平均场解

平均场解
¾Bragg-Williams 近似 ¾朗道的平均场理论 ¾朗道— 金兹堡哈密顿量
统计物理中的关于临界现象的模型有很多, 最基本的有两个, 一个是伊辛模型,
另一个是 S 4 模型(朗道—金兹堡哈密顿量). 前者自旋变量是分立的, 后者是连续的.
前者的解通常在实空间中进行, 后者在动量空间中进行. 后者是用重整化群研究 临界现象的出发点.
F = ⎩⎨⎧FF00−, a2 /(4b),
t>0 t<0
自由能与序参量的关系的示意图如下
临界温度以上, 自由能极小值点在 m = 0 处
F
大小为 F0
t>0
临界温度以上, 自由能极小值点在
F0
m = ± − a0t / b m 自由能大小为
t<0 F0 − a2 /(4b)
F0 − a2 /(4b)
因为
H = −J (N++ + N−− − N+− ) − μB(N+ − N− )
再考虑到上面的关系式得到
H
(
N+
,
N++
)
=
−
J
(1 2
qN
−
2qN
+
+
4N
++
)
−
μB(2N
+
−
N
)
对于特定的 N+ , N++ , 可以有很多构形, 令 g(N+ , N++ ) 为这些构形的数目(简并
度). 这样, 配分函数就可以写为
Bragg-Williams 近似
考虑一个一般的自旋点阵, 可以是二维的, 也可以是三维的, 可以是简立方格子, 也 可以是三角格子. 只考虑最近邻相互作用, 哈密顿为
H = −J ∑σiσ j − μB∑σi
<i, j>
i
它的配分函数为 Z = ∑ ∑L∑exp[βJ ∑σiσ j + βμB∑σi ]
/
3
得到 L ≈ (3βC μB)1/3 ∝ B1/3
这里我们得到另一个临界指数:
L(B) |T =TC ∝ B1/δ , δ = 3
(3)居里—外斯定律
当温度大于临界温度, 而磁场又很小时, 这时应该有 L << 1 , 于是有
这样我们得到:
βqJ L + βμB = 1 ln1+ L ≈ L
2 1− L
− ln2 T > TC β
因为
d2 dL2
(
F N
)
=
qJ
−
β
1 (1−
L2 )
,而
(4) 温度小于临界温度时, 自由能密度
曲线一定如图中橙色实线所示, 有两
个极小值点. 一个极小值点. 不能象
黑色虚线那样.
β > βC ,
d2 dL2
(F N
)
|L=0 =
qJ
−
1
β
<
0.
平均场解
作图求解的结果为:
β
由上面的式子可以看出, 处于不同的 L 相对几率由自由能决定. 两个极小与之间
的极大的自由能之差是个宏观量, 这使得系统无法通过热力学涨落历经两个极小 值对应的态, 而只能在其中之一附近变化. 这样, 系统的对称性就破缺了.
临界行为 (1)序参量与温度的关系.
β
>
βC
=
1 qJ
L = tanh(βqJ L)
σN
σ = σ1 = L = tanh(βqJσ + βμB)
和书中(6.2.26)式一样.
朗道的连续相变理论
汪志诚的<<热力学.统计物理学>>
我们以磁性相变为例子, 来介绍这个理论. 朗道提出了序参量的概念, 认为连续 相变是物质有序程度的改变以及与之相伴的物质对称性的变化. 在临界温度以下 的相, 对称性较低, 有序程度较高, 序参量不为零;在临界温度以上的相, 对称性较 高, 有序程度较低, 序参量为零. 随着温度的降低, 序参量连续地从零变到有限.
qJ kT
TC T
我们考虑 T ~ TC ,所以有
L ≈ ± 3(TC −1) = ± 3(TC − T ) ≈ ± 3(TC − T ) = ± − 3t
T
T
TC
这里约化温度定义为此
t = T − TC TC
这里得到一个临界指数: L(T ) |B=0∝ (−t)β , β = 1/ 2
(2)序参量与磁场的关系
它的自由能为 磁化强度为
σ1 σ2 σ N
F = −kT ln Z , 内能为
<i, j>
i
U
=
−∂
∂β
ln Z ,
比热为
M
(B,T )
=
μ∑σi
i
=
(−
∂H ∂B
)
=
1
β
(∂ ln Z ∂B
)
C = ∂U ∂T
为了研究每个构形的能量, 我们引入:
N+ (N− ) , 自旋向上(向下)的格点数. N++ ,自旋都 向上的最近邻对数. N+− ,自旋相反的最近邻对数.
L ≈ μ 1 B 磁化率为
k T − TC
χ
=
(
∂M ∂B
)T
~
T
1 − TC
为什么叫平均场解?
σ iσ i+η ≈ σ iσ + σσ i+η
考察第i个自旋所受相互作用
其中 σ i+η 是第i 个自旋的最近邻的自旋, 如果把这些最近邻的自旋用它们的
平均值 来代替, 就得到
HiMF = −Jqσσi − μBσi = −μ(B + B')σi , B'= Jqσ / μ
临界温度附近, 有 L ~ 0, 这样我们就可以把上面的方程展开为
L
=
tanh(βqJ
L)
≈
2[βqJ L + (βqJ L)3 / 2[1+ (βqJ L)2 / 2]
6]
=
βqJ
L(1 1
+ +
(βqJ (βqJ
L)2 L)2
/ /
6) 2
可以得到
L2 ≈ 3(kT )2 (qJ −1) = 3( T )2 (TC −1)
β
<
βC
=
1 qJ
时,
L=0
β
>
βC
=
1 qJ
时,
L
=
± {
L
0
0
关于临界温度以下的三个解, 可用自由能的大小来判断取舍. 又前面的讨论可知,
温度低于临界温度时, 非零解为自由能极小的解. 这时, 系统有自发磁化, 至于磁场
取正值, 还是负值, 和初始条件有关.
自由能的多个极小值点与对称破缺 温度低于临界温度时, 系统的自由能有两个
可以证明 N+ + N− = N qN+ = 2N++ + N+−
每个自旋为正的格点都伸出四根棒. qN+ = 2N++ + N+−
四方格子最近邻数为
q=4
(6.2.8)式
五个量中只有两个是独立的, 容易得到:
N− = N − N+;
N+− = qN+ − 2N++ ;
N−−
=
1 2
N
−
qN+
+
N++;
当温度等于临界温度时,
β
= βC
=
1 qJ
有
L = tanh(L + βμB)
磁场很小时, 序参量也很小, 即 B ~ 0, L ~ 0.
这样, 方程就可以展开为
L
=
tanh(L
+
βμB)
≈
[(L
+
βμB)
1+ (L
+ +
(L + βμB)3 βμB)2 / 2
/
6]
=
(L
+
βμB)
−
(
L
+
βμB)3
考虑有一个易磁化轴的各向异性的铁磁体(伊辛模型).
m
T > TC 时, 系统为顺磁态, 没有自发磁化.
TC T
T < TC 时, 系统为铁磁态, 有自发磁化. 系统随机
取正负的符号.
朗道认为, 在临界温度附近, 序参量是个小量, 系统 的自由能可以用它来展开
假设
a(T
)
=
a0
(T
− Tc Tc
)
=
a0t
方程有一个解, 当它大于1时, 有三个解.
蓝色实线:
β
>
βC
=
1 qJ
时的
f (L) = tanh(βqJ L)
红色实线:
β
<
βC
=
1 qJ
时的
f (L) = tanh(βqJ L)
Leabharlann Baidu
自由能的定性特征
自由能密度为
F N
=
−
1
βN
ln Q( L)
=
− 1 qJL2 2
+
1+ L
2β
ln
1+ L 2
+
1− L
F/N
极小值点 (如图中橙色线所示), 但系统只能 处于其中的一个极小值点附近.
L Z = ∑ g(L)exp[−βH (L)]
− qJ
T < TC
= ∑ exp[−βH (L) + ln g(L)]
2
= ∑ exp{−β[H (L) −TS(L)]}
− ln2 T > TC
= ∑ exp[−βF(L)]
N+ N
−1,
( −1 ≤ L ≤ 1)
可以得到系统的哈密顿量近似为
H
(N
+
,
N
++
)
≈
H
(
N
+
)
=
H
(
L)
=
−
1 2
qNJL2
−
μBNL
由于假定对于相同的 N+ , 系统有相同的能量, 所以对应的构形数(简并度)为
g(N+,
N++
)
≈
g(N+
)
=
g(L)
=
N! N+!(N −
N+
)!
=
[1
N (1+
∑ 这样, 体系的哈密顿量就可以写为 H MF = −μ(B + B') σi
i
这个近似的哈密顿量是个单体的哈密顿量的简单求和, 相互作用收到有效的平均
场(外斯的分子场)中了, 这个场的大小并不知道, 需要自恰地求解. 平均场的配分
函数为 Z = ∑ ∑L∑exp[βμ (B + B')σi ] = 2N cosh N βμ (B + B')
,
F(m) = F0(T) a0 > 0 和
+ 1 a(T)m2 + 1b(T)m4
2
4
b(T ) = b = 常数
平衡态时, 系统的自由能具有极小值, 应有
∂F = am+bm3 = 0, ∂m
∂2F ∂m2
=
a
+
3bm2
>
0
解得:
m
=
⎧ 0, ⎩⎨±
−
a0t
/
b
,
t >0 t<0
自由能极小值点的自由能大小为
tanh(βqJ L) = { 1,
−1,
L > 0 图中的绿色实线. L<0
1
黑色虚线: f (L) = L
−1 −1
TC
=
qJ k
1
L 注意两点: (1) 对有限温度, tanh(βqJ L) |L=1< 1 tanh(βqJ L) |L=−1> −1
(2) L = 0 时 tanh(βqJ L) 的斜率为 βqJ , 当它小于1时
σ1 σ2 σ N
自旋的平均值为
∑σ 1exp[μ(B + B')σ 1]∑exp[μ(B + B')σ 2]L∑exp[μ(B + B')σ N]
∑ ∑ ∑ σ 1 = σ1
σ2
σN
exp[μ(B + B')σ 1] exp[μ(B + B')σ 2]L exp[μ(B + B')σ N]
σ1
σ2
2β
ln1− L 2
在极值点自由能密度为
F = 1 qJ L2 + 1 ln1− L2
N2
2β 4
注意到这几点: (1) L = ±1,
F = − qJ N2
F/N
(2) L = 0,
F N
=
−
ln 2
β
L
(3) 温度大于临界温度时, 自由能密度
− qJ
T < TC
2
曲线一定如图中绿色实线所示, 只有 一个极小值点.
把这个图与前面的伊辛模型的平均场解的自由能的图进行一下比较.
伊辛模型的平均场解为
F = − 1 qJL2 + 1+ L ln1+ L + 1− L ln1− L
N2
2β 2 2β 2
在临界温度附近, 序参量很小, 我们把上式在 L = 0 附近进行展开,
F ≈ − 1 ln 2 − 1 qJL2 + 1 L2 + 1 L4 = − 1 ln 2 + 1 (1− βqJ )L2 + 1 L4
∑ Z = ' g(N+ , N++ ) exp[−βH (N+ , N++ )] (6.2.13)式
N+ ,N++
Bragg-Williams 假设
N++
=
1 2
qN+
N+ N
，或者
N++ 1 qN 2
=
(N+ )2 N (6.2.19)式
再引入长程序参量
∑ L = 1
N
i
σi
=
N+
− N
N−
=
2
L=−1
∑ L = 1
N
i
σi
=
N+
− N
N−
=
2
N+ N
−1
有N+1项, 所以
+1
∑ Qmax (L) ≤ Q(L) ≤ (N +1)Qmax (L) L=−1
可以得到
∑ 1
N
ln Qmax (L)
≤
1 N
+1
ln Q(L)
L=−1
≤
1 N
ln[(N
+1)Qmax (L)]
+1
+1
Z = ∑ g(L)exp[−βH (L)] = ∑ Q(L)
L=−1
L=−1
g(L)
=
[1
N
(1 +
N! L)]![1
N
(1 −
L)]!
2
2
H (L) = − 1 qNJL2 − μBNL
2
Q(L) = g(L)exp[−βH (L)]
lnQ(L) = ln N!− ln[1 N (1+ L)]!−ln[1 N (1− L)]!+β (1 qNJL2 + μBNL)
N! L)]![1
N (1−
L)]!
这样, 配分函数就可以写为
2
2
+1
+1
Z = ∑ g(L)exp[−βH (L)] = ∑ Q(L)
L=−1
L=−1
配分函数对数与自由能有关, 所以我们研究
lim
N →∞
1 N
ln Z
=
1 N
ln Qmax (L)
(6.2.24)式
这个关系式证明如下,
+1
∑ Q(L) 中
2
2
2
令 L 为 lnQ(L) 的极大点的 L 值, 利用斯特令公式, 则有
ln1+ L = 2βqJ L + 2βμB
1− L
又可以写为
L = tanh(βqJ L + βμB) (6.2.26)式
自由能密度为
F = − 1 lnQ(L) = − 1 qJL2 + 1+ L ln1+ L + 1− L ln1− L
N βN
2
2β 2 2β 2
在极值点自由能密度为
F = 1 qJ L2 + 1 ln1− L2
N2
2β 4
自由能的极值点
先讨论磁场为零的情况, L = tanh(βqJ L) , 这个方程可以用图解法来解.
容易看出:
β = 0,
f (L)
tanh(βqJ L) = 0 , 而图中的橙色实线.
β = ∞,