恒定电场与恒定磁场
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n n
1 2 1 1 2 2 n n
3
§4.1 恒定电场
两组方程具有相似的形式，导电媒质中的 E 、 J 、 、 I 和 分别与介 质中的 E、 D、 、Q 和 相对应，它们互为对偶量。
在相同条件下，如果已知静电场的解， 只要用对偶量代替，就可以求 出恒定电场的解，这种计算恒定电场的方法称为静电比拟法。 如：静电场中两导体间的电容C → 恒定电场两导体间的电导G Q s D ds s E ds C (F) 介质中两导体电极间的电容： U l E dl l E dl J ds E ds 恒定电场中两导体电极间的电导为： G I s s (S) U l E dl l E dl C 比较两式可以得到： G 1 恒定电场中两导体电极间的（漏）电阻为： R G C
4
§4.1 恒定电场
例4Fra Baidu bibliotek1－2
半径为a=0.5m的半球形铜电极埋在地面下，如图 4.1-1所示，大地土壤的电导率为101S/m。求此 半球铜电极的接地电阻R，并求离球心r=3m处，成 人跨步d=0.8m间隔时，两点间的跨步电压U；若 接地电流I=20A, 计算此电压值。
0 0
I
r
c
铜球至无限远处电压是
U
故接地电阻为
a
I dr I Edr a 2 r 2 2r 2
R
U 1 1 3.2() 1 I 2a 2 10 0.5
5
§4.1 恒定电场
静电比拟法求解:
因为静电场中孤立球体的电容为C0=4a，则半球的电容为C=2a 由式（4.1-15）得接地电阻R=/C=1/(2a) 地面离球心为r的B点和距离为（r-d）的A点的电位分布分别
E 0 D 0 D E
E 2 0 l E dl Q s D ds
E1t E2t D1n D2 n
导出方程
边界条件
E1t E2t J1n J 2 n
1 2 1 1 2 2
d
a
J
图4.1-1 半球形接地电极
[解] 黄铜电导率 =1.57×107S/m ，故c» 。由边界条件可知，大地中的电流密度
J将垂直于铜球表面，而空气中 =0，无漏电流。所以，大地中任一点的电流密度 为
I J r ˆ 2r 2
J 电场强度为 E r ˆ
I 2r 2
因为 J E , 所以
1
J1t
2
J 2t
, 1E1n 2 E2n
上述边界条件表明， 在不同导体的分界面上，电场强度的切向分量和 电流密度的法向分量是连续的；而电场强度的法向分量和电流密度 的切向分量并不连续。 对于分界面两侧导体的电位1和2
1 2 1 1 2 2
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
7
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
B r E dr I 2r
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
I
6
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
一、恒定磁场的基本方程
在表2.3-1麦氏方程组中代入式(4.1-1)条件，便得到恒定磁场的 和 H 满足基 B 本方程 H J B 0
对于简单媒质，B H
前一个方程描述了恒定磁场的旋度特性，表明恒定磁场是一个有旋场， 这是它与静电场的一个重要区别，后一个方程反映恒定磁场的散度特性， 表明它是无散场，这是它与静电场的又一个重要区别。 积分形式
n n
2
§4.1 恒定电场
三、静电比拟法
表4.1-1 恒定电场与静电场的比较 导体内的恒定电场（电源外） 介质中的静电场（rv=0）
基本方程组
E 0 J 0 J E
E 2 0 l E dl I s J ds
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
上述条件代入麦氏方程组(a), 得到 E 0 由表2.3-1中电流连续性方程(e)得 在导体内部， J 和 它们的积分形式
J 0
1 2 1 1 2 2 n n
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§4.1 恒定电场
两组方程具有相似的形式，导电媒质中的 E 、 J 、 、 I 和 分别与介 质中的 E、 D、 、Q 和 相对应，它们互为对偶量。
在相同条件下，如果已知静电场的解， 只要用对偶量代替，就可以求 出恒定电场的解，这种计算恒定电场的方法称为静电比拟法。 如：静电场中两导体间的电容C → 恒定电场两导体间的电导G Q s D ds s E ds C (F) 介质中两导体电极间的电容： U l E dl l E dl J ds E ds 恒定电场中两导体电极间的电导为： G I s s (S) U l E dl l E dl C 比较两式可以得到： G 1 恒定电场中两导体电极间的（漏）电阻为： R G C
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§4.1 恒定电场
例4Fra Baidu bibliotek1－2
半径为a=0.5m的半球形铜电极埋在地面下，如图 4.1-1所示，大地土壤的电导率为101S/m。求此 半球铜电极的接地电阻R，并求离球心r=3m处，成 人跨步d=0.8m间隔时，两点间的跨步电压U；若 接地电流I=20A, 计算此电压值。
0 0
I
r
c
铜球至无限远处电压是
U
故接地电阻为
a
I dr I Edr a 2 r 2 2r 2
R
U 1 1 3.2() 1 I 2a 2 10 0.5
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§4.1 恒定电场
静电比拟法求解:
因为静电场中孤立球体的电容为C0=4a，则半球的电容为C=2a 由式（4.1-15）得接地电阻R=/C=1/(2a) 地面离球心为r的B点和距离为（r-d）的A点的电位分布分别
E 0 D 0 D E
E 2 0 l E dl Q s D ds
E1t E2t D1n D2 n
导出方程
边界条件
E1t E2t J1n J 2 n
1 2 1 1 2 2
d
a
J
图4.1-1 半球形接地电极
[解] 黄铜电导率 =1.57×107S/m ，故c» 。由边界条件可知，大地中的电流密度
J将垂直于铜球表面，而空气中 =0，无漏电流。所以，大地中任一点的电流密度 为
I J r ˆ 2r 2
J 电场强度为 E r ˆ
I 2r 2
因为 J E , 所以
1
J1t
2
J 2t
, 1E1n 2 E2n
上述边界条件表明， 在不同导体的分界面上，电场强度的切向分量和 电流密度的法向分量是连续的；而电场强度的法向分量和电流密度 的切向分量并不连续。 对于分界面两侧导体的电位1和2
1 2 1 1 2 2
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
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§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
B r E dr I 2r
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
I
6
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
一、恒定磁场的基本方程
在表2.3-1麦氏方程组中代入式(4.1-1)条件，便得到恒定磁场的 和 H 满足基 B 本方程 H J B 0
对于简单媒质，B H
前一个方程描述了恒定磁场的旋度特性，表明恒定磁场是一个有旋场， 这是它与静电场的一个重要区别，后一个方程反映恒定磁场的散度特性， 表明它是无散场，这是它与静电场的又一个重要区别。 积分形式
n n
2
§4.1 恒定电场
三、静电比拟法
表4.1-1 恒定电场与静电场的比较 导体内的恒定电场（电源外） 介质中的静电场（rv=0）
基本方程组
E 0 J 0 J E
E 2 0 l E dl I s J ds
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
上述条件代入麦氏方程组(a), 得到 E 0 由表2.3-1中电流连续性方程(e)得 在导体内部， J 和 它们的积分形式
J 0