【离散数学讲义】2.数理逻辑12

每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
该蕴含式是重言式，所以推理正确。 9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
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推理理论
例4
写出对应下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数。 若a不能表示成分数，则它不是有理数。a是实 数且它不能表示成分数。所以a是无理数。
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
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推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
例3 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有 课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、 也不是星期三.
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
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例2
判断下列推理是否正确：如果天气凉快，小王
就不去游泳，天气凉快，所以小王没去游泳。
解这类推理问题，应先将命题符号化，然后写出 前提、结论和推理的形式结构，最后进行判断。
设p：天气凉快；q：小王去游泳。 前提：p→﹁q, p。结论：﹁q。 推理的形式结构： ((p→﹁q )∧p)→﹁q 。 下面分别用三种方法来判断该蕴含式是否为重言式。
(11) 破坏性二难推理规则
AB
CD
BD
∴AC
(12) 合取引入规则
A
B
∴AB
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在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
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例6 如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小 李也去。小赵不去看电影或小张去看电影。小王 去看电影。所以当小赵去看电影时，小李也去。
解：将简单命题符号化：
p：小张去看电影； q：小王去看电影； r：小李去看电影； s：小赵去看电影。 前提：p→(q→r), ﹁s∨p, q 。 结论：s→r。
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数学的 方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过程， 前提是已知的命题公式，结论是从前题出 发应用推理规则推出的命题公式。
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
⑨p
前提引入
pp
⑧⑨合取
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例8
用归谬法构造下面推理的证明：
前提：p→(﹁(r∧s)→﹁q), p, ﹁s 。 结论：﹁q 。
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前提：p→(﹁(r∧s)→﹁q), p, ﹁s 。 结论：﹁q 。
证明：① p→(﹁(r∧s)→﹁q) 前提引入
②p
前提引入
③ ﹁(r∧s)→﹁q
①②假言推理
④ ﹁(﹁q)
否定结论引入
⑤q
④置换
⑥ r∧s
③⑤拒取式
⑦s
⑥化简
⑧ ﹁s
前提引入
⑨ s∧﹁s
⑦⑧合取
⑨为矛盾式，根据归谬法说明推理正确。
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第三章 习题课
主要内容 推理的形式结构 判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法 推理定律 自然推理系统P 构造推理证明的方法 直接证明法 附加前提证明法 归谬法(反证法)
②④假言推理
⑥﹁s→﹁q
前提引入
⑦﹁q
③⑥假言推理
⑧r
⑤⑦析取三段论
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在使用构造证明法来进行推理时， 常常采用一些技巧，下面介绍两种：
1、附加前提证明法 2、归谬法
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附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
重要的9条推理定律：附加、化简、假言推理、 拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三段论、 构造性二难、 破坏性二难。
除此之外，每个等值式均产生两条推理定律。 11
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确.
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练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含有4个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造证明 的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程的命 题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知的 前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结 论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴涵式） 的基础之上。
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
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练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
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归谬法实例
例7 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
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前提：p→(q→r), ﹁s∨p, q 。 结论：s→r。
证明：① ﹁s∨p
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④ p→(q→r) 前提引入
⑤ q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
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归谬法（反证法）
归谬法 (反证法) 欲证
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同前） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
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推理规则
(4) 假言推理规则
(5) 附加规则
AB A
∴B (6) 化简规则
AB ∴A
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
AB BC ∴AC
AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB
CD
AC ∴BD
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
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基本要求
理解并记住推理形式结构的两种形式： 1. (A1A2…Ak)B 2. 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值 演算法、主析取范式法等）
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬
法 会解决实际中的简单推理问题
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（1）真值表法
((p→﹁q)∧p)→﹁q (*)的真值表
p q ﹁q p→﹁q
(p→﹁q)∧p (*)
00 1
1
01 0
1
10 1
1
11 0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
真值表的最后一列全为1，因而（*）是重言式，
所以推理正确。
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（2）Biblioteka Baidu值演算法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁q) 1
解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
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附加前提证明法实例
前提：pq, pr, rs 结论：sq
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
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附加前提证明法实例
例5 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理 数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.
解：将简单命题符号化：
p：a是实数； q：a是有理数；
r：a是无理数； s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ﹁s→﹁q, p∧﹁s 。
结论：r。
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前提：p→(q∨r), ﹁s→﹁q, p∧﹁s 。 结论：r。
证明：① p∧﹁s
前提引入
②p
①化简
③﹁s
①化简
④p→(q∨r) 前提引入
⑤ q∨r