(完整版)贝叶斯统计-习题答案)
贝叶斯统计-习题答案)
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
贝叶斯统计习题答案
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
贝叶斯统计习题答案
贝叶斯统计习题答案第⼀章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从⽽有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为⼀卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语⾔求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从⽽有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从⽽有)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1714631636315338533810<<-==-=--=--=----==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<==<<=+<<-==+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝?∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ix e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=?=-?因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知./(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{221221121212121 2122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x n ni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=?=?因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中⼈的⾼度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ∴2由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------∝?∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222222251()()11252()1122525eσθθθσσσ+----+?--+∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++⼜由于21112525σ≤+ 所以θ的后验标准差⼀定⼩于151.11 解：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(7687787321321321433213213321>?====≥=>=====<<=∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ从⽽有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从⽽有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?00111n n n ααααθθθθθ++++∝?∝因此θ的后验分布仍是Pareto 分布。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品
加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x 0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2 x 0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.30.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n1 m x 0p(x| ) [2(1® aG<e<i其它1 d°C ； 3(1)5*2(1 )d1112 3(1 )6d12( X)i …氏 设辱心…血 是栗ri 泊松分布praj 的 个样本swe 匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A 的址验匕们•即―oo < a v +c©的后验分布为192/ 7 6 86 192—87参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M jA服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-1 1.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,)P(X )亠 0 X 0, 其它 因为抽取3个样本，即X (x 1,x 2, x 3)，所以样本联合分布为丄 p(X) 3,0, X i ，X 2,X 3其它又因为 192/ 0, 所以，利用样本信息得 h(X, ) p(X )() 1 ~3 192 ~4 192 (~7 (8,0 X i ,X 2,X 3 )于是 m(X) 8 h(X,)d192 , rdp(x\A) = —Xi—, -OC < XIX/ < +OCh(X,) m(X)21p(x )— ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。
1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.0.000121.12样本联合分布为:(X)6 867~0, (x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1en nxe1,2,3,5,6,7,8,10,11,12 2乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10 〜%(4,11)i ・44E(& x) = 3¥ = -------- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布： p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布0.04, 0.2又已知n=20,t 3.8(|t) P (T| )( )neti1en 1e (t i)即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.0476.20.2631服从倒伽玛分布IGa(n,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t ii 176.2t-E T ( ) E |T (1) ---------- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5 n 36.2.7的先验分布为：()/ 1, 0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x.()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.70.10.54180.1488*0.70.2936*0.30.2936*0.30.20.45820.1488*0.70.2936*0.3p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈==≈+==≈+后验分布：()()()()()1113353680362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ1,0()0,x p x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为12331,0,,()0,x x x p X θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又因为 4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩所以，利用样本信息得1233471192192(,)()() (8,0,,)h X p X x x x θθπθθθθθθ==⋅=≥<< 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为76778(,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθθ+∞⨯===⎰6768,8()0,8X θπθθθ⎧⨯≥⎪=⎨⎪<⎩样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<<1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=L因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。
贝叶斯统计老师划的课后习题
1.1设θ是一批产品的不合格率，已知它不是0.1就是0.2，且其先验分布为π（0.1）=0.7 π（0.2）=0.3.假如从这批产品中随机抽取8个进行检查，发现有两个不合格品。
求θ的后验分布。
解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P （λ），其中λ可取1和1.5中的一个，又设λ的先验分布为π（1）=0.4 π（1.5）=0.6.假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后验分布。
解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ:∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1）θ～u(0,1) (2)θ~π(θ)={10 )1(2else0<<-θθ解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.10 从正态总体N （0，4）中随机抽取容量为100的样本，又设θ的先验分布为正态分布。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳家百创编
习题讲解欧阳家百(2021.03.07)一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为X.1.11由题意设X 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布〃（°&）因为抽取3个样本，即X=（X"2，®）,所以样本联合分布为又因为 所以，利用样本信息得。
的后验分布为1.12样本联合分布为：因此&的后验分布的核为1/严"：仍表现为Pnreto 分布密度函数 的核（0+町年+"/严吧6>0{0, 0<0}即得证O1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2解：由题意，变量t 服从指数分布：〃（4刃=加" 样本联合分布〃们刃="『》192/伊, 6>>40,于是兀（&卜）= 即且八 G/(a.0) = w/ e 0 ,A >0 E (N )= o 2 = i由伽玛分布性质知: 又已知0=20/=3.8工-=20x3.8 = 76 n + a = 20.04,工人+“ = 76.2 I ,所以 j由于伽玛分布是指数分布参数的共轮先验分布，而且后验分布 即后验分布为E© +心+D )= S(20.04,76.2)0 = 2-1 服从倒伽玛分布 /G“(a + n,0+D )= ©(20.04,76.2)2.3可以算出&的后验分布为SZ4),&的后验期望估计的后验方11差为16.2.5 心 36.兀(&)= <2.7 &的先验分布为： 仝 =max{G )，i ，…,耳}0. 0<0.\a + n )e^lx !0a ^\ 0,则&的后验期望估计为：I n+Qj, 畑砂)=—竺泌— 后验方差为： (“ + ― 1)" + — 2).x ~ Gu(—,—),0 〜IGa(a, B) 2.8由 2 2& 可以得出7T (0\x) = <可得后验分布为：0>0}0<0}(1) &的后验分布为:1] x心(_ + 7_ + 0) 即为倒伽玛分布 2 2 P 的核。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x.()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.70.10.54180.1488*0.70.2936*0.30.2936*0.30.20.45820.1488*0.70.2936*0.3p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈==≈+==≈+后验分布：()()()()()1113353680362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ1,0()0,x p x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为12331,0,,()0,x x x p X θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又因为 4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩所以，利用样本信息得1233471192192(,)()() (8,0,,)h X p X x x x θθπθθθθθθ==⋅=≥<< 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为76778(,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθθ+∞⨯===⎰6768,8()0,8X θπθθθ⎧⨯≥⎪=⎨⎪<⎩样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<<1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=L因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。
【样本】贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
【关键字】样本习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.1.61.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为又因为所以，利用样本信息得于是的后验分布为1.12样本联合分布为：因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核即即得证。
1.152、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解：由题意，变量t服从指数分布：样本联合分布且，由伽玛分布性质知：又已知n=20,，所以由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布即后验分布为服从倒伽玛分布2.3可以算出的后验分布为，的后验期望估计的后验方差为.2.5 .2.7的先验分布为：令可得后验分布为：则的后验期望估计为：，后验方差为：.2.8由可以得出（1）的后验分布为：即为倒伽玛分布的核。
所以的后验分布为（2）后验均值为后验方差为（3）样本分布函数为：所以的后验分布为：即为的核。
令即：可得而由公式得因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。
2.10解：已知 设的后验分布为 可得： 由已知得：，所以的95％的可信区间为： 即为. 2.11已知可得2σ的后验分布为211,22n i i n IGa x αλ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑后验均值为：2112ˆ12n ii Ex n λθα=+=+-∑ 后验方差为：()22122121222n i i x Var x n n λσαα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ 变换：令：()220.1211220.9ni i P x n λχασ=⎡⎤⎛⎫+≥+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑可得2σ的0.9可信上限为()2120.122ni i x n λχα=++∑.2.12θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩设θ的1α-可信上限为U θ 则()11Ux d θθπθθα=-⎰带入有：三、10,11,12,13四、1,4,8,9,10,11,12,15,16 4.44.8 购买8件. 4.9对于行动1a ，其收益函数为 对于行动2a ，其收益函数为 从而可得在1a 和2a 处的损失函数：θ服从()2,14Be故采用第一种收费方法对工厂有利.##附R 软件计算定积分程序： int<-function(x){210*x*(1-x)^13};integrate(int,0.1,0.2)$value*10+integrate(int,0.2,1)$value*90; [1] 18.86049integrate(int,0,0.1)$value*60; [1] 27.05742 4.10五、2,3,7,11,18,21,22 5.2(2)(4)()()()22~,12x x N p x θθθπ--=由可得附：用R 软件作图程序：y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2); lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2");legend(locator(1),s,lty=c(1,2,3));5.3()23,.23ln B xx c e cθδ=<-可以求得的贝叶斯估计为 5.7 5.11 5.18(1)1a 与2a 下的先验期望损失为()()12,17.5,,15E L a E L a θθθθ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2a 是最优行动，先验()15EVPI =元.(2){}{}()120,1,2,a a x δ从到上的任一个映射都是该问题的决策函数.()()()()()()(),13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566,1513.8566 1.14342 1.14340.20.9434xx xx EVPI E EL x EVSI EVPI E E L x ENGS EVSI C θθθδθδ⎡⎤'==++=⎣⎦⎡⎤'=-=-=⎣⎦=-=-=后验先验元元5.21 (1)210216b b m m θ-==-(2)(3)由上先验EVPI 中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差τ的减小，用来描述状态θ的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其期望值。
贝叶斯统计第二版第二章答案
（2） 由题意可知且 因此 所以 2.5 解:设，则 令 设，则，且 其中
2.6 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则 （1）由题意可知 a. b. （2）a.
b. （3）由题意可知 a. b. -=-= 2.7 解：由题意可知 令，则 从而有 2.8 解： （1）由题意可知 因此 所以 （2）
（3） 由题意可知第二章 贝 Nhomakorabea斯推断2.1 解：由题意可知 设是从随机变量X中抽取的随机样本，则 从而有 所以
（1） 由题意可知 n=1,x=3 （2） 由题意可知 2.2 解：设X为银行为顾客服务的时间，则 设的先验分布为，则 由题意可知 从而有
因此有 所以有 2.3 解：设X为磁带的缺陷数，则 由题意可知 从而有 因此 2.4 解：设X为n个产品中不合格数，则 由题意可知
完整版贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2x0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.3 0.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n[2(1® a G<e<i其它1m x 0p(x| ) 1d°C ； 3(1 )5 *2(1 )d1 0112 3(1 )6d12i…氏设辱心…血是栗ri泊松分布praj的个样本swe匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A的址验匕们•即―oo < a v+c©的后验分布为192/ 7 6 86192 —8 7参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M j A服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-11.11由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布U(0,)P(X)亠0 X0, 其它因为抽取3个样本，即X (x1,x2, x3)，所以样本联合分布为丄p(X) 3,0, X i，X2, X3其它又因为192/0, 所以，利用样本信息得h(X, ) p(X )() 1~3192~4192 (~7(8,0 X i,X2,X3 )于是 m(X) 8 h(X, )d 192 , rdp(x\A) =——, -OC < XIX/ < +OCh(X,)m(X)( X)21,2,3,5,6,7,8,10,11,121p(x ) — ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。
1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.1.12样本联合分布为:(X)6 867~0,(x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1n nxe0.0001221,2,3,5,6,7,8,10,11,12乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10〜%(4,11)i ・44 E(& x) = 3¥ = ---- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布：p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布又已知n=20,0.04, 0.2t 3.8(|t) P(T| )( )neti1en 1e (ti )即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.04 76.2 0.2631服从倒伽玛分布IGa(n ,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t76.2t-E T ( ) E |T (1) ----- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5n 36.2.7的先验分布为：()/ 1,0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。
【贝叶斯统计答案】第五章
2,3,7,11,18,21,225.2(2)(4)()()()22~,12xx N p x θθθπ--=由可得()()()()()212222222ln ln 1ln 2222ni i x nn x n c n x n c B p X en x ee d E e x c n d x cn c ccx nθθθθθππθπθπ=----⎛⎫+-- ⎪+∞ ⎪⎝⎭-∞∑= ⎪⎝⎭=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦==+++=+⎰样本的似然函数为：后验分布则附：用R 软件作图程序：y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2); lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2"); legend(locator(1),s,lty=c(1,2,3));5.3()23,.23ln B xx c e cθδ=<-可以求得的贝叶斯估计为 5.7()()()()()()()()()()()()()2222225.2:,122112B x eL E x E x E x x d x d eθμδδμπθπθδλθθδλθθθδθλθλθθωθπθθωθπθθωμπ--+∞-∞-∞--==-⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦-+=+⎰⎰后验分布：根据定理在加权平方损失函数下,的贝叶斯估计为：通过计算可得：5.11()()()()()()()()()()()()()()()()()121122,1111111;2102n x x n x x B B Be x n x n E x d x n x n E x d x n x E x x x n a x n E x x a x n βαβαθαβλθθθαβλθθθθθαβαβλθθθθαβλθθαθαβλθαααβα+--+-+--+-++-=-Γ++⎡⎤=-⎣⎦Γ+Γ+-Γ++⎡⎤=-⎣⎦Γ+Γ+-⎡⎤+-⎣⎦≤≤-==++-⎡⎤⎣⎦-==++-≤⎰⎰的后验分布为时,的贝叶斯估计为时,若>1,若0<()()()()()()()()()()()()()()()2111011122212200001112111,000;,n n n n B n a R a x d n n d a d a d n a R a x a x x n βαβββααααβθθθθαβθθαβθθθθθθθθθαβαβ+--+-+-+---Γ++-==-ΓΓ+-Γ++⎡⎤=---+-⎢⎥⎣⎦ΓΓ+≤====⎰⎰⎰⎰1,考虑后验风险0<上式中括号内前两项积分都是有限的,而第三个积分是趋于无穷大的,从而当时,达到最小值,即类似地，时若>()()121.B B n a x n a x ααββ+-=++-≤=1,若0<1,5.18(1)121210075100150a a W θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭支付矩阵1212250050a a L θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭损失矩阵1a 与2a 下的先验期望损失为()()12,17.5,,15E L a E L a θθθθ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2a 是最优行动，先验()15EVPI =元.(2){}{}()120,1,2,a a x δ从到上的任一个映射都是该问题的决策函数. (3)、(4)()()()()21~2,,,00.87475,10.1205,20.00475,i i i x b m x p x m m m θθπθ=====∑边缘概率可得：后验分布为：()21,0,1,2a x x a x δ=⎧'=⎨=⎩()()()()()()(),13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566,1513.8566 1.14342 1.14340.20.9434xx xx EVPI E EL x EVSI EVPI E EL x ENGS EVSI C θθθδθδ⎡⎤'==++=⎣⎦⎡⎤'=-=-=⎣⎦=-=-=后验先验元元5.21 (1)210216b b m m θ-==-()()()()()21221200000~10,4,10,,5,4,10,61,10.08332**0.08332*5*4 1.6664N N N N E m m a t m m D L D L EVPI L D t θθτμθθμττ=>=-====-=======最优行动为 (2)0003**=0.04270*5*3=0.64052**=0.008491*5*2=0.084911**=0.000007145*5*1=0.000035725N N N EVPI L t EVPI L t EVPI L t θμτττθμτττθμτττ⎛-⎫==⎪⎝⎭⎛-⎫== ⎪⎝⎭⎛-⎫== ⎪⎝⎭类似可得，，， (3)由上先验EVPI 中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差τ的减小，用来描述状态θ的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其期望值。
贝叶斯统计第二版第二章答案
第二章 贝叶斯推断2.1 解：由题意可知 ()1,01πθθ=<<设12,,...,n X X X 是从随机变量X 中抽取的随机样本，则11()()(1)nii nx ni i p x p x θθθθ==∑==-∏从而有 ()()1()(1),01nii x nx p x πθθπθθθθ=∑∝∙∝-<<所以 1(1,1)ni i xBe n x θ=++∑（1） 由题意可知 n=1,x=3 ∴(2,4)xBe θ∴21ˆ243Eθ==+ （2） 由题意可知 1233,3,2,5n x x x ====∴(4,11)x Be θ∴44ˆ41115Eθ==+ 2.2 解：设X 为银行为顾客服务的时间，则()x p x e λλλ-=设λ的先验分布为(,)Ga αβ，则20.20.040.21ααβαββ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 由题意可知 3.8x =从而有 ()()()x p x πλλπλ∝∙ ()11111n ni ii i x x nx n n n e e eeλβλλβαλβααλλλλ==⎛⎫⎪-+- ⎪-+--+-+-⎝⎭∑∑∝∙==因此有 (,)(20.04,76.2)xGa n nx Ga λαβ++=所以有 20.04ˆ()0.2676.2E x λλ=== ()()()1110ˆ() 4.0021nnx n nx nx E x e d n n αλβαββθλλλλαα++∞-+--+-++==∙==Γ++-⎰ 2.3 解：设X 为磁带的缺陷数，则()Xp θ∴3133311()()!ii x i i ii e p x p x x θθθθ=-==∑==∏∏由题意可知 ()21,02e θπθθθ-=>从而有 ()()3132104()ii x x p x e e e θθθπθθπθθθθ=---∑∝∙∝= 因此 (11,4)xGa θ11ˆ()()16EMSE Var x θθ== 2.4 解：设X 为n 个产品中不合格数，则(,)X bin n θ由题意可知 ()49(1),01πθθθθ∝-<< （1） 由题意可知(20,)Xbin θ∴317()(1)p x θθθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙31749726(1)(1)(1)θθθθθθ∝-∙-=-因此 (8,27)x Be θ又626725()7(1)26(1)0x πθθθθθ'∝---所以 7ˆ33MDθ= （2） 由题意可知(20,)Xbin θ且()726(1)πθθθ=-∴20()(1)p x θθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙72620746(1)(1)(1)θθθθθ∝-∙-=-因此 (8,47)x Be θ所以 78ˆˆ,5355MD Eθθ== 2.5 解:设2(,2)X N θ，则222σ=令2204nnσσ==设(,1)N u θ，则1τ=，且211(,)xN u θτ其中 2201222200u x u στστστ------=+++2221111τστ=+214ˆ()()0.14E MSE Var x n θθτ===≤+ 2.6 解：设X 为1000名成年人中投赞成票的人数，则(1000,)Xbin θ（1）由题意可知 7107102901000(710)(1),01p C θθθθ=-<<a.()()710290711290710(710)(1)(1)A p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(712,291)Be θb.()()7102903713290710(710)(1)(1)B p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(714,291)Be θ（2）a.712ˆ(710)0.7098712291EE θθ===+b. 714ˆ(710)0.7104714291EE θθ===+ （3）由题意可知10001000()(1),01xx x p x C θθθθ-=-<<a.()()100011000()(1)(1)x x x x A x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(2,1001)xBe x x θ+-∴2ˆ()1003EAx E x θθ+== b.()()1000331000()(1)(1)x x x x B x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(4,1001)xBe x x θ+-∴4ˆ()1005EBx E x θθ+==∴ˆEA θ-ˆEB θ=21003x +-41005x +=2.7 解：由题意可知 1(),0p x x θθθ=<<1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ∴=<<=令{}1012max ,,,...,n x x x θθ=，则()101()()()n m x p x d n ααθαθθπθθαθ+∞+=∙=+⎰从而有 ()()111()(),()n n p x n x m x ααθπθαθπθθθθ++++==>11111()1ˆ()(1)n E n n n E x d n αααθαθθθθθθαθ++∞+++-+===+-⎰ 1221121()1()(2)n n n n E x d n αααθαθθθθθαθ++∞+++-+==+-⎰22222(1)1111ˆ()()()()(2)(1)En n MSE Var x E x E x n n ααθθθθαθαθ+-+-==-=-+-+- 2.8 解：（1）由题意可知 21221()2n x n p x x e θθθ--⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()(1)e βαθπθθ--+∝因此 ()221(1)(1)22212xnx nn x x e e eββααθθθπθθθθ+-----++-+⎛⎫∝∝ ⎪⎝⎭所以 (,)22n xx IGa θαβ++（2）222()1222x Var x n n βθαα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()12x E x nβθα+=+-（3） 由题意可知 2221()n nx p x eθθθ-⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()22(1)2nx n x eβαθπθθ+--++∝2(,)22n nx xIGa θαβ∴++22ˆ12MDnx n βθα+∴=++ 22ˆ12E nxn βθα+=+-。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案培训讲学
贝叶斯统计前诗松版大部分课后习题答案习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X.p{x\e = 0.1) = C ；* 0.12 * 0.96 « 0.1488 p{x\O = 0.2) = C ； *0.22 *0.86 « 0.2936 后验分布：11 / g \(x) = j p (x\e )7i (e )do = J 0\\-o )5den cA 彳丿心）= /^尹）=504心）「<°<]O<0<1其它=£ p (x | o )7t[oye=£ c^(i-oy * 2(i - o )do=J ；ii2 夕(i —&)%&=£ 龙(即)_84o/(i&)G ,O <<9<1' 7m(x)1.6龙(0 = 0・1卜)=0.1488*0.70.1488*0.7 + 0.2936*0.3 a 0.5418 ^•(<9 = 0.2 |x) = 0.2936*030.1488*0.7 + 0.2936*0.3 « 0.45821.3⑴兀（兀）=]介0<0<1苴它检验8个产品力• 3个不合格77710 0(2)证明：iiLYl.X?…助 是来门泊松分布尸(久)的•个样木观察值C 此样木的似然函数为:现取伽玛分布Ga(a^)作为泊松分布J5jfiU 的先验分布，即旳=鬆几3几＜+°°参数几的后验分俗为兀(久X )X p(x | A)TT(A) GC A 服从伽坞分布Ga (工F + Q 少+ “)r=lMl 由题意设x 表示等候汽车的时间，贝IJ 其服从均匀分布"(09)因为抽取3个样本，即X=3心应)，所以样本联合分布为所以，利用样本信息得1 [92 io?h(X^)= p(X \0)^0)= — — = —(恥&0 <心兀,兀<&) 于是加(x )= J ； °的后验分布为pg 几)=話曲°次・—00 < XI,…,< +00y Xi^a-i1=1丘-(0+")几P W =I ， O<X<00, 其它p(X) = ” '0<x p x 2,x 3 <0其它又因为龙(&) =192/护, 0.<9>4 <9<41.12样本联合分布为:龙(&卜)oc P (xI&)%(&) = a 琉 / 严皿1 oc 1 / 严出,& > q = max {q 片…,x n }因此&的后验分布的核为l/r +n+1.仍表现为Pmeto 分布密度函数的核即得证。
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为X./?(x|^ = 0.1) = =C； * 0.12 *0.96« 0.1488p(x\0 = 0.2) = Cl *0.22*0.86 q 0.2936后验分布：兀（创兀）二"⑺“丫叭二504牡1-0）' 0V&V1加（x）⑵兀（X）二[2(1—°),I 0,0v8 <1zr (& = 0・1卜)：0.1488*0.7 nC/11Q = --------------------------------- « 0.5418 0.1488*0.7+0.2936*0.3^•(<9 = 0.2%)0 2936*0 3- •- «0.4582 0.1488*0.7 + 0.2936*0.31.3⑴兀（％）二乙0<£?<1苴它 *：检验s个产品有3个不介恪1 1 /g\〃心)=J p(x^)7t(6)dO =|0 0 2丿1少(1-8)也二『56 少(1-0)5刖二- o 9w(x) = £p(x10)7r(e)d0 = £C S V\1-^)5 *2(1 —= £ 112<9\l-/9)%/6> = 4() ) "1兀()=川屮)=8400(1 一&)l0 v & v 1证明：设M.r …為 足来「I 泊松分九尸(久)的 个样木观察优•此样木的似然函数为:现取伽吗分布Ga(a.fi)作为泊松分布均他几的先验分布•叩兀(几)=—-00 < Z < +00 r (a) ^参数;I 的后验分布为 兀(几卜)0Cn、2+Cf-1p(x | A)^(A) oc A1-1服从仙网分布Gd(f W +匕0 + 71)i-1由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布t/(0")1 nW = {&'o,因为抽取3个样本，即X =3,2*3)，所以样本联合分布为所以，利用样本信息得1 io? 192/7(x, 0)= p (x =—~ = —(e>&o VX"N3<&)°的后验分布为.YC —X 〃<+000-(0+町几0<x<0其它又因为丄 “(X)十0, 0< x p x 2,x 3 < 0其它兀(&)=192/少,6>>4 0,6><4于是加(x )=厂i ( x, ewe=厂o<o.兀(&\x) g "(x|&)/r(&) = a 卑 / 严+曲 cc 1 / /+T, 0 > q = max 偲川，…,£ 因此&的后验分布的核为1/少刊=仍表现为Pareto 分布密度函数的核即得证。
贝叶斯统计第二版第三章答案
第三章 先验分布的确定3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7 3.6 （1）由题意可知因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。
（2）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。
（3）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。
3.8 解：（1）由题意可知设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（2）由题意可知 设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则1,11()20x p x θθθ⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩ 其他2221111()1p x x x βθπβπββ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2111x x ϕβπβ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()x p x θϕββ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1000(),a a x p x x x x x θ-+⎛⎫=> ⎪⎝⎭()100a x x a x x ϕ-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0001(),x p x x x x x θϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭()!x e p x x θθθ-=()11111ln ()lnln ln !!nii x n nnn i i i ni i i ii e l x p x x n x x θθθθθθ=-====∑===--∑∏∏∏11n i i l x n θθ=∂=-∂∑22211n i i l x θθ=∂=-∂∑22211()nx x i i l nI E E x θθθθθθ=⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦∑()πθ=()(1)x xn xn p x C θθθ-=-()21111ln ()ln ln ()ln(1)i n n n nx i ni i i i i i l x p x C x n x θθθθ======++--∑∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（3）由题意可知 1()(1)x m x x m p x C θθθ+-=- 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()1111ln ()ln ln ln(1)ii nnnx i x m i i i i l x p x Cnm x θθθθ+-=====++-∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（4）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于α求一阶导、二阶导得(5)设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则21111ni n i i i n x l x θθθ==-∂=-∂-∑∑()221222111nini i i n x l x θθθ==-∂=--∂-∑∑()222122211()(1)1ni nx x i i i n x l n I E E x θθθθθθθθ==⎡⎤-⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑()πθ=111n i i l nm x θθθ=∂=-∂-∑()212221n i i x l nm θθθ=∂=--∂-∑()212222()(1)1ni x x i x l nm nm I E E θθθθθθθθ=⎡⎤⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑()πθ=1()ln ln ()nii l n n x αλαα='∂Γ=-+∂Γ∑()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γ()1(),0xp x x e x ααλλαα--=>Γ()()()()()()()()()()2222()x x l I E E n n αααααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂=-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦()πα=,0xe x λ->()()()111ln ()ln ln 1ln n n ni i i i i i l x p x n n x x λθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求一阶导、二阶导得（6）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111,ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αλθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求导得令(),θαλ=，则3.9 证明：由题意可知 ()()ln i i i i i l x p x θθ=()i i πθ=1nii l n x αλλ=∂=-∂∑222l n αλλ∂=-∂2222()x x l n n I E E λλααλλλλ⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()πλ=222l n αλλ∂=-∂()()()()()()()()()()()22222det 1nn n I nn αααααααααλθαλααλλ''''ΓΓ-ΓΓ-⎡⎤''''ΓΓ-ΓΓΓ==-⎢⎥Γ⎣⎦-()1(,),0xp x x e x ααλλαλα--=>Γ()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γl n αλλ∂=∂∂()()()()()()()()()()2222l E E n n ααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦2222l n n E E ααλλλ⎡⎤∂⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()l n E αλλ∂-=-∂∂()2n πθα⎡=⎢()()22i i i i l x I E θθθ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭由于各i X 独立，因此有()()1211(,,...,)ln ln kkk i i i i i i i i l x x x p x p x θθθ====∑∏由上式可得出因此有 ()()1d e t ki i I I θθ==∏所以3.10 解: 由题意可知 ()0.0120.01,0e θπθθθ--=>因此有 所以有3.11解：由题意可知所以有 ()(,)()h x p x θθπθ= 进而有()()2222i i i i i l x l x θθθθ∂∂=∂∂()20i i j l x θθθ∂=∂∂()()()()11det k k kiii i I I πθθθπθ======∏∏()0.010.01123(,)()e0.010.01e,0x xh x p x e x θθθθθπθθθθθ+------===>>0.010.010.01300111()0.01eee 0.010.01x x x xx x m x d x x θθθθθθ+++----⎡⎤==+=⎢⎥++⎣⎦⎰121211(,,...,,,...,)()!iix n ni n n i i i i i e p x x x p x x θθθθθθ-====∏∏()()()11112111,,...,()niii n nnnn i i i n i i i e eαααβθβθαββπθθθπθθθαα=----===∑⎛⎫=== ⎪ΓΓ⎝⎭∏∏∏()12121212(0,)()(,,...,,,...,),,...,...n n n nm x p x x x d d d θθθπθθθθθθ+∞=⎰。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
1.13 解：由题意可知()()213316451ααβααββαβαβ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+++⎩ 1.15 解：（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知 由题意可知.0,)()|,,(),,|(.0,)()(.,2,1,0,)|()|,,()(121211112111>∑∝•∝>Γ==>∑===+--+---=-===∏∏λλλπλλπλλαβλπλλλλλβαβλααλλni i ni iix n n n i x nni x ni i n ex x x p x x x e n i x eex p x x x p所以(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。