高中数学必修五不等式讲义

高中数学必修五不等式讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN不等式讲义目录一、不等式的基本性质...................................................... 错误!未定义书签。

二、重要不等式............................................................ 错误!未定义书签。

三、例题展示.............................................................. 错误!未定义书签。

比较法 .............................................................. 错误!未定义书签。

分析法 .............................................................. 错误!未定义书签。

1. 凑项.......................................................... 错误!未定义书签。

2. 凑系数........................................................ 错误!未定义书签。

3. 凑完全平方式.................................................. 错误!未定义书签。

4. 分离.......................................................... 错误!未定义书签。

代换................................................................ 错误!未定义书签。

1. 消元.......................................................... 错误!未定义书签。

2. 整体代换（“1”的代换）....................................... 错误!未定义书签。

3. 判别式法（万能K法）.......................................... 错误!未定义书签。

4. 局部代换（换元）.............................................. 错误!未定义书签。

5. 三角代换...................................................... 错误!未定义书签。

6. 均值代换、比值代换............................................ 错误!未定义书签。

构造................................................................ 错误!未定义书签。

1. 形式构造...................................................... 错误!未定义书签。

2. 对偶式构造.................................................... 错误!未定义书签。

3. 函数构造...................................................... 错误!未定义书签。

4. 数形结合...................................................... 错误!未定义书签。

待定系数法 .......................................................... 错误!未定义书签。

1. 均值不等式添加参数............................................ 错误!未定义书签。

2. 柯西不等式添加参数............................................ 错误!未定义书签。

切割线放缩 .......................................................... 错误!未定义书签。

导数................................................................ 错误!未定义书签。

四、综合练习.............................................................. 错误!未定义书签。

五、练习题................................................................ 错误!未定义书签。

- 2 -一、不等式的基本性质（1）对称性：a >a ?a <a ；（2）传递性：a >a ，a >a ?a >a ；（3）可加性：a >a ，a ∈a ?a +a >a +a ； （4）加法法则：a >a ，a >a ?a +a >a +a ；（5）可乘性：a >a ，a >0?aa >aa ；a >a，a <0?aa <aa ； （6）乘法法则：a >a >0，a >a >0?aa >aa ； （7）乘方法则：a >a >0?a a >a a （a ∈a ∗，且a >1）； （8）开方法则：a >a >0?√a a>√a a（a ∈a ∗，且a >1）；（9）倒数法则：110a b a b>>⇒<； （10）有关分数的性质：若 a >a >0，a >0，则①真分数的性质：b b m a a m +<+；b b m a a m ->-； ②假分数的性质：a a mb b m +>+；a a m b b m-<-； （11）**不等式的对称性（了解）设a (a 1,a 2,???,a a )是一个n 元函数. 若将a 1,a 2,???,a a 中任意的两个变元互相交换位置，得到的a 与原式是恒等的，则称 a (a 1,a 2,???,a a )是完全对称的. 如aa +aa +aa ，a b c b c c a a b+++++等. 设a (a 1,a 2,???,a a )是一个a 元函数. 若作置换 a 1→a 2,a 2→a 3,???,a a −1→a a ,a a →a 1，得到的a 与原式是恒等的，则称a (a 1,a 2,???,a a )是轮换对称的. 如a 3a +a 3a +a 3a ，a b c a b b c c a+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式 （12()0()0() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥⎧⎧>⇔⎨⎨≥>⎩⎩ 或2()0()()0()()g x g x f x f x g x >⎧⎪⇔≥⎨⎪<⎩()0(0()0 ()0g x f x g x f x >⎧≥⇔=⎨≥⎩或 （2）()()()00()f x f xg x g x >⇔⋅> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩. 含有绝对值的不等式（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥⇔≥≤-或； （2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤⇔-≤≤；（3）对形如|a −a |+|a −a |≤(≥)a 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． （4）含有绝对值的不等式的性质|a |−|a |≤|a ±a |≤|a |+|a |.取等条件：不等式|a |−|a |≤|a +a |≤|a |+|a |，右侧“=”成立的条件是aa ≥0，左侧“=”成立的条件是aa ≤0，且|a |≥|a |；不等式|a |−|a |≤|a −a |≤|a |+|a |，右侧“=”成立的条件是aa ≤0，左侧“=”成立的条件是aa ≥0，且|a |≥|a |.. 一元二次不等式aa 2+aa +a >0(a ≠0)的解 （设 a =a 2−4aa ）对于a<0的情况，先移项将系数变为正然后求解. ．基本不等式（1）设a ,a ∈a ，则a 2+a 2≥2aa ，当且仅当a =a 时，等号成立．（2）若 a ,a>0，则2a b+≥，当且仅当a =a 时，等号成立． （3）若 a ,a >0，则2112a ba b+≤≤≤+，当且仅当a =a 时，等号成立． 其中，211a b+称为几何平均数，2a b +称为平方平均数. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，()()22222()ab x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y -≥--证：()()()2222222222222222222222()22()0ab x y ax by a x b y a y b x a x axby b y a y b x axby ay bx ++-+=+++-++=+-=-≥()()()()2222222222222222222222()22()0ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx ----=-+---+=+-=-≥ 得证. 当ay bx =时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|a ⃗⃗⃗⃗ ?a ⃗⃗⃗⃗ |≤|a ⃗⃗⃗⃗ |?|a ⃗⃗⃗⃗ |如图，设在平面直角坐标系aaa 中有向量a ⃗⃗⃗⃗ =(a ,a ),a ⃗⃗⃗⃗ =(a ,a )，a ⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗⃗⃗⃗ 之间的夹角为θ，0≤a ≤a .根据向量数量积的定义，有a ⃗⃗⃗⃗ ?a ⃗⃗⃗⃗ =|a ⃗⃗⃗⃗ |?|a ⃗⃗⃗⃗ |aaaa ，因为|aaaa |≤1，所以|a ⃗⃗⃗⃗ ?a ⃗⃗⃗⃗ |≤|a ⃗⃗⃗⃗ |?|a ⃗⃗⃗⃗ |.当且仅当a ⃗⃗⃗⃗ 是零向量，或者a ⃗⃗⃗⃗ //a ⃗⃗⃗⃗ 时取等.（3）二维形式的三角不等式：√a 12+a 12+√a 22+a 22≥√(a 1−a 2)2+(a 1−a 2)2当且仅当a 1,a 2与原点O 在同一直线上，并且点a 1,a 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.三、例题展示 比较法【例1】设a 、a 是非负实数，求证：)3322.a b a b +≥+【证明】3322)a b a b a b +-+=+55]=--当a b ≥≥55≥，得55]0-≥；当a b <<55<，得55]0-<；所以)3322.a b a b +≥+【例2】已知,a b R +∈，证明：a b b a a b a b ≥.【证明】,a b R +∈，0b aa b ∴>，a ba b a b b a a b a b a a a b b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当a b ≥时，1a b ≥，0a b -≥，于是1a ba b -⎛⎫⎪⎝⎭≥；当a b <时，1a bb aa b b a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭=>⎭.所以a b b a a b a b ≥.【例3】设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a << 【答案】C【解析】∵1111333ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0 1.1a a a b b b a a a b a b a -∴<<<∴>=>，b a a a ∴<|,01,0,1a aa a a a a a ab b b b ⎛⎫⎛⎫=<<>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，. 故答案为：C分析法1. 凑项【例4】设a >1，则2213M a a =+-的最小值是 ▲ ． 【答案】5【解析】22133335M a a -+=-+≥= 当且仅当22133a a -=- ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【练习】设a ,a 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】因为43112x y +=++，所以3(3)1y x y +=-，,0x y >，1y ∴>因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ⎡⎤⎡⎤+==+-+≥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当且仅当a −1=2,a =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +a =a ”这样的定值式） 【例5】设a ,a 为正实数，则433x yM x y x=++的最小值为 【答案】3 【解析一】配凑434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++， 当且仅当433x x yx y x+=+时，即a =3a 取等号. 【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式． 【解析二】比值换元 令a =aa ，a >0则443(31)1131313M k k k k =+=++-≥=++. 当且仅当41313k k =++时，即13k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为a ,a 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量a ,a 减少为一个未知量a ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，2811x y+=，则x y +的最小值为 .22818122x x k k x y k y k k k xy x y ⎛⎫+++-=++++-≥= ⎪⎝⎭取等条件：22822424811x x k x x k y y y k xy ⎧==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩所求最小值为6k =28186x x y x y y xy x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭取等条件：482x x y y x y =⎧==⇒⎨=⎩2. 凑系数【例7】 当0<a <4时， a =a (8−2a )的最大值为 ▲ ． 【答案】8【分析】由0<a <4知8−2a >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2a +(8−2a )=8为定值，故只需将a =a (8−2a )凑上一个系数即可．【解析】[]211282(82)2(82)8222x x y x x x x --⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭，当2a =8−2a ，即a =2时取等号，∴当a =2时，a =a (8−2a )的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 【练习】已知实数x ，y 满足a >a >0，且a +a =2，则3122M x y x y=++-的最小值是 ▲ ．【分析】将x y +凑出a (a +3a )+a (a −a )的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：[]231(2)(2)2x y x y x y x y λμ⎛⎫+++-≥ ⎪+-⎝⎭【解析】31(2)(2)(2)(2),55x y x y x y x y λμλμλμλμ++-=++-=+⇒==即31(2)(2)55x y x y x y +=++-，313113119138(2)(2)2222225525555M x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴=+=+⋅++-≥++⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+-⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 取等条件：3222212x x y x y x y y ⎧=⎪-=+⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 或者直接换元：令a +2a =a ，2a −a =a ，可得1221,5555x m n y m n =+=-，即 122132155551010m nx y m n m n +=++-=⇒+=313139133811010101010105m n m n M m n m n n m ⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4a 2+a 2+aa =5，求a =2a +a 的最大值. 解：取参数a ∈a ，a 2=(2a +a )2+a (4a 2+a 2+aa −5) =(4+4a )a 2+(4+a )aa +(1+a )a 2−5a当(4+4a )a 2+(4+a )aa +(1+a )a 2为完全平方式时， (4+a 2)2=(4+4a )(1+a )时，即a =−85时，有a 2=−35(2a −a )2+8≤8.于是{2a −a =04a 2+a 2+aa =5，{a =√22a =√2时， 2a +a 有最大值2√2.【例9】若22425x xy y -+=，则223M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++-+-=+-++-当()()22341k x kxy k y +-++为完全平方式时，有最值.于是令()()226341,235k k k x ⎛⎫++=⇒=-- ⎪⎝⎭当23x =-时，()22212125125253333333M x xy y x y =+++=++≥ 取等条件：0x y +=.即 x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或 当65x =-时，()222961130330305555M x xy y x y =-+-+=--+≤取等条件：30x y -=，即x y ==于是所求的取值范围是25303⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【评析】将问题中223x y +变为()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()213305x y --+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离对于2ax bx cx d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m+的形式运用不等式.【例10】 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有a+1的项，再将其分离．【解析】22710(1)5(1)44(1)5111x x x xy xx x x++++++===++++++，当a>−1，即a+1>0时，59y≥=（当且仅当a=1时取“＝”号）．【练习】已知a，b都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是 .【答案】2(√2−1)【解析】2()(2)(2)()2()222 222a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+-++-++++=+=+-≥++++++.【例11】已知,,0a b R ab∈>，求4441a bMab++=的最小值.【解析】442241141144a b a bM abab ab ab ab+++=≥==+≥.取等条件：44142144aa babbab⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩【例12】已知0,0x y>>，且25x y+=的最小值为【解析】===≥取等条件：2531x yxy+=⎧=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩=⎨⎩【练习】变形：已知0,0x y>>的最小值为 .【解析】拆开运用基本不等式：≥=≥或用柯西不等式：)2(1)(21)1x y++≥，于是21≥=+≥取等条件：2112x y xy=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩=.代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数,0x y>，且811x y+=，求2x y+的取值范围.【解析】由已知条件得8xyx=-，08y x>⇒>，22(8)161628101018888x xx y x x xx x x-++=+=+=-++≥=---，取等条件168128x xx-=⇒=-，38xyx==-.2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例14】已知a>0,a>0，且1a+9a=1，求a+a的最小值．【错解】a>0,a>0，且1a+9a=1，a+a=(1a+9a)(a+a)≥2√9aa2√aa= 12，故(a+a)aaa=12．∴【错因】解法中两次连用基本不等式，在a +a ≥2√aa 等号成立条件是a =a ，在1a +9a≥2√9aa 等号成立条件是1a =9a ，即a =9a ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】a >0,a >0,1a +9a =1∴a +a =(a +a )(1a +9a )=aa +9aa+10≥6+10=16 ，当且仅当aa =9aa时，上式等号成立，又1a +9a =1，可得a =4,a =12时，(a +a )aaa =16．【练习】已知正实数a ,a 满足111x y +=，则3411x yx y +--的最小值为________． 【答案】7+4√3【解析】正实数x ，y 满足1a +1a =1，则：a +a =aa ，则：3473443111x y xy x yx y x y xy x y --+==+----+，1143(43)4377x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭故3411x yx y +--的最小值为7+4√3． 【例15】已知a ，b 为正实数，2a +aa +a＝30，求a =1aa 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行． 【解法一】由已知得a =30−2aa +1,aa =30−2aa +1?a =−2a 2+30aa +1．∵a ＞0，∴0＜b ＜15．令t ＝b +1，则1<a <16， ∴aa =−2a 2+34a −31a=−2(a +16a )+34．∵a +16a ≥2√a ?16a =8，∴aa ≤18,?∴a ≥118， 当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30−aa =a +2a ．∵a +2a ≥2√2aa ，∴30−aa ≥2√2aa ．令a =√aa ，则a 2+2√2a −30≤0，−5√2≤a ≤3√2，∴√aa ≤3√2，aa ≤18，∴a ≥118．【点评】①本题考查不等式a +a 2≥√aa (a >0,a >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式aa =a +2a +30 (a >0,a >0)出发求得aa 的范围，关键是寻找到a +a 与aa 之间的关系，由此想到不等式0,0)2a ba b +≥>>，这样将已知条件转换为含aa 的不等式，进而解得aa 的范围． 【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值.【解析】将24(06)3y x x =-<<代入得， 2224433x x x y x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭=即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()224,0,63f x x x x =-+∈()()36f x f ≤=即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换”若形如“已知1ma nb +=，求1(,,,,0am n a b k a kb +都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即1a ma nb aa kb a kb ++=+ 【例17】设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为 ． 【答案】1【解析】0,0a b >>，111111828228222a ab a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=． 当且仅当28b a a b =即42,33a b ==时取得等号． 【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2-【解析】因为2a b +=，所以12a b+=所以1||||||12||4||4||4||4|||4||a ab a a b a a aa b a b a a b a b a ++=+=++≥+=+ 当且仅当||4||b a a b+，即2||b a =时取等号， 当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=； 当0a <时，1||13112||4||44a a ab a +≥+=-+=； 所以1||2||a a b +的最小值为34，此时2b a =- 又2a b +=，所以(2)2a a +-=，即2a =- 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】222222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222241684b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b=，即2b a =时取等号； 2222168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b +，即2b a =时取等号； 所以2214844832a b +≥+⨯+=，当且仅当2b a =时取等号； ,a b R +∈21a b +=2214a b+所以2214a b+的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.3. 判别式法（万能K 法）判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。