简谐振动的动力学特征.
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相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
12
例1
一弹簧振子，t＝0 时，
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
13
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
解： x cos(0t )
m
x 2 x 0 （1）
2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0
的形式，且其中
0决
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
3
2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
11
相位差：两振动相位之差 (1 2 ) 。
讨论：
（1）若(1 2 ) 2k 是2 的整数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) k 是 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 2 ) 0，则称 1 超前 2 ； （4）若 2 (1 2 ) ，则称 1 落后 2 ；
A1cos0t cos1 sin0t sin1 A2cos0t cos2 sin0t sin2
A1 cos1 A2 cos2 cos0t A1 sin1 A2 sin2 sin0t
令：
Acos A1 cos1 A2 cos2
0
t
2
Asin0t
a x A02 cos0t A02 cos0t
t=0时A，为矢一量长度与不坐变标的轴矢的量夹，角为A的始，点矢在量坐A标以轴角的速原度点处0 ，逆记时时针起匀点速
转动。
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度 和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动 的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐 标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的 矢量表示法。
18
例1 （1）一简谐振动的运动规律为 x 4cos8t / 4 ，若计时起
点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
28
二、同方向不同频率简谐振动的合成
若：两振动的周期之比：T1 T2 n m，n ，m 有最小公倍数，则：二
振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。
若：周期之比 T1 T2 不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周
期性。
为了简单方便，设： x1 Acos10 t , x2 Acos20 t
16
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
Acos
0t
2
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：A
的投影：
2 0
，在
x
轴上
02 Acos0t
17
§9.1 简谐振动的动力学特征
一. 基本概念
1. 平衡位置 质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平 衡位置。
2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移） 成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。
公式：f x kx , k 0, x是相对于平衡位置的位移。
3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
振动
1
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子 如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k 2 ，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 x（例：长度，角度，电量等）的变化规 律满足方程⑴式，且常量 0 决定于系统本身的性质，则
该物理量作简谐振动。 判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
6
§9.2 简谐振动的运动学
Asin A1 sin1 A2 sin2
26
则：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
因此，
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t （1）
2
令：
A调
2Acos (20
10 ) t＝2Acos
2
调
t
调
20
10
2
则⑵式就成为：
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
30
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
⑶式可以看作：振幅按照 A调 缓慢变化的，而圆频率等于
的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。
（2）一简谐振动的运动学方程为 x 8sin3t ， 若计时起点推
迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的
位置。
19
20
21
22
§9.3 简谐振动的能量转换
简谐振动系统的总机械能守恒。
由弹簧振子系统： x Acos0t
则：
x x1 x2 Acos10 t Acos20 t
2Acos (20 10 ) t cos (20 10 ) t
2
2
（2）
29
假如： 20 10 20 10
则： cos (20 10 ) t
2
的周期远大于
cos (20 10 ) t 的周期。
4
3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴 垂直纸面向外，Mz mga sin I ， 很小时： sin ，故：
因此，
mga 0
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
27
讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。
不论 A调(t ) 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
拍 20 10
32
拍 20 10
因此，
调（拍）
20 10
2
2
2
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移1。4
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相
(20
10
2
)
令：
A平
(10
20
2
)
A调＝ 20
10
2
⑶式就成为：
x A调 cos平t
平均圆频率 调制圆频率
（3）’
31
x A调 cos平t
（3）’
（3）’式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振 幅作缓慢的周期变化。
拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时， 合振动振幅周期变化的现象叫拍。
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2 个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
8
3. 振幅 定义：物体离开平衡位置的最大位移。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
A
A0
10
若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0x ，则⑶式有：
本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动 的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
v＝x －A0 sin 0t
Ek
1 2
mv 2＝1 2
mA
2
2 0
sin
2 0t
而
2 0
k
/
m
因此，
Ek
1 2
kA2
sin
2 0t
,
Ep
1 2
kx 2
1 2
kAcos2 0t
故，弹簧振子的总能为：E Ek E p
由此可见：动能和势能互相转化。
ˆ : mg sin
ma
m dv dt
ml
d
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
l
nˆ
若 很小，则近似：sin ,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
（1）若相位差 (2 1) 2n ，即同相位，则：A A1 A2 ，振
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2 之间。
同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
23
例
若单摆的振幅为
0
，试证明悬线所受的最大拉力等于
mg
(1
2 0
)
24
25
§9.4 简谐振动的合成
一、同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：
合位移：
x1 A1 cos0t 1 x2 A2 cos0t 2
x x1 x2 A1 cos0t 1 A2 cos0t 2
12
例1
一弹簧振子，t＝0 时，
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
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例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
解： x cos(0t )
m
x 2 x 0 （1）
2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0
的形式，且其中
0决
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
3
2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
11
相位差：两振动相位之差 (1 2 ) 。
讨论：
（1）若(1 2 ) 2k 是2 的整数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) k 是 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 2 ) 0，则称 1 超前 2 ； （4）若 2 (1 2 ) ，则称 1 落后 2 ；
A1cos0t cos1 sin0t sin1 A2cos0t cos2 sin0t sin2
A1 cos1 A2 cos2 cos0t A1 sin1 A2 sin2 sin0t
令：
Acos A1 cos1 A2 cos2
0
t
2
Asin0t
a x A02 cos0t A02 cos0t
t=0时A，为矢一量长度与不坐变标的轴矢的量夹，角为A的始，点矢在量坐A标以轴角的速原度点处0 ，逆记时时针起匀点速
转动。
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度 和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动 的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐 标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的 矢量表示法。
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例1 （1）一简谐振动的运动规律为 x 4cos8t / 4 ，若计时起
点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
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二、同方向不同频率简谐振动的合成
若：两振动的周期之比：T1 T2 n m，n ，m 有最小公倍数，则：二
振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。
若：周期之比 T1 T2 不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周
期性。
为了简单方便，设： x1 Acos10 t , x2 Acos20 t
16
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
Acos
0t
2
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：A
的投影：
2 0
，在
x
轴上
02 Acos0t
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§9.1 简谐振动的动力学特征
一. 基本概念
1. 平衡位置 质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平 衡位置。
2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移） 成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。
公式：f x kx , k 0, x是相对于平衡位置的位移。
3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
振动
1
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子 如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k 2 ，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 x（例：长度，角度，电量等）的变化规 律满足方程⑴式，且常量 0 决定于系统本身的性质，则
该物理量作简谐振动。 判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
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§9.2 简谐振动的运动学
Asin A1 sin1 A2 sin2
26
则：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
因此，
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t （1）
2
令：
A调
2Acos (20
10 ) t＝2Acos
2
调
t
调
20
10
2
则⑵式就成为：
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
30
x
A调
cos
(20
10
2
)
t
（3）
⑶式可以看作：振幅按照 A调 缓慢变化的，而圆频率等于
的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。
（2）一简谐振动的运动学方程为 x 8sin3t ， 若计时起点推
迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的
位置。
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20
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22
§9.3 简谐振动的能量转换
简谐振动系统的总机械能守恒。
由弹簧振子系统： x Acos0t
则：
x x1 x2 Acos10 t Acos20 t
2Acos (20 10 ) t cos (20 10 ) t
2
2
（2）
29
假如： 20 10 20 10
则： cos (20 10 ) t
2
的周期远大于
cos (20 10 ) t 的周期。
4
3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴 垂直纸面向外，Mz mga sin I ， 很小时： sin ，故：
因此，
mga 0
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
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讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。
不论 A调(t ) 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
拍 20 10
32
拍 20 10
因此，
调（拍）
20 10
2
2
2
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移1。4
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相
(20
10
2
)
令：
A平
(10
20
2
)
A调＝ 20
10
2
⑶式就成为：
x A调 cos平t
平均圆频率 调制圆频率
（3）’
31
x A调 cos平t
（3）’
（3）’式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振 幅作缓慢的周期变化。
拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时， 合振动振幅周期变化的现象叫拍。
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2 个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
8
3. 振幅 定义：物体离开平衡位置的最大位移。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
A
A0
10
若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0x ，则⑶式有：
本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动 的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
v＝x －A0 sin 0t
Ek
1 2
mv 2＝1 2
mA
2
2 0
sin
2 0t
而
2 0
k
/
m
因此，
Ek
1 2
kA2
sin
2 0t
,
Ep
1 2
kx 2
1 2
kAcos2 0t
故，弹簧振子的总能为：E Ek E p
由此可见：动能和势能互相转化。
ˆ : mg sin
ma
m dv dt
ml
d
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
l
nˆ
若 很小，则近似：sin ,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
（1）若相位差 (2 1) 2n ，即同相位，则：A A1 A2 ，振
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2 之间。
同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
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四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
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例
若单摆的振幅为
0
，试证明悬线所受的最大拉力等于
mg
(1
2 0
)
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§9.4 简谐振动的合成
一、同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：
合位移：
x1 A1 cos0t 1 x2 A2 cos0t 2
x x1 x2 A1 cos0t 1 A2 cos0t 2