第八章 排队论

4、顾客花在排队上的平均等待时间：Wq = Lq / ,
5、顾客系统中的平均逗留时间： Ws = Ls /
课堂练习
在前例的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄所开设两个服务窗
口。顾客的到达过程仍服从泊松分布，平均每小时到达顾客仍是
36 人；储蓄所的服务时间仍服从负指数分布，平均每小时仍能处 理 48 位顾客的业务，求:：
满足上述特征的输入称为泊松流。
服务时间分布
服务时间：是指顾客从开始接受服务到服务完成所花费 的时间。由于每位顾客要办的业务都不一样，又存在很 多影响服务机构的服务时间的随机因素，因此服务时间
也是一个随机变量。
3、M/M/1排队模型
问题的一般提法： 泊松输入/负指数分布/单服务台/系统无限制/顾客 源无限制
运筹学
－Operation’s Research
北京理工大学珠海学院 吴浩然
第八章 排队论
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排队论概述 基本概念、求解思路
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M/M/1、M/M/C排队模型 排队系统的优化问题
银行排队问题
上午１０点，某银 行营业部，第二天 要出差的张先生来 办理个人换汇业务。 拿到号码纸后，显 示前面还有１１０ 个人在排队 …
Y–– 服务时间的概率分布；
Z–– 服务台的个数，取正整数；
A–– 排队系统的最大容量，可取正整数或 ；
B–– 顾客源的最大容量，可取正整数或 ； C–– 排队规则。
例如 M / M / 1 / / / FCFS 表示顾客到达过程服从泊松分布，服务时间服从负 指数分布，一个服务台，排队的长度无限制和顾客的来 源无限制，排队（服务）规则是先到先服务。
注： 在储蓄所里使用 M / M / 2 模型与使用两个 M / M / 1 模型，它们的服务台数都是 2，服务率和顾客 到达率都一样，只是在 M / M / 2 中只排一队，在 2
个 M / M / 1 中排两队，结果却不一样。 M / M / 2
使得服务水平有了很大提高。如果把 M / M / 2 与原 来的一个 M / M / 1 比较，那么服务水平之间的差别 就更大了。
作为管理人员来说，就要研究排队问题，把排队时间控 制在一定的限度内，在服务质量和成本之间取得平衡。
排队论就是解决这类问题的一门科学。所谓排队论，又 称随机服务系统理论，是研究要求获得某种服务的对象 所产生的随机性聚散现象的理论。
排队系统的基本组成部分：输入过程、排队规则和服务 机构。
时到达1 台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25 小时可修理1 台。试求： （1）站内空闲率； （2）顾客损失率；
（3）站内平均队长；
课堂练习
为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等待汽车使
用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从泊松分布，平
均每4 分钟1 辆，冲洗的时间服从负指数分布，平均每 3 分钟洗1 辆。 试计算当所提供的场地仅能容纳（包括正在被冲洗 的1 辆）1 辆、3 辆、5 辆时，由于等待场地不足而转 向其它冲洗站的汽车的比例。
减少服务时间，提高服务率
每小时服务的顾客数由原来的 48人提高到 60人， 不变：
系统里没有顾客的概率 系统里的平均顾客数
平均排队的顾客人数 顾客平均逗留时间 顾客平均排队时间
P0 = 0.4 Ls = 1.5（人）
Lq = 0.9（人） Ws = 2.5（分钟） Wq = 1.5（分钟）
增加服务台
再开设一个服务窗口，排队的规则为每个窗口排一队， 先到先服务，并假设顾客一旦排了一个队，就不能换到 另一个队去：
每个系统的服务率 仍然为48人/小时，但到达率 由于分流，只有原来的一半， ＝18人/小时；
系统里没有顾客的概率 系统里的平均顾客数 平均排队的顾客人数 一位顾客平均逗留时间 一位顾客平均排队时间 P0 = 0.625 Ls = 0.6（人） Lq = 0.225（人） Ws = 2.00（分钟） Wq = 0.75（分钟）
3、M/M/1/N/∞/FCFS模型
1、与M/M/1模型的区别 (1)系统只有 N＋1 种状态； (2)顾客的实际到达率为： ，当n < N时；
0，当n ≥ N时；
2、状态转移图
系统运行指标
(1)
(2)
(Байду номын сангаас)
课堂练习
某修理站只有1 个修理工，且站内最多只能停放3 台待
修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小
顾客花在排队上的平均等待时间：Wq
输入过程、服务时间分布
输入过程：顾客以什么规律到达系统。
1.到达时间间隔 t；
2.到达数 n ；
泊松流 (泊松过程)：
现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有以下特征：
无后效性：任一时段的到达数不受前一时段的影响；
平稳性：顾客的到达是均匀的；
普通性：瞬间内最多只可能有1个顾客到达；
某医院有医生1人，病人按泊松流到达， ＝4人/小时； 医生的服务时间服从负指数分布， ＝6人/小时，队长 可以无限，请问： (1)病人的平均排队长度和看一次病所花的平均时间； (2)医生空闲的时间概率；
(3)病人等待看病的时间；
又假设根据估计，每个病人逗留1小时，医院损失30元， 如果医院打算增加1名助理进行辅助工作，其服务率 ＝ 8人/小时，但同时需要支付助理的工资相当于20元/病 人，请问多请一名助理是否合适？
课堂练习
某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布， 平均需6 分钟。求： （1）修理店空闲的概率；
（2）店内有3个顾客的概率；
（3）店内至少有1 个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数；
从以上的数据，我们知道储蓄所这个排队系统并不尽
人意，到达储蓄所有 75％ 的概率要排队，排队的长度
平均为 2.25 人，排队的平均时间为 3.75 分钟，是平
均服务时间 1.25 的 3 倍…
要提高服务水平，减少顾客在系统里的平均逗留时间， 一般可采用两种措施： 第一，减少服务时间，提高服务率； 第二，增加服务台即增加服务窗口。
如果在第二种方法中把排队规则变一下，在储蓄所里只 排一个队，这样的排队系统就变成了 M /M / 2 排队 系统。
3、M/M/C排队模型
问题的一般提法：
泊松输入/负指数分布/C个服务台/系统无限制/顾客源无限制
到达率为 ， 服务率为 n ， n < C ; C ， n ≥ C。
M/M/C排队模型的主要指标
1、系统中恰好有n个顾客的概率 ( / ) n
pn
pn
( / ) n c!c
( n c)
n!
p0
当 n ≤ c 时， 当 n >c 时。
p0
2、平均排队的顾客数
( / )c Lq P , 0 2 (c 1)!(c )
3、系统中的平均顾客数：Ls = Lq + / ,
排队系统的优化
某城市准备兴建一座港口，只有一个装卸泊位。要求设 计装卸能力，装卸能力的单位为：只/日。已知单位装 卸能力的平均费用为2000元，船只逗留每日的损失为
1500元。船只到达服从泊松分布，平均速率为3只/
日。船只装卸时间服从负指数分布，服务率为多少时， 每日的总支出最少？
排队论综合练习
（1）储蓄所内等待服务的顾客平均数；
（2）储蓄所内顾客的平均数； （3）顾客在储蓄所内的平均等待时间； （4）顾客在储蓄所内的平均逗留时间；
P0 = 0.4545，
Lq = 0.1227 (个顾客)， (个顾客)，
Ls = Lq + / = 0.8727
Wq = Lq / = 0.2045 (分钟)， Ws = Wq+ 1/ = 1.4545 (分钟)，
求解：
(1)系统状态Pn (2)系统运行指标：Ls 、 Lq 、Ws 、Wq
状态转移图
用系统中的顾客数表示系统的状态，那么系统就是一个
n=0，1，2，…的间断过程，顾客的到达和离去都会引
起系统从一个状态转移到另一个状态。 稳态方程的原理：产生该状态的平均速率 =该状态转变成其它状态的平均速率
服务机构
顾客 到达
排队
服务机构 服务
服务后顾 客离去
服务台数：单服务台、多服务台； 服务方式：单个服务、成批服务； 服务规律：服务时间 v 的概率分布；
排队系统的 ( 肯道尔 ) 符号表示
一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形 式为：X／Y／Z （ ／ A／B／C ）
X–– 顾客到达的概率分布；
某企业为职工设立昼夜24小时都能看病的医疗服务室
（按单服务台处理），病人到达为泊松流，平均时间间
隔为15分钟，看病时间服从负指数分布，平均12分钟， 又知道每名职工看病每小时会给企业造成损失为30元。 (1)求职工看病造成的企业每天的损失； (2)问服务率提高到多少，方可使上述损失减少一半；
张先生等到中午１ ２点半，才将需要 办理的业务办好。
排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店去买 东西、病人到医院去看病，当售货员、医生的数量满足 不了顾客或病人及时服务的需要时，就出现了排队的现 象。
出现这样的排队现象，使人感到厌烦，但由于顾客到达 人数和服务时间的随机性，可以说排队现象又是不可避 免的。
（7）平均等待修理时间
课堂练习
某火车售票处只有一个售票窗口，顾客到达为泊松过程，
平均到达率＝0.3人/分钟。服务时间服从负指数分布，
平均服务率 ＝0.4人/分钟。求： (1)售票处空闲的概率； (2)售票处有n个顾客的概率； (3)售票处顾客的平均数；