2008年高考试题理科数学江苏卷及答案解析

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数 学

一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.

1.若函数cos()(0)6

y x πωω=->最小正周期为5π

,则ω= 、

2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,

则出现向上的点数之与为4的概率就是 . 3.若将复数

11i

i

+-表示为(,,a bi a b R i +∈就是虚数单位)的形式,则a b += . 4.若集合2

{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈,则A

Z 中有 个元素、

5.已知向量a 与b 的夹角为0

120,||1,||3a b ==,则|5|a b -= .

6.在平面直角坐标系xoy 中,设D 就是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 就是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投点在E 中的概率就是

7.某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h ),随机选择了50位老人进行调查,下表就是这50位老人睡眠时间的频率分布表:

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值为 8.设直线b x y +=

2

1

就是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数b 的值就是

9.如图,在平面直角坐标系

xoy 中,设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(

c C b B a A ,点

(0,)P p 在线段AO 上的一点(异于端点),这里p c b a ,,,均为非零实数,设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,,某同学已正确求得直线OE 的方程为

01111=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ,请您完成直线OF 的方程: ( )011=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+y a p x 。

10.将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为

11.设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则2

y xz

的最小值就是

12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的焦距为2c ,以O 为圆心,a 为半径作

圆M ,若过20a P c ⎛⎫

⎪⎝⎭

，作圆M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为

13.满足条件BC AC AB 2,2=

=的三角形ABC 的面积的最大值

14.设函数3

()31()f x ax x x R =-+∈,若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为

二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角

αβ，,它们的终边分别交单位圆于A B ，两点.已知A B ，两点

的横坐标分别就是10

,5

.

(1)求tan()αβ+的值; (2)求2αβ+的值.

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………

B

C D E

F B

16.如图,在四面体ABCD 中,CB CD AD BD =⊥，,点E F ，分别就是AB BD ，的中点.求证: (1)直线//EF 面ACD 。 (2)平面EFC ⊥面BCD .

17.如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ,B 及CD 的中点P 处.AB ＝20km,BC ＝10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A ,B 等距的一点O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO ,BO ,PO .记铺设管道的总长度为y km. (1)按下列要求建立函数关系式:

(i)设BAO θ∠=(rad),将y 表示成θ的函数; (ii)设OP x =(km),将y 表示成x 的函数; (2)请您选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。

18.在平面直角坐标系xOy 中,记二次函数2

()2f x x x b =++(x ∈R )与两坐标轴有 三个交点.经过三个交点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围; (2)求圆C 的方程;

(3)问圆C 就是否经过定点(其坐标与b 的无关)？请证明您的结论.

19.(1)设12,,

,n a a a 就是各项均不为零的n (4n ≥)项等差数列,且公差0d ≠,若将此数列删去

某一项后得到的数列(按原来的顺序)就是等比数列.

(i)当4n =时,求

1

a d

的数值; (ii)求n 的所有可能值.

(2)求证:对于给定的正整数n (4n ≥),存在一个各项及公差均不为零的等差数列

12b b ，，，

n b ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.

20.已知函数1

1()3

x p f x -=,2

2()23

x p f x -=⋅(12,,x R p p ∈为常数).函数()f x 定义为:对每个给

定的实数x ,112212

(),()()

()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若

(1)求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件(用12,p p 表示);

(2)设,a b 就是两个实数,满足a b <,且12,(,)p p a b ∈.若()()f a f b =,求证:函数()f x 在区间

[,]a b 上的单调增区间的长度之与为

2

b a

-(闭区间[,]m n 的长度定义为n m -) 数学附加题