金属自由气体模型

第十九讲金属自由气体模型

一、固体物理中的主要模型（理论）：

Atoms in the solid matter= ion cores (离子实)+ valence electrons（价电子）

= nuclei + core electrons + valence electrons

1.最简单的模型—金属自由电子气体模型

a)认为离子实静止不动；

b)通过“自由电子近似（凝胶模型--离子实系统产生的势场是均匀的）”

和“独立电子近似（忽略电子与电子之间的作用）”形成一类最简单的

“单电子近似”模型：

i.Drude Model (1900)

ii.Sommerfeld Model (1928)

2.次简单模型Ⅰ—晶格模型和能带理论

a)认为离子实仍然静止不动；

b)离子实系统产生的势场随空间是周期变化，不再是均匀的。

3.次简单模型Ⅱ—晶格振动理论和声子模型

a)不考虑电子的运动；

b)离子以简正模式运动。

4.最复杂的模型—电子与声子相互作用理论，光子与声子相互作用理论，

光子与电子（固体、半导体中的电子，）相互作用理论，…总结：

学习这种将复杂的大问题（真实的物理体系）化成可以局部求解的小问题（简化的物理体系）；通过不断对简单模型的修正，来处理复杂的体系。在学会这种思维方式的同时，保持头脑清醒，牢记各种模型的成立前提（或条件，或可忽略的物理内容），才能正确使用模型，得到合理的有价值的结论。

二、Sommerfeld量子金属自由电子气体模型

通过三个近似，将一块体积为V的金属简单地看成一堆价电子在体积为V的“空盒子”中运动的单纯由电子组成的体系。

1.自由电子近似——对金属来说是个比较好的近似。

a)忽略价电子与离子实之间的作用，认为离子实系统产生的势场对处在其

中的价电子来说是均匀的。

b)将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀正电荷背景。

c)价电子的自由运动范围仅限于金属块的体积V内，由金属的表面势垒将

价电子限制在样品内部。

2.独立电子近似——对其它晶体（包括半导体和绝缘体）来说也是

一个比较好的近似。

a)忽略价电子与电子之间的作用，把其它电子对某一个价电子的作用看成

是平均场；

b) 认为某一个价电子的运动不影响其他电子的运动；

c) 把多价电子问题转换成单电子问题求解单电子能量本征态。

d) 最后让多个价电子按照一些规则（能量最小原理（T=0），费米分布（T>0）,

泡利不相容原理）来填充单电子能量本征态。 e) 多个价电子填充单电子能量本征态的规则：

1. 泡利不相容原理

2. 能量最小原理（T=0）

3. 费米分布（T>0）

3. 弛豫电子近似——在考虑电子输运过程中，不能忽略电子与电子

之间的作用，加入一个唯象的近似假设

a) 在有外场（电场，磁场，电磁波场和光）作用时对价电子体系采取的一

种近似；

b) 认为每一个价电子会受到散射和碰撞（由于其他电子的存在与运动）。

三、金属自由电子气体密度3

:n n cm ⎡

⎤⎢

⎥⎣⎦

单质金属晶体原子密度3:N N cm ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，比重/质量密度（density ）3g cm ρ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，原

子量(atomic mass)g A mol ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 阿佛加德罗常数23

6.02210A N mol =⨯，Z 每个原子的价电子个数。

3A A

Z N n ZN Z

cm A A N ρρ

⎡⎤

===

⎢

⎥⎣⎦ 金属自由电子气体密度n 典型值为2223

3

1010

cm :，比理想气体密度大1000倍。

Condensed gas

四、金属自由电子模型中单电子能量本征态和能量本征值

目的：求金属自由电子气体的能量密度3:J cm ε⎡⎤⎢⎥⎣

⎦。

由独立电子近似，金属中每一个价电子是相互独立的，有相同的运动规律；每个电子都有自己的能量本征态，只要求出单个电子的能量本征态，再复制n 套，在把价电子填充在这些能量本征态上，就可以得到n 个电子的总能量，即金属自由电子气体的能量密度3:J cm ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

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波函数归一化和k r

矢量意义：

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周期边界条件和k r

矢量取值：Periodic boundary conditions

1) Surface is not important.

2) Useful for large N (bulk solids N ≈ 1023/cm 3). 3) Similar procedure; slightly different results.

--

-

-

----……

……

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k r 空间（倒空间）：把波矢k r 看成空间矢量，在直角坐标系中用k r 矢量的末端的位置表示每一个允许的k r 值。这个直角坐标系所在的空间叫做k r

空间（或倒空间）