4-1向量空间及其子空间

向量的加法和数乘运算的八条性质在集合V 中被满足。
它们是：
(1) ；
(5) 1 ；
(2) ( ) ( ) ；(6) k(l ) (kl) ；
(3) 0 ；
(7) k( ) k k ；
则
(a, b, a, b,L , a, b)T V3 ，
k (c, d , c, d ,L , c, d )T V3 ，
其中 a x1 x2 , b y1 y2 , c kx1 , d ky1 。
信息系 刘康泽
故V3 关于加法和数乘都封闭，因此V3 构成向量空间。
（2）设 ( x1, x2 ,L , xn )T , ( y1, y2,L , yn )T V4 ，
n
n
xi 1， yi 1 ，
i 1
i 1
n
n
n
则由于
( xi yi ) xi yi 2 1 ，
i 1
i 1
i 1
故 ( x1 y1, x2 y2,L , xn yn )T V4 ，
例 5 设 A 是 m n 矩阵，且 A (1,2,L ,n ) ，
则 V y y Ax, x Rn
y y x11 x22 L xnn, x j R
信息系 刘康泽
故V 可看成是由 A 的列向量组1,2 ,L ,n 生成的
于是 (k1 l1)1 L (km lm )m V ， k (k k1 )1 (k km ) m V ，
即 与 k 仍然是 1,L ,m 的线性组合，由此
V 关于加法和数乘都封闭，故V 构成向量空间。
信息1,2 ,L ,m ，称 V { k11 km m , ki R}
(4) () 0；
(8) (k l) k l 。
构成向量空间的三要素： 一个集合V 、两种V 中的运算、八条运算性质
信息系 刘康泽
例 1 设 n 维实向量的集合
V1 (0, x2,L , xn )T x2,L , xn R ； V2 (1, x2 ,L , xn )T x2 ,L , xn R ；
V4 ( x1, x2,L , xn )T
xi R ,
n
xi

1
。

i 1

问V3 及V4 是否构成向量空间？
解：（1）设 ( x1, y1, x1, y1,L , x1, y1)T V3
( x2 , y2 , x2 , y2 ,L , x2 , y2 )T V3 ，
向量空间 L(1,L ,n ) ，称为 A 的值空间，记为 R( A) ，
即
R(A) Ax x Rn 。
例 6 设 A 是 m n 矩阵，则
V x Ax 0, x Rn
构成向量空间。
它是齐次线性方程组 Ax 0 的解集合。
记1,2,L nr 是 Ax 0 的基础解系 (r( A) r) ，
信息系 刘康泽
第4-1节 向量空间及其子空间
信息系 刘康泽
一、向量空间的定义
在第三章中，对集合 Rn 中的向量定义了加法与数乘 运算，且 Rn 中的向量的线性组合仍然属于 Rn ，加法与数 乘运算还满足八条运算性质。对于 Rn 中的一个集合V ， V 中向量的线性组合是否仍然属于V ？如果仍然属于V ，则在V 中加法与数乘的八条运算性质将被满足。
的解集合，故W1 是 Rn 的子空间。
信息系 刘康泽
（2）W1 可理解为非齐次线性方程组 x1 2x2 L nxn 1
的解集合，故W2 不是 Rn 的子空间。 三、向量空间的基、维数与向量的坐标
在 Rn 中，任一向量都可用 Rn 中 n 个线性无关的向量
来表示，且这种表示是唯一的。
这一性质在一般的向量空间V 中是否具有？
答案是肯定的！
由此可抽象出向量空间V 的基、维数以及向量在所给
基下的坐标的概念，并以此描述向量空间的结构。
信息系 刘康泽
【定义】设V 是一个向量空间，如果存在一组向量
1,2 ,L ,r V ，满足： （1）1,2 ,L ,r 线性无关； （2）V 中任一向量 都可以由向量组1,2 ,L ,r
因此，如果 n 维向量的集合V 关于向量的加法和数乘 都封闭，则V 构成向量空间。
【注 2】只含零向量的集合显然对加法和数乘封闭， 因而也构成向量空间，称为零空间。
信息系 刘康泽
【注 3】实数域 R 上所有 n 维向量的集合 Rn 是向量 空间。如 R3 通常称为 3 维几何空间。
【注 4】由于向量空间中的加法和数乘运算封闭，故
（2）设 (1 , x2,L , xn ) , (1 , y2,L , yn )V2 ， 则 ( 2 , x2 y2 ,L , xn yn )V2 ，
即V2 对加法运算不封闭，因此V2 不构成向量空间。
信息系 刘康泽
例 2 设 n 维实向量的集合
V3 (x, y, x, y,L , x, y)T x, y R ；
则 V x x k11 k22 L knr nr , k j R ，
信息系 刘康泽
故V 可以看成是由 Ax 0 的基础解系生成的向量空 间，称为 A 的核空间，记为 N ( A) 。
即
N (A) x Ax 0 , x Rn 。
N ( A) 也称为齐次线性方程组 Ax 0 的解空间。
故 dimV1 n 1。
信息系 刘康泽
（2）1 (2,1, 0,L , 0)T ,2 (3, 0,1,L , 0)T , L ,n1 (n, 0, 0,L ,1)T 是V2 的一组基，
故 dimV2 n 1。 例 10 设 A 是 m n 矩阵，且 r(A) r n ，则齐次
线性表出，则称1,2 ,L ,r 为向量空间V 的一组基；基 中所含向量的个数 r 称为V 的维数，记作 dimV r ，并
称V 为 r 维向量空间。
零空间没有基，并规定零空间的维数是 0。
信息系 刘康泽
【注】如果找到了向量空间V 的一组基，则V 中任 一向量都可由基向量线性表出，从而V 的结构也就清楚 了， 因此V 可以理解为由它的基向量组生成的向量空间。
信息系 刘康泽
【定义】设V 是 n 维实向量构成的集合，对于向量的
加法运算及数乘运算满足：
（1）任意 V , V ，有 V ； （2）任意 V , k R ，有 k V 。
则称集合V 为 R 上的实向量空间，简称向量空间。
【注 1】定义中的条件(1)称为加法封闭性，而条件 (2)称为数乘封闭性。
例 9 设V1 (0, x2,L , xn )T x2,L , xn R ； V2 (x1, x2,L , xn)T x1 2x2 L nxn 0, xi R
求它们的基与维数。
解：（1）1 (0,1, 0,L , 0)T ,2 (0, 0,1,L , 0)T , L ,n1 (0, 0, 0,L ,1)T 是V1 的一组基，
是由向量组 1 , , m 生成的向量空间，记作： L(1 , , m ) 或者 span{1 , , m } 。
例 4 设1 (1, 0) , 2 ( 0,1) ，则
L(1,2 ) (x1, x2 ) ( x1, x2 ) x11 x22 , x j R R2
又设 A 是 m n 矩阵，则：
N (A) x Ax 0 , x Rn 是 Rn 的子空间。 R(A) Ax x Rn 是 Rm 的子空间。
信息系 刘康泽
给出 n 维向量的非空集合W ，显然W 是 Rn 的子集。 判断W 是否为 Rn 的子空间，只需判断W 是否为向量空间 即可，也就是验证W 是否对加法和数乘运算封闭。
A 的值空间与核空间是两个非常重要的向量空间。
【注 5】非齐次线性方程组 Ax ( 0) 的解集
不构成向量空间。
信息系 刘康泽
二、子空间
【定义】设V 与W 都是向量空间，并且W 是V 的子 集，则称W 是V 的子空间。
例 7 由 n 维向量1,2 ,L ,s 生成的向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 是 Rn 的子空间。
即V4 对加法运算不封闭，因此V4 不构成向量空间。
信息系 刘康泽
例 3 给定 n 维向量组 1,L ,m (m …1) ，V 是由 1,L ,m 的一切线性组合所构成的集合，即
V { k11 L kmm , ki R}
试证：V 构成向量空间。
证明：设 k11 L kmm V ， l11 L lmm V ，
信息系 刘康泽
即1,2 ,L ,s 的秩就是生成向量空间的维数， 且易知： L(1,2 ,L ,s ) L(i1 ,L ,ir ) 。 【注】设 A 是 m n 矩阵，且 A (1,2,L ,n ) ， 则 A 的值空间 R( A) 就是由 A 的列向量组生成的向量空 间，因此 A 的列向量组的任一个极大无关组都构成 R( A) 的一组基，且 dim R( A) r(1,2,L ,m ) r( A) 。 即 A 的秩就是 A 的值空间的维数。
例 8 判断下述集合是否为 Rn 的子空间
（1）W1 (x1, x2,L , xn)T x1 x2 L xn 0, xi R ； （2）W2 (x1, x2,L , xn)T x1 2x2 L nxn 1, xi R 。
解（1）W1 可理解为齐次线性方程组 x1 x2 L xn 0