以将抽象的拓扑概念转化为代数的形式，从而更好地理解和分析拓扑空间的性质。
同调群的研究也在代数拓扑学中扮演着重要的角色。
同调群的计算和性质研究对于解决拓扑学中的一些经典问题具有重要的启发作用。
通过同调群的研究，我们可以将拓扑空间的性质转化为代数的形式，从而更好地理解和解决拓扑学中的一些难题。
总的来说，同调群的概念是代数学和拓扑学的重要交叉领域，它帮助我们理解拓扑空间的性质和结构，为解决拓扑学中的一些重要问题提供了重要的工具和思路。
同调群的研究不仅拓展了我们对拓扑空间的认识，也推动了代数学和拓扑学的发展和交叉。
通过深入研究同调群的性质和结构，我们可以更好地理解和探索拓扑学的奥秘，为数学的发展和进步做出贡献。
代数拓扑中的上同调群计算方法
代数拓扑中的上同调群计算方法在代数拓扑学中，上同调群是对拓扑空间进行代数化描述的重要工具之一。
它可以帮助我们研究空间的性质以及它们之间的映射和变形。
本文将介绍上同调群的概念和计算方法，并探讨在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的概念上同调群是一种用于描述拓扑空间的代数对象。
它是通过将空间中的链与边界联系起来来构建的。
对于给定的拓扑空间X，我们可以构造一系列复形Cx，其中x表示一种维度。
这些复形由一组群和一组边界映射构成。
简单来说，上同调群就是这样一组群的集合：每个维度的群由该维度复形中的闭链模去掉边界链的模得到。
二、上同调群的计算方法计算上同调群的方法主要有两种：直接计算和利用代数结构。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 直接计算方法直接计算上同调群的方法是通过构造拓扑空间的上链复形来计算。
对于给定的拓扑空间X，我们可以选择一种合适的上链复形，并通过计算该复形的闭链和边界链来得到上同调群。
这种方法的优点是直观易懂，但对于复杂的空间来说计算量较大。
2. 利用代数结构方法利用代数结构计算上同调群的方法是通过代数工具和性质来计算。
例如，我们可以利用同调群的长正合列、Mayer-Vietoris序列等工具来计算上同调群。
这种方法通常更高效，特别适用于一些含有特殊结构或性质的拓扑空间。
三、代数拓扑中的应用上同调群在代数拓扑学中有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 同伦不变性在拓扑学中，同伦等价是空间的一个重要性质。
上同调群可以用来刻画同伦等价的空间具有相同的上同调群。
通过比较不同空间的上同调群，我们可以判断它们是否同伦等价。
2. 基本群和覆叠空间上同调群可以和基本群以及覆叠空间进行联系。
通过计算拓扑空间的上同调群，我们可以推导出基本群以及覆叠空间的一些性质。
这对于研究空间的拓扑结构和几何性质非常重要。
3. 对偶性与切向量空间上同调群的对偶性是代数拓扑学中一个重要的性质。
通过定义上同调群的对偶群，我们可以研究拓扑空间的切向量空间以及其它几何性质。
同调群的定义以及计算
同调群的定义以及计算同调群是数学中一个重要的概念，它与代数学、拓扑学等领域密切相关。
在代数学中，同调群是研究拓扑空间的一个重要工具，它描述了拓扑空间中的“空洞”或“孔”的性质。
本文将介绍同调群的定义以及计算方法。
一、同调群的定义同调群的定义涉及到拓扑空间的概念，其中最基本的是单纯形。
一个n-单纯形是由n+1个顶点组成的凸包，比如一个线段是一个1-单纯形，一个三角形是一个2-单纯形。
给定一个拓扑空间X，我们可以构造一个以X中单纯形为基础的复形C，复形C是一个由单纯形组成的集合。
复形C的边缘算子d将每个单纯形映射到它的边界。
在复形C上，我们可以定义一个链群C_n，它是由n-单纯形的线性组合构成的群。
链群是一个向量空间，它的元素是形如a_1σ_1 + a_2σ_2 + ... + a_kσ_k的形式，其中a_i是实数，σ_i是n-单纯形。
链群C_n的元素称为n-链。
链群之间的映射可以通过边缘算子d来定义。
边缘算子将n-链映射到(n-1)-链，满足边缘算子的性质：d^2 = 0。
这意味着边缘算子作用两次等于零。
对于链群C_n，我们可以定义其子群B_n，称为边界群。
边界群由所有边界为零的n-链组成，即B_n = ker(d)。
同时，我们可以定义其子群Z_n，称为周期群。
周期群由所有边界为零的n-1-链的边界组成，即Z_n = im(d)。
同调群H_n(X)是链群C_n模去边界群B_n得到的商群，即H_n(X) = C_n / B_n。
同调群描述了拓扑空间X中的“空洞”或“孔”的性质。
二、同调群的计算计算同调群的一种方法是使用上面提到的边界算子d。
通过计算边界群B_n和周期群Z_n，可以得到同调群H_n(X)。
我们可以计算边界群B_n。
对于n-链a，如果边界算子d(a) = 0，则a属于边界群B_n。
计算边界群B_n可以通过构造边界算子矩阵来实现。
边界算子矩阵的每一列对应一个n-单纯形，每一行对应一个(n-1)-单纯形，矩阵中的元素表示单纯形之间的边界关系。
一类零关系d-koszul代数的Hochschild上同调群
一类零关系d-koszul代数的Hochschild上同调群陈实【期刊名称】《湖北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(033)002【摘要】设A=kZe/I是零关系d- koszul代数,其中乙Ze由e个顶点连接而成的循环圈,I是由某些长度为d的路组成的集合生成的允许理想.基于对Bardzell极小投射双模分解的细致分析,用平行路的语言,清楚地计算出Λ的各阶Hochschild上同调群的维数.%Let A = kZ,/I be a monomial d-koszul algebra, where Z, was an oriented cycle with e vertices and / was an admissible ideal generated by the set of some paths of length d. In this paper, based on the minimal projective bimodule resolution of A constructed by Bradzell, we calculated the dimensions of Hochschild cohomology group of A in terms of parallel paths.【总页数】5页(P230-234)【作者】陈实【作者单位】湖北大学数学与计算机科学学院,湖北武汉430062【正文语种】中文【中图分类】O154.2【相关文献】1.若干余代数的Hochschild上同调群的计算 [J], 李艳凤;刘海成2.自入射Nakayama代数的Hochschild上同调群 [J], 向华丽3.系统箭图代数的Hochschild上同调群 [J], 张丹丹4.Taft代数的Auslander代数的Hochschild上同调群 [J], 牛新红5.几类有限维代数的低阶Hochschild上同调群 [J], 李艳凤;刘海成;朱桂英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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０ 引言
微 分 方 程
Ｊ
－ｘ ＋ ， Ｂ㈤
【 （） Ｃ ｖ ＝ ｘ（ ）
给 出 了一 个线 性时不 变 动力 系统 一（ Ｂ， ） 其 中 ｚ（） （） ， ￡ ∈ｋ Ａ， Ｃ ， ￡ ∈是 ， ∈ｋ （） 是 向量 型 变量 ， Ａ， Ｂ， 分别 是 ｎ Ｃ， Ｘｍ， ， × Ｐ×７矩 阵． Ｈａｅ ｉｋ ｌ ／ Ｍ． ｚ ｗ ｎ ｅ Ⅲ首 先注 意到 每一线 性时 不变 动力 系统 Ｚ （ Ｂ， ＝ Ａ， Ｃ） 好对应 于 系统箭 图 Ｑ 的维 数 向量为 （ ７ ｐ 的表示 （ １ ． 恰 ｍ， ， ） ２ 图 ）
调性 质．
Ｈｏ ｈ ｅ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调 理论是 由 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ Ｅ ｄ上 ｃ ｓｈｌ 于 １ ４ ｄ ９ ５年 引入． Ａ是 域 ｋ上 的 有 限维结 合 代数 ， 是 设 Ｍ
有 限生成 Ａ 双模 ， 一 系统在 Ｍ 中 的 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｅ ｓｈｌ 同调群 为 （ Ｍ ） ｘ （ Ｍ） 其 中 Ａ ：Ａ ｄ上 Ａ， ：Ｅ ｔ 以， ， ＝ ＝ Ａ，
极 小 投 射 双 模 分 解
假设 ｋ 域 ， 是 Ｑ一（ ， 是 一个箭 图 ， 中 Ｑ Ｑ。Ｑ ） 其 。是顶点 集 ， 是箭 向集． ｐ为 Ｑ 中任一 路 ， ｗ （ Ｑ 设 ￣ ｏ ） Ｊ
与 ￡ｐ 分别 表示 Ｐ的起 点 和终点 ，（ ） （） ｚ户 表示 Ｐ的长 度． Ｑ 中所有 的路 为基 ， 以 以路 的联结 为乘法 做成 的
同调 群是 比较 困难 的 ， 一些 特 殊 的代 数类 ， 有 限维 遗传 代 数 ， 但 如 关联 （ ｃ ｅｃ） 数 ， ｉ ｉ ｎｅ代 ｎｄ 根方 零 代 数 ， 截
面代 数 ， 些零 关系代 数 等 的上 同调 群 的维数 已被计 算． 某
本文 中考 虑系统箭图 Ｑ 的极 大 ｔｍｅ ａ 表示型代 数 ， 先构 造 了它们 的极小投 射 双模分 解 ， 由此清 晰 首 并
． ．
ｉ 图 系 统 箭 图 示 意 图
了线性 动力 系统 的维数 向量 的一般 分解 这一 ｇ ｎ ｒ 性 质 ． ｅ ｅｉ ｃ 线 性动 力系统 的等 价类 双射地 对应 于 系统箭 图 的有 限 维表 示 的 同构 类 ， 注 意到 系 统箭 图是所 谓 但 的 ｗｉ ｌ 图， ｄ箭 因而 系统箭 图 的表 示 的分 类 问题 是 没有 希 望 的． 而 ， 龙 才 等人 ＿ 运 用 覆 盖 理论 、 点 然 李 ３ ］ 单 扩张 、 退化理 论 、 定 等价等 经典 的代数 表示 论方 法 ， 系统 箭 图所 对 应 的 三点 代 数 的表示 型 进 行 了完 稳 对 全的分 类 ， 到 了极大 ｔｍｅ型系统 箭 图代数 与 极 小 ｗｉ 得 ａ ｌ 系 统箭 图代 数 的列 表． 此之 外 ， 表示 论 ｄ型 除 用 的方法 研究 系统箭 图代 数还 不 多见 ， 文 中将 初 步探 讨 极 大 ｔｍｅ型 系统 箭 图代 数 的 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ 本 ａ ｃ ｓｈｌ 同 ｄ上
然而， 此后 几乎 没 有什 么 文献 用 表示 理论 的方法 讨 论动 力 系统 的相 关
问题． 到 ２ ０ 年 ， 阳用 箭 图 （ ｕｖ ｒ 的表 示 理 论 给 出 任 意 维数 系统 空 直 ０１ 韩 ｑ ｉｅ ）
间中所 有正 规点 的完全 刻 画 ， 明了 Ｔａ ｎ ｎ ａ ｍ 关 于“ 阵具有 极大 秩为 证 ｎ ｅｂ ｕ 矩 正 规性 的必 要条件 ， ， 的猜测 ， 出 系统 空 间 中所 有预 稳 定 点 的描 述 ， 引入 给 并
收稿 日期 ：２ ０ —０ ０ ９ ３—１ ９
作 者 简 介 ： 丹 丹 （ ９ ０ ） 女 ， 士 ， 师 张 １８ 一 ， 硕 讲
湖北 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ３ 卷 ３
地计 算 了它们 的各 阶 Ｈｏｈｃｉ ｃｓｈｌ ｄ上同调群 的维数 ， 而对这类代数 的上同调性质有更进一 步 的理解． 从
以 为 Ａ 的反代 数． 别地 ， Ｍ ＝Ａ时 ， 特 当 我们记 Ｈ 以） （ 一Ｈ”以， ， （ 以） 称为 代数 以 的第 Ｔ次 Ｈｏｈ ｃ ｉ ／ ｃ ｓｈｌ ｄ上
同调 群． ｃ ｓｈｌ 同调 理论 在有 限维代 数 的表 示 理论 中扮 演着 重 要 的 角色 ， 如 ， ｃ ｓｈｌ 同 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｄ上 例 Ｈｏｈ ｃ ｉ ｄ上 调群 与代数 的单 连通 性 、 可分性 质及 形 变 理论 有 重 要 联 系＿ ］ 一 般情 况 下 ， 算 代 数 的 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ＿ ． ５ 。 计 ｃ ｓｈｌ ｄ上
设 Ａ 一 ｋ ／ 极 大 ｔ Ｑ Ｉ是 ａ ｍｅ表 示 型 系 统 箭 图代 数 ， 于 Ｂ ｒｚｌ的 方 法 构 造 了 Ａ 的 极 小 投 射 双 模 基 ａｄ ｅ ｌ
分 解 ， 由此 清 晰 地 计 算 了 ｎ 并 的各 阶 Ｈｏｈ ｃｉ ｃｓｈｌ 同调 群 的 维 数 ． ｄ上 关 键 词 系 统 箭 图 ； 大 ｔｍ 极 ａ ｅ表 示 型 ； 小 投 射 双 模 分 解 ； ｃ ｓｈｌ 同 调 群 极 Ｈｏｈ ｃｉ ｄ上
第３ ３卷第 ２ 期 ２１ ０ １年 ６月
湖北大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｅ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ） ｏ ｒ ａ ｂ ｉ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ｏ Ｓ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ２ Ｉ３ ．
Ｊｎ ｕ ．，２ １ ｏ １
文 章 编 号 ： ０ ０— ３ ５ ２ １ ） ２— ２ ５ ５ １ ０ ２ ７ （ ０ １ ０ ０ ３ —０
系统 箭 图代数 的 Ｈｏｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调 群 ｄ上
张 丹 丹
（ 中科 技 大 学 武 昌分 校 基 础 科 学 部 ， 北 武汉 ４ ０ ６ ） 华 湖 ３ ０４
摘要