数学分析导数与微分

第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)

§1 导数的概念 ( 2 时)

一． 导数的背景与定义：

1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.

2. 导数的定义:)(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.

有限增量公式:.0 ),( )(0→∆∆+∆'=∆x x x x f y

例1,)(2x x f = 求). 1 (f '

例2设函数)(x f 在点可导, 求极限 .)

3()(lim 000h h x f x f h --→

3. 单侧导数:定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.

例3. )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.

例4 设⎩⎨⎧<≥-=.0,,

0,cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.

二. 导数的几何意义:

可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.

例5求曲线2)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.

三. 可导与连续的关系:

Th1若函数在点（左、右）可导，则在点（左、右）连续.

例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.

四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.

.)

()(lim )(0x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆

(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x )

例7 求下列函数的导数：⑴,)(n x x f =⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=.

五 导函数的介值性:

1 极值的定义

例8 证明: 若,0)(0>'+

x f 则),(,000δδ+∈∀∍>∃x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件:

Th2 (Fermat 定理)

3 导函数的介值性:

引理 (导函数的介值性)若函数在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-

+b f a f 则 .0)( ),,( ='∍∈∃ξξf b a ( 证 )

Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若为介于

)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='∍∈∃ξξ

(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 )

Ex [1]P 94—95 1—9

§2 求 导 法 则( 4时)

一 导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式. (只证“”和“”)

例1 .95)(23π+-+=x x x x f 求).(x f '

例2.ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1π-

例3.122x

x y +-= 求.dx dy 例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx x n n ( 用商的求导公式证明 ).

例5证明: .c s c ) ( ,s e c ) (22x c t g x x t g x -='='

例6证明: .sec sec xtgx x dx

d =. 二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.

例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 )

Ex [1]P 102 1，2.

三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.

例9 设,sin 2x y =求.

例10 设为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数.

解 ().1ln ln -=⋅=⋅='='αααααααx x x x e e

y x x 例11,1)(2+=x x f 求 )0(f '和). 1 (f '

例12),1ln(2++

=x x y 求 例13,12x

tg y = 求 四 取对数求导法:

例14 设21

5312)4()2()

4()5(++-+=x x x x y , 求

例15().sin ln x x y = 求

例16 设)()(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求

五 基本求导法则与公式:

1 基本求导法则.

2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.

Ex [1]P 102 3，4.

§3 参变量函数的导数

1 设曲线的参变量方程为⎩⎨⎧≤≤==)().

(),(βαψϕt t y t x ,设函数)( ),(t y t x ψϕ==可导且 ,0)(⇒≠'t ϕ.)

()(t t dx dy ϕψ''= 证:(证法一) 用定义证明.

（证法二） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或.0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒严格单调. ( 这些事实

的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为x t (1-=ϕ), 有

()

,)()(1x t y -==ϕψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有

.)

()(t t dt

dx dt dy

dx dt dt dy dx dy ϕψ''==⋅= 例1 .sin ,cos t b y t a x == 求.dx

dy 2 若曲线由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角为参数的参数方程:

⎩⎨⎧====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()(tan )(θ

θρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θ

ρe =上所有点的切线与向径的夹角为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.

§4 高 阶 导 数

一 高阶导数:

定义:.)()(lim )(0000x

x f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆ ()()

.)()( ,)()()1()('=''=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f 高阶导数的记法.

二 几个特殊函数的高阶导数:

1. 多项式: 多项式的高阶导数.

例1 求幂函数n x y =(为正整数)的各阶导数.

例2. 正弦和余弦函数: 计算()

)(sin n x 、())(cos n x 、())(sin n kx 、())(cos n kx 的公式. 例3． 和的高阶导数：

例4． x

1的高阶导数： 例5 )

)((1b x a x ++的高阶导数： 例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.

0 ,,0 ,)(22x x x x x f 求)(x f ''为例.