数学物理方程 第四章练习题

)( )
a12 a22
ξx ξy
,
)( )
a12 a22
ηx ηy
,
)( )
a12 a22
ηx ηy
,
故
(
)(
)
a11 a12
a12 a22
=J
a11 a12
a12 a22
JT,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 4 / 39
二阶线性方程的分类
而判别式
△=
a11 a12
a12 a22
则得
η2uηη = 0.
(3) 当 y < 0 时, 方程为双曲型, 令
ξ = x + 2 √−y, η = x − 2 √−y,
则得
uξη
+
1 2(ξ −
η) (uξ
−
uη)
=
0.
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数学物理方程
2012-10-3 9 / 39
二阶线性方程的分类
当 y > 0 时, 方程为椭圆型, 令 ξ = 2 √y,
在椭圆型时, 取 λ = A1/2, µ = −B1/2 就可将方程化成 vξξ ± vηη + cv = f 的简 单形式.
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2012-10-3 12 / 39
1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
齐海涛 (SDU)
解: 特征方程:
α20 = α21 + α22 + α23.
特征方向 l 满足:
α20 = α21 + α22 + α23,
α20 + α21 + α22 + α23 = 1.
√√
√
√
解得:
l
=
(±
2 2
,
2 2
sin
θ
sin
β,
2 2
sin
θ
cos
β,
2 2
cos
θ),
其中
θ,
β
为任意参数.
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二阶线性方程的分类
.E.xample 1.4
证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换
u = eλξ+µηv,
将它化成
vξξ ± vηη + cv = f
.的形式.
证明: 由方程的化简可知, 对二阶双曲型或椭圆型方程总可通过自变量可
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二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
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二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
η = x,
则得 (4) 令
则得 (5) 令
则得
1 uξξ + uηη − ξ uξ = 0.
ξ = y − 2x + sin x, η = y + 2x + sin x,
uξη
+
ξ
+η 32 (uξ
+
uη)
=
0.
√ ξ = ln(y + 1 + y2),
√ η = ln(x + 1 + x2),
uξξ + uηη = 0.
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二阶线性方程的分类
.E.xample 1.1
证明: 两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后, 其类型不会改 .变, 即变换后 △ = a212 − a11a12 的符号不变.
证明: 设自变量可逆变换为
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y).
xy < 0 时, 方程为双曲型. (4) 当 xy > 0 时, 方程为抛物型; 当 xy ≤ 0 时, 方程为双曲型. (5) 系数矩阵为不定型, 且非退化, 故方程为双曲型.
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二阶线性方程的分类
.E.xample 1.3
化下列方程为标准形式: 1. uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0; 2. x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0; 3. uxx + yuyy = 0; 4. uxx − 2 cos xuxy − (3 + sin2 x)uyy − yuy = 0;
. 5. uxx − 4uxy + 2uxz + 4uyy + uzz = 0.
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2012-10-3 6 / 39
二阶线性方程的分类
解: (1) 当 xy 0 时, 方程为双曲型; 当 xy = 0 时, 方程为抛物型. (2) 当 x + y 0 时, 方程为椭圆型; 当 x + y = 0 时, 方程为抛物型. (3) 当 xy > 0 时, 方程为椭圆型; 当 xy = 0 时, 方程为抛物型; 当
= △ · (detJ)2.
这就证明了 △ 与 △ 符号相同, 即经自变量可逆变换后方程类型不改变. 设未知函数可逆变换为 u = f(v), f ′(v) 0, 对以 v 为未知函数的新方程
系数分别为 a11 = a11f ′, a12 = a12f ′, a22 = a22f ′,
故 △ = f ′2 · △, 所以经未知函数可逆变换后方程类型不改变.
(1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.1
.求下列方程的特征方程和特征方向:
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
解: 特征方程:
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.3
试证二阶线性偏微分方程解的 m 阶弱间断(即直至 m − 1 阶的偏导数为连续, .而 m 阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生. 解:
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数学物理方程
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1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
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二阶线性方程的分类
.E.xample 1.1
证明: 两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后, 其类型不会改 .变, 即变换后 △ = a212 − a11a12 的符号不变.
α21 − α22 = 0,
α20 + α21 + α22 = 1.
√
√
解得:
l = (cos θ,
2 2
sin
θ,
2 2
sin
θ),
其中
θ
为任意参数.
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.2
证明: 经过可逆的坐标变换 xi = fi(y1, · · · , yn) (i = 1, · · · , n), 原方程的特征曲 面变为经变换后的新方程的特征曲面, 即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变 性. .
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数学物理方程
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.2
证明: 经过可逆的坐标变换 xi = fi(y1, · · · , yn) (i = 1, · · · , n), 原方程的特征曲 面变为经变换后的新方程的特征曲面, 即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变 性. .
α21 + α22 = α23 + α24.
特征方向 l 满足:
α21 + α22 = α23 + α24,
α21 + α22 + α23 + α24 = 1.
√
√
√
√
解得:
l
=
(
2 2
sin θ,
2 2
cos
θ,
2 2
sin
β,
2 2
cos
β),
其中
θ,
β
为任意参数.
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数学物理方程
.
.
二阶线性偏微分方程的分类与总结
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@gmail.com
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目录
1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
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二阶线性方程的特征理论
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数学物理方程
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.4
.试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.4
.试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面. 解:
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二阶线性方程的特征理论
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
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1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
解:
齐海涛 (SDU)
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二阶线性方程的特征理论
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二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.3
试证二阶线性偏微分方程解的 m 阶弱间断(即直至 m − 1 阶的偏导数为连续, .而 m 阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生.
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二阶线性方程的分类
.E.xample 1.2
判定下列方程的类型: 1. x2uxx − y2uyy = 0; 2. uxx + (x + y)2uyy = 0; 3. uxx + xyuyy = 0; 4. sgn yuxx + 2uxy + sgn xuyy = 0;
逆变换化为
uξξ ∓ uηη = A1uξ + B1uη + C1u + D1
(1.1)
的形式. 注意到原方程为常系数, 特征根
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二阶线性方程的分类
√
a12 ± λ1,2 =
a212 − a11a22 a11
为常数. 此时变换式为线性变换
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二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
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二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
解: 特征方程:
α21 − α22 = 0.
特征方向 l 满足:
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三类方程的比较
.E.xample 3.1
试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的各种方法, 并指出叠加原理在哪 .里被用到.
记 则 detJ
(
)
J=
ξx ηx
ξy ηy
,
0. 由复合函数求导得以 ξ, η 为自变量的新方程系数为
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二阶线性方程的分类
Βιβλιοθήκη Baidu
( a11 = ξx
( a12 = ξx
( a22 = ηx
ξy
)(
a11 a12
ξy
)(
a11 a12
ηy
)(
a11 a12
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2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.1
.求下列方程的特征方程和特征方向:
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数学物理方程
2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.1
.求下列方程的特征方程和特征方向: ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u
. 5. (1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0.
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数学物理方程
2012-10-3 8 / 39
二阶线性方程的分类
解: (1) 令
ξ = y − 2x, η = x,
则得
uξξ + uηη + uη = 0.
(2) 令
ξ = y/x, η = y,
(1.2)
ξ = α1x + α2y, η = α3x + α4y,
其中 αi (i = 1, 2, 3, 4) 均为常数. 由此得 (1.1) 式中系数 A1, B1, C1, D1 均为常数. 再引入未知函数变换
u = eλξ+µηv,
(1.3)
将 (1.3) 式代入 (1.1) 式中, 在双曲型时, 只要取 λ = A1/2, µ = B1/2, 而
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2012-10-3 10 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.4
证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换
u = eλξ+µηv,
将它化成
vξξ ± vηη + cv = f
.的形式.
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