高等数学学习课程内容及基本要求

高等数学课程内容及基本要求

高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。

高等数学是全校公共基础课，对于我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。

课程内容及基本要求

(一)函数、极限与连续(20学时)

内容：函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

基本要求

1．深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

2．理解数列极限的定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。

3．理解函数极限、左右极限定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

4．理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

5．理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。。

重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限,函数的连续性。

难点：极限的定义，极限存在准则。

（二）导数与微分（12学时）中值定理，罗必达法则，导数的应用。

内容：导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数

的求导法则，高阶导数，函数的微分。

基本要求

1．理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解导数的及几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和求导法则求一般函数的导数。

3．了解高阶导数的概念、求导法则，会求简单函数的阶导数，会求分段函数一阶、二阶导数。

4．理解微分的概念、微分与导数得关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

重点：导数的定义，初等函数导数的求法（一阶及二阶）。

难点：复合函数求导法，高阶导数的求法

(三)微分中值定理与导数的应用（16学时）

内容：中值定理，罗必达法则，导数的应用。

基本要求

1．理解并会用罗尔(Rolle)、、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy)、泰勒(Taylor)定理，

2．掌握洛必达法则求不定式极限的方法。

3．掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。

4．掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法及其方法。

5．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘一些简单函数的图形。

6．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则，用导数判断函数的单调性及极值。

难点：泰勒定理。

（四）一元函数积分学(28学时)

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内容：不定积分、定积分的概念与性质，换元积分法、分部积分法，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的几何应用和物理应用，广义积分。

基本要求

1．理解原函数与不定积分的概念与性质。

2．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4．理解定积分的概念与性质。

5．会求变上限的积分的导数，掌握牛顿-莱布尼兹(N-L)公式。

6．掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。

7．掌握用定积分表示和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值）。

8．了解广义积分的概念，会计算广义积分。

重点：不定积分、定积分的换元积分法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿–莱布尼兹公式。

难点：换元积分法。

（五）向量代数与空间解析几何(14学时)

内容：空间直角坐标系与向量的运算，空间直线与平面方程，空间曲线与曲面。

基本要求

•理解空间直角坐标系、向量概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。

3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示式进行向量运算的方法。

4．掌握平面、直线方程及其求法。

5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6．会求两点间、点到直线、点到平面的距离。

7．知道曲面的一般方程及其图形。

8．了解常用二次曲面的方程及其图形,会求转轴是坐标轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

9．了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求其方程。

重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。

难点：曲面方程。

（六）多元函数微分学(20学时)

基本内容：多元函数与极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、最大值与最小值。