3计算下列对弧长的曲线积分

第十章 习题解答
习题 10-1 3．计算下列对弧长的曲线积分：
∫ （1） ( x 2 + y 2 )n ds, 其中L为圆周 x = a cos t, y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2π ) L
∫ 解：原式=
2π
(a 2
cos 2
t
+
a2
sin 2
n
t)
0
∫= 2π a 2n+1dt = 2π a 2n+1 0
y
L ε L1
−ε
D11
x
在
L
与
L1
包围的区域上，由
∂P ∂y
=
x2 − y2 (x2 + y2 )2
=
∂Q ∂x
和格林公式，有
∫ ∫∫ ydx − xdy = ( ∂Q − ∂P )dxdy = 0
L1 + L2 2( x 2 + y 2 ) D1 ∂x ∂y
∫ ∫ ∫ ydx − xdy = ydx − xdy = 2π − ε 2 sin2 θ − ε 2 cos2 θ dθ = −π
∫ ∫ ∫ =
2
1
xdx +
1
x
1 + 4x 2 dx
=
2+1
1
1 (1 + 4 x) 2 d (1 + 4 x 2 )
0
0
2 80
= 2 + 5 5 −1 2 12
∫ （4） e x2+ y2 ds, 其中L为由圆周 x 2 + y 2 = a 2 ,直线y = x及x轴 L 在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
B
ds = 0 + 0 + 12 dt = dt
C A
Dy
BC: x = t, y = 0, z = 2 (0 ≤ t ≤ 1)
x
ds = 12 + 0 + 0dt = dt
CD: x = 1, y = t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 3)
ds = 0 + 12 + 0dt = dt
∫ ∫ ∫ ∴原式 =
2
0dt +
1
0dt +
312 ⋅ t ⋅ 2dt = 9
0
0
0
习题 10-2
3. 计算下列对坐标的曲线积分：
∫ （2） xydx, 其中 L 为圆周 ( x − a)2 + y 2 = a 2 (a > 0) 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域 L 的整个边界（按逆时针方向绕行）
解：圆弧的参数方程为： x = 2a cos2 θ , y = 2a cosθ sinθ (0 ≤ θ ≤ π 2)
2
2
∫ A = 1
2
π
2 −π
(2a cos2 θ
⋅
2a cos 2θ
+
a sin 2θ
⋅ 4a cosθ
sinθ
)dθ
2
π
π
∫ ∫ = 4a 2 2 (cos4 θ + sin 2 θ cos2 θ )dθ =4a 2 2 cos2 θ dθ =π a 2
0
0
∫ 3． 计算曲线积分 ydx − xdy ，其中 L 为圆周 ( x − 1)2 + y 2 = 2 的方向,L 为逆时针方向。 L 2( x 2 + y 2 )
L1
2 L1
（2） ds = 1 + y x 2 dx = 1 + 4 x 2 dx
cosα = dx = 1 ds 1 + 4x 2
cos β = sinα = 1 − cos2 α = 2x 1+ 4x2
∫ ∫ ∴ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = (P cosα + Q cos β )ds
解： y = x与x2 + y2 = a2的交点为( 2 a, 2 a) 22
记： L1 : y = 0 (0 ≤ x ≤ a)
L2 : y = x (0 ≤ x ≤ a
); 2
L3 : y =
a2 − x2 ( a
≤ x ≤ a) 2
பைடு நூலகம்
∫ ∫ ∫ 原式= e x2 + y2 ds + e x2 + y2 ds + e ds x2 + y2
L 2( x 2 + y 2 ) L1− 2( x 2 + y 2 ) 0
2ε 2
5．利用格林公式，计算下列曲线积分：
∫ （3） (2xy 3 − y 2 cos x)dx + (1 − 2 y sin x + 3x 2 y 2 )dy ，其中 L 为抛物线 2x = π y 2 上由 L
点(0,0)到 (π ,1) 的一段弧； 2
解： ds = xt 2 + yt 2 + zt 2 dt = 1 + 4 x 2 + 9 y 2 dt
∴ cosα = dx =
1
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
cos β = dy =
2x
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
cosγ = dz =
3y
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
解：（当 x=0, y=0 时， P =
y
, Q = − x 无意义，该点又在圆内，所以不能
2( x 2 + y 2 )
2( x 2 + y 2 )
直接用格林公式，以原点为圆心，做一半径为 ε 的小圆包含奇点，即挖去此不连续点，在
形成的复连通区域上再用格林公式）
如图：在包围的区域内作顺时针方向的小圆周 L1 ： x = ε cosθ , y = ε sinθ (0 ≤ θ ≤ 2π )
∫ ∫ ∴ 原式 =
2a
x ⋅ 0dx +
π
2 4a 2 cos 3 θ
sinθ (−4a cosθ
sinθ
dθ )
=
− 1π
a3
0
0
2
∫ （4） ( x + y)dx − ( x − y)dy ，
L
x2 + y2
其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 （按逆时针方向绕行）
解：该圆的极坐标方程： x = a cosθ , y = a sinθ (0 ≤ θ ≤ 2π )
(2) 沿抛物线 y = x 2 从点(0,0)到点(1,1)
(3) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = 2 x 从点(0,0)到点(1,1)
解：（1） L1 的方向余弦： cosα = cos β = cos 45o = 1 2
∫ ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 1 [P( x, y) + Q( x, y)]ds
∫ ∫ Pdx + Qdy + Rdz = P + 2xQ + 3 yRds
Γ
Γ 1+ 4x2 + 9y2
习题 10-3 2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：
（1） 星形线 x = a cos3 t, y = a sin 3 t
（2） 椭圆 9 x 2 + 16 y 2 = 144
（3） 圆 x 2 + y 2 = 2ax
∫∫ ∫ ∫ 原式= 3(2 − x 2 − y 2 ) 1 + 4( x 2 + y 2 )dxdy = 3 2π dθ 2 (2 − r 2 ) 1 + 4r 2 rdr
0
0
D xy
= 111 π 10
∫∫ 5．（2）计算 ( x 2 + y 2 )dS, Σ
其中Σ是锥面z 2 = 3（x 2 + y 2）被平面z = 0和z = 3所截得的部分 .
L1
L2
L3
∫ ∫ ∫ = a e x 0
a
1 + 02 dx + 2 e 2x 0
1 + ( x′)2 dx +
a a
ea
2
1+( 2
− 2x )2 dx a2 − x2
∫ a
= e x |a0
+e
| 2x 2 0
+
a a
ea
2
a 2 dx = e a (2 + π a) − 2
a2 − x2
4
(−a sin t)2 + (a cos t)2 dt
∫ （2） ( x + y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段 L
解：该直线方程： y = 1 − x
∫ ∫ 1
所以，原式= 1 ⋅
1 + (1 − x)′2 dx = 1
2dx =
2
0
0
∫ （3） xds, 其中L为由直线y = x 及抛物线y = x2 所围成的区域边界 L
解： Σ在xoy面内的投影域为Dxy : x 2 + y 2 ≤ 3 (z = 0)
在锥面上： dS = 1 + (
3x
)2 + (
3y
)2 dxdy = 2dxdy
3( x 2 + y 2 )
3( x 2 + y 2 )
∫∫ ∫ ∫ ∴ 原式 = ( x 2 + y 2 ) ⋅ 2dxdy = 2 2π dθ 3 r 2 ⋅ rdr = 9π
∫ （5）
1
ds ，其中 Γ 为曲线 x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t 上相应于
Γ x2 + y2 + z2
t 从 0 变到 2 的这弧段。
∫2
解：原式=
1
⋅ (e t cos t − e t sin t )2 + (e t sin t + e t cos t )2 + e 2t dt
∫ ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = [P 2x − x 2 + Q ⋅ (1 − x)]ds
L31
L3
8. 设 Γ 为曲线 x = t, y = t 2 , z = t 3 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分
∫ Pdx + Qdy + Rdz 化成对弧长的曲线积分。 Γ
重力所做的功。
解： F = {0, 0, mg } ,记 dr={dx,dy,dz}, A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) ,则功
∫ ∫ W=
F ⋅ dr =
AB
z2mgdz
z1
=
mg ( z1
−
z2 )
∫ 7. 把对坐标的曲线积分 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 化成对弧长 L 的曲线积分，其中 L 为: L (1) 在 xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)
∫ 解：（用公式 A = 1 xdy − ydx 计算） 2L
∫ （1） A = 1 2π [a cos3 t ⋅ 3a sin 2 t cos t − a sin 3 t(−3a cos2 t sin t )]dt = 3 π a 2
20
8
（2）化为椭圆的参数方程
由 9x 2 + 16 y 2 = 144 得： x = 4 cos t, y = 3 sin t (0 ≤ t ≤ 2π )
解：记：D 为 L: x = π , y = 0 所围的闭区域，则 2
∫∫ (−2 y cos x + 6xy 2 − 6xy 2 + 2 y cos x)dxdy = 0
D
∫ ∫ 即
(2xy 3 − y 2 cos x)dx + (1 − 2 y sin x + 3x 2 y 2 )dy +
0
(1
0 e 2t ⋅1 + e2t
∫2
=
3 e −t dt =
3 (1 − e −2 ).
02
2
∫ （6） x 2 yzds ，其中 Γ 为折线 ABCD,这里 A,B,C,D 依次为点（0，0，0）、 Γ
（0，0，2）、（1，0，2）、（1，3，2）；
z
解：AB: x = 0, y = 0, z = t (0 ≤ t ≤ 2) ,
L2
L2
∫=
1 [P( x, y) + 2xQ( x, y)]ds
L2 1 + 4 x 2
(3) ds = 1 + ( 2 x − x 2 )′2 dx = 1 + (1 − x)2 dx 2x − x2
∴ cosα = dx = 2x − x 2 ds
∴ cos β = sinα = 1 − (2x − x 2 ) = 1 − x
∫ ∫ A = 1
xdy − ydx = 1
2π
[4cos t ⋅ 3cos t
− 3sin t(−4sin t)]dt
= 12π
2L
20
（3）化为圆的参数方程： x = r cosθ = 2a cosθ ⋅ cosθ = 2a cos 2 θ
y = r sinθ = 2a cosθ sinθ = a sin 2θ (− π ≤ θ ≤ π )
∫ 原式= 2π 1 [a cosθ + sinθ )(−a sinθ ) − a(cosθ − sinθ )a cosθ ]dθ 0 a2 ∫ = − 2π 1dt = −2π 0
6．设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置 ( x1 , y1 , z1 ) 沿直线移到 ( x2 , y2 , z2 ) 时
−
2
y
+
3π
2
y2
)dy
+
0
=
0
L
1
4
原式= 1 π 2 4
习题 10-4
∫∫ 4．计算曲面积分 f ( x, y, z)dS ，其中 Σ 为抛物面 z = 2 − ( x 2 + y 2 ) 在 xoy 面上方的部分， Σ
(3) f(x,y,z)=3z
解： Σ在xoy面上的投影域为Dxy : x 2 + y 2 ≤ 2 (z = 0) dS = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy
解： y = x与y = x2的交点为（0，0），（1，1）
记： L1 : y = x(0 ≤ x ≤ 1); L2 : y = x 2 (0 ≤ x ≤ 1)
∫ ∫ ∫ 所以
xds = xds + xds
L
L1
L2
∫ ∫ =
1
x
1 + ( x)′2 dx +
1
x
1 + ( x 2 )′2 dx
0
0